Musterlösungen zum 10. Übungsblatt

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1 Musterlösungen zum 1. Übungsblatt Analysis bei Dr. Rolf Busam WS 6/7 Aufgabe 46 (Hartmuth Henkel) (a) Seien x, y, z X. (i) Es ist δ(x, y) nach Definition. Insbesondere gilt δ(x, y) = x = y. (ii) Es gilt für x y : δ(x, y) = δ(y, x) = 1. Analog ist für x = y : δ(x, y) = δ(y, x) =. (iii) Zeige δ(x, y) δ(x, z) + δ(z, y). Falls x, y, z paarweise verschieden, so ist die Aussage klar (1!!!). Stimmen zwei der Wert überein, so gilt für x = y und z x: = δ(x, y) δ(x, z) + δ(z, y) = 1+1 oder für x = z und z y: 1 = δ(x, y) δ(x, z)+δ(z, y) = +1. Für x = y = z gilt die Aussage = δ(x, y) δ(x, z) + δ(z, y) = +. Also definiert δ eine Metrik. (b) Eine Topologie ist nach Definition eine Teilmenge der Potenzmenge. Also ist T δ P(X). Andererseits ist {x} offen für alle x X, denn {x} = U 1 (x). Daraus folgt insbesondere, dass jede beliebige Teilmenge von X offen ist. Damit ist die Behauptung bewiesen. Aufgabe 47 Am besten zeichnet man sich die Mengen beim Durchlesen des ersten und letzten Aufgabenteiles auf eine separates Blatt zum besseren Nachvollziehen. 1

2 Behauptung: A ist bereits abgeschlossen! Denn man erhält offensichtlich: A = { (x, y) R x + y 1 } A 1 { (x, y) R x = } A { (x, y) R y = } A 3 Wenn alle drei Teilmengen abgeschlossen sind, so ist A als Vereinigung ebenfalls abgeschlossen (Das ist hinreichend, aber NICHT notwendig!!). Sei nun eine Folge ((x k, y k )) k N in A i (i {1,, 3} mit (x k, y k ) k (x, y) R. Dann gilt: 1.Fall i=1: x k + y k 1 k x + y 1 sonst müsste die Bedingung schon für ein (x k, y k ) verletzt sein..fall i=: x k = k Dann gilt natürlich auch x = 3.Fall i=3: y k = k folgt y = Also sind die 3 Mengen abgeschlossen. (Folgenabgeschlossenheit!). Zu. und 3. beachte, dass eine Folge in R genau dann konvergiert, wenn sie Koordinatenweise konvergiert. Um den Rand zu bestimmen, stellen wir erst fest, dass A 1 = {(x, y) R x + y < 1} (beachte den Unterschied zu A 1!) offen ist, denn x + y ist stetig und aus x + y = c < 1 folgt die Existenz eines δ sodass für alle (a, b) (x, y) < δ folgt a + b c < (1 c)/ also a + b < 1. Falls nun x + y = 1 und x und y folgt, dass für jedes ɛ > der Vektor (x, y) (1+ɛ/) nicht in A liegt aber einen Abstand kleiner als ɛ hat. Da der Punkt selbst in A liegt, handelt es sich also um einen Randpunkt! (Zur Erinnerung: Das heißt in jeder ɛ-kugel liegen Punkte aus A und dem Komplement) Falls nun aber x, y 1 so liegt für jedes ɛ > der Punkt (ɛ/, y) nicht in A hat aber einen Abstand kleiner als ɛ. Ebenso verfahre man für y, x 1. Der Punkt liegt in beiden Fällen wieder selbst in A also handelt es sich hier um Randpunkte. Da A abgeschlossen ist (Das heißt der Rand ist schon Teil der Menge) und A 1 nicht zum Rand gehört, waren dies schon alle Randpunkte. Sei Q der Abschluss von Q in R dann gilt natürlich Q R Wir zeigen nun auch die Umkehrung: Q R also insgesamt Gleichheit: Zu jedem (x, y) R k k gibt es Folgen x k x, y k y mit x k, y k Q (Analysis I). Also folgt die Behauptung. Der Rand ist ebenfalls ganz R denn für ein Paar (x, y) R gibt es für alle ɛ > q 1, q Q, so dass x q 1 < ɛ/ und y q < ɛ/ also (x, y) (q 1, q ) < ɛ ebenso gibt es solche r 1, r R Q. Wahrscheinlich erscheint dieses Resultat befremdlich,

3 aber man sollte nicht vergessen, dass Q bereits sehr,,bröselig (Mathematikerdeutsch: dicht) in R liegt: Zwischen je zwei irrationalen Zahlen liegt eine rationale und umgekehrt. Umgekehrt bedeutet dies aber, dass Q auch nicht offen in R sein kann!! Genau wir für A 1 aus dem ersten Teil zeigt man, dass C := {(x, y) R 1 < 1 4 x + y < 4} offen ist. (Geht genau so, nur dass man eben Ungleichungen hat) Sei nun 1 4 x + y = 1 dann hat liegt für jedes 1 > ɛ > der Punkt (x, y) (1 + ɛ/) in C aber (x, y) selbst liegt nicht in C. Sei nun 1 4 x + y = 4 dann hat liegt für jedes ɛ > der Punkt (x, y) (1 + ɛ/) nicht in C aber (x, y) selbst liegt in C. In beiden Fällen handelt es sich also um einen Ranpunkt! Wie für A 1 zeigt man ebenso, dass C = {(x, y) R x + y 4} abgeschlossen ist. Dementsprechend enthält C bereits alle Randpunkte. Demnach sind alle Randpunkte gefunden. (ausführlich: C C C und C ist offensichtlich Abschluss von C also auch von C und somit ist C = C C ) Aufgabenteile A und C zeigen übrigens, wie gut unsere natürliche Vorstellung von,,rand mit der mathematischen Definition übereinstimmt, wenn es um geometrische Probleme geht. Aufgabe 48 Im folgenden wird mit L(f) das Funktional, welches eine Kurve auf ihre Länge abbildet, bezeichnet. a) Es gilt α (t) = (a cos(t) at sin(t), a sin(t) + at cos(t)) α (t) = (a cos(t) at sin(t)) + (a sin(t) + at cos(t)) = (a cos t + (at) sin t a t sin(t) cos(t) + a sin t + (at) cos t + a t sin(t) cos(t)) Damit folgt: = a + (at) = a 1 + t 3

4 L(α) = b) Es gilt = a α (t) dt = a 1 + t dt t + 1 t t + 1dt = a = a [ arcsinh(t) + t ] π t + 1 = a [ arcsinh(π) + π ] 4π t t dt t + 1 t + 1 d dt arcsinh(t) d dt t t +1 β (t) = (a( sin(t) cos(t) (1 + cos(t)) sin(t)), a( sin (t) + (1 + cos(t)) cos(t))) β (t) = a(sin (t) cos (t) + (1 + cos(t)) sin (t) + sin (t) (1 + cos(t)) cos(t) + sin 4 (t) + (1 + cos(t)) cos (t) sin(t) (1 + cos(t)) cos(t)) 1 = a sin (t)[cos (t) + sin (t)] + (1 + cos(t)) [sin (t) + cos (t)] = a sin (t) + (1 + cos (t)) = a sin (t) cos (t) + cos(t) = a 1 + cos(t) Damit folgt: 4

5 L(β) = c) Es gilt: = a = a = a β (t) = a π 1 + cos(t)dt = a 1 + cos(t)dt (cos(t) + 1) (cos(t) + 1) 3/ dt = a cos (t) + cos(t) + sin (t) (cos(t) + 1) 3/ dt = a cos(t) cos(t) = a [ ] π sin(t) cos(t) + 1 = a = 8a cos (t) + cos(t) + 1 (cos(t) + 1) 3/ dt sin (t) (cos(t) + 1) cos(t) + 1 dt cos(t)(cos(t) + 1) + sin (t) (cos(t) + 1) 3/ dt γ (t) = (k e kt cos(t) e kt sin(t), k e kt sin(t) + e kt cos(t)) = e kt (k cos(t) sin(t), k sin(t) + cos(t)) γ (t) = e k kt cos (t) + sin (t) k cos(t) sin(t) + k sin (t) + cos (t) + k sin(t) cos(t) = e kt k + 1 Damit folgt: L(γ) = b a γ (t) dt = b k + 1 a e kt dt = k + 1 (e bt e at ) k Für b = folgt: lim L(γ) = a > lim a > k + 1 (1 e at ) = k k + 1 k 5

6 Aufgabe 49 (Roman Kemmler) a)f(x, y) = x 3 x y + 4xy 3 + y b)g(x, y) = (x + y ) exp(xy) x f(x, y) = 3x 4xy + 4y 3 y f(x, y) = 4x y + 1xy + 4y 3 x y f(x, y) = 8xy + 1y = y x f(x, y) xf(x, y) = 6x 4y yf(x, y) = 4x + 4xy + 1y x g(x, y) = x exp(xy) + (x + y )y exp(xy) y g(x, y) = y exp(xy) + (x + y )x exp(xy) x y g(x, y) = x exp(xy) + y exp(xy) + (x + y )(exp(xy) + xy exp(xy)) = exp(xy)(3x + 3y + x 3 y + xy 3 ) = y x g(x, y) xg(x, y) = exp(xy) + xy exp(xy) + xy exp(xy) + (x + y )y exp(xy) = exp(xy)( + 4xy + x y + y 4 ) yg(x, y) = exp(xy)( + 4xy + x y + x 4 ) ( ) c)f(x, y) = log x + y x f(x, y) = xf(x, y) = y f(x, y) = yf(x, y) = x x + y y x (x + y ) y x + y x y (x + y ) und damit f(x, y) = 6