UNIVERSITÄT DORTMUND WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT

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1 UNIVERSITÄT DORTMUND WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT Prüfungsfach: Teilgebiet: Mikroökonomie Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner Prüfungskandidat/in (Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!) Name,Vorname:... Matrikel-Nr.:... Studiengang:... Es sind drei Aufgaben zu bearbeiten! Die drei bearbeiteten Aufgaben sind in unten stehender Tabelle anzukreuzen. Werden vier Aufgaben bearbeitet und keine oder alle Aufgaben angekreuzt, so werden die Aufgaben 1 bis bewertet. Aufgabe 1 2 Summe Bitte die drei zu bewertenden Aufgaben ankreuzen! maximal erreichbare Punktzahl erreichte Punktzahl Note Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen Unterbrechung der Prüfung: von bis Uhr Uhr von bis Uhr Uhr von bis Ende der Prüfung

2 Aufgabe 1: Betrachten Sie folgendes Spiel in extensiver Form: Spieler 1 A B U= 1 U= 2 6 U= Spieler 2 L M R h 1 Spieler V W V W a) Handelt es sich um ein Spiel mit vollkommener Information? Handelt es sich um ein Spiel mit vollständiger Information? Begründen Sie jeweils kurz Ihre Antwort! b) Betrachten Sie das Teilspiel, welches nach dem Zug B von Spieler 1 stattfindet. Fassen Sie dieses Teilspiel in Normalform und eliminieren Sie darin alle (schwach oder streng) dominierten Strategien! c) Tragen Sie die beste-antwort-funktionen des gemäß Teilaufgabe b) reduzierten Spiels in einer Graphik ab! Kennzeichnen Sie darin alle Nash-Gleichgewichte des Teilspiels in reinen und gemischten Strategien! d) Bestimmen Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien für das gesamte Spiels! 6 5 2,

3 Aufgabe 2: Ende der 80er Jahre platzte in Süddeutschland ein Zementkartell, dem es über Jahre hinweg gelungen war, die öffentliche Hand zu betrügen. Modellieren Sie den Zementmarkt in Süddeutschland wie folgt. Es gebe 2 Firmen in einem Cournot-Oligopolspiel, die beide einen identischen Output (Zement) produzieren. q i sei die Menge, die Firma i produziert (i = 1, 2). Die inverse Nachfragefunktion nach Zement sei gegeben durch: ( ) p Q 1 Q für Q 1 = 0 sonst, wobei Q = q 1 + q 2 die aggregierte Menge an Zement auf dem Markt darstellt. Beide Firmen sind in jeglicher Hinsicht symmetrisch. Die Grenzkosten seien für beide Firmen konstant gleich 1. Betrachten Sie zunächst das einmalige 1-Perioden-Spiel. a) Ermitteln Sie die Reaktionsfunktion für beide Firmen und stellen Sie diese in einem Diagramm dar! Bestimmen Sie rechnerisch das symmetrische Nash-Gleichgewicht mit den zugehörigen Produktionsmengen und markieren Sie das Gleichgewicht im zuvor gezeichneten Diagramm! Wie hoch sind die Gewinne der beiden Firmen im Gleichgewicht? b) Angenommen, die beiden Firmen vereinbaren, die Monopol-Produktionsmenge zu gleichen Teilen unter sich aufzuteilen. Wie hoch ist in diesem Fall der Gewinn jeder Firma? Wie hoch sind die optimale Abweichungsmenge und der maximale Abweichungsgewinn einer Firma i (i = 1, 2), wenn Firma j (j i) sich an die Vereinbarung hält, Firma i jedoch nicht? Betrachten Sie im Folgenden das unendlich oft wiederholte Spiel mit Verhandlungskosten, die durch den Diskontfaktor δ ]0, 1[ gegeben sind. c) Finden Sie eine Auslöserstrategie (Triggerstrategie), bei der es den Firmen unter Annahme einer 50:50-Aufteilung des Gewinns gelingt, die Monopol-Produktionsmenge am Markt als Nash-Gleichgewicht des unendlich oft wiederholten Grundspiels zu etablieren. Was ist hierbei die Strategie der schlimmsten Bestrafung, und welche Werte darf δ nur annehmen? Ist das gefundene Nash-Gleichgewicht auch teilspielperfekt?

4 Aufgabe : Zwei Chemiewerke, Vartonis und FASB produzieren am Flusslauf des Dhreckigs, Vartonis oberhalb von FASB. Tritt bei Vartonis ein Betriebsunfall auf, so beeinträchtigt dies die Produktionskosten von FASB. Beide Firmen bilden ein Cournot-Duopol, ihre Produkte seien perfekte Substitute. Die Wahrscheinlichkeit für einen Betriebsunfall liege bei 1/ und sei Common Knowledge zwischen den Firmen. Die inverse Nachfrage auf diesem Markt ist durch P=100-Q gegeben, wobei Q=q 1 +q 2 die von beiden Firmen insgesamt produzierte Produktionsmenge bezeichnet. Vartonis produziert zu konstanten Durchschnittskosten von 2 pro Mengeneinheit (ME). Die Durchschnittskosten von FASB sind ebenfalls konstant. Sie betragen 1 /ME, wenn bei Vartonis kein Betriebsunfall auftritt, und 7 /ME im Falle eines Betriebsunfalls. Betrachten Sie zunächst folgende Situation: Zu dem Zeitpunkt, zu dem beide Firmen (simultan) ihre Produktionsmengen festlegen, können weder Vartonis noch FASB einen etwaigen Betriebsunfall beobachten. a) Geben Sie zunächst für beide Firmen die jeweilige erwartete Auszahlung an! Wie lautet das Nash-Gleichgewicht, wenn beide Firmen ihre jeweilige erwartete Auszahlung maximieren? Wie hoch sind jeweils die Gewinne im Gleichgewicht? Betrachten Sie nun diese Situation: Zu dem Zeitpunkt, zu dem beide Firmen (simultan) ihre Produktionsmengen festlegen, ist Vartonis bereits über den Betriebsunfall informiert, FASB jedoch nicht. Diese Informationsstruktur sowie die Wahrscheinlichkeit für einen Betriebsunfall seien Common Knowledge. b) Verwenden Sie die Harsanyi-Transformation und stellen Sie dieses Spiel in extensiver Form dar! Welcher Spieler tritt nun in mehreren Identitäten auf? Wodurch ist eine solche Identität charakterisiert? c) Bestimmen Sie das Bayes-Nash-Gleichgewicht sowie die Gewinne in diesem Gleichgewicht! d) Vergleichen Sie die Ergebnisse in a) und c) und erklären Sie ihren Zusammenhang!

5 Aufgabe : Betrachtet seien die folgenden drei 2x2-Spiele in Normalform: 1\2 A B 1\2 A B 1\2 A B A 1, 1 0,0 A 0,0 1, 1 A, 1, B 0,0 1,1 B 1,1 0,0 B,1 2,2 (i) Koordinationsspiel (ii) Hawk-Dove (iii) Gefangenendilemma a) Bestimmen Sie für die Beispiele (i) bis (iii) alle symmetrischen Nash-Gleichgewichte in reinen oder gemischten Strategien! b) Definieren Sie den Begriff striktes Nash-Gleichgewicht! Welche der Nash- Gleichgewichte aus Aufgabenteil a) sind strikte Nash-Gleichgewichte? Begründen Sie Ihre Antwort! c) Definieren Sie den Begriff evolutionär stabile Strategie (ESS)! Welcher Zusammenhang besteht zwischen einer ESS und einem symmetrischen Nash- Gleichgewicht, welcher zwischen einer ESS und einem symmetrischen strikten Nash- Gleichgewicht? d) Bestimmen Sie alle evolutionär stabilen Strategien für die Beispiele (i) bis (iii)!