IV. Spieltheoretisches Repetitorium

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1 Institut WiOR Universität Karlsruhe 1 IV. Spieltheoretisches Repetitorium 1. Nichtkooperative Spiele in Normalform Beschreibung eines Normalformspiels G: G = (Σ 1,..., Σ n ; H 1,..., H n ) mit n... Zahl der Spieler Σ i... Strategiemenge von Spieler i H i : n i=1 Σ i R... payoff Funktion von i Nash-Gleichgewicht: Definition 1. σ = (σ1,..., σn) heißt Nash-GG, wenn gilt i : H i (σ i, σ i ) H i(σ i, σ i) für alle σ i Σ i.

2 Institut WiOR Universität Karlsruhe 2 Einfache Beispiele: H/D Spiel (Antikoordinationsspiel) Spieler 2 H D Spieler 1 Nash-Gleichgewichte: H D σ = (σ 1, σ 2) = (H, D), σ = (D, H), σ = (( 1 2, 1 2 ), (1 2, 1 2 )) = Nash-GGs müssen nicht eindeutig sein!

3 Institut WiOR Universität Karlsruhe 3 Public good Spiel Σ 1 = Σ 2 =... = Σ n = {1, 2,..., K} H i (σ i, σ i ) := b σ i + a n j=1 σ j (na > 1, a < 1, b > 0) = H i (σ i, σ i ) = b + (a 1) σ }{{} i + a j i σ j <0 H i (σ,..., σ) = b σ + naσ = b + (na 1)σ Resultat 1. σ = (σ1,..., σn) = (1,..., 1) ist das eindeutige Nash-GG. σ = (σ 1,..., σ n) = (K,..., K) ist die effiziente Lösung. = Nash GGs müssen nicht die beste Lösung bieten!

4 Institut WiOR Universität Karlsruhe 4 weakest link games Σ 1 =... = Σ n = {1,..., K} H i (σ i, σ i ) := a min{σ 1,..., σ n } bσ i (a > b) H i ( σ,... σ) = (a b) σ Resultat 2. Alle symmetrischen Strategiekonfigurationen σ = (σ 1,...σ n) (mit σ 1 =... = σ n) sind Nash-GGs, nur σ = (K,..., K) ist effizient. = Nash-GGs können sich Pareto-dominieren! Graphische Erläuterung: Geg. σ = ( σ,..., σ )

5 Abweichen von σ nach oben und nach unten ist nicht profitabel! Institut WiOR Universität Karlsruhe 5

6 Institut WiOR Universität Karlsruhe 6 2. Nicht-kooperative Spiele in Extensivform Γ = (X, Z, P, U, C, Π, P r) Grundlegende Konzepte: Spielbäume: Illustrationsbeispiel: Sequentielles H/D Spiel

7 Institut WiOR Universität Karlsruhe 7 X = {y, x 1, x 2 }, Z = {z }{{} 1,..., z 4 } }{{} echte Knoten Endknoten P = {P 1, P 2 } = {{y}, {x 1, x 2 }}... Spielerzerlegung U = {U 1, U 2 } = { {y}, {{x }{{} 1 }, {x }{{} 2 }}}... Informationszerlegung }{{} u 11 u 21 u 22 C = {C u } u U... Aktionszerlegung C u11 = {H, D}, C u21 = {H, D}, C u22 = {H, D}

8 Institut WiOR Universität Karlsruhe 8 Das oben eingeführte Spiel ist ein Extensivformspiel mit perfekter Information Bei imperfekter Information gibt es nicht-triviale Informationsmengen Illustration:

9 Institut WiOR Universität Karlsruhe 9 U 1 = {{x 1 }, {x }{{} 2, x 3 },...}, U }{{} 2 = { {y},...} }{{} u 11 u 21 u 12

10 Institut WiOR Universität Karlsruhe 10 Das Strategiekonzept: Definition 2. Eine Verhaltensstrategie für Spieler i ist ein Tupel von Wahrscheinlichkeitsverteilungen b i = {b iu } u Ui über C u für u U i. Spezialfall: Degenerierte Verhaltensstrategie Im H/D Spiel: b 1 = b 1{y} = (1, 0), b 2 = (b 2{x1 }, b 2{x2 }) = ((0, 1), (1, 0)) = b = (b 1, b 2 ) erzeugt den Pfad (H, D) B i Menge aller Verhaltensstrategien von i B := B 1... B n = jede Konfiguration b = (b 1,..., b n ) erzeugt eine W-Verteilng über den Endpunkten z Z P b (z) (z Z)

11 Institut WiOR Universität Karlsruhe 11 Beispiel: Sequentielles H/D Spiel b = (b 1, b 2 ) = ((1, 0); ((1, 0), (0, 1))) erzeugt die Verteilung P b (z 1 ) = 1, P b (z 2 ) = 0, P b (z 3 ) = 0, P b (z 4 ) = 0. Payoff: Der payoff von Spieler i, gegeben b = (b 1,..., b n ) ist gegeben durch H i (b 1,..., b n ) := z Z P b (z)π i (z).

12 Institut WiOR Universität Karlsruhe 12 Gleichgewichtskonzepte: Nash-Gleichgewicht: Definition 3. b = (b 1,..., b n) heißt Nash-GG eines Extensivformspiels Γ, wenn gilt i : H i (b i, b i ) H i (b i, b i ) für alle b i B i. jedes Spiel Γ induziert eine Normalform G Γ Teilspielferfekte Gleichgewichte: Nash-GGs müssen nicht vernünftig sein! Illustrationsbeispiel:

13 ((R 1, L 3 ), R 2 ) ist ein Nash-GG, aber nicht vernünftig. Institut WiOR Universität Karlsruhe 13

14 Institut WiOR Universität Karlsruhe 14 Alternatives Konzept: Definition 4. b = (b 1,..., b n) heißt teilspielperfektes Gleichgewicht, wenn b auf jedem Teilspiel Γ x von Γ ein Nash-GG b x induziert. Das GG ((R 1, L 3 ), R 2 ) ist nicht teilspielperfekt, denn L 3 Teilspiel Γ x keine Gleichgewichtswahl. ist im Charakterisierung von Teilspielperfektheit: Lösung des Spiels durch Rückwärtsinduktion Spieler sind perfekt rational und verlassen sich auf die Rationalität der Mitspieler

15 Institut WiOR Universität Karlsruhe 15 V. Eight treasures of Game Theory Literatur: Goeree/Holt, Ten little treasures of game theory and ten intuitive contradictions, AER 2001 (a) Das Traveller s Dilemma Game: Die story: Zwei Reisenden kommt das Gepäck im Flughafen beim Landen abhanden, in dem Gepäck befindet sich der gleiche Kunstgegenstand ( Thailändischer Buddha ), der beim gleichen Händler erworben wurde; beide Reisenden geben eine Gelforderung an (im Intervall (180, 300)), die Fluggesellschaft zahlt den geringeren der beiden Beiträge und bestraft ( belohnt ) den Fluggast mit der höheren (kleineren) Nennung. Das Spiel: G = (Σ 1, Σ 2 ; H 1, H 2 ) mit Σ i = {180, 181,..., 300} H 1 (σ 1, σ 2 ) := min{σ 1, σ 2 } + (R 2R 1 {σ1 >σ 2 }) R 1 {σ1 =σ 2 }

16 Institut WiOR Universität Karlsruhe 16 H 2... analog Hauptresultat: Das eindeutige Nash-Gleichgewicht ist gegeben durch σ 1 = σ 2 = 180. Experimentelles Design: Zwei Treatments mit R = 5, R = 180. Experimentelle Resultate: Bei R = 180 wird überwiegend 180 vorgeschlagen ( 80%); bei R = 5 wird überwiegend 300 vorgeschlagen ( 80%) Mögliche Erklärung: VPs verhalten sich rationaler, wenn die Bestrafung (R) hoch genug ist. (b) Das Matching Pennies Game: Die story: Keine spezielle story vorhanden Das Spiel:

17 Institut WiOR Universität Karlsruhe 17 G = (Σ 1, Σ 2 ; H 1, H 2 ) mit Σ 1 = {T, B} und Σ 2 = {L, R} H i wird definiert durch die payoff Tabellen Spieler 2 L R Spieler T B 40 80

18 Institut WiOR Universität Karlsruhe 18 Spieler 2 L R Spieler T B Spieler 2 L R Spieler T B 40 80

19 Institut WiOR Universität Karlsruhe 19 Hauptresultat: In allen drei Varianten des MPG ändert sich die Strategie von Sp. 1 nicht: s 1 = (0.5, 0.5), die GG-Strategien von Sp. 2: s 2 = (0.5, 0.5) s 2 = (0.125, 0.875) s 2 (0.91, 0.09). Experimentelles Design: 3 Treatments für die drei Spiele. Experimentelle Resultate: Die relativen Häufigkeiten der Strategiewahlen in allen drei Treatments ŝ 1 = (0.48, 0.52) ŝ 1 = (0.96, 0.04) ŝ 1 = (0.08, 0.92) ŝ 2 = (0.48, 0.52) ŝ 2 = (0.16, 0.84) ŝ 2 = (0.80, 0.20) Mögliche Erklärung: Spieler 1 verhält sich nicht rational, Sp. 2 scheint die Stratgiewahl von 1 zu ahnen und spielt beste Antwort darauf. (c) Koordinationsspiel mit outside option : Die story: Zwei Spieler spielen ein symmetrisches Koordinationsspiel, wobei Sp. 2 zusätzlich die Möglichkeit einer outside option hat.

20 Institut WiOR Universität Karlsruhe 20 Das Spiel: G = (Σ 1, Σ 2 ; H 1, H 2 ) mit Σ 1 = {L, H}, Σ 2 = {L, H, S} und Spieler 2 L H S L 90 0 x Spieler H Hauptresultat: a) Es gibt 3 Nash-GGs s 1 = (1, 0) s 2 = (1, 0, 0) s 1 = (0, 1) s 1 = (2/3, 1/3) s 2 = (0, 1, 0) s 2 = (2/3, 1/3, 0) b) Die Nash GGs ändern sich nicht, wenn S aus der Strategiemenge genommen wird (unabhängig von der Größe von x).

21 Institut WiOR Universität Karlsruhe 21 Experimentelles Design: Zwei Treatments mit x = 0, x = 400. Experimentelle Resultate: Bei x = 0 wird überwiegend auf (H, H) koordiniert; bei x = 400 wird stärker auf (L, L) koordiniert. Treatment x = 0 Treatment x = % Z-Spieler...H 64% Z-Spieler...H 84% S-Spieler...H 76% S-Spieler...H 80% Koordinaton auf (H, H) 32% Koordination auf (H, H) 16% Koordination auf (L, L) 52% Fehlkoordination Mögliche Erklärung: Bei x = 400 glaubt Sp. 2, daß Sp. 1 eher L spielen wird, darauf ist die beste Antwort, ebenfalls L zu spielen. (d) Das minimum effort Koordinationsspiel: Die story: 2 Spieler wählen die Höhe ihres efforts bei der Produktion eines Gutes. Ihr Einsatz ist nicht kostenlos, der Produktionsertrag richtet sich nach dem geringsten Faktoreinsatz.

22 Institut WiOR Universität Karlsruhe 22 Das Spiel: G = (Σ 1, Σ 2 ; H 1, H 2 ) mit Σ i = {110, 111,..., 170} und H i (σ 1, σ 2 ) := min{σ 1, σ 2 } cσ i für c (0, 1) Hauptresultat: Die Nash-GGs (σ 1, σ 2) sind charakterisiert durch σ 1 = σ 2. Die Menge der Nash GGs ändert sich nicht, wenn c (0, 1) variiert. Rationale Spieler wählen σ i = 170. Experimentelles Design: Zwei Treatments mit c = 0.9, c = 0.1. Experimentelle Resultate: Bei c = 0.9 wählen ca. 50% σi c = 0.1 wählen ca. 60% σi = 170. = 115, bei Mögliche Erklärung: Höheres c erhöht die Strafe für zu hohe effort Wahl und läßt Abweichungen nach unten weniger verlustreich erscheinen. (e) Das Kreps Spiel: Die story: Keine spezielle story.

23 Institut WiOR Universität Karlsruhe 23 Das Spiel: G = (Σ 1, Σ 2 ; H 1, H 2 ) mit Σ 1 = {T, B} und Σ 2 = {L, M, N, R} Drei Versionen der payoff-funktionen Spieler 2 Spieler 1 T B L M N R

24 Institut WiOR Universität Karlsruhe 24 Spieler 1 Spieler 1 T B T B Spieler 2 L M N R Spieler 2 L M N R

25 Institut WiOR Universität Karlsruhe 25 Hauptresultat: Es gibt drei Nash-GGs, die unabhängig von der gewählten payoff-version sind: s 1 = (1, 0) s 1 = (0, 1) s 1 (0.97, 0.03) s 2 = (1, 0, 0, 0) s 2 = (0, 0, 0, 1) s 2 (0.05, 0.95, 0, 0) Rationale Spieler wählen (T, L) ((B, R)) in Version 1 und 2 (Version 3). Experimentelles Design: Dieselben VPs spielen Version 1 und 2. Version 3 wird von einer neuen Kohorte gespielt. Die VPs spielten vorher ähnliche Spiele (mit positiven Gewinnen). Es wurde ihnen gesagt, dass die vorher gemachten Gewinne mit möglichen Verlusten in Version 1 verrechnet werden dürfen. Drei Treatments für die drei payoff-versionen. Experimentelle Resultate: Tendenz der Ergebnisse Spaltenspieler bevorzugen N, obwohl N als einzige keine Gleichgewichtsstrategie ist

26 Institut WiOR Universität Karlsruhe 26 beim Übergang von Treatment 1 zu 2 keine große Änderung im Verhalten der Spalten-Spieler offenbar liegt keine loss aversion vor Treatment 3 zeigt: Werden die payoffs einer Strategiekonfiguration groß genug gewählt ( salience ), dann wird diese Kombination eher gewählt Treatment 1 Treatment 2 Treatment 3 68% R...T 84% R...T - 26% S...L 24% S...L - 32% R...B 16% R...B 96% R...B 0% S...R 0% S...R 84% S...R 68% S...N 64% S...N 16% S...N Mögliche Erklärung für die Wahl von N (in Treatment 1): Sicherheitsmaximierung, man spielt N, wenn man sich gegen Verluste durch irrationale Aktionen des Gegenspielers absichern will. (f) Das trust game I:

27 Institut WiOR Universität Karlsruhe 27 Die story: In einem sequentiellen 2-Personen-Spiel kann ein Spieler auf einen payoff verzichten, indem er die Entscheidung an einen Gegenspieler auf der zweiten Stufe delegiert. Der Gegenspieler hat es in der Hand, dem Spieler einen höheren payoff zu verschaffen Das Spiel: Es handelt es sich um ein Spiel in Extensivform mit 2 Versionen des Spielbaums

28 Institut WiOR Universität Karlsruhe 28 Hauptresultat: Beide Spiele sind strategisch äquivalent. Die Nash-GGs sind gegeben durch wobei b teilspielperfekt ist. b = (S, P ), b = (R, N) Experimentelles Design: Zwei Treatments mit Version 1 bzw. Version 2. Experimentelle Resultate: In Treatment 1 wird überwiegend b = (R, N) gewählt. Das geht in Treatment 2 zurück. Treatment 1 Treatment 2 16% Ergebnis z 1 52% Ergebnis z 1 84% Ergebnis z 3 12% Ergebnis z 2 36% Ergebnis z 3 Mögliche Erklärung: VPs Spieler 1 in Treatment 2 scheinen den Gegensielern nicht zu trauen, dass sie sich (wegen des geringen payoffs- Unterschieds: 70-68=2) rational verhalten, wenn sie auf der zweiten

29 Institut WiOR Universität Karlsruhe 29 Spielstufe entscheiden müssen. Ergänzung: In einem weiteren Treatment wurden die payoffs wie folgt verändert

30 Institut WiOR Universität Karlsruhe 30 Jetzt wird in 80% der Fälle z 1 erreicht! Die relative payoff-differenz zwischen P und N ist noch kleiner geworden. (g) Das trust game II: Die story: Ähnlich wie in trust game I mit einem Unterschied. Spieler 2 ist eigentlich nicht daran interessiert, dass Spieler 1 Spieler 2 zum Zuge kommen läßt Das Spiel: Es handelt es sich um ein Spiel in Extensivform mit 2 Versionen des Spielbaums

31 Institut WiOR Universität Karlsruhe 31 Hauptresultat: Exakt wie in trust game I. Experimentelles Design: Zwei Treatments mit Version 1 bzw. Version 2. Experimentelle Resultate: In Treatment 1 wird fast so wie in trust game I gespielt, in Treatment 2 wird mehr P gewählt.

32 Institut WiOR Universität Karlsruhe 32 Treatment 1 Treatment 2 12% Ergebnis z 1 32% Ergebnis z 1 88% Ergebnis z 3 32% Ergebnis z 2 36% Ergebnis z 3 Mögliche Erklärungen: a) Die Spieler 2 reagieren verärgert, wenn ihnen die Spieler 1 nicht den höheren payoff (in z 1 ) zugestehen. Da die Kosten der Bestrafung für Sp. 2 sehr klein sind, wird Sp. 1 bestraft. b) Sp. 2 empfindet inequity aversion (in z 3 ist der payoff Unterschied zwischen Sp. 1 und 2 größer als in z 1 ). (h) 2-Stufen-bargainng: Die story: 2 Spieler verhandeln sequentiell über die Aufteilung eines Kuchens. Spieler 1 schlägt eine Aufteilung vor, die Sp. 2 annehmen oder ablehnen kann. Wird die zweite Periode erreicht, schrumpft der Kuchen. In der 2. Periode schlägt Spieler 2 die Aufteilung vor, die Sp. 1 annehmen oder ablehnen kann.

33 Institut WiOR Universität Karlsruhe 33 Das Spiel: Es handelt es sich um ein 2-Stufen-Spiel in 2 Versionen, wobei in Version 2 der Kuchen drastischer von Periode 1 zu Periode 2 schrumpft Hauptresultat: Beide Spiele sind strategisch äquivalent. Das teilspiel-

34 Institut WiOR Universität Karlsruhe 34 perfekte GG in Version 1 ist charakterisiert wie folgt: Stufe 2: Sp. 2 schlägt 1.99 für sich vor, Sp. 1 akzeptiert Stufe 1: Sp. 1 schlägt 3 für sich vor, Sp. 2 akzeptiert Experimentelles Design: Zwei Treatments mit Version 1 bzw. Version 2. Die gleichen Personen spielen Version 1 und Version 2 (durch mehrere andere Spiele getrennt) Experimentelle Resultate: In Treatment 1 wird nahe an der theoretischen Lösung gespielt, in Treatment 2 wird weniger für sich selbst verlangt. Treatment 1 Treatment 2 durchschnittl. Forderung 2.83 durchschnittl. Forderung % d. Ford. 98% d. Ford. von Sp. 1 war 3.00 von Sp. 1 war < 4.50 mehr Ablehnungen von Sp. 2

35 Institut WiOR Universität Karlsruhe 35 Mögliche Erklärung: Allgemeine Beobachtung in bargaining-spielen. Bei starker Schrumpfung des Kuchens macht Spieler 1 höhere Konzessionen. fairniss-überlegungen? Sp. 1 fürchtet im Falle der Ablehnung durch 2 eine starke Senkung seines payoffs