Mikroökonomik B 4.2 Spiele in extensiver Form, vollständige Information

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1 Mikroökonomik B 4. Spiele in extensiver Form, vollständige Information Dennis L. Gärtner. Juni / 59

2 Übersicht Annahmen: Dynamisches Spiel: Spieler treffen Entscheidungen sequentiell. Vollständige Information: Präferenzen der Spieler über Ergebnisse sind allgemein bekannt. Konzepte: Extensivform-Repräsentation eines Spiels Strategien in Extensivformspielen Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht Rückwärtsinduktion Anwendungen/Beispiele: Stackelberg Duopol ( Sequentielles Cournot ) Bank Runs Verhandlungsspiele Zeitinkonsistene Präferenzen / 59

3 Literaturangaben Gibbons: Kapitel Osborne (004): Kapitel 5 7 Mas-Collel et al.: Kapitel 9 Kreps: Kapitel Jehle & Reny (00): Kapitel 7. Varian (007): Kapitel 9. 3 / 59

4 Ein Beispiel: Sequentieller Geschlechterkampf Sie erinnern sich an den Kampf der Geschlechter zwischen Chris und Pat: Chris Fight Opera Pat Fight Opera, 0, 0 0, 0, Betrachten wir nun eine sequentielle Variante, in der sich zuerst Chris und dann Pat entscheidet. Konkret: t = : Chris entscheidet, zum Boxkampf ( fight ) oder in die Oper ( opera ) zu gehen. t = : Pat beobachtet Chris Entscheidung (Chris postet dies per Facebook Places ) und entscheidet danach selbst, zum Kampf oder in die Oper zu gehen. 4 / 59

5 Dynamische Spiele: Die bevorstehenden Herausforderungen. Wie können wir dynamische Spiele formalisieren? Wir werden die Extensivform einführen im Wesentlichen ein Spielbaum. Was sind Strategien? Neue Strategieformen in dynamischen Spielen, da Spieler nun auf vorhergehende Aktionen anderer Spieler reagieren können (Strategien werden spielverlaufsabhängig). Gibt es neue Rationalitätskriterien? Spieler können ihre Entscheidung im Spielverlauf neu überdenken. Dies führt uns zu einer Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts, der Teilspielperfektion, welche sicherstellt, dass Entscheidungen sequentiell rational sind. 5 / 59

6 Die Extensive Form Die Extensivform eines Spiels ist im Wesentlichen ein Multi-Personen-Entscheidungsbaum. Ein Beispiel: L R l r l r Der Spielbaum repräsentiert die folgenden Ereignisse:. Spieler wählt eine Aktion a {L, R}.. Spieler beobachtet a und wählt dann eine Aktion a {l, r} 3. Auszahlungen sind u (a, a ) und u (a, a ) wie in der Grafik dargestellt (oberer Eintrag gehört Spieler ). 6 / 59

7 Weitere Beispiele... L R L 3 R 3 L 3 R 3 L R L R L R L R L L R L R 0 3 Elemente: Entscheidungsknoten: Welcher Spieler die Wahl hat. Äste: Zur Wahl stehende Aktionen. Anfangsknoten: Hier beginnt das Spiel. Alle anderen Entscheidungsknoten haben eine bestimmte Geschichte (Liste vorhangehender Aktionen im Spielverlauf). Ergebnisknoten: Hier endet das Spiel & Auszahlungen erfolgen. Beachte: Zu jedem Ergebnisknoten gehört eine eindeutige Geschichte. 0 4 R / 59

8 Informationsmengen und imperfekte Information Soweit alles Spiele mit perfekter Info: Jeder Spieler kennt an seinen Entscheidungsknoten die gesamte Geschichte des Spiels (also alle vorhergehenden Aktionen). Wir benützen Informationsmengen um Situationen mit imperfekter Info darzustellen. Genauer: Informationsmenge= Menge von Entscheidungsknoten, zwischen welchen ein ziehender Spieler nicht unterscheiden kann. Beispiel: Informationsmenge L R L R L R Bei seiner Wahl zwischen L und R weiss Spieler nicht, ob Spieler vor ihm L oder R gewählt hat. 8 / 59

9 Ein etwas komplexeres Beispiel... L R L 3 R 3 L 3 R 3 L R L R L R L R Spieler 3 weiss bei seinem Zug lediglich, ob vor ihm Spieler R und Spieler R gewählt haben oder nicht. Anmerkung: An beliebigen zwei Entscheidungsknoten in der selben Informationsmenge muss gelten: es zieht der selbe Spieler der Spieler muss die selben Aktionen zur Verfügung haben (sonst könnte er die Entscheidunsknoten notwendigerweise unterscheiden). 9 / 59

10 Reminder: Perfekte vs. vollständige Information Perfekte Information ( vollkommene Information, Perfect Recall ): Der entscheidende Spieler kennt jeweils die gesamte Geschichte (vorhergehende Aktionen) des Spiels. Vollständige Information: Präferenzen jedes Spielers über Ergebnisse des Spiels sind allgemein bekannt. Beispiele: Auktionen (selbst wenn ich das Gebot eines anderen Spielers kenne, kenne ich nicht seinen Payoff, weil ich seine Wertschätzung für das Gut nicht kenne). 0 / 59

11 Spiele mit simultanen Zügen können in extensiver Form dargestellt werden Gefangenendilemma in strategischer Form P c d c, 9, 0 P d 0, 9 6, 6 Gefangenendilemma in extensiver Form c d c d c d Strategisch gesehen sind also folgende Spiele äquivalent: P und P entscheiden gleichzeitig P entscheidet nach P, aber ohne die Entscheidung von P zu kennen. 6 6 / 59

12 Definition der Extensiven Form Informell gesprochen spezifiziert ein Spiel in extensiver Form: () die Spieler im Spiel, (a) wann welcher Spieler zieht, (b) Liste der Aktionen, welche jedem Spieler bei seinen Zügen zur Auswahl stehen, (c) was welcher Spieler bei seinen Zügen weiss, sowie (3) die Auszahlung jedes Spielers für jede Kombination von Aktionen. Dies lässt sich wie folgt formalisieren: / 59

13 Definition der extensiven Form Definition: Spiel in extensiver Form (mit vollst. Info) Ein Spiel in extensiver Form Γ = {N, A, X, E,ι,I, u} besteht aus E Der Spielermenge N. E Aktionsmenge A i, welche jedem Spieler i (an irgendeinem Punkt des Spiels) zur Verfügung steht (mit A = A i ). i N E3 (Spiel-) Geschichten ( Knoten ) X: Menge endlicher Folgen h = (a, a,...,a k ) mit a s A, s =,...,k, für die gilt: der Anfangsknoten X; wenn {a s } K s= X, dann auch {as } L s= X für L < K. E4 Ergebnisgeschichten: Menge E = {h X (h, a) / X für alle a A}. E5 Spielerfunktion ι : X \ E N gibt Index des Spielers an, der an Knoten h X am Zug ist. E6 Informationsmengen I(h): bestehend aus Spielgeschichten h X, zwischen denen ein Spieler nicht unterscheiden kann. E7 Auszahlungsfunktionen u i : E R für jeden Spieler i N. 3 / 59

14 Weitere Notation A i (h) = {a A i (h, a) X}: Menge an Aktionen, welche Spieler i nach Geschichte h zur Verfügung stehen. X i = {h X \ E ι(h) = i}: Menge an Knoten, an welchen Spieler i am Zug ist. I i = {I(h) ι(h) = i, h X}: die Spieler i zugeordneten Informationsmengen. Bemerkung In sef mit perfekter Information sind alle Informationsmengen einelementig, also: I(h) = {h}, h X. Definition: Ein sef heisst endlich, wenn sowohl die Anzahl der Spielstufen als auch die Anzahl der Aktionen auf jeder Spielstufe endlich sind. 4 / 59

15 Ein Beispiel L R l r l r N = {, } X = {, L, R,(Ll),(Lr),(Rl),(Rr)} E = {(Ll),(Lr),(Rl),(Rr)} ι( ) =, ι(l) = ι(r) = u (Ll) = 0, u (Ll) =, u (Lr) = 3, u (Lr) =, u (Rl) =,... 5 / 59

16 Strategien Eine erste informelle Definition Eine Strategie in einem Spiel in extensiver Form ist ein vollständiger Aktionsplan: Er spezifiziert für den betreffenden Spieler an jedem Entscheidungsknoten (bzw. in spielen mit imperfekter Info: an jeder Informationsmenge) eine Entscheidung. 6 / 59

17 Strategien Beispiel: 0 L R l r l r 3 0 (Reine) Strategien für Spieler : {L l, R l}: spiele immer l. {L r, R r}: spiele immer r. Spieler : mögliche (reine) Strategien: spiele L oder R. Spieler : 4 mögliche Strategien: Wahl zwischen l oder r an jedem der beiden Entscheidungsknoten. {L l, R r}: spiele l falls P L gespielt hat, sonst r. {L r, R l}: spiele r falls P L gespielt hat, sonst l. 7 / 59

18 Strategien Stellen Sie sich eine Strategie als einen vollständigen Aktionsplan vor, welchen Sie jemand anderem in die Hand drücken könnten, um das Spiel für Sie zu spielen egal wie sich das Spiel entwickelt.! Bemerkung: In statischen Spielen (bzw. Spielen in strategischer Form) sind Aktionen/Entscheidungen und Strategien dasselbe. 8 / 59

19 Strategien Definition: Strategie Eine reine Strategie von Spieler i N in einem sef Γ ist eine Funktion a i : X i A i, die jeder möglichen Spielgeschichte h X i nach der Spieler i am Zug ist (also ι(h) = i), eine Aktion a i (h) A i (h) zuordnet. Für h, h X i, welche in der selben Informationsmenge liegen, muss gelten: a i (h) = a i (h ). Wir bezeichnen eine Strategie mit s i und den Spieler i zur Verfügung stehenden Strategieraum mit S i. Im Beispiel oben hätten wir: Für Spieler : X = { } und A = {L, R}. Für Spieler : X = {L, R}, A = {l, r} und S = { {L l, R l},{l r, R r},{l l, R r},{l r, R l} } 9 / 59

20 Nash-Gleichgewicht in einem Spiel in Extensiver Form Jetzt, wo wir definiert haben, was eine Strategie ist in einem sef ist, können wir das Konzept des Nash-Gleichgewichts anwenden: Nash-Gleichgewicht Ein Strategienprofil (s,..., s n ) ist ein Nash-Gleichgewicht falls u i (s i, s i ) u i(s i, s i ) für alle i =,... und alle s i S i. Beachte: Dies ist die selbe Definition wie für ssf! Das einzig konzeptionell neue ist die Strategiedefinition für sef. Suchen wir nun die Nash-Gleichgewichte im Granatenspiel... 0 / 59

21 Zurück zum Kampf der Geschlechter Extensive Form Chris Pat f o Pat f o f o (, ) (0, 0) (0, 0) (, ) Strategische Form Pat f f o f f o o o f f o o f o o f Chris f o, 0, 0 0, 0,,, 0, 0 0, 0 3 Nash-Gleichgewichte / 59

22 Anmerkung: Reduzierte Strategische Form Die Tabelle auf der vorhergehenden Folie ist ein Beispiel für die Umwandlung eines sef in eine reduzierte strategische Form (rsf). Das reduziert bezieht sich auf die Entfernung der Zeitdimension. Da eine rsf somit nicht mehr darstellt wer vor oder nach wem zieht (nur noch: wer auf wen reagieren kann), wird i.a. eine rsf mit mehr als einer sef korrespondieren. Beispiel: Die zwei möglichen Darstellungsarten des Gefangenendilemmas als sef (P zieht zuerst bzw. P zieht zuerst, wobei der jeweils andere Spieler den Zug nicht beobachten kann) haben jeweils die selbe rsf. / 59

23 Gemischte Strategien Wie in statischen Spielen führen Konvexitätsüberlegungen zur Einführung von gemischten Strategien. Definition: Gemischte Strategien Eine gemischte Strategie σ i für Spieler i ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über seiner Menge von reinen Strategien S i. Eine gemischte Strategie ist also konzeptionell eine Mischung über vollständige, bedingte Pläne: eine reine Strategie wird für das gesamte Spiel zufällig vor dem Spielbeginn gewählt. 3 / 59

24 Verhaltensstrategien Definition: Verhaltensstrategien Eine Verhaltensstrategie β i (h), h X i für Spieler i spezifiziert eine (über Informationsmengen) unabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung über A i (h) für jede Informationsmenge von Spieler i. Unterschied zu gemischten Strategien: Verhaltensstrategien geben eine geschichtsabhängige Mischung für jede Geschichte an. D.h.: an jeder Informationsmenge wird eine Aktion zuällig gewählt. Diese beiden Objekte sind verschieden, aber der Unterschied spielt nur eine Rolle in Spielen mit imperfekter Erinnerung. Allgemeiner Intuition widersprechend sind allerdings gemischte Strategien das generellere Objekt. (Warum?) 4 / 59

25 Allgemeine Mischungen Ein einzelner Spielausgang eines sef korrespondiert i.a. mit mehr als einem Strategienprofil (siehe reduzierte strategischen Form ). Definition: Ergebnisäquivalenz von Strategieprofilen Es folge jeder Spieler i N den Strategien s i. Wir bezeichnen die Ergebnisgeschichten mit o(s) E. Zwei Strategienprofile s und s heissen ergebnisäquivalent wenn u i (o(s)) = u i (o(s )) für alle i N. Satz (Kuhn 953) Für jede gemischte Strategie eines Spielers in einem sef gibt es eine ergebnisäquivalente Verhaltensstrategie. 5 / 59

26 Nash Gleichgewicht in gemischten Strategien Definition: Nash-Gleichgewicht (in gemischten Strat.) Ein Nash Gleichgewicht eines sef ist ein Strategienprofil σ, sodass für jeden Spieler i N und alle σ i (S i ) gilt, dass u i (o(σ )) u i (o(σ i,σ i )). 6 / 59

27 Teilspielferfektion und unglaubwürdige Drohungen Ein Nash-GG des Spiels zwischen Chris und Pat ist das folgende: Pat geht so oder so zum Boxkampf (egal wo Chris vor ihm hinging); Chris geht zum Boxkampf. Dies ist ein Nash-GG weil die Strategie jedes Spielers optimal ist gegeben die Strategie des anderen. Allerdings: Etwas beunruhigend ist, dass Pat s Strategy eine unglaubwürdige Drohung zu beinhalten scheint: Falls Chris doch in die Oper gehen würde wäre es für ihn dann wirklich optimal, zum Boxkampf zu gehen? Dieser Gedanke führt zu einer Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts, um solche unglaubwürdigen Drohungen auszuschliessen. 7 / 59

28 Teilspiele Ein Teilspiel ist der verbleibende Teil eines Spiels ab einem beliebigen Entscheidungsknoten, sodass jeder Spieler weiss, dass er in dem betreffenden Teil des Spielbaums ist. Beachte: Der letzte Zusatz ist nur für Spiele mit imperfekter Info relevant. Beispiele: Das ist ein Teilspiel L R l r l r Das ist kein Teilspiel L R l r l r 8 / 59

29 Teilspiele Ein weiteres Beispiel: Identifizieren Sie alle Teilspiele des folgenden Spiels L R L 3 R 3 L 3 R 3 L R L R L R L R Spieler 3 weiss bei seinem Zug lediglich, ob vor ihm Spieler R und Spieler R gewählt haben oder nicht. 9 / 59

30 Teilspiele Definition: Teilspiel Ein Teilspiel Γ(h) eines sef Γ besteht aus einem einzelnen Knoten h zusammen mit all seinen Folgeknoten in Γ. Ein Teilspiel hat folgende Eigenschaften:. es beginnt in einer Singleton-Informationsmenge h,. es beinhaltet alle Folgeknoten von h (inkl Blätter), 3. es beinhaltet keine Knoten ausserhalb der Menge von h s Folgeknoten, 4. die zu jedem Knoten h zugehörige Informationsmenge ist komplett im Teilspiel enthalten. Bemerkung: Mit dieser Definition ist auch das gesamte Spiel ein Teilspiel von sich selbst. Zur Unterscheidung werden alle restlichen Teilspiele manchmal als echte Teilspiele bezeichnet. 30 / 59

31 Teilspielperfektes Nash Gleichgewicht Definition (Selten 965): Teilspielperfektes Nash-GG Ein Nash-GG σ eines sef Γ heisst teilspielperfekt (TSP- Nash-GG), wenn es ein Nash-GG in jedem Teilspiel Γ(h) von Γ vorschreibt. Da das gesamte Spiel ein Teilspiel von sich selbst ist, sind alle Nash-GG eines Spieles mit nur einem Teilspiel auch TSP-Nash-GG. Wenn ein Spiel mehrere Teilspiele besitzt, dann ist die Menge der TSP-Nash-GG eine Teilmenge der Nash-GG dieses Spieles. Deshalb sprechen wir von einem Verfeinerungskonzept. Teilspielperfektion wird manchmal auch als sequentielle Rationalität bezeichnet. 3 / 59

32 Teilspielperfektion im sequentiellen Geschlechterkampf C f o P P f o f o Für Pat ist f o bzw. o f im jeweiligen Teilspiel nicht optimal Teilspielperfektion eliminiert der 3 Nash-Gleichgewichte: NGG C: f P: {f f, o f} NGG NGG 3 C: o P: {f o, o o} C: o P: {f f, o o} 3 / 59

33 Rückwärtsinduktion Eine praktikablere Art der Bestimmung teilspielperfekter Nash-GG ist das Rückwärts-Abarbeiten des Spielbaums : Rückwärtsinduktion (Spiele mit perfekter Info):. Bestimmung der optimalen Aktionen in den kleinsten ( letzten ) Teilspielen.. Ersetzen des jeweiligen Entscheidungsknotens mit dem Payoff dieser optimalen Aktion. 3. Wiederhole Schritte. und. bis der Anfangsknoten erreicht ist. C f o P P f o f o / 59

34 Beispiel: Ein Markteintritts-Spiel Geschichte: Eine Firma überlegt, in einen monopolisierten Markt einzutreten. Falls sie eintritt, kann der ansässige Monopolist ( Incumbent I ) den Eindringling entweder bekämpfen ( fight ) oder nicht ( accomodate ). u E = u I = 0 Out E In fight 3 I acc Im teispielperfekten Nash-GG tritt E ein und I bekämpft nicht (Bekämpfen würde den Eintritt unattraktiv machen stellt jedoch eine unglaubwürdige Drohung dar). 34 / 59

35 Erweiterung: Nach dem Eintritt kann auch E (gleichzeitig mit I) fight oder accomodate wählen. E Out In Das Teilspiel: E f a I 0 I I acc fight f a f a 3 3 E acc fight 3,,, 3, Das einzige NGG des Teilspiels (beginnend an E s Entscheidungsknoten) ist ( acc / acc ). Da dieses Gleichgewicht Firma E einen Payoff von 3 bringt, wird sie im ersten Schritt eintreten. Im einzigen teilspielperfekten Nash-GG des Spiels tritt Firma E ein und beide Firmen spielen danach accomodate. 35 / 59

36 Rückwärtsinduktion: Anmerkungen Bei imperfekter Information beinhaltet Rückwärtsinduktion das Rückwärts-Abarbeiten des Spiels beginnend mit den kleinsten Teilspielen... Falls ein Teilspiel mehrere Nash-Gleichgewichte hat, so muss Rückwärtsinduktion mit allen Varianten durchgeführt werden. 36 / 59

37 Ein Beispiel: Schoggistengeli-Verhandlungen Zwei Schoggistengeli liegen auf dem Tisch. Spieler : bietet eine Aufteilung Notation: (, 0) heisst: Stengeli für P, 0 Stengeli für P. Spieler : kann ja oder nein sagen in letzterem Fall bekommt niemand etwas. (, 0) (0, ) (, ) j n j n j n (, 0) (0, 0) (, ) (0, 0) (0, ) (0, 0) Dieses Spiel hat zwei teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte. 37 / 59

38 Ein Rezept: -Stufen-Spiele mit perfekter Information Eine beliebte Klasse von Anwendungen hat folgende Spielstruktur (Gibbons Section..A):. Spieler wählt eine Aktion a A.. Player sieht a und wählt dann a A. 3. Payoffs sind u (a, a ) und u (a, a ) P a P a Rückwärtsinduktion liefert die teilspielperfekten Nash-GG wie folgt:. Für bel. a, finde P s beste Antwort B (a ) argmax a A u (a, a ) u (a, a ) u (a, a ). Finde a, welches Folgendes löst: a argmax a A u (a,b (a )) (sofern B (a ) eine Funktion ist). 38 / 59

39 Stackelberg Duopol ( Sequentielles Cournot ) Zwei Firmen mit Grenzkosten c, Nachfrage P(Q) = a Q. Firmen setzen ihre Mengen q i sequentiell:. Firma ( Leader ) wählt q.. Firma ( Follower ) sieht q, wählt dann q. Lösung Für beliebige q setzt Firma q B (q ) = argmax q π (q, q ) = argmax q [P(q + q ) c] q = (a q )/. Diese Reaktion antizipierend setzt Firma q argmax q π (q,b (q )) = argmax q [P(q,B(q )) c] q = (a c)/. F q F q π (q, q ) π (q, q ) Gleichgewichtsmengen: q = (a c)/, B (q ) = (a c)/4. 39 / 59

40 Stackelberg Duopol: Graphische Analyse q a c (a c) 4 (a c) B (q ) (q,b (q )) B (q ) (a c) a c q Firma ( Leader ) wählt nun ihren bevorzugten Punkt auf Firma s bester Antwort B (q ). Der Leader fährt besser als unter Cournot, der Follower schlechter (obwohl er mehr weiss!). 40 / 59

41 Bank Runs Investoren i =, haben je einen Betrag D ( Depot ) bei einer Bank angelegt. Die Bank investiert diese Beträge in ein Langzeitprojekt mit Wert r (D, D) in Periode t = und R > D in t =. Investoren entscheiden sich simultan in t =, ob sie ihr Depot frühzeitig auflösen ( w wie withdraw ) oder nicht ( /w ), und nochmals in t = falls in t = keiner aufgelöst hat. Falls in t = beide auflösen, erhält jeder die Hälfte des momentanen Werts r; falls nur einer auflöst, erhält dieser sein depot D zurück, der andere den Rest r D; falls keiner auflöst, geht das Spiel über in Periode t =. Falls in t = beide oder keiner auflöst, erhält jeder die Hälfte des momentanen Werts R; falls nur einer auflöst, erhält dieser D, der andere R D. 4 / 59

42 Bank Runs Der Spielbaum w /w w /w /w w (r, r) (D, r D) (r D, D) w /w w /w /w w (R, R) (D, R D) (R, R) (R D, D) 4 / 59

43 Bank Runs Das Teilspiel in t = P w /w P w /w R, R R D, D D, R D R, R Im eindeutigen Nash-GG löst keiner auf (zur Erinnerung: R > D, und somit R D > R). Aufzulösen wird sogar strikt dominiert. 43 / 59

44 Bank Runs Das Spiel in t = Wir reduzieren das gesamte Spiel zu einem Spiel mit simultaten Zügen, indem wir den Gleichgewichtsgewinn des Teilspiels an jenem Ast des Spielbaums einsetzen, in welchem in t = keiner auflöst: Nash-GG: (w, w) w /w und ( /w, /w) (zur w r, r D, r D Erinnerung: /w r D, D R, R D < r < D). Es gibt ein Koordinationsproblem in t = : Wenn ich denke, dass der andere auflöst, ist es für mich optimal, das selbe zu tun (ein Bank Run ). Wenn ich denke, dass der andere nicht auflöst, ist es für mich ebenfalls optimal, nicht aufzulösen. 44 / 59

45 Dynamische Verhandlungsspiele ( Bargaining ) Die Situation Einheit Überschuss soll zwischen zwei Spielern aufgeteilt werden: Verkäufer: besitzt das Gut, hat Wertschätzung 0. Käufer: hat Wertschätzung für das Gut. Wenn Handel zu Preis p stattfindet, so hat Verkäufer Nutzen p, Käufer Nutzen p. Die Klassische Vorhersage Preisnehmerschaft & Markträumung: Wir werden auf der Kontraktkurve sein, d.h. Handel wird stattfinden zu irgendeinem p [0, ]. Frage: Können wir eine genauere Vorhersage treffen, indem wir die Verhandlung als Spiel modellieren? 45 / 59

46 Modell : Das Ultimatum-Spiel Seller S macht ein Angebot p [0, ], welches Buyer B annehmen oder ablehnen kann. S p yes B no (p, p) (0, 0) Nash-GG: Beliebige p [0, ] können als Nash-GG gestützt werden, durch Buyer-Strategien der Form { yes iff p p}. Aber: Teilspielperfekt ist nur p =. Teilspielperfekte Strategien für B sind: { yes iff p < } kein Optimum für Seller. { yes iff p } Optimum für Seller: p =. Seller wählt höchstes Angebot, das noch akzeptiert wird. Probleme: Entscheidend ist, wer das Angebot macht. Endet das Spiel wirklich nach einer Ablehnung? 46 / 59

47 Modell : Alternierende Angebote Nun kann B nach einer Ablehnung ein Angebot vorschlagen. p S yes p B S B no B S (p S, p S ) yes (p B, p B ) no (0, 0) Von oben wissen wir: Gleichgewichtspayoffs im Teilspiel in welchem B vorschlägt sind (0, ) (B bekommt den gesamten Überschüss). Das Spiel kann also wie folgt reduziert werden: S p S B yes no (p S, p S ) (0, ) Also: B lehnt jedes Angebot p S > 0 ab, sodass im teilspielperfekten Nash-GG B den gesamten Überschuss bekommt. 47 / 59

48 Modell 3: Alternierende Angebote mit Wartekosten Modell wie oben, aber warten kostet. Dies kann sein, weil Spieler ungeduldig sind (Diskontfaktor δ < ) oder weil der Kuchen physisch schrumpft mit Rate δ. yes (p p S, p yes S p S ) (δp B,δ( p B )) B S B no B S no (0, 0) Gleichgewichtspayoffs im Teilspiel sind nun (0, δ). Das reduzierte Spiel ist: S p S B yes no (p S, p S ) (0,δ) B lehnt nun jedes Angebot p S > δ ab, sodass im Gleichgewicht B einen Anteil δ bekommt (S einen Anteil δ). S kann aufgrund der Wartekosten einen Teil des Überschusses extrahieren. 48 / 59

49 Model 4: Wiederholte Alternierende Angebote Wiederholen wir obiges Spiel N Mal. In jeder Stufe n =,,..., N ohne vorherige Übereinkunft wird folgendes Teilspiel G n gespielt: G n yes δ n p n S δ n ( p n S ) yes δ n p n B δ n ( p n B ) S p n S B no B p n B S no G n+ wobei in der letzten Runde (n = N) G N+ den Endpayoff (0, 0) repräsentiert. 49 / 59

50 G n yes δ n p n S δ n ( p n S ) yes δ n p n B δ n ( p n B ) p n S p n B S B no B S no G n+ Bezeichne u i (G n ) Spieler i s Gleichgewichtspayoff in G n, dem Teilspiel beginnend in Runde n. Dann: GG-Auszahlungen im Teilspiel (des Teilspiels) welches mit Angebot p n B beginnt: S: u S (G n+ ), B: δ n ) u S (G n+ ). (pb n = u S(G n+ )/δ n GG-Auszahlungen im Teilspiel der n-ten Runde (beginnend mit Angebot p n S ): u B (G n ) = δ n u S (G n+ ) u S (G n ) = δ n [δ n u S (G n+ )] = ( δ)δ n + u S (G n+ ) 50 / 59

51 Verwenden wir u S (G n ) = ( δ)δ n + u S (G n+ ) um vorwärts zu Iterieren, so erhalten wir: u S (G ) = ( δ)+u S (G ) = ( δ)+( δ)δ + u S (G 3 ) = = ( δ) [ +δ } + +δ {{ N ] } + us (G N+ ) }{{} =( δ N )/( δ ) =0 = ( δ N ) / (+δ) Im N-Mal wiederholten Alternierenden-Angebots-Spiel sind Gleichgewichts-Payoffs Seller: ( δ N )/(+δ) Buyer: δ(+δ N )/(+δ). Bemerkungen: Im Gleichgewicht findet Handel sofort statt (effizient!). Für N konvergieren Payoffs gegen /(+δ) für Seller und δ/(+δ) für Buyer. 5 / 59

52 Spiele gegen das Selbst : Die Zeitkonsistenz von Präferenzen Sie können an einem der nächsten 3 Samstage ins Kino gehen. Jeden Samstag entscheiden Sie, ob Sie gehen oder warten. Modellieren wir dies als ein Spiel mit zwei verschiedenen Selbst, S, S, von denen jedes entscheidet, ob es am betreffenden Samstag geht oder wartet. S : S : S wait S wait S 3 go go go U (m ) U (m ) U (m ) U (m ) U (m 3 ) U (m 3 ) Die Selbst S, S können verschiedene Präferenzen über Ergebnisse m, m, m 3 haben (m t heisst: Sie gehen in Woche t ins Kino). 5 / 59

53 Genauer: Sei (v, v, v 3 ) = (3, 5, 8) der (Intra-Wochen-)Nutzen des Films in Woche t. Fall : Zeitkonsistente Präferenzen Nehmen wir an ein Periode-t-Selbst gewichtet zukünftigen Nutzen wie heutigen, U t (u t, u t+,...) = u t + u t+ +, wobei u t den Intra-Perioden-Nutzen in Periode t bezeichnet. S wait S wait S 3 go go go S : S : Präferenzen sind zeitkonsistent: S and S haben selbe Präferenzen über Filme in Woche vs. 3. Rückwärtsinduktion liefert gleiches Ergebnis welches S selbst gewählt hätte (warten bis Film 3). 53 /

54 Fall : Zeitinkonsistente Präferenzen & Naive Spieler Nehmen Sie nun an ein Periode-t-Selbst diskontiert zukünftigen Nutzen mit β = /: U t = u t + u t+ + u t+ + S : S : S wait S wait S 3 go go go S, S haben unterschiedliche Präferenzen darüber, den Film in Woche oder 3 zu sehen! Annahme (für den Moment): S denkt (fälschlicherweise) S habe die selben Präferenzen. Was passiert? S wartet auf Film in Woche 3, aber S geht in Woche! 54 / 59

55 Fall 3: Zeitinkonsistente Präferenzen & Clevere Spieler Nehmen Sie nun an jedes Selbst diskontiert zukünftigen Nutzen wie oben, aber Spieler kennen ihr Inkonsistenz-Problem. Was wird S tun? Lösen wir das Spiel per Rückwärtsinduktion: S : S : S wait S wait S 3 go go go S geht in Film obwohl es selbst lieber Film 3 sehen würde. Frage: Was wenn S sich auf Film 3 festlegen könnte (z.b. indem es schon in Woche ein Ticket für Woche 3 besorgt)? 55 / 59

56 Eine Anmerkung zur Zeitkonsistenz von Präferenzen Um obige Probleme der Zeit-Inkonsistenz zu verhindern, wird in der Literatur üblicherweise exponentielles (oder: geometrisches ) Diskontieren angenommen: U t = u t +δu t+ +δ u t+ +δ 3 u t+ + (δ < ), welches die nette Eigenschaft hat, dass sich relative Bewertungen künftiger Intra-Perioden-Nutzen nicht ändern. Die Präferenzen im Beispiel oben gehören zur allgemeineren Klasse des hyperbolischen Diskontierens, für welche gilt: U t = u t +βδu t+ +βδ u t+ +βδ 3 u t+ + (β,δ < ). Anm.: Falls dies Ihr Interesse an Phänomenen geweckt hat, welche zeitinkonsistente Präferenzen hervorrufen können, so schauen Sie zum Beispiel in Rabin (998, AER), aus welchem dieses Beispiel stammt. 56 / 59

57 Grenzen der Teilspielperfektion Betrachten Sie das folgende Spiel: u (00, 00) Gleichgewichts-Prognose aus u (0, 80) Rückwärtsinduktion liefert d u (, 00) (00, 00)-Ergebnis. d Aber: Sind wir da wirklich so d (0, 0) sicher? Falls Spiel zu Knoten kommt, in welchem P zieht wie kann P dann P noch für rational halten (und annehmen, dass letzterer u wählt)? Teilspielperfektion stellt sich Abweichungen als puren Unfall vor, welcher die Rationalitäts-Hypothese nicht tangiert Temporary Insanity. 57 / 59

58 Das Hundertfüssler-Spiel (Rosenthal, 98, JET) c c c c c c c s s s s s s s Was ist das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht? Beachte: Bei jedem Zug präferiert ein Spieler stoppen ( s ) falls der andere Spieler unmittelbar danach stoppt, aber fortfahren ( continue c ) falls der andere Spieler danach fortfährt (egal was danach passiert). 58 / 59

59 Das Chainstore Paradox Geschichte: Eine Firma I ( Incumbent ) ist Monopolist auf K unabhängigen Märkten k =,..., K. Nacheinander sieht sie sich auf jedem Markt einem potentiellen Eindringling E k ( Entrant ) gegenüber, gegen welchen sie folgendes Spiel spielt (vergangene Aktionen können von allen beobachtet werden): Out E k In 0 fight 3 I acc Was ist das teilspielperfekte Nash-Gleichgewicht? Frage: Nehmen Sie an Sie sind potentieller Eindringling #, und Sie haben beobachtet wie Firma I jeden der 0 letzten Eindringlinge bekämpft hat. Wie sollten Sie sich verhalten? 59 / 59