3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information

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1 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information Die Normalform als odell eines nichtkooperativen Spiels ist eine sehr abstrakte eschreibung. Auf den ersten lick lassen sich damit viele interessante Phänomene überhaupt nicht abbilden. So wählen alle Spielerinnen ihre Strategien simultan, eine zeitliche Abfolge von Aktionen verschiedener Spielerinnen, wie sie für viele Gesellschaftsspiele charakteristisch ist man denke an ühle, Dame, Schach oder Go ist also in der Normalform nicht direkt fassbar. Zwar werden wir sehen, dass dies eine naive Sichtweise ist, die nicht völlig zutrifft. Auf alle Fälle scheint die Normalform aber für viele interessante Fragestellungen nicht die adäquate Darstellung eines Spiels zu sein. Auch Zufallszüge die Würfel beim ensch Ärgere Dich Nicht, oder das zufällig verteilte latt und eventuelles weiteres Ziehen von Karten bei vielen Kartenspielen (oder Ziegeln beim chinesischen ah Jongg) werden in der Normalform üblicherweise nicht explizit behandelt. Eine wesentlich detailliertere odellierung der Regeln und des Ablaufs eines Spiels erlaubt die Extensivform [extensive form] eines nichtkooperativen Spiels, die wir in diesem Kapitel präsentieren. Im folgenden Kapitel 4 werden wir dann den Zusammenhang der beiden Darstellungsformen eines nichtkooperativen Spiels noch etwas näher diskutieren. Der Vorteil der Extensivform, dass sie eine deutlich detaillierte eschreibung der konkreten Spielregeln und der möglichen Spielverläufe gibt, ist zugleich ihr Nachteil. Um diese eschreibung zu ermöglichen benötigen wir einen aufwändigeren Formalismus. Das zentrale Konzept darin ist das eines Spielbaums [game tree]. Wir beschränken unsere Darstellung im wesentlichen auf die klassische Form des Spielbaums, die auf Harold W. Kuhn (953) zurückgeht, der das odell von von Neumann (98) und von Neumann und orgenstern (953) verallgemeinert. Dabei gehen wir um das Verständnis zu erleichtern schrittweise vor, d. h., zunächst werden wir nicht alle Elemente einführen, die in einem Spielbaum vorkommen. 3.. Extensivformspiele mit vollkommener Information 83

2 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information Spielbäume In der Definition eines nichtkooperativen Spiels in Normalform (vgl. Definition.) hatten wir neben der Spielerinnenmenge auch die Strategiemengen als vorgegeben angenommen. Daher wird diese Darstellung eines Spiels in der modernen spieltheoretischen Literatur oft auch als strategische Form [strategic form] bezeichnet. In der Extensivform gehen wir von einer detaillierten Auflistung dessen aus, was wer zu welchem Zeitpunkt im Spiel tun kann, und entwickeln daraus die Strategien. Das odell dafür ist ein Spielbaum [game tree]. Ein aum [tree] setzt sich aus Knoten [nodes] und Ästen [branches] zusammen. Dabei gibt es einen Ausgangskonoten [starting node], auch Wurzel [root] genannt. Jeder Ast verbindet einen Knoten mit einem Nachfolger [successor], dabei kann jeder Knoten beliebig aber endlich viele Nachfolger haben. Jedoch haben bis auf den Anfangsknoten alle Knoten genau einen Vorgänger [predecessor]. Die Knoten, von denen kein Ast ausgeht heißen Endknoten [terminal nodes]. Wir beschränken uns auf die etrachtung endlicher Spiele, d. h., wir nehmen an, dass es endlich viele Knoten gibt. Abbildung 3. illustriert, wie ein solcher aum aussieht, wobei wir die Wurzel immer oben einzeichnen und sich den aum nach unten verzweigen lassen. Anfangsknoten Ast Ast Knoten Knoten Ast Ast Ast Ast Ast Endknoten Endknoten Endknoten Endknoten Endknoten Abbildung 3..: Illustration eines aums Alternativ können wir den aum auch beschreiben, indem wir die endliche enge der Knoten K und darauf eine Relation ist Nachfolger von definieren, für die gilt: Es gibt genau einen Knoten K K, den Anfangsknoten, für den gilt {K K K K} =. Für alle K K \ {K } gilt # {K K K K } =, wobei #A die Kardinalität der enge A bezeichnet. Die enge der Endknoten ist K := {K K K K : K K}. Universität des Saarlandes

3 85 Spieltheorie Sommersemester 7 Wir interpretieren jeden Knoten, der kein Endknoten ist, als einen Zeitpunkt, in dem eine Spielerin am Zug ist. Die von diesem Knoten ausgehenden Äste sind die Züge [moves] oder Aktionen [actions], die ihr zu diesem Entscheidungszeitpunkt zur Verfügung stehen. Wir müssen also noch jedem Knoten außer den Endknoten genau eine Spielerin zuordnen. Die Zuordnung der Spielerinnen zu den Knoten erfolgt durch eine Abbildung. Ist also K die enge der Knoten unseres Spielbaums und I = {,,...,n} die enge der Spielerinnen (die wir als endlich voraussetzen), so betrachten wir die Abbildung α : K \ K I. Wir bezeichnen für Spielerin i I die enge aller ihr zugeordneten Knoten mit K i := α (i) = {K K α(k) = i}. In der Zeichnung eines Spielbaums schreiben wir an jeden Knoten, der kein Endknoten ist, die Spielerin, die in diesem Knoten am Zuge ist. Schließlich ordnen wir den Endknoten Vektoren von Auszahlungen der Spielerinnen i I zu. Dies geschieht mittels einer Abbildung π : K R n. Auch in der Extensivform gehen wir davon aus, dass diese Abbildung eine von Neumann orgenstern Nutzenfunktion ist. In der Zeichnung schreiben wir an die Endknoten die Auszahlungen in der Regel als Spaltenvektoren. Zu jedem Endknoten gibt es eine eindeutige Abfolge von Zügen, die durch den Pfad [path] vom Anfangsknoten zum Endknoten festgelegt ist. Dies entspricht einem möglichen Verlauf des Spiels und wird deswegen auch als Partie [play] bezeichnet. Indem den Endknoten Auszahlungen zugeordnet werden, haben wir also alle denkbaren Partien bewertet. Damit haben wir eine vollständige eschreibung von Extensivformspielen mit vollkommener Information [perfect information], was bedeutet, dass jede Spielerin, die am Zug ist, genau weiß, in welchem Knoten sie sich befindet, d. h. welchen Zug die Spielerinnen gemacht haben, die vor ihr am Zug waren. Dies muss nicht immer der Fall sein; es ist auch denkbar, dass sie am Zug ist, aber nicht unterscheiden kann, in welchem Knoten sie sich befindet. Dies führt uns zu Extensivformspielen mit unvollkommener Information [imperfect information]. Deren ehandlung verschieben wir aber auf Abschnitt 3.. Hier betrachten wir zunächst ein eispiel. eispiel 3.. (Sequentieller Geschlechterkampf) etrachten wir eine Geschichte, die gegenüber der Story aus eispiel.4. etwas abgewandelt ist und dem Spiel einen sequentiellen Charakter gibt: Wieder geht es um den esuch einer heatervorstellung oder eines oxkampfes. Franziska muss aber wegen des weiteren Weges eine halbe Stunde früher als anfred losfahren. Sie entscheidet sich für eines der beiden Ziele und spricht anfred, der bis kurz vor Jörg Naeve

4 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 86 seiner Abfahrt in einer Sitzung ist, auf den Anrufbeantworter, wohin sie fährt. Der kann dann entweder auch dorthin fahren oder zur anderen Veranstaltung. Der Spielbaum sieht folgendermaßen aus. Dabei entsprechen die Auszahlungen an den Endknoten denen, die Franziska und anfred jeweils in den entsprechenden Situationen im simultanen Geschlechterkampf erhalten, Franziskas Auszahlung ist immer als erste Komponente des Vektors, anfreds als zweite angegeben. F Abbildung 3..: Sequentieller Geschlechterkampf 3... Strategien und Normalformdarstellungen Wie sehen nun mögliche Strategien in diesem Spiel aus? Für F ist klar, sie kann entweder oder wählen. Ihre enge reiner Strategien ist also S F = {,}. hingegen ist an zwei verschiedenen Knoten am Zug: Er kann oder wählen, nachdem F sich für entschieden hat, und er kann diese Wahl treffen, falls F sich für entschieden hat. Eine Strategie besteht aus einem Plan für alle Gegebenheiten. Anders gesagt, alle Spielerinnen wählen ihre Strategie ex ante oder am Anfangsknoten des Spielbaums, also bevor sie wissen, wie sich eine Partie entwickelt. Schreiben wir die Aktion, die wählt, wenn F den Zug gemacht hat an erster und die Aktion die er andernfalls wählt an zweiter Stelle, so ergeben sich für ihn vier reine Strategien. Seine Strategiemenge ist S = {,,,}. In einem Spiel in Extensivform ergeben sich die Strategien aus den Spielregeln, während wir sie im Normalformspiel als Grundbausteine des odells verwenden. Definition 3. (Strategien im Extensivformspiel mit vollkommener Information) Eine Strategie für Spielerin i I in einem Spiel in extensiver Form mit vollkommener Universität des Saarlandes

5 87 Spieltheorie Sommersemester 7 Information ist eine Abbildung s i : K i K, derart, dass für alle K K i gilt s i (K) K. D.h., für jeden Knoten, in dem sie am Zuge ist, wählt i genau einen der Nachfolger dieses Knotens im Spielbaum aus. Jede Strategiekombination s = (s,s,...,s n ) legt einen Pfad im Spielbaum, also eine Partie fest. Damit ist auch klar, zu welchen Auszahlungen sie führt. ithin können wir jedem Spiel in extensiver Form eines in Normalform oder strategischer Form zuordnen. Für unser eispiel ist die Darstellung in Normalform die folgende.,,,,,,,, Abbildung 3.3.: Normalformdarstellung des sequentiellen Geschlechterkampfes So wie wir die Strategiemengen definiert haben, kann es passieren, dass darunter äquivalente Strategien sind, d. h. Strategien, die für alle möglichen Strategiekombinationen der anderen Spielerinnen jeweils die selbe Auszahlung liefern. Da dies ein unnötiges Aufblähen des Strategieraumes ist, ersetzen wir alle äquivalenten Strategien durch eine Vertreterin. In der Auszahlungsmatrix eines Personen Normalformspiels bedeutet das, von mehreren identischen Zeilen bzw. Spalten alle bis auf eine zu streichen. Das Ergebnis nennt man die reduzierte Normalform [reduced normal form]. eispiel 3.. etrachte folgendes Spiel in Extensivform (vgl. Fudenberg und irole (996, Figure 3.9)). Die Strategiemengen sind S = {ace,acf,ade,adf,bce,bcf,bde,bdf} und S = {Ll,Lr,Rl,Rr}; dabei sind offenbar alle Strategien, bei denen b an erster Stelle steht äquivalent, da das Spiel nach dem Zug b beendet ist und Spielerin gar nicht mehr zum Zuge kommt. Die Normalform und die reduzierte Normalform sind Einen alternativen Ansatz, nämlich die sogenannte Agentennormalform [agent normal form], wollen wir hier nur kurz erwähnen. Die Idee ist, für jeden Knoten eine künstliche Spielerin einzuführen, deren Strategiemenge den in diesem Knoten möglichen Zügen entspricht. Diese künstliche Spielerin handelt als Agentin der tatsächlichen Spielerin, die am entsprechenden Knoten am Zuge ist; daher entsprechen die Auszahlungen aller Agentinnen einer Spielerin denen dieser Spielerin. Jörg Naeve

6 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 88 a b L R l r ( 5 6) ( 6 5) c d e f ( ) ( ) ( 3 4) ( 4 3) Abbildung 3.4.: ace acf ade adf bce bcf bde bdf Ll,,,, 5, 6 5, 6 5, 6 5, 6 Lr,,,, 6, 5 6, 5 6, 5 6, 5 Rl 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 5, 6 5, 6 5, 6 5, 6 Rr 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 6, 5 6, 5 6, 5 6, 5 ace acf ade adf b Ll,,,, 5, 6 Lr,,,, 6, 5 Rl 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 5, 6 Rr 3, 4 4, 3 3, 4 4, 3 6, 5 Abbildung 3.5.: Normalform und reduzierte Normalform Wenn wir die enge der reinen Strategien kennen, die in einem endlichen Spiel in extensiver Form (endlich viele Spielerinnen, Knoten und Züge) ebenfalls endlich sind, können wir genau wie in einem Spiel in Normalform auch gemischte Strategien als Wahrscheinlichkeitsverteilungen über der enge der reinen Strategien definieren. In Extensivformspielen kann man zudem noch sogenannte Verhaltensstrategien [behavioral strategies] betrachten, die für jeden Knoten eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die verfügbaren Züge spezifizieren. Für unsere Zwecke reicht es aus, die enge der Verhaltensstrategien zu betrachten, was die Analyse erheblich erleichtern und im Kontext endlicher Extensivformspiele mit vollkommener Information in folgendem Sinne äquivalent zur etrachtung gemischter Strategien ist. Jede gemischte Strategie induziert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Endknoten (oder die Partien) des Spiels, die jedem Endknoten die Summe der Wahrscheinlichkeiten zuordnet, die die gemischte Strategiekombination auf diejenigen Kombinationen reiner Strategien legt, die zu diesem Endknoten führen. Wir erhalten die (erwartete) Auszahlung einer solchen Strategie als Erwartungswert der Auszahlung am den End- Wir werden im Abschnitt 3. darauf eingehen, unter welchen edingungen dies allgemein gilt. Universität des Saarlandes

7 89 Spieltheorie Sommersemester 7 knoten gemäß dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung. Auch jede Verhaltensstrategie induziert eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Endknoten. Diese erhalten wir, indem wir für jeden Endknoten die von den Verhaltensstrategien festgelegten Wahrscheinlichkeiten aller Aktionen multiplizieren die auf dem Pfad zu diesem Endknoten liegen. Die Äquivalenz zwischen gemischten und Verhaltensstrategien liegt darin, dass zu jeder durch eine Kombination gemischter Strategien erzeugten Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Endknoten eine Kombination von Verhaltensstrategien existiert, die genau die selbe Verteilung induziert und umgekehrt. Wir illustrieren dies an einem eispiel. eispiel 3..3 (Kombination gemischter Strategien und äquivalente Verhaltensstrategiekombination) etrachten wir wieder den sequentiellen Geschlechterkampf. Die gemischte Strategie σ F von F sei gegeben durch σ F () = und σ F () = und s gemischte Strategie σ durch σ () =, σ () =, σ () = 4, und σ () = 4. Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeiten für die vier Endknoten (von links nach rechts:,, und ). Zum Knoten führen die Kombinationen reiner Strategien (,) und (,), deren Wahrscheinlichkeiten und betragen, die Wahrscheinlichkeit bei den gegebenen gemischten Strategien in diesem Endknoten zu landen beträgt also. Für den Endknoten summieren wir die Wahrscheinlichkeiten von jeweils für die Strategiekombinationen (,) und (,) und erhalten ebenfalls 4 eine Wahrscheinlichkeit von. Die Wahrscheinlichkeit für die beiden anderen Endknoten ist jeweils null. Die (erwarteten) Auszahlungen bei dieser Kombination gemischter Strategien betragen daher π (σ F,σ ) = + ( ) = Nash Gleichgewichte Wenn wir nun nach Nash Gleichgewichten eines nichtkooperativen Spiels in extensiver Form suchen, können wir dies in der zugehörigen Normalform (oder der reduzierten Normalform tun, wobei wir uns zunächst auf Nash Gleichgewichte in reinen Strategien beschränken. Für unser eispiel des sequentiellen Geschlechterkampfes finden wir drei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien, nämlich (,), (,) und,: Jörg Naeve

8 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 9,,,,,,,, Abbildung 3.6.: Nash Gleichgewichte im sequentiellen Geschlechterkampf Natürlich können wir auch direkt in der Extensivform erkennen, ob eine Strategiekombination ein Nash Gleichgewicht ist oder nicht. Allerdings ist es etwas mühsamer, auf diesem Wege alle Nash Gleichgewicht in reinen Strategien zu ermitteln. Wir beginnen damit eine Strategiekombination zu betrachten, die Kein Nash Gleichgewicht ist. Wir zeichnen dazu die Strategien der einzelnen Spielerinnen als Pfeile in den Spielbaum ein. Es ergibt sich ein Pfad und damit ein zugehöriger Vektor von Auszahlungen. Einseitiges Abweichen einer Spielerin bedeutet, dass sie in allen Knoten, in denen sie am Zug ist, einen anderen Zug wählen kann, während sämtliche Züge aller übrigen Spielerinnen unverändert bleiben. F Abbildung 3.7.: Verbesserung durch einseitiges Abweichen in der Extensivform Im eispiel betrachten wir die Strategiekombination (, ) mit einem Auszahlungsvektor (, ), in der beide Spielerinnen die öglichkeit haben, sich durch einseitiges Abweichen zu verbessern. Spielerin F könnte statt wählen, was zur Strategiekombination (, ) und dem Auszahlungsvektor (, ) führen würde, sie würde sich dadurch von auf verbessern; könnte auf abweichen und einen Auszahlungsvektor von (, ) erreichen, auch er könnte sich dadurch von auf verbessern. Den selben Effekt hätte ein Abweichen auf die Strategie. ei den drei Nash Gleichgewichten kann man alle denkbaren Abweichungen durchspielen, um zu sehen, dass keine Spielerin eine Verbesserung erreichen kann. etrachten wir die beiden ersten dieser Nash Gleichgewichte, (,) und (,) etwas genauer, so erkennen wir, dass sie weniger plausibel erscheinen als das dritte (, ). Dies liegt daran, dass die Strategie von in beiden Fällen für den Knoten, der nicht auf dem jeweiligen Gleichgewichtspfad, also der Abfolge von Zügen, die sich aus den Universität des Saarlandes

9 9 Spieltheorie Sommersemester 7 F F F ( ) ( ) ( ) ( ) Abbildung 3.8.: Nash Gleichgewichte des sequentiellen Geschlechterkampfes in der Extensivform Gleichgewichtsstrategien ergibt, liegt, ein Verhalten festlegt, dass für im Falle, der Knoten würde tatsächlich erreicht, nicht rational wäre. an spricht von unglaubwürdigen Drohungen [incredible threats] oder leeren Drohungen. Was damit gemeint ist, erkennt man besonders gut am ersten Nash Gleichgewicht, (,). F würde natürlich am liebsten wählen, in der Hoffnung, werde dann ebenfalls spielen und F würde eine Auszahlung von erhalten. droht aber damit, auf mit zu antworten, so dass es für F günstiger ist, zu wählen und wenigstens eine Auszahlung von zu erhalten. Würde F aber ungeachtet der Drohung doch wählen, wäre es für besser statt die Drohung auszuführen und zu spielen, was ihm eine Auszahlung von einbrächte, lieber entgegen seiner Ankündigung zu wählen und eine Auszahlung von zu erhalten. Ist F von der Rationalität von überzeugt, sollte sie seiner Drohung also keinen Glauben schenken. Im zweiten Gleichgewicht wäre als Antwort auf ebenfalls unglaubwürdig; dies als Drohung zu bezeichnen ist allerdings nicht ganz so überzeugend, wenn man bedenkt, dass durch die Ankündigung dieses Zuges ja ein Gleichgewicht stützt, dass zu dem von F favorisierten Ausgang des Spiels führt. Insofern hätte F keinen Anreiz s luff dadurch aufzudecken, dass sie spielt. Entscheidend ist aber der Gedanke, dass eine Strategie keine Züge enthalten sollte, die am jeweiligen Knoten eindeutig schlechter sind, als andere dort verfügbare Züge. Das dritte Nash Gleichgewicht enthält keine unglaubwürdigen Drohungen. Es ist das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht [subgame perfect Nash equilibrium] (PNG) Jörg Naeve

10 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 9 des Spiels (eine allgemeine Definition, aus der auch die ezeichnung klar wird folgt im Abschnitt 3.). Das Konzept des teilspielperfekten Gleichgewichts ist eine wichtige Verfeinerung des Nash Gleichgewichts für nichtkooperative Spiele in extensiver Form. Die Anforderung, die hinter dem Konzept steht ist eine Form von sequentiell rationalem Verhalten [sequentially rational behavior] Rückwärtsinduktion Der folgende Algorithmus, der auf Kuhn (953) zurückgeht erlaubt nicht nur, die teilspielperfekten Nash Gleichgewichte eines endlichen nichtkooperativen Spiels in extensiver Form mit vollkommener Information zu finden, sondern liefert gleichzeitig einen eweis der Existenz teilspielperfekter Nash Gleichgewichte für diese Klasse von Spielen. Gelegentlich wird das Vorgehen als Kuhns Algorithmus bezeichnet, üblicher ist aber die ezeichnung Rückwärtsinduktion. Die Idee ist, das Spiel vom Ende her aufzurollen, d. h. sich von den Endknoten her schrittweise bis zum Anfangsknoten vor zu arbeiten und dabei für jeden Knoten einen Zug festzulegen. Am Ende ergibt sich dann eine Strategiekombination, die ein teilspielperfektes Gleichgewicht bildet. Formal definieren wir die Rückwärtsinduktion wie folgt. Definition 3. (Rückwärtsinduktion (bei vollkommener Information)) Gegeben sei ein nichtkooperatives Spiel in extensiver Form G. Wir definieren rekursiv eine Abfolge von Spielen, indem wir jeweils die Knoten vor den Endknoten betrachten, in ihnen einen Zug festlegen und sie zu Endknoten des nächsten Spiels mit den sich aus diesem Zug ergebenden Auszahlungen machen.. Setze G = G.. Solange G t nicht lediglich aus einem Endknoten besteht, betrachte alle Knoten K K t für die gilt K K K K t. 3. Für alle solchen Knoten K, fixiere für die Spielerin i, die im Knoten K am Zuge ist eine Aktion derart, dass ihre Auszahlung im durch diese Aktion erreichten Endknoten maximal ist. 4. Streiche alle Endknoten, die Nachfolger von K sind. K wird zum Endknoten des nächsten Spiels G t+, dem als Auszahlungen diejenigen des ursprünglichen Endknotens zugeordnet werden, zu dem die in Schritt 3 fixierte Aktion der Spielerin i führt. 5. eginne mit dem entstandenen Spiel G t+ erneut bei Schritt. Universität des Saarlandes

11 93 Spieltheorie Sommersemester 7 Da das Spiel G endlich ist, ist der Algorithmus nach endlich vielen Schritten beendet. Er liefert für jeden Entscheidungsknoten (jeden Knoten in K \ K) eine Aktion, d. h. eine Strategie für alle Spielerinnen i I. Satz 3.3 (Existenz von PNGen in Spielen mit vollkommener Information) Durch Rückwärtsinduktion findet man in jedem nichtkooperativen Spiel mit vollkommener Information ein teilspielperfektes Gleichgewicht in reinen Strategien. Gibt es keine Spielerin für die ihre Auszahlungen an zwei verschiedenen Endknoten des Spiels übereinstimmen, ist das teilspielperfekte Gleichgewicht eindeutig. Wir machen uns das Vorgehen an folgendem eispiel klar. eispiel 3..4 (arkteintritt) Es gibt zwei Unternehmen, Firma und Firma. Firma überlegt sich, in einem arkt einzutreten, in dem Firma als onopolistin aktiv ist. Die Entscheidung einzutreten bezeichnen wir mit E, die Entscheidung, dies nicht zu tun mit N. ritt Firma in den arkt ein, wählt sie also E, kann Firma auf zwei verschiedene Weisen reagieren: Sie kann den Eintritt zulassen, was wir mit Z bezeichnen und einen eil des arktes abtreten. oder sie kann einen Preiskrieg vom Zaun brechen, um Firma zu bekämpfen, was wir mit K bezeichnen. Wählt Firma die Aktion N, tritt sie also nicht in den arkt ein, bleibt Firma weiterhin onopolistin. Die resultierenden Gewinne seien im Falle des Nichteintritts (, ), bei einem Preiskrieg nach Eintritt ( 3, ) und bei einem zugelassenen Eintritt (, ). Abbildung 3.9 zeigt Extensivform und Normalform des arkteintrittsspiels. Wir entnehmen der Normalform, dass das Spiel zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien hat, nämlich (N,K) und (E,Z). Durch Rückwärtsinduktion können wir herausfinden, welches der beiden Nash Gleichgewichte teilspielperfekt ist. Dazu sind in diesem Falle nur zwei Durchläufe nötig, wie Abbildung 3. zeigt. Das einzige PNG des arkteintrittsspiels ist also die Strategiekombination (E, Z). Das andere Nash Gleichgewicht enthält die leere Drohung der Firma nach einem Eintritt Jörg Naeve

12 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 94 Firma E N Firma K Z K Z N,, E 3,, 3 Abbildung 3.9.: Extensiv- und Normalform des arkteintrittspiels zu kämpfen, obwohl ihr dies eine geringere Auszahlung bringen würde, als auf einen Eintritt friedlich zu reagieren. Das Konzept der Rückwärtsinduktion ist zwar zunächst sehr überzeugend, bleibt aber dennoch nicht ohne Kritik. Wohl das bekannteste eispiel, an dem diese Kritik festgemacht wird ist das sogenannte Hundertfüßerspiel [centipede game], das von Rosenthal (98) stammt. eispiel 3..5 (Das Hundertfüßler Spiel) Das Spiel ist ein Extensivformspiel mit vollkommener Information. die Story ist die folgende. Es gibt zwei Spielerinnen, und. Jede Spielerin erhält zu eginn des Spiels einen Euro. In jeder Runde kann eine Spielerin entscheiden, ob sie Stop (S) oder Weiter (W) sagt. Wenn eine Spielerin Weiter sagt, nimmt der Schiedsrichter Euro von ihrem Geld und legt Euro zu dem Geld der anderen Spielerin. Sobald eine der Spielerinnen Stop sagt, ist das Spiel aus und beide Spielerinnen bekommen das vor ihnen liegende Geld. Das Spiel ist ebenfalls beendet, wenn beide Spielerinnen je Euro vor sich liegen haben, die sie dann behalten können. Spielerin beginnt. Abbildung 3. zeigt die Extensivform des Spiels. Die Rückwärtsinduktion liefert für dieses Spiel ein eindeutiges Ergebnis, nämlich dass beide Spielerinnen an allen Knoten S wählen. Der resultierende Pfad ist der vom ersten Knoten nach unten, der zu einem sofortigen Ende des Spiels und Auszahlungen von Euro für beide Spielerinnen führt. Von hinten rollt sich das Spiel schritt für Schritt auf: Im letzten Knoten wird Spielerin Stop sagen, weil sie dadurch Euro erhält, während sie bei Weiter lediglich Euro erhielte. Die im deutschen gebräuchlichere ezeichnung wäre ausendfüßler, die gegenüber der englischen etwas übertreibt, wenn auch weniger schlimm als die auf das griechische zurückgehende Gattungsbezeichnung yriopoden, die wörtlich als Zehntausendfüßler zu übersetzen wäre (Hundertfüßler bezeichnet im deutschen eine bestimmte Unterart). atsächlich können diese iere bis zu einpaare haben. Das Spiel hat aber wie wir sehen werden tatsächlich exakt einpaare, so dass die englische ezeichnung besser passt. Universität des Saarlandes

13 95 Spieltheorie Sommersemester 7 Firma K 3 E E ( ) Z Firma Firma N ( ) N Erster Durchgang der Rückwärtsinduktion: Im ursprünglichen Spiel folgen lediglich auf den Entscheidungsknoten der Firma nur Endknoten. Ihre optimale Entscheidung dort ist Z mit einer Auszahlung von. Wir fixieren ihre Aktion Z und ersetzen ihren Entscheidungsknoten durch einen Endknoten mit Auszahlungen (, ). Zweiter Durchgang der Rückwärtsinduktion: Im reduzierten Spiel hat nur Firma eine Entscheidung zu treffen. Ihre optimale Entscheidung ist E mit einer Auszahlung von. Wir ersetzen diesen Knoten durch einen Endknoten mit Auszahlungen (, ). und beenden die Rückwärtsinduktion. Abbildung 3..: Rückwärtsinduktion im arkteintrittsspiel ( ) ( 97 ) ( ) 98 Abbildung 3..: Extensivform des Hundertfüßerspiels In vorletzten Runde antizipiert Spielerin, dass Spielerin in der letzten Runde Stop sagen wird. Sie bekommt demnach 98 Euro, wenn sie W wählt, aber 99 Euro, wenn sie Stop sagt. Also wählt Spielerin in der vorletzten Runde S. In der drittletzten Runde antizipiert Spielerin, dass Spielerin in der vorletzten Runde Stop sagen wird, weil sie das Verhalten von Spielerin in der letzten Runde antizipiert.... In der t-ten Runde antizipiert die Spielerin, die am Zug ist, dass ihre Gegenspielerin in Runde t + Stop sagen wird. Die Auszahlung der Spielerin bei der Aktion Stop ist um einen Euro höher als seine Auszahlung bei der Aktion Weiter (gefolgt von einem Stop in der folgenden Runde). Also sagt die Spielerin in Runde t Stop. Jörg Naeve

14 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 96 Diese Argumentation greift auch in der ersten Runde: Spielerin antizipiert, dass Spielerin in der zweiten Runde Stop sagen wird. Sie sagt deshalb sofort Stop und beide Spielerinnen erhalten die Auszahlung. Das einzige teilspielperfekte Nash Gleichgewicht des Hundertfüßlerspiels ist also die Strategiekombination, in der beide Spielerinnen an jedem Knoten Stop sagen. Der zugehörige Auszahlungsvektor (, ) ist aber durch fast alle anderen möglichen Auszahlungsvektoren des Spiels Pareto dominiert. Hier liegt also eine ähnliche Situation wie im Gefangenendilemma vor: Wir erhalten ein eindeutiges Ergebnis unserer Analyse eines nichtkooperativen Spiels, das allerdings aus einer anderen Perspektive wenig überzeugend erscheint. In unserer eschreibung der Rückwärtsinduktion ist bereits angeklungen, dass sich auch hinter der Rückwärtsinduktion wieder die Common knowledge der Rationalität verbirgt. Wenn Spielerin in der vorletzten Runde antizipiert, dass Spielerin in der letzten Runde S wählt, so tut sie dies, weil sie weiß, dass Spielerin rational ist und daher in der letzten Runde die Aktion wählen wird, die ihre Auszahlung maximiert. Damit Spielerin in der vorvorletzten Runde antizipieren kann, dass Spielerin in der vorletzten Runde S wählt, muss sie wissen, dass rational ist und ihrerseits weiß, dass rational ist, etc. Verschiedene Experimente und die Erkenntnisse der Psychologie deuten allerdings darauf hin, dass enschen in realen Spielsituationen nur eine begrenzte Zahl von Iterationen dieser Art durchführen, also kognitive Ketten der Art ich weiß, dass Du weißt, dass ich weiß... nach einer bestimmten Zahl von Schritten abbrechen Zufallszüge islang haben wir in der Extensivform keine Zufallszüge sondern nur Aktionen der Spielerinnen betrachtet. Es ist aber unproblematisch, zuzulassen, dass an einigen Knoten keine Spielerin die Entscheidung über die möglichen Züge trifft sondern dies per Zufall geschieht. Dazu wird die Natur als zusätzliche Spielerin eingeführt, die erweiterte Spielerinnenmenge ist dann I = {,,,...,n}. Für jeden Knoten K K, an dem die Natur am Zug ist, müssen wir zusätzlich noch spezifizieren, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Äste, die von K ausgehen gespielt werden. Wir legen also eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der enge der Nachfolger von K fest. In einem Spiel mit Zufallszügen legt eine Strategiekombination nicht mehr unbedingt einen eindeutigen Pfad fest, sondern möglicherweise nur noch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über verschiedene Pfade. Dementsprechend wird jeder Strategiekombination die erwartete Auszahlung gemäß dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung zugeordnet. Alle Resultate bleiben mit dieser Anpassung gültig. Für die Rückwärtsinduktion müssen wir jetzt allerdings in jedem Schritt alle Entscheidungsknoten betrachten, auf die nur noch Endknoten oder Knoten, an denen die Natur am Zuge ist, folgen. Dann fixieren wir eine Aktion, die die maximale erwartete Auszahlung erzielt und machen den Entscheidungsknoten zu einem Endknoten dessen Auszahlungsvektor sich als Erwartungswert der Auszahlungsvektoren ergibt, die bei Wahl dieser Aktion erreicht werden können. Universität des Saarlandes

15 97 Spieltheorie Sommersemester 7 Alternativ können wir das auch in zwei Zwischenschritten erreichen, indem wir zunächst Knoten mit Zufallsentscheidungen, auf die nur noch Endknoten folgen zu einem Endknoten mit dem entsprechenden erwarteten Auszahlungsvektor ersetzen und dann im zweiten Zwischenschritt den Entscheidungsknoten der Spielerin, auf den nun nur noch Endknoten folgen durch die Auszahlung des Zuges, den wir aufgrund einer maximalen Auszahlung für sie fixieren. 3.. Extensivformspiele mit unvollkommener Information islang hatten wir angenommen, dass eine Spielerin, die am Zug ist, genau weiß, in welchem knoten sie sich befindet, also alle vorausgegangenen Züge kennt. Diese Annahme wollen wir jetzt aufgeben. Wir betrachten nun Spiele mit unvollkommener Information [imperfect information], in denen Situationen vorkommen, in denen eine Spielerin, die am Zuge ist nicht alle vorangegangenen Züge anderer Spielerinnen kennt. es ist wichtig, Spiele mit unvollkommener Information von solchen mit unvollständiger Information [incomplete information] zu unterscheiden, in denen nicht alle Daten des Spiels allen Spielerinnen bekannt sind. Derartige Spiele werden wir im Kapitel 5 behandeln. Hier gehen wir nach wie vor von Common knowledge der Daten des Spiels aus. eispiel 3..6 (Sequentieller Geschlechterkampf mit unvollkommener Information) Wir variieren unser eispiel des Geschlechterkampfes noch einmal. Angenommen, alles läuft wie in eispiel 3... Allerdings stellt anfred, als er aus der Sitzung kommt fest, dass jemand den Anrufbeantworter gelöscht hat. Zwar weiß er nun, dass Franziska bereits unterwegs ist und er sich nun zwischen heater und oxkampf entscheiden muss, aber er weiß nicht, wohin Franziska unterwegs ist. Er kann also die beiden Knoten, in denen er am Zuge ist nicht unterscheiden. Wir sagen, sie liegen in der selben Informationsmenge [information set]. Im Spielbaum stellen wir unvollkommene Information durch eine gestrichelte Linie zwischen den Knoten innerhalb einer Informationsmenge dar. Abbildung 3. zeigt den Spielbaum für den sequentiellen Geschlechterkampf mit unvollkommener Information. Die Strategien für F sind nach wie vor S F = {,}, nun hat aber auch nur noch die Strategiemenge S = {,}, da er seine Entscheidung ja nicht mehr in Abhängigkeit von der von F treffen kann. Die zugehörige Normalform ist exakt dieselbe wie im original Geschlechterkampf mit simultaner Wahl der Strategien und. Dies entspricht auch der Intuition: Es kommt nicht darauf an, ob simultan oder sequentiell gezogen wird, sondern vielmehr darauf ob eine Spielerin ihre Entscheidung im Wissen um die der anderen treffen kann oder nicht. Solange keine Zufallszüge im Spiel sind, legt jede Strategiekombination auch bei unvollkommener Information einen Pfad fest. Die beiden Nash Gleichgewicht in reinen Strategien des Geschlechterkampfes (,) und (,) können wir im Spielbaum erkennen, wenn wir uns klar machen, dass für zu jeder Strategie zwei Äste gehören, nämlich der jeweilige Ast an jedem der beiden Knoten in seiner Informationsmenge. Wir tun dies Jörg Naeve

16 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 98 F Abbildung 3..: Sequentieller Geschlechterkampf mit unvollkommener Information in Abbildung 3.3. F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Abbildung 3.3.: Sequentieller Geschlechterkampf mit unvollkommener Information: Nash Gleichgewichte in reinen Strategien eispiel 3..7 (Sequentielles atching Pennies ) Auch für atching Pennies können wir uns eine sequentielle Version vorstellen: Spielerin beginnt, indem sie K oder Z wählt, dann ist Spielerin an der Reihe, und kann ihrerseits K oder Z wählen. Die Extensivform bei vollkommener Information ist in Abbildung 3.4 dargestellt. an sieht durch Rückwärtsinduktion, dass es zwei auszahlungsäquivalente teilspielperfekte Nash Gleichgewichte gibt, nämlich (K,KZ) und (Z,KZ), die beide zu einer Auszahlung von für Spielerin und zu einer Auszahlung von für Spielerin führen. Anders als im sequentiellen Geschlechterkampf, ist es also in diesem Spiel nachteilig, als erste an der Reihe zu sein. etrachten wir nun den selben Spielbaum, aber mit unvollkommener Information, der in Abbildung 3.5 dargestellt ist. Die Normalform entspricht wieder der Version von atching Pennies, die wir bereits in eispiel.4.5 kennen gelernt haben. Wie wir wissen, hat dieses Spiel kein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien. Wenn wir unvollkommene Information zulassen, gilt also Universität des Saarlandes

17 99 Spieltheorie Sommersemester 7 K Z K Z K Z Abbildung 3.4.: Sequentielles atching Pennies K Z K Z K Z Abbildung 3.5.: Sequentielles atching Pennies Satz 3.3 nicht mehr. Wir müssen auch gemischte Strategien bzw. Verhaltensstrategien betrachten Informationsmengen und perfekte Erinnerung Wenn wir eine allgemeine eschreibung von Spielen in extensiver Form mit unvollkommener Information geben wollen, müssen wir festlegen, wie Informationsmengen aussehen dürfen. Zunächst ist offensichtlich, dass wir mit der Analyse nicht weiter kämen, wenn in einer Informationsmenge Knoten liegen dürften, die verschiedenen Spielerinnen zugeordnet sind; dann wäre nicht klar, wer zu entscheiden hat. Zudem würden wir uns in Widersprüche verwickeln, wenn an verschiedenen Knoten einer Informationsmenge unterschiedliche Aktionen möglich wären, dann könnte die Spielerin aus der atsache, welche Aktionen ihr zur Verfügung stehen auf den Knoten zurück schließen, in dem sie sich befindet, eine Informationsmenge soll aber gerade Knoten enthalten, die sie nicht unterscheiden kann. Jörg Naeve

18 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information Zusätzliche Einschränkungen ergeben sich aus der wichtigen Idee der perfekten Erinnerung [perfect recall], die Kuhn (953) eingeführt hat. Wir werden grundsätzlich nur Spiele mir perfekter Erinnerung betrachten, in denen drei Punkte gelten (vgl. Ritzberger (, Abschnitt 3.4)):. Eine Spielerin vergisst niemals eine eigene Aktion.. Eine Spielerin vergisst niemals, was sie einmal weiß. 3. Die zeitliche Reihenfolge im Spielablauf ist unzweideutig klar. In Abbildung 3.6 sind eispiele dafür dargestellt, wie eine Informationsmenge nicht aussehen darf. a b a b 3 c d c d c d c d e a b a b c d c d c d c d g f g f a b c d c d Abbildung 3.6.: Ausgeschlossene Informationsmengen Der Anfangsknoten ist stets eine einelementige Informationsmenge. Auch für die Knoten, an denen die Natur einen Zufallszug ausführt nehmen wir üblicherweise an, dass sie eine einelementige Informationsmenge bilden. Universität des Saarlandes

19 Spieltheorie Sommersemester 7 Die Strategien der Spielerinnen in einem Extensivformspiel mit unvollkommener Information sind nicht mehr Abbildungen von Entscheidungsknoten in Strategien, sondern von Informationsmengen in dort verfügbare Züge bzw. Aktionen; eine Spielerin muss ja an jedem Knoten einer Informationsmenge stets die selbe Strategie wählen. Die oben beschriebenen Anforderungen an zulässige Informationsmengen stellen sicher, dass die Strategien wohldefiniert sind. Gemischte Strategien sind wie üblich Wahrscheinlichkeitsverteilungen über die reinen Strategien. Intuitiv einleuchtender sind Verhaltensstrategien, die für jede Informationsmenge, in der eine Spielerin eine Entscheidung zu treffen hat, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die dort verfügbaren Aktionen festlegen. Sie beschreiben also, wie die Spielerin sich in jeder Informationsmenge verhalten wird, wenn diese erreicht wird, wobei die Spielerin zwischen verschiedenen Aktionen würfeln kann. Für Spiele in Extensivform mit perfekter Erinnerung können wir uns darauf beschränken, Verhaltensstrategien zu betrachten. Der folgende Satz (Kuhn, 953) stellt sicher, dass damit keine wirkliche Einschränkung gegenüber gemischten Strategien verbunden ist. Satz 3.4 In einem nichtkooperativen Spiel in extensiver Form mit perfekter Erinnerung sind gemischte Strategien und Verhaltensstrategien äquivalent in folgendem Sinne: Für jede Wahrscheinlichkeitsverteilung über die möglichen Pfade (respektive Endknoten) des Spiels, die durch eine Kombination gemischter Strategien induziert wird, gibt es eine Kombination von Verhaltensstrategien, die eben diese Verteilung induziert und vice versa. Die Annahme der perfekten Erinnerung präzisiert einen eil dessen, was wir unter rationalem Verhalten in Extensivformspielen verstehen. Spiele, in denen diese Annahme verletzt ist, werfen tiefgreifende konzeptionelle Fragen auf (vgl. etwa Aumann, Hart, und Perry (996) und Piccione und Rubinstein (997b,a)). Wir hatten bereits am eispiel des sequentiellen atching Pennies mit unvollkommener Information gesehen, dass nicht jedes Extensivformspiel mit unvollkommener Information ein Nash Gleichgewicht in reinen Strategien besitzt. Lassen wir Verhaltensstrategien zu, bekommen wir aber wiederum einen Existenzsatz. Satz 3.5 Jedes nichtkooperative Spiel in extensiver Form besitzt ein Nash Gleichgewicht eilspielperfekte Nash Gleichgewicht Die ethode der Rückwärtsinduktion kann nicht direkt auf Extensivformspiele mit unvollkommener Information angewendet werden, da in einer mehrelementigen Informationsmenge nicht klar ist, welche der möglichen Aktionen die maximale Auszahlung liefert (das hängt in der Regel davon ab, in welchem Knoten der Informationsmenge sich die Spielerin befindet, aber genau das weiß sie nicht). Die ethode lässt sich aber auf Spiele in Extensivform mit unvollkommener Information erweitern. Jörg Naeve

20 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information Dazu müssen wir zunächst definieren, was ein eilspiel [subgame] ist. Die Idee ist einfach: Wir betrachten das gesamte Spiel und überlegen, an welchen Knoten ein in sich abgeschlossenes Spiel beginnt, das eilspiel. Ein eilspiel kann nur in einer einelementigen Informationsmenge beginnen und muss alle Informationsmengen, die diesem Knoten folgen, vollständig enthalten. Es dürfen also keine Informationsmengen zerstört werden. In einem nichtkooperativen Extensivformspiel mit vollkommener Information beginnt an jedem Entscheidungsknoten (also allen Knoten, die kein Endknoten sind) ein eilspiel. ei Spielen mit unvollkommener Information trifft dies nicht zu, auch sie haben aber mindestens ein eilspiel, nämlich das Spiel selbst. Der sequentielle Geschlechterkampf mit unvollkommener Information (siehe Abbildung 3.) und die sequentielle Version von atching Pennies mit unvollkommener Information (siehe Abbildung 3.5) sind eispiele für Spiele, deren einziges eilspiel das gesamte Spiel ist. In beiden Fällen gibt es nur eine einelementige Informationsmenge, nämlich den Anfangsknoten. eispiel 3..8 etrachten wir eine Erweiterung des arkteintrittsspiels, die darin besteht, dass bevor Firma ihre Entscheidung über den arkteintritt trifft ihre Hausbank, die wir als Firma 3 bezeichnen, entscheidet, ob sie ihr für den Fall des Eintritts zu günstigen Konditionen Risikokapital zur Verfügung stellt (Strategie R) oder dies ablehnt (A). Firma, die onopolistin, weiß nicht, welche Entscheidung die ank getroffen hat, wenn sie gegebenenfalls auf den arkteintritt der Firma reagiert. Die Extensivform dieses Spiel ist in Abbildung 3.7 dargestellt. 3 R A N E E N K Z K Z Abbildung 3.7.: arkteintrittspiel mit ank Das einzige eilspiel in diesem Spiel ist das gesamte Spiel. In den beiden einelementigen Informationsmengen der Firma beginnt deswegen kein eilspiel, weil der dort begin- Universität des Saarlandes

21 3 Spieltheorie Sommersemester 7 nende aum jeweils nur einen der beiden Entscheidungsknoten in der Informationsmenge der Firma enthält. In einem beliebigen Spiel in Extensivform erhält man alle eilspiele, indem man alle äume, die von einelementigen Informationsmengen ausgehen daraufhin untersucht, ob sie nur vollständige Informationsmengen enthalten. Selten (965) entwickelte das Konzept des teilspielperfekten Nash Gleichgewichts [subgame perfect Nash equilibrium] für solche Spiele. Dieses Konzept verallgemeinert die Idee, keine unglaubwürdigen Drohungen zuzulassen. Da jede Strategie in einem Extensivformspiel, auch für alle eilspiele eine Strategie induziert (wir betrachten einfach die Entscheidungen, die die Strategie für die Informationsmengen des eilspiels festlegt), fordert eilspielperfektheit, dass die resultierenden Strategien in jedem eilspiel vernünftig sind. Vernünftig heißt dabei, dass sie ein Nash Gleichgewicht im eilspiel darstellen. Definition 3.6 (eilspielperfektes Nash Gleichgewicht) Eine Strategiekombination σ in einem nichtkooperativen Spiel in Extensivform ist ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht genau dann, wenn für jedes eilspiel die Restriktion von σ auf diese eilspiel ein Nash Gleichgewicht des eilspiels ist. emerkung 3.7 ei genauer etrachtung der Definition 3.6 erkennt man, dass in einem teilspielperfektennash Gleichgewicht auch in allen eilspielen wiederum teilspielperfekte Nash Gleichgewicht induziert werden. In Abschnitt 3..4 hatten wir gezeigt, dass in Spielen mit vollkommener Information die enge der teilspielperfekten Gleichgewichte durch Anwendung der Rückwärtsinduktion gefunden werden kann. Dieses Verfahren lässt sich auch auf Extensivformspiele mit unvollkommener Information verallgemeinern Verallgemeinerte Rückwärtsinduktion. eginne bei den Endknoten des Spielbaums und ermittle die Nash Gleichgewichte die jeweils letzten eilspiele.. Für jedes dieser eilspiele ermittle ein Nash Gleichgewicht und ersetze dieses eilspiel durch die erwarteten Auszahlungen im gewählten Nash Gleichgewicht. 3. Die Schritte und werden für das so reduzierte Spiel wiederholt, bis für jede Informationsmenge des gesamten Spiels das Verhalten der Spielerin, die in dieser Informationsmenge eine Entscheidung zu treffen hat, festgelegt ist. Die Verhaltensstrategien, die sich aus der Kombination des schrittweise für die einzelnen Informationsmengen ermittelten Verhaltens ergeben bilden ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht. Wenn in keinem eilspiel multiple Nash Gleichgewichte auftreten, so ist das ermittelte teilspielperfekte Nash Gleichgewicht das eindeutige (einzige) teilspielperfekte Nash Jörg Naeve

22 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 4 Gleichgewicht des Spiels. Andernfalls erhält man die enge aller teilspielperfekten Nash Gleichgewichte, indem man das beschriebene Verfahren für jedes Nash Gleichgewicht jeden eilspiels durchführt. In Extensivformspielen mit vollkommener Information entspricht dieses Verfahren der üblichen Rückwärtsinduktion, da in diesen Spielen alle Informationsmengen einelementig sind und daher in jedem Entscheidungsknoten ein eilspiel beginnt. In allgemeinen Extensivformspielen liefert die verallgemeinerte Rückwärtsinduktion zusammen mit Satz 3.5 einen Existenzsatz für teilspielperfekte Nash Gleichgewichte. Satz 3.8 Jedes nichtkooperative Spiel in extensiver Form besitzt ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht. eispiel 3..9 (Wahl eines arktsegments) Es handelt sich um die folgende odifikation unseres arkteintrittspiels. Wieder entscheidet zunächst Firma, ob sie in den arkt eintritt oder nicht. Entscheidet sie sich gegen den arkteintritt, so bleibt Firma onopolistin. Es wird angenommen, dass es ein großes und ein kleines arktsegment gibt. Ist Firma in den arkt eingetreten, entscheiden beide Firmen simultan, d. h. ohne die Entscheidung der anderen Firma zu kennen, welches arktsegment sie besetzen wollen (z.. könnte es zwei ypen von Konsumentinnen geben und die Firmen müssen entscheiden, für welche Zielgruppe sie produzieren wollen). eide Firmen machen einen Verlust, wenn sie das selbe arktsegment wählen, wobei der Verlust größer ist, wenn es sich um das kleine Segment handelt. Wählen die Firmen verschiedene arktsegmente, so erhält die Firma im großen arktsegment einen Gewinn, die im kleinen einen Verlust; dieser Verlust ist jedoch geringer, als der, der entsteht, wenn beide Firma das selbe Segment besetzen. Die Extensivform des Spiels ist in Abbildung 3.8 dargestellt. Dabei bezeichnen wir die Strategien der Firma mit großen und die der Firma mit kleinen uchstaben. In diesem Spiel gibt es außer dem gesamten Spiel ein weiteres eilspiel, das nach dem arkteintritt der Firma beginnt. Um die teilspielperfekten Nash Gleichgewichte in diesem Spiel zu ermitteln, betrachten wir zuerst dieses eilspiel, dessen Normalform wie folgt aussieht: k g K 6, 6, G, 3, 3 Universität des Saarlandes

23 5 Spieltheorie Sommersemester 7 E N k g K G K G Abbildung 3.8.: arkteintrittspiel mit zwei arktsegmenten Es besitzt zwei Nash Gleichgewichte, nämlich (g, K) und (k, G). In einem teilspielperfekten Nash Gleichgewicht des Gesamtspiels müssen die Einschränkungen der Strategien der beiden Firmen auf das eilspiel nach arkteintritt zu einem dieser Nash Gleichgewichte führen. eginnen wir mit dem Nash Gleichgewicht (k, G). Wenn die beiden Firmen dieses Gleichgewicht spielen, sind die Auszahlungen (, ). Die entsprechende reduzierte Form ist gegeben durch das Spiel (a) in Abbildung 3.9. In diesem Fall wird Firma in den arkt eintreten. Ein teilspielperfektes Nash Gleichgewicht ist also durch die Strategien (EG, k) gegeben. reduziertes Spiel (a) reduziertes Spiel (b) E N E N Abbildung 3.9.: Reduzierte Spiele im arkteintrittspiel mit zwei arktsegmenten Das andere Nash Gleichgewicht im eilspiel nach arkteintritt ist (g, K), das zu Auszahlungen von (, ) führt. Das entsprechende reduzierte Spiel ist durch das Spiel (b) Jörg Naeve

24 3. Spiele in Extensivform mit vollständiger Information 6 in Abbildung 3.9 gegeben. In diesem Fall ist es besser für Firma, nicht in den arkt einzutreten. Hier sind die Gleichgewichtsstrategien (NK,g). In diesem eispiel gibt es also zwei teilspielperfekte Nash Gleichgewichte. Im allgemeinen ist die Anwendung des Verfahrens jedoch sehr aufwendig. Je mehr eilspiele ein Spiel besitzt und je mehr verschiedene Nash Gleichgewichte einzelne eilspiele haben, desto mehr Aufwand bedeutet es, alle teilspielperfekten Nash Gleichgewichte zu ermitteln Verallgemeinerungen der Extensivform In obigem eispiel des arkteintrittsspiels mit Wahl eines arktsegments haben wir nach dem arkteintritt durch Firma im Prinzip eine simultane Entscheidung, die wir in der Extensivform künstlich sequentialisieren, indem wir erst Firma entscheiden lassen und dann Firma, die ihre Entscheidung trifft, ohne die der Firma zu kennen. Im Grunde wäre es einfacher, wir könnten in ein Extensivformspiel an einigen Stellen Normalformspiele einhängen. Ein weiteres Problem mit unserer bisherigen Definition der extensiven Form ist die eschränkung auf endlich viele Aktionen in jedem Knoten bzw. in jeder Informationsmenge. Wollen wir etwa ein Duopol mit engenwettbewerb in einer sequentiellen Struktur modellieren, also vom Cournot zum von Stackelberg odell übergehen, so wäre es natürlich, die engenentscheidung als eine Entscheidung über positive reelle Zahlen (oder ein Intervall) zu modellieren. Allgemeinere odelle von Extensivformspielen, wie sie z.. Selten (998) präsentiert, lassen beide erwähnten Punkte zu. Auch die Annahme, dass alle Pfade endliche Länge haben lässt sich aufgeben. Ritzberger (, Abschnitt 3.) stellt ein alternatives odell für Spielbäume dar, das allgemeiner ist als das hier dargestellte auf Kuhn (953) zurückgehende und den Vorteil hat, besser mit dem Formalismus der Entscheidungstheorie verknüpft zu sein. ehr zu diesem odell findet sich in einem aktuellen Diskussionspapier (Alós Ferrer und Ritzberger, 3). Der Fall, dass wir mehrere aufeinander aufbauende Normalformspiele in zeitlicher Abfolge betrachten, ist in der Industrieökonomik recht häufig. an spricht in diesem Fall von Stufenspielen [stage games]. Wir werden in Kapitel 6 noch näher auf einen Spezialfall eingehen, wenn wir wiederholte Spiele betrachten, in denen das Spiel auf jeder Stufe stets das selbe ist. Für eine formale Definition von Stufenspielen verweisen wir auf Güth (999), der die formale etrachtung dieser Art von Spielen fast an den Anfang seines Lehrbuchs stellt. Im Prinzip läuft das odell darauf hinaus, einem Knoten mehrere Spielerinnen zuzuordnen, die dort simultan eine Entscheidung zu treffen haben. Jeder Kombination von Aktionen aller aktiven Spielerinnen entspricht dann ein von diesem Knoten ausgehender Ast. Alternativ können wir uns einen solchen Knoten als Normalformspiel vorstellen, in dem jeder Strategiekombination statt eines Auszahlungsvektors ein Fortsetzungsspiel zugeordnet wird. Universität des Saarlandes

25 7 Spieltheorie Sommersemester 7 Den Fall unendlich vieler Aktionen an einem Knoten stellen wir dar, wie in Abbildung 3. gezeigt. Natürlich müssen wir jeweils angeben, aus welcher enge die möglichen Aktionen stammen. Außerdem müssen wir darauf gefasst sein, uns bei der Definition von Verhaltensstrategien technische Probleme einzuhandeln. Ein Anwendungsbeispiel findet sich in Abschnitt p [, ] R L R L + p p + p p + p p + p p Abbildung 3..: Knoten mit unendlicher Aktionenmenge 3.4. Anwendungen ankenpanik Dieses odell basiert auf einer Arbeit von Diamond und Dybvig (965). Zwei Investorinnen haben jeweils einen etrag in Höhe von D auf einer ank eingezahlt. Die ank hat dieses Geld in einem langfristigen Investitionsprojekt angelegt. Wenn die ank gezwungen ist, ihr Geld aus dem Projekt zurückzuziehen, bevor es abgeschlossen ist, kann nur ein etrag in Höhe von r erlöst werden, wobei D > r > D/ ist. Kann die ank jedoch das Ende des Projektes abwarten, dann erzielt dieses Projekt Erträge in Höhe von R, mit R > D. Wir nehmen im weiteren folgende konkrete Zahlenwerte an: D =, r = 8 und R = 8. Es gibt zwei Zeitpunkte, zu denen die Anlegerinnen ihr Geld abheben können: Zeitpunkt, bevor das Projekt beendet ist, und Zeitpunkt, nach Abschluss des Projektes. Von Zinsen wird aus Vereinfachungsgründen abgesehen. Wenn beide Investorinnen zum Zeitpunkt abheben, dann erhält jede r = 8 und das Spiel ist beendet. Wenn nur eine Anlegerin eine Abhebung macht, erhält sie ihren Einsatz D = zurück, und die andere erhält r D = 6, da die ank gezwungen ist, sich aus dem Projekt zurückzuziehen. Jörg Naeve