Sequentielle Spiele, Glaubwürdigkeit von Drohungen und Teilspielperfektheit

Transkript

1 Sequentielle Spiele, Glaubwürdigkeit von Drohungen und Teilspielperfektheit

2 I. Chickenspiel in Normalform: Anwendung Kubakrise II. Extensivform, Informationsbezirk, Strategien, Teilspielperfektheit III. Auffinden von Nash-Gleichgewichten durch Umwandlung der Extensivform in die Normalform V. Ultimatumspiel VI. Auffinden des Nash-Gleichgewichts in der Extensivform durch Rückwärtsinduktion

3 1. Dominante Strategie? 2. Maximin? 3. Nash-Gleichgewicht? 4. Pareto-optimal? Chickenspiel C D C 3,3 2,4 D 4,2 1,1

4 Chickenspiel C D C 3,3 2,4 D 4,2 1,1 1. Dominante Strategie: Nein 2. Maximin? C 3. Nash-Gleichgewicht? Zwei Gleichgewichte in reinen Strategien: (D,C) und (C,D) 4. Pareto-optimal? Beide Gleichgewichte sind Paretooptimal, aber mit ungleichen Auszahlungen. Auch (C,C) ist Pareto-optimal, aber kein Nash- Gleichgewicht.

5 Gefangenendilemma und Chicken GD C D C 3,3 1,4 D 4,1 2,2 Chicken C D C 3,3 2,4 D 4,2 1,1 T > R > P > S T > R > S > P Nur eine Vertauschung einer Präferenz und aus GD wird Chicken. Kleine Veränderung, grosse Wirkung!

6 Rebel Without a Cause Denn sie wissen nicht, was sie tun

7 Chicken Chicken C 2 C 3 C 3 D 4 D 1 D 1

8 Chicken und Kuba Krise 1962 Chicken C 2 C 3 C 3 D 4 D 1 D 1

9 Wikipedia

10 Die Kuba-Krise: Im Oktober 1962 sind die USA und die UDSSR auf Konfrontationskurs. Die Welt steht am Rand eines Atomkriegs (16. bis ) Nikita Chruschtschow John F. Kennedy Wie wäre es, Wenn wir Uncle Sam Einen Igel in die Unterhose pflanzten? (Chruschtschow nach Mayr 2007) Wien 1961, Foto Wikipedia Commons

11 Kennedys Rede an die Nation 22. Oktober

12 Nach dem Buch von Robert Kennedy, Thirteen Days

13 Chruschtschow selbst hat internationale Konflikte durchaus im Sinne eines Chickenspiels interpretiert. In einem Brief an Kennedy schreibt er mit Blick auf Berlin am 10. März 1962: «Zwei Ziegenböcke treffen sich Kopf an Kopf auf einer engen Brücke über einem Abgrund. Keiner gibt dem anderen den Weg frei, und so fallen sie beide hinab. Sie waren dumme und dickköpfige Tiere» (Chruschtschow 1962). Barbara W. Tuchman, The Guns of August, 1962 war ein Buch über den I. Weltkrieg, das womöglich Kennedys Entscheidungen während Der Kuba-Krise mit beeinflusst hat.

14 Die Situation ist komplexer Die amerikanischen Militärs wollen die Invasion Kubas Die Kennedy-Regierung veranlasst als defensive Massnahme die Quarantäne (Blockade Kubas). Robert Kennedy verhandelt in letzter Minute im Auftrag des Präsidenten mit Botschafter Dobrynin den Kompromiss: Keine Invasion Kubas und Abzug nuklearer US-Raketen aus der Türkei. Wassili A. Archipow verhindert den Abschuss einer Nuklearrakete ( The Man Who Saved the World )

15 Vortrag von Robert J. Aumann an der ETH Krieg mit Spielen erklären Der Mathematiker Robert J. Aumann erklärt mit der Spieltheorie Mechanismen von Krieg und Frieden. Dafür erhielt er 2005 den Nobelpreis in Ökonomie. Seine leicht geänderte Nobelpreis-Rede am Montag an der ETH stiess auf grosses Interesse. ETH, Tagesberichte,

16 Aus Robert J. Aumanns Nobelpreisrede 2005 So now, let s get back to war, and how homo economicus rational man fits into the picture. An example, in the spirit of the previous item, is this. You want to prevent war. To do that, obviously you should disarm, lower the level of armaments. Right? No, wrong. You might want to do the exact opposite. In the long years of the cold war between the US and the Soviet Union, what prevented hot war was that bombers carrying nuclear weapons were in the air 24 hours a day, 365 days a year. Disarming would have led to war. Und wenn Irrtümer auftreten, Missverständnisse, Fehlwahrnehmungen? Verschärft durch mangelnde Kommunikationsmöglichkeiten und extrem kurze Entscheidungszeiten? Aumann spielt mit dem (nuklearen) Feuer!

17 The Man who saved the world Einer der spektakulärsten von zahlreichen Beinahe-Katastrophen Vasili Arkhipov, legte als einziger von drei Befehlshabern auf einem U-Boot im Oktober 1962 ein Veto gegen den Abschuss einer Nuklearrakete ein. (Das U-Boot war von der Kommunikation mit Moskau abgeschnitten.) Dieses Ereignis wurde erst Anfang der 90er Jahre bekannt. Foto: Wikipedia

18 Die Kuba-Krise als Chicken- Spiel 13 Tage im Oktober 1962 Rückzug der Raketen aus Kuba UDSSR Aufstellung der Nuklear- Raketen USA Verhandeln, kein Angriff auf Kuba Luftangriff Kubas und nachfolgende Invasion Kompromiss (USA: Abzug Raketen aus der Türkei, Verzicht auf Invasion Kubas) 3, 3 Sieg der USA, Niederlage der UDSSR 4, 2 Sieg der UDSSR, Niederlage der USA 2, 4 Atomkrieg 1,1 (-, - )

19 16. Oktober 2014 Pflichtlektüre zum Management von Krisen: Robert Kennedy, 13 Tage. Und zum Missmanagement: Dietrich Dörner, Die Logik des Misslingens und Barbara Tuchman, Die Torheit der Regierenden.

20 Chicken a la Kahn (Rapoport 1965) Dagegen Herman Kahn, RAND-Corporation, strategischer Berater, On Thermonuclear War, Empfehlung, im Chickenspiel Härte zu zeigen. Herman Kahn s recommendation. Stay firm in a chicken game. Throw your steering wheel out of the window. Ghamari-Tabrizi, 2005 The Worlds of Herman Kahn

21 Chicken a la Kahn (Rapoport 1965) Dagegen Herman Kahn, RAND-Corporation, strategischer Berater, On Thermonuclear War, Empfehlung, im Chickenspiel Härte zu zeigen. Ghamari-Tabrizi, 2005 The Worlds of Herman Kahn Herman Kahn s recommendation. Stay firm in a chicken game. Throw your steering wheel out of the window. Yet, if the opponent were to use the same strategy? Then you have a problem! (RAND, coldwar strategic thinking. Critical comment by A. Rapoport)

22 Ameisen sind klüger!

23 Humane Lösung des Chickenspiels im Strassenverkehr Foto Wikipedia Eine Institution, die das Chicken-Spiel löst, d.h. ein Pareto-optimales Nash-Gleichgewicht ermöglicht!

24 Grobe Vereinfachung Statisch: Züge erfolgen nicht immer simultan, sondern oft nacheinander Extensivform von Spielen (Dynamische Spiele)

25 Spiel in Extensivform 1. n Spieler 2. Spielbaum (Knoten: Spieler; Kanten: Entscheidungen; hierarchischer Aufbau) 3. Auszahlungen an den Endknoten

26 C D Simultanes Chickenspiel C D 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 Normalform Extensivform Dynamik des Spielablaufs Informations- Bezirk: Spiel mit vollständiger (aber nicht perfekter) Information

27 Spielbaum

28 Common Knowledge Information is common knowledge if it is known to all the players, if each player knows that all the players know it, and so forth ad infinitum (Rasmusen 2007, Games and Information) Private information : Information, über die nur der jeweilige Spieler verfügt. Common knowledge of rationality (CKR): Es ist common knowledge, dass alle Spieler rational handeln.

29 C D Simultanes Chickenspiel C D 3, 3 2, 4 4, 2 1, 1 Normalform Extensivform Dynamik des Spielablaufs Informations- Bezirk: Spiel mit vollständiger (aber nicht perfekter) Information

30 Sequenzielles Chickenspiel Perfect information : Jeder Knoten ist ein eigener Informationsbezirk. Extensivform Dynamik des Spielab- Laufs Vollständige und perfekte Information

31 Strategie Definition: Ein vollständiger Plan, der angibt, welche Entscheidung in jeder möglichen Spielsituation getroffen wird. Simultanes Chickenspiel (2x2-Spiel): Spieler 1 und Spieler 2 haben je 2 Strategien Sequentielles Chickenspiel: Spieler 1 hat 2 (C oder D), Spieler 2 hat 4 Strategien: CC, CD, DC, DD Schach: Weiss hat zu Beginn 20 Strategien. Wieviele Strategien hat Schwarz für den zweiten Halbzug?

32 Beispiel Schach (Rapoport 1998) Weiss, erster Zug: 20 Strategien (Bauern 16, Springer 4) Antwort von Schwarz: Nicht 400, sondern Strategien Weiss Schwarz etc.

33 Teilspielperfektheit Subgame perfect equilibrium (spe) Teilspielperfektheit Verfeinerung ( refinement ) des Nash-Gleichgewichts Spiele und Teilspiele Informelle Definition eines Teilspiels Ein Teilspiel H eines Spiels in Extensivform G ist ein Teil des Spiels, der selbst wieder als eigenständiges Spiel gelten kann (nach Gintis 2000: 92). Teilspielperfektes Nash Gleichgewicht (spe): Ein Nash Gleichgewicht ist teilspielperfekt, wenn diese Strategie eine Nash-Gleichgewichtsstrategie in allen Teilspielen ist, ( ) die mit Wahrscheinlichkeit grösser als null erreicht werden (Gintis 2000).

34 Glaubwürdigkeit von Drohungen Spieler 2 droht: Wenn Spieler 1 D spielt, werde ich mit D antworten. Dann erhält Spieler 1 nur einen Punkt. Auf C werde ich mit D antworten, so dass Spieler 1 dann 2 Punkte erzielt. Wird ein rationaler Spieler der Drohung Folge Leisten?

35 Extensivform und Normalform des sequentiellen Spiels Notation der Strategien: z. B. CC: Auf C mit C und auf D mit C antworten ( Immer C ) C D CC CD DC DD 3,3 3,3 2,4 2,4 4,2 1,1 4,2 1,1

36 Extensivform und Normalform des sequentiellen Spiels Notation der Strategien: z. B. CC: Auf C mit C und auf D mit C antworten ( Immer C ) Sequentielles Chickenspiel: Spieler 1 kann sein Gleichgewicht erzwingen ( First Mover Advantage )

37 Extensivform und Normalform des sequentiellen Spiels Notation der Strategien: z. B. CC: Auf C mit C und auf D mit C antworten ( Immer C ) unglaubwürdige Drohung Sequentielles Chickenspiel: Spieler 1 kann sein Gleichgewicht erzwingen ( First Mover Advantage )

38 EU Griechenland Badische Zeitung Aufgabe für Übung! Wikipedia

39 EU Griechenland GR Einlenken (C) Hart bleiben (D) Kredit geben = K EU EU Kein Kredit = k K k K k???? 1. Präferenzen (Rangfolge) für GR, EU festlegen. 2. Normalform (2 x 4) Matrix aufstellen. 3. Spiel analysieren: Nash-Gleichgewicht(e), teilspielperfekte(s) Gleichgewicht(e) bestimmen.

40 Ultimatumspiel Diktator: Einer teilt den Kuchen auf, der andere muss akzeptieren. Ultimatum: Einer teilt den Kuchen auf, der andere hat ein Veto-Recht. Stimmt er zu, gilt die Aufteilung. Lehnt er ab, erhalten beide nichts. Beispiel: Aufteilung von 100 Franken. Welches sind Nash-Gleichgewichtsstrategien, welche sind teilspielperfekt?

41 Ultimatumspiel Jede Aufteilung ist Nash : Z.B. Spieler 1: Ich biete meinem Mitspieler 20 Fr. an und Spieler 2: Ich akzeptiere Aufteilungen von 20 Fr. und mehr. Bei weniger als 20 Fr. akzeptiere ich nicht. Teilspielperfekt ist: Spieler 1 bietet die kleinstmögliche Einheit, Spieler 2 akzeptiert.

42 Ultimatumspiel Jede Aufteilung ist Nash : Z.B. Spieler 1: Ich biete meinem Mitspieler 20 Fr. an und Spieler 2: Ich akzeptiere Aufteilungen von 20 Fr. und mehr. Bei weniger als 20 Fr. akzeptiere ich nicht. Jedes dieser Nash-Gleichgewichte ist Paretooptimal Teilspielperfekt ist: Spieler 1 bietet die kleinstmögliche Einheit, Spieler 2 akzeptiert. Teilspielperfekt ist auch: Spieler 1 bietet null, Spieler 2 akzeptiert!

43 Three pioneers of game theory: John C. Harsanyi, John F. Nash, and Reinhard Selten Nobleprice for economics 1994 ( The Nobel Foundation Harsanyi Nash Selten Games with Nash equilibrium, Subgame incomplete proof of perfectness information

44 Robert L. Stevenson, The Bottle Imp Der dienstbare Geist in der Flasche erfüllt jeden Wunsch. Die Flasche muss aber vor dem Ableben des Besitzers zu einem Preis verkauft werden, der geringer ist als der Preis, zu dem die Flasche erstanden wurde. arts.gla.ac.uk

45 Robert L. Stevenson, The Bottle Imp Geschieht dies nicht, fährt der Besitzer zur Hölle. Worin besteht das Problem nach klassischer Spieltheorie? arts.gla.ac.uk

46 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (5,5) (1,0) (0,1) (3,0) (2,4) (6,3) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

47 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (1,0) (0,1) (3,0) (2,4) (6,3) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

48 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (1,0) (0,1) (3,0) (2,4) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

49 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (1,0) (0,1) (3,0) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

50 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (1,0) (0,1) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

51 Centipede -Spiel (Rosenthal 1981, nach Fudenberg & Tirole 1991: 98) I A1 II A2 I A3 II A4 I A5 D1 D2 D3 D4 D5 (1,0) Spieler I und Spieler II haben in jeder Runde die Option zwischen A ( weiter ) und D ( unten ).

52 Centipede-Spiel (frei nach Ken Binmore, Fun and Games, 1992:164p.) Exzentrischer Philantrop bittet den ETH- Präsidenten und den ZH-Uni-Rektor in eine Suite im Dolder. Er bietet an, maximal 900 Mio. Fr. für beide Universitäten zu spenden allerdings hängt der Ausgang von einem Spiel ab.

53 I II I II I II I II I II (9 x 10 8, 9 x 10 8 ) 1,0 0,10 100,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0,10 9 Beide handeln strikt rational! I. Michael Hengartner, Uni ZH II. Lino Guzella

54 I II I II I II I II I II 1,0 0,10 100,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0 0,10 9

55 I II I II I II I II I II 1,0 0,10 100,0 0, ,0 0, ,0 0, ,0

56 I II I II I II I II I II (9 x 10 8, 9 x 10 8 ) 1,0 Bekommt 1 Fr. Geht leer aus!

57 Chickenspiel und Kubakrise Sequenzielle Spiele, dynamische Spiele Extensivform eines Spiels Informationsbezirk Common Knowledge Definition Strategien Teilspiele Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts: Teilspielperfektheit Tausendfüssler-Spiel (Centipede Game) und Rückwärtsinduktion

58 Aufgabe für Übung: Piratenspiel Foto von dc-freibeuter.de Aufteilung von Piratenschatz mit 100 Goldmünzen Ränge der fünf Piraten nach Alter: Anton Bonnet, Bootstrap Bill, Cutler Beckett, Davy Jones, Edward Teach (A, B, C, D, E) Ranghöchster macht Vorschlag zur Aufteilung, dann stimmen Piraten ab. Vorschlagender ist stimmberechtigt und hat ausschlaggebende Stimme, wenn keine Mehrheit. Wird der Vorschlag angenommen, erfolgt diese Aufteilung und das Spiel ist zu Ende. Wird die Aufteilung nicht angenommen, dann wird der Vorschlagende über Bord geworfen und der nächste im Rang schlägt eine Aufteilung vor. Jeder Pirat möchte viele Goldmünzen erhalten. Kirchler 2011

59 Die NZZ am Sonntag versteht mehr von Spieltheorie: Leider stellt die vom Drehbuch vorgeschlagene Lösung kein Gleichgewicht im Sinne des echten Nash dar (NZZ am Sonntag, ). Frage: 1) Warum nicht? 2) Wie könnte man die Situation formal in einem Spiel in Normalform darstellen? 3) Welche Lösung(en) (Nash-Gleichgewichte) gibt es dann?

60 Beautiful-Mind-Spiel Anzahl anderer Freunde, die die Top-Favoritin (A) wählen Wahl von A B T T/2 T/3 T/4 R R R R T > R Winner takes it all. Wenn es mehrere Bewerber für die Top-Favoritin gibt, wird der Gewinner ausgelost. Die Lösung im Film s = (B, B, B, B) ist kein Nash-Gleichgewicht! Fall 1: A ist eine dominante Strategie (T/4 R). Es gibt ein Nash-Gleichgewicht mit gleicher Auszahlung für alle: s* = (A, A, A, A) mit u(s*) = (T/4, T/4, T/4, T/4) Fall2: Es gibt keine dominante Strategie. Dann gibt es mehrere Gleichgewichte mit asymmetrischen Auszahlungen (und weitere Gleichgewichte in gemischten Strategien). Z.B. T/2 < R s* = (A, B, B, B)

61 Beautiful-Mind-Spiel Wahl von A B Anzahl anderer Freunde, die die Top-Favoritin (A) wählen T T/2 T/3 T/4 R R R R Z.B.: T > R und T/2 < R. Es gibt vier Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, die aber alle asymmetrisch sind. Strategienprofile: s* = (A, B, B, B) s* = (B, A, B, B) s* = (B, B, A, B) s* = (B, B, B, A) Winner takes it all, Wettbewerb, Markteintrittsspiel Es gibt weitere Gleichgewichte in gemischten Strategien: Alle wählen p A so, dass niemand einen Anreiz hat, einseitig die Entscheidung zu ändern.

62 Chicken Game im Film Footloose mit Kevin Bacon