Anmerkung: Gescannte Objekte entstammen: Christian Rieck (2006); Spieltheorie Eine Einführung; Christian Rieck Verlag; Eschborn

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1 Anmerkung: Gescannte Objekte entstammen: Christian Rieck (2006); Spieltheorie Eine Einführung; Christian Rieck Verlag; Eschborn Zahlreiche weitere Textelemente entstammen WIKIPEDIA 1

2 Die Spieltheorie kann als Spezialfall einer allgemeinen Entscheidungstheorie angesehen werden Konstitutive Merkmale einer Entscheidungssituation Spielsituation) Akteure (ein, zwei, mehrere) Entscheidungsalternativen (Spielzüge, Strategien) (Spiel-) Regeln Ergebnisse (Auszahlungen) 2

3 Die klassische Entscheidungstheorie betrachtet ausschließlich Situationen, in denen gegen die Natur (Welt) gespielt wird Entscheidungen bei Sicherheit Entscheidungen bei Unsicherheit (Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Zustände der Natur (Welt) Entscheidungen bei unvollständiger Information 3

4 Der Begriff Spieltheorie beruht darauf, dass am Anfang der mathematischen Spieltheorie den Gesellschaftsspielen wie Schach, Mühle, Dame etc. große Aufmerksamkeit gewidmet wurde. Weder ist der Gegenstand der Spieltheorie auf Spiele im gängigen Wortgebrauch beschränkt, noch kann man mit ihrer Hilfe alles, was als Spiel bezeichnet wird, analysieren. 4

5 Ein Spiel im Sinne der Spieltheorie ist eine Entscheidungssituation mit mehreren Beteiligten, die einander mit ihren Entscheidungen gegenseitig beeinflussen. 5

6 Unterscheidung von Spielen (Spielsituationen) Kooperative Spieltheorie Nichtkooperative Spieltheorie 2-Personenspiele - N-Personenspiele Endliche Spiele Unendliche Spiele Informationsstand: vollständige und perfekte Information Gegenstand der Lehrveranstaltung Nichtkooperative, endliche 2-Personenspiele mit vollständiger und perfekter Information 6

7 Kooperative Spieltheorie Kooperative Spiele sind Spiele, in denen die Spieler Informationen austauschen und bindende Vereinbarungen treffen können. Bei kooperativen Spielen kommen keine Spielausgänge zu Stande, bei denen man einen Beteiligten besser stellen könnte, ohne einen Anderen zu verschlechtern (Pareto- Effizienz). Beispiel: Andere Lösung bei Gefangenen Dilemma (siehe Folie) 7

8 Die Spieltheorie ist weniger eine zusammenhängende Theorie als mehr ein Satz von Analyseinstrumenten. Anwendungen findet die Spieltheorie vor allem im Operations Research, in den Wirtschaftswissenschaften, in der ökonomischen Analyse des Rechts in der Politikwissenschaft, in der Soziologie, in der Psychologie, in der Informatik und seit den 1980ern auch in der Biologie. 8

9 Darstellungsformen von Spielen Spiele werden meist entweder in strategischer (Normal-)Form oder in extensiver Form beschrieben. Da es Spiele gibt, denen keine dieser Formen gerecht wird, muss bisweilen auf allgemeinere mathematische oder sprachliche Beschreibung zurückgegriffen werden. 9

10 Ein Spiel in Extensivform ist ein Tupel, das aus folgenden Elementen besteht: einem Spielbaum, einer Menge von Spielern, einem Auswahlsystem für den Spielbaum und die Menge der Spieler, Auszahlungen für alle Endknoten des Spielbaums. Ein Spiel in Extensivform wird häufig mittels eines graphentheoretsichen Baumes dargestellt. Ein Spielbaum ist eine partiell geordnete Menge, die die folgenden Eigenschaften erfüllt: es gibt ein Element, das vor allen anderen kommt, genannt Ursprung (Wurzel) 10

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12 Für ein Spiel in Extensivform bedarf es noch eines Auswahlsystems. Ein Auswahlsystem für einen Spielbaum und eine Menge von Spielern ist ein Paar, das aus einer Menge von Entscheidungsknoten und einer Menge von Auswahlmöglichkeiten für jeden Spieler besteht, wobei diese Mengen folgende Eigenschaften erfüllen: die Menge von Entscheidungsknoten besteht aus den Knoten an denen ein Spieler zwischen Alternativen wählen muss die Menge der Auswahlmöglichkeiten ist eine Partition der Knoten, die auf die Entscheidungsknoten folgen wenn zwei verschiedene Knoten gleichzeitig zur Auswahl stehen, dann müssen sie immer gleichzeitig zur Auswahl stehen für jeden Knoten, der zur Auswahl steht, gibt es einen eindeutigen Namen 12

13 Die Normalform bezeichnet in der Spieltheorie eine Darstellungsform von Spielen, die sich im wesentlichen auf die A-Priori-Strategiemengen der einzelnen Spieler und eine Auszahlungsfunktion als Funktion der gewählten Strategiekombinationen beschränkt. Gerecht wird diese Darstellungsform am ehesten solchen Spielen, bei denen alle Spieler ihre Strategien zeitgleich und ohne Kenntnis der Wahl der anderen Spieler festlegen. Wesentliche Alternative ist die Darstellung von Spielen in Extensivform, deren Stärke in der anschaulichen Darstellung zeitlicher oder logischer Abfolgen liegt. Simultane Spiele können aber nicht dargestellt werden. Die Normalform für Spiele wurde erstmals von Émile Borel (1921) und John von Neumann (1928) beschrieben, die erkannten, dass im Prinzip jedes Strategiespiel in eine solche Form transformiert werden kann. 13

14 Beispiel für ein Bimatrix-Spiel in Normalform 14

15 Lösung eines Spiels 15

16 Dominanz als Beispiel einer Lösungsstrategie 16

17 Beispiel 17

18 Beispiel A hat eine (schwach) dominierende Strategie (oben) B orientiert sich danach und wählt daher links 18

19 Nash-Gleichgewicht (Cournotspiel) 19

20 Defintion 20

21 Wie findet man ein Nash-Gleichgewicht? Betrachten Sie nacheinander alle Spalten: Markieren Sie die beste Erwiderung des Zeilenspielers auf die jeweilige Spalte durch ein Kreuz. Falls die höchste Auszahlung mehrfach vorkommt gibt es mehrere beste Erwiderungen. Markieren sie alle! Betrachten Sie anschließend nacheinander alle Zeilen: Markieren Sie die beste Erwiderung des Spaltenspielers auf die jeweilige Zeile durch einen Kreis. Falls die höchste Auszahlung mehrfach vorkommt gibt es mehrere beste Erwiderungen. Markieren sie alle! Alle Felder, die sowohl einen Kreis als auch ein Kreuz enthalten sind Nash- Gleichgewichte. Falls in der Zeile kein weiterer Kreis ist und in der Spalte kein weiteres Kreuz, so handelt es sich um ein striktes Gleichgewicht. 21

22 Striktes /Nicht striktes Gleichgewicht 22

23 Gefangenendilemma 23

24 Variation 24

25 A. Univ. Prof. Dr. Wolfgang Feilmayr Spieltheorie - 2 x 2 Bimatrix-Spiele WS 2009/2010 Beispiel aus der Planung 2 Industrieanlagen Alternative 1: Einbau eines Filters: Kosten 3 Alternative 2: Abgase emittieren: Kosten 2 B Filter Ausstoß A Filter (-3,-3) (-5,-2) Ausstoß (-2,-5) (-4,-4) 25

26 Das Prisoners s Dilemma ist die wohl einfachste Form des sozialen Dilemmas und tritt in dieser reinen Form selten auf. Reale Situationen unterscheiden sich von dieser einfachen Form oft in folgenden Punkten: Es sind meistens mehr als nur 2 Personen beteiligt Die Beteiligten sind häufig nicht gleichstark, das heißt die Auszahlungsmatrix ist nicht symmetrisch bezüglich der Spieler Fast immer ist die Darstellung als Einmalspiel zu kurzfristig Meist gibt es mehr als nur zwei Verhaltensweisen und es ist nicht eindeutig, welches Verhalten kooperativ und welches defektiv ist 26

27 Wiederholtes Gefangenendilemma Ändert sich dieses Gleichgewicht, wenn das Spiel wiederholt wird? Diese Frage soll zunächst für eine bekannte Anzahl von Runden untersucht werden, d.h. jeder Spieler weiß im voraus, welche Runde die letzte ist. In dieser letzten Runde gilt auf jeden Fall die oben erarbeitete dominante Strategie, denn die Möglichkeit der "Rache" seitens des anderen Spielers für ein mögliches Hereinlegen gibt es hier nicht mehr. In der letzen Runde werden also beide Spieler defektieren. Also gibt es auch in der vorletzten Runde keinen Grund, Vergeltung zu fürchten und somit keine Veranlassung von der dominanten Strategie abzuweichen. Analog zu dem oben beschriebenen "Paradoxon des unmöglichen Besuchs" ist bei einer bekannten Anzahl von Runden defektieren die rationalerweise zu wählende Strategie. Das führt bei n Runden zu einer Punktzahl von n*2 Punkten statt der bei beiderseitiger Kooperation möglichen Zahl von n*3 Punkten. Defektieren ist die einzige rationale Strategie beim einfachen Gefangenendilemma bzw. einer bekannten Anzahl von Runden. 27

28 Das iterierte Gefangenendilemma 28

29 Beispiele aus Politik und Wirtschaft Das Gefangenendilemma lässt sich auf viele Sachverhalte in der Praxis übertragen. Vereinbaren beispielsweise zwei Länder eine Rüstungskontrolle, so wird es immer individuell besser sein, heimlich doch aufzurüsten. Keines der Länder hält sich an sein Versprechen und beide sind durch die Aufrüstung schlechter gestellt (höheres Gefahrenpotential, höhere ökonomische Kosten), allerdings besser, als wenn nur der jeweils andere aufrüstete (Gefahr einer Aggression durch den anderen). Auch in der Wirtschaft finden sich Beispiele für das Gefangenendilemma, etwa bei Absprachen in Kartellen oder Oligopolen: Zwei Unternehmen vereinbaren eine Outputquote (zum Beispiel bei der Ölförderung), aber individuell lohnt es sich, die eigene Quote gegenüber der vereinbarten zu erhöhen. Beide Unternehmen werden mehr produzieren. Das Kartell platzt. Die Unternehmen im Oligopol sind aufgrund der erhöhten Produktion gezwungen, die Preise zu senken, wodurch sich ihr Monopolgewinn schmälert. Konkurrieren mehrere Firmen auf einem Markt, erhöhen sich die Werbeausgaben immer weiter, da jeder die anderen ein wenig übertreffen möchte. Diese Theorie konnte 1971 in den USA bestätigt werden, als ein Gesetz zum Werbeverbot für Zigaretten im Fernsehen verabschiedet wurde. Es gab kaum Proteste aus den Reihen der Zigarettenhersteller. Das Gefangenendilemma, in das die Zigarettenindustrie geraten war, wurde durch dieses Gesetz gelöst. 29

30 Aus der Kriminalistik Die sogenannte Omertà (Schweig oder stirb!) der Mafia versucht das Schweigen (Kooperieren) dadurch sicherzustellen, dass ein Verstoß mit besonders drastischen Sanktionen bedroht wird. Damit wird die Kooperation gefestigt, während gleichzeitig ein einseitiges Geständnis durch extremen Verlust demotiviert wird. Dies wäre eine Internalisierung eines negativen externen Effektes ( negativ in rein spieltheoretischem Sinn). Omertà versucht die Spieler zu gegenseitigem Vertrauen anzuhalten, kann aber das grundsätzliche Dilemma nicht auflösen. Als Gegenmittel kann die Justiz z. B. eine neue Identität und Straffreiheit für Verräter ins Spiel bringen, um das Vertrauen der Komplizen zu untergraben (Kronzeugenregelung). Eine einfache (wenngleich in Deutschland nach 136a StPO unzulässige) Verhörstrategie der Polizei kann darin bestehen, den Verdächtigten zu verunsichern, indem behauptet wird, der Komplize hätte bereits gestanden. 30

31 Degeneriertes Prisoner s Dilemma 31

32 Reine Koordination 32

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49 Nullsummenspiel 49

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