Operations Research II: Fortgeschrittene Methoden der Wirtschaftsinformatik

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1 Operations Research II: Fortgeschrittene Methoden der Wirtschaftsinformatik Michael H. Breitner, Frank Köller und Hans-Jörg v. Mettenheim 18. Juli 2007 Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 1

2 Beispiel: Kampf der Geschlechter Bob (2) geht in die Oper Bob (2) geht zum Fußballspiel Wie entscheiden sich Alice und Bob? Alice (1) geht Alice (1) geht in die Oper zum Fußballspiel (3,2) (0,0) (0,0) (2,3) Was passiert, wenn Alice und Bob sich absprechen können? Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 2

3 Spieltheorie: Grundbegriffe Meist Konfliktsituationen: 2, 3 oder n Personen Strategie: Plan von Aktionen für jede Situation. Z. B. zwei Spieler X = {x 1, x 2,..., x m } und Y = {y 1, y 2,..., y n } Auszahlungsfunktion: Gewinn je nach Spielausgang (Entscheidung der Spieler): K(x i, y j ) (Nash-)-Gleichgewichtspunkt (x, y ) eines Spiels: kein Spieler kann sich durch einseitiges Ändern seiner Entscheidung einen Vorteil verschaffen (nach John Forbes Nash, geb. 1928). Mathematischer: K(x, y ) K(x i, y ) und K(x, y ) K(x, y j ) deterministische / stochastische Spiele gemischte Erweiterung eines Spiels endliches oder unendliches Spiel Satz: Die gemischte Erweiterung eines endlichen n Personen Spiels hat mindestens einen Gleichgewichtspunkt. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 3

4 Spieltheorie: Grundbegriffe vollständige Information zur Strategiemenge und Auszahlunsfunktion aller Spieler; alternativ: unvollständige Information Nullsummen-, Nichtnullsummenspiele Insb. gilt für endliche 2 Personen Nullsummenspiele (sog. Matrixspiele): Jedes Matrixspiel besitzt mindestens einen Gleichgewichtspunkt. Grundstrategien: Maximiere die minimale Auszahlung oder maximiere die maximale Auszahlung Bildung von Koalitionen Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 4

5 Beispiel: Gefangenendilemma Gefangener (2) schweigt Gefangener (2) verrät Gefangener Gefangener (1) schweigt (1) verrät (-1,-1) (-10,0) (0,-10) (-5,-5) Nash-Gleichgewicht deutlich schlechter als bei Kooperation möglich Vorsicht also: Optimalität des Nash-Gleichgewichts nicht in jedem Sinne! Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 5

6 Hirschjagd (1) jagt Hirsch (1) jagt Hase (2) jagt Hirsch (4,4) (0,3) (2) jagt Hase (3,0) (3,3) Der französische Philosoph Jean-Jacques Rousseau ( ): Zwei Jäger gehen auf die Jagd, bei der bislang jeder alleine nur einen Hasen erlegen konnte. Nun versuchen sie sich abzusprechen, um zusammen einen Hirsch erlegen zu können, welcher beiden mehr einbringt als ein Hase. Das Dilemma: Läuft während der Jagd einem der beiden Jäger ein Hase über den Weg, muß er sich entscheiden, ob er jetzt den Hasen erlegt oder nicht. Fängt er den Hasen, so vergibt er die Gelegenheit auf das gemeinsame Erlegen eines Hirschs. Zugleich muß er sich überlegen, wie der andere handeln würde. Befindet sich jener nämlich in gleicher Lage, dann besteht die Gefahr, daß der andere einen Hasen erlegt und er letztendlich einen Verlust erleidet: weder den Hasen noch einen Anteil am Hirsch. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 6

7 Das Game of Two Cars Typisches Verfolgunsspiel aus der sog. dynamischen Spieltheorie: Vorgehen nicht mehr Schrittweise sondern in einem Zeitkontinuum. Darstellung des Spiels durch Differentialgleichungen. Der Zustandraums stellt (von allen Spielern) beobachtbare Variablen dar. Kontrollvariablen ( Zustandsvariablen!) stehen unter dem direkten Einfluß jeweils eines Spielers. Payoff: Auszahlung nach Spielende Wert: Minimax des Payoffs. Welchen Wert kann E bei optimalem Spiel mindestens erreichen, egal welche Strategie P verwendet? Lösung des Spiels prinzipiell über (Rückwärts-)Integration, allerdings häufig durch Randbedingungen erschwert. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 7

8 Das Game of Two Cars Zwei Autos: ein Geisterfahrer (Pursuer P) versucht, einen Normalfahrer (Evader E) zu rammen. E versucht, gegen alle Manöver von P eine Kollision zu vermeiden. Zusätzliche Randbedingungen: Das Spiel findet auf der Straße statt, daher darf E die Straße nicht verlassen. Die Beschleunigungs- und Bremsmöglichkeit von E ist begrenzt. Die Wenderadien von P und E hängen von der Geschwindigkeit ab. Das Spiel ist analytisch nicht komplett lösbar, daher Notwendigkeit einer numerischen Lösung 1997: Berechnung einer ersten Lösung mithilfe künstlicher neuronaler Netze durch R. Lachner et al. Allerdings nicht in Echtzeit zu implementieren. (U. a. Aufteilung des Zustandraums in 27 unterschiedliche Gebiete.) 2006/2007: Numerische Lösung mit FAUN. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 8

9 Zustands- und Kontrollvariablen x P ẋ P = v P sin φ P ẋ E = v E sin φ E φ P ẏ = v P cos φ P v E cos φ E v E = b E η E y φ P = w P u P x E φ E v E φ E = w E (v E )u E 0 x E 15 1 u P 1 1 u E 1 1 η E 0.48 Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 9

10 Methode zur Bearbeitung des Problems mit FAUN Berechnung von Strategien mittels eines sog. Stackelberg Spiels. E optimiert gegen alle möglichen Manöver von P. P optimiert (anschließend) gegen die Strategie von E. Sog. worst-case Analyse. Berechnung von Stackelberg Strategien für 1.4 Millionen Punkte des Zustandraums. Training mit (ausgewählten) Punkten. Unterteilung des Zustandraums in 100 identische Hyperkuben mit jeweils 500 Punkten. Vermeidung von Übertraining für bestimmte Teile des Zustandraums. Drei Hypersphären mit Validierungsdaten. Verhältnis von Trainings- und Validierungsdaten 4:1. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 10

11 Steuerung for u E xe in m ue x P in m 1.5 Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 11

12 Steuerungsfehler xe in m x P in m Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 12

13 Fehler bei der Payoff Entfernung xe in m x P in m payoff distance error in m Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 13

14 ue für variables y xe in m 8 0 ue y in m Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 14

15 Visuelles Feedback Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 15

16 Zusammenfassung Spieltheorie Modellierung von z. B. Kooperationsdilemmata. Vorteil: Bei einfachen Spielen bekannte Methoden zum Auffinden der Gleichgewichtspunkte. Vorsicht jedoch bei der Annahme eines homo oeconomicus. Dynamische Spieltheorie Modellierung mithilfe von Differentialgleichungen. Randbedingungen führen häufig zu analytischer Unlösbarkeit. Zur Lösung mittels neuronaler Netze müssen geeignete Punkte aus dem Zustandsraum selektiert werden. Hans-Jörg von Mettenheim Operations Research II 16