Dr. Anita Kripfganz SS 2014

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1 Dr. Anita Kripfganz SS Spieltheorie 6.1 Gegenstand und Ziele Zielstellung: qualitative und quantitative Analyse von Konflikten in strategischen Entscheidungssituationen = Theorie des rationalen optimalen Verhaltens von Entscheidungsträgern (Spielern) Schlüsselannahmen: rationales optimales Verhalten, d.h. (A1) Spieler verhalten sich vernünftig (A2) Spieler verfolgen ihren eigenen Vorteil Strategische Entscheidungssituationen: (S1) Das Handlungsergebnis hängt von den Spielern ab. (S2) Jeder Spieler kennt die Regeln und die Auswirkung von Handlungen und weiß, dass auch die anderen Spieler sie kennen. (S3) Alle Spieler berücksichtigen diese Tatsachen. Merkmale eines Spiels: Anzahl der Spieler Gesamtheit der Spielregeln Interessen der Spieler weitere Grundbegriffe: Aktion, Aktionsraum Gewinnfunktion endliches Spiel: Aktionsraum endlich Strategie: Regel zur Wahl von Aktionen reine Strategie: Wahl einer Aktion gemischte Strategie: Wahrscheinlichkeismaß auf dem Aktionsraum Nullsummenspiel: Summe aller Gewinne ist Null Matrixspiel: endliches 2-Personen-Nullsummenspiel Gewinnfunktion: Bewertung von Aktionen Gegenstand der mathematischen Spieltheorie: (u.a.) Lösungsbegriffe Existenz, Eigenschaften von Lösungen Lösungskriterien numerische Lösung. 1

2 Beispiele 1. Beispiel Max und Moritz haben jeder eine große Anzahl Münzen zu 1 Cent, 5 Cent, 10 Cent. In jeder Spielrunde legen beide je eine davon auf den Tisch. für Max (in Cent): Ist die Summe gerade, so gewinnt Max die Münze von Moritz, anderenfalls gewinnt Moritz die Münze von Max. \ Moritz Max \ 1 Cent 5 Cent 10 Cent 1 Cent Cent Cent Wie sollten Max und Moritz spielen? 2. Beispiel Richard und Cecilie planen eine Zeltreise. Das Zielgebiet ist mit Schneisen bzw. Wegen durchzogen. Richard möchte möglichst hoch und Cecilie möglichst tief übernachten. Sie einigen sich auf folgende Auswahlregeln: Cecilie (C) darf die Längswege wählen, Richard (R) darf die Querwege wählen. für Richard (in 100 m): \ C R \ Können sich beide vernünftig einigen? 2

3 3. Beispiel Ein Laborgebäude soll mit 10 Handfeuerlöschern ausgerüstet werden. Hierzu stehen verschiedene Typen zur Verfügung. Ihre Brauchbarkeit (technisch, ökonomisch) zur Bekämpfung unterschiedlicher Brände ist durch die folgenden fünf Noten gekennzeichnet: für Löscher (in Eignungsnoten): 0 : unbrauchbar.. 4 : sehr gut geeignet \ Brand feste Flüssig- elektrische Hochdruck- empfind- \ Körper keiten Anlagen stahl- liche Löscher\ flaschen Geräte Kohlensäureschneelöscher Trockenlöscher Schaumlöscher Tetralöscher Nasslöscher Wie soll das Laborgebäude am besten ausgerüstet werden? 4. Beispiel Ein Investor plant, insgesamt 60 neue Maschinen vom Typ M 1 bzw. M 2 aufzustellen. Diese Maschinen sollen insbesondere die Herstellung zweier neuer ProdukteP 1,P 2 übernehmen. Er weiß, dass ein starker Konkurrent ebenfalls die Produktion von P 1 bzw. P 2 aufnehmen will, und möchte sich mit seiner Investitionsentscheidung darauf einstellen. für den Investor (in Eignungskennziffern) Konkurrent fertigt P 1 P 2 \ Investor Maschine\fertigt P 2 P 1 M M Wieviele Maschinen sollten jeweils gekauft werden? 3

4 6.2 Matrixspiele und reine Strategien Betrachte: Matrixspiel mit ZeilenspielerRmitm AktionenR 1,...,R m SpaltenspielerC mitnaktionenc 1,...,C n fürr: A = (a ij ) R m n fürc: A T = (a ji ) R n m, also a ij : Gewinn fürr, falls R die AktionR i und C die AktionC j wählt Verlust fürc, fallsc die AktionC j und R die AktionR i wählt Grundvoraussetzung: Jeder Spieler rechnet mit dem stärksten Gegenspiel. Unter dieser Voraussetzung wählt jeder Spieler seine Strategie so, dass er mit seiner Entscheidung seinen Mindestgewinn maximiert bzw. den Höchstschaden minimiert. Hieraus ergibt sich ein Lösungsbegriff, der eine risikoscheue Haltung widerspiegelt. Diese Herangehensweise ist bei vernünftigen (rational denkenden) Gegenspielern in antagonistischen Konfliktsituationen berechtigt. Definition. Die Aktionen der Spieler heißen reine Strategien. In der Menge der reinen Strategien impliziert rationales Spielen dann folgende Herangehensweisen der Spieler: R bewertet jede Aktion R i mit min 1 j n a ij und kann sich bei Wahl von Aktion R i mit i aus ν(a) := max min a ij = a ij 1 i m 1 j n eine Mindestauszahlung vonν(a) sichern C bewertet jede AktionC j mitmax 1 i m a ij und kann sich bei Wahl von AktionC j mitj aus ν(a) := max min a ij = a ij 1 i m 1 j n auf eine Höchstverlust von ν(a) einstellen. Definition. Sei A R m n eines Matrixspiels. Dann heißen (i) ν(a) unterer Wert des Spiels undν(a) oberer Wert des Spiels (ii) R i undc j reine Minimax-Strategien der Spieler. Lemma 6.1. Es gilt stetsν(a) ν(a). Beweis: Ausa ij max 1 i m a ij für allei,j folgt also min a ij min max a ij 1 j n 1 j n1 i m j = 1,...,n, ν(a) = max 1 i m min 1 j n a ij min 1 j n max 1 i m a ij = ν(a). q.e.d. Der Interessenskonflikt im Spiel lässt sich also lösen, wenn die Gleichgewichtsbedingung ν(a) = ν(a) erfüllt ist, also die Minimaxstrategie des Zeilenspielers dieselbe Auszahlung wie die Minimaxstrategie des Spaltenspielers liefert. 4

5 Definition. Sei A = (a ij ) R m n eines Matrixspiels. Dann heißt (i) der Eintraga rs Sattelpunkt von A, falls a is a rs a rj für allei,j gilt (ii) das Paar (R r,c s ) Sattelpunkt des Matrixspiels in der Menge der reinen Strategien. Damit lässt sich nun ein erster Lösungsbegriff für Matrixspiele formulieren. 1. Lösungsbegriff: Sattelpunkt in der Menge der reinen Strategien Den Zusammenhang zwischen Sattelpunkten und der Gleichgewichtsbedingung stellt der folgende Satz her. Satz 6.2. Ein Matrixspiel mit A besitzt einen Sattelpunkt in der Menge der reinen Strategien genau dann, wenn ν(a) = ν(a) gilt. Beweis: ( ) : Sei (R r,c s ) ein Sattelpunkt des Matrixspiels in der Menge der reinen Strategien, also a rs ein Sattelpunkt der Matrix A. Dann ergibt sich aus a is a rs a rj für alle i,j unmittelbar ν(a) = min 1 j n max 1 i m a ij max 1 i m a is a rs = min 1 j n a rj max 1 i m min 1 j n a ij = ν(a) Zusammen mit Lemma 6.1 folgt hierausν(a) = ν(a). ( ) : Es seiν(a) = ν(a) = a rs. Dann ergibt sich aus der Definition vonν(a) und ν(a): a is ν(a) = a rs = ν(a) = min 1 j n a rj a rj i,j, also ist(r r,c s ) ein Sattelpunkt des Matrixspiels in der Menge der reinen Strategien. q.e.d. Besitzt die einen Sattelpunkt, dann kann das Spiel bei Wahl einer geeigneten Aktion durch die Spieler gelöst werden. Die Auszahlung an die Spieler ist in diesem Fall gegeben durch den Wert ν(a) = ν(a). Im Allgemeinen ist diese Gleichgewichtsbedingung aber nicht erfüllt. Dieser Lösungsbegriff ist also zu stark. 6.3 Gemischte Strategien Ein schwächerer Lösungsbegriff resultiert aus einer Erweiterung der Menge der zulässigen Strategien. Definition. Sei A R m n eines Spiels. Dann heißen (i) x R m mitx 0 und m i=1 x i = 1 gemischte Strategie des ZeilenspielersR (ii) y R n mitx 0 und m j=1 y j = 1 gemischte Strategie des Spaltenspielers C. Gemischte Strategien entsprechen diskreten Wahrscheinlichkeitsmaßen auf dem jeweiligen Aktionsraum. Die reinen Strategien sind spezielle gemischte Strategien, wobei x = e i der Wahl von AktionR i undy = e j der Wahl von AktionC j entspricht. Dabei bezeichnene i bzw. e j die entsprechenden Einheitsvektoren im R m bzw. im R n. Als Gewinnfunktion bietet sich der erwartete Gewinn bei jeweilig unabhängiger Wahl vonxundy an. 5

6 Die grundlegende Begriffe lassen sich für diese Erweiterung des Matrixspiels mit SpielmatrixAdann folgendermaßen festlegen: Spielsituation:( x, ẙ) Gewinnfunktion fürr : E(x,y) := m i=1 n j=1 a ijx i y j = x T Ay Gewinnfunktion fürc : E(x,y) := m i=1 n j=1 a ijy j x i = y T ( A) T x Der resultierende Lösungsbegriff ergibt sich auch hier aus einer Gleichheit der Auszahlungen für jeweils zulässige Strategien. Bei der Modellierung geht man wieder von einer risikoscheuen Herangehensweise der Spieler aus. Es ist zu prüfen, ob das Spiel dann in der Menge der gemischten Strategien lösbar ist. mathematisches Modell: (mit 1 als Summationsvektor entsprechender Dimension) für ZeilenspielerR: für SpaltenspielerR: ( P R ) : f(x) := min y 0 ( P C ) : g(y) := max x 0 E(x,y) max! x 0 E(x,y) min! y 0 Die Funktion f ergibt sich aus der Lösung einer parametrischen Optimierungsaufgabe. Der zulässige Bereich Σ n = {y R n y 0,1 T y = 1 dieser Aufgabe ist ein nichtleeres Polytop (Simplex) mit den Einheitsecken e 1,...,e n R n. Die Funktion E ist in beiden Argumenten stetig, also existiert das Minimum von E bzgl. y auf dem Simplex Σ n. Insbesondere ist dort eine der Ecken optimal. MitE(x,y) = x T Ay gilt also: min x T Ay = min y 0 j=1,...,n xt Ae j = x T Ae j(x). Analog erhält man für die Maximierung von E bzgl. x auf dem Simplex Σ m R m mit den Einheitseckene 1,...,e m R m die Beziehung max y T A T x = max x 0 i=1,...,m yt A T e i = y T A T e i(y). Damit lassen sich die Optimierungsaufgaben( P R ) bzw. ( P C ) jeweils äquivalent umformen: für ZeilenspielerR: (P R ) : f(x) = min j=1,...,n xt Ae j max! Lösung:x,ν R := f(x ) x 0 für SpaltenspielerR: ( P C ) : g(y) = max i=1,...,m yt A T e i min! Lösung:y,ν C := g(y ) y 0 Man beachte, dass f als Minimum linearer Funktionen konkav und g als Maximum linearer Funktionen konvex ist und beide Funktionen stetig sind. Die jeweiligen Optimalwerte besagen: für ZeilenspielerR: ν R ist die Auszahlung, die sich R bei beliebigem Gegenspiel von C mindestens sichern kann für SpaltenspielerC: ν C ist der Verlust, mit welchem C bei beliebigem Gegenspiel von R höchstens rechnen muss Definition. Die Lösungenx bzw.y der Aufgaben(P R ) bzw.(p C ) heißen Minimaxstrategien fürrbzw. fürc in der Menge der gemischten Strategien. 6

7 Analog zu Lemma 6.1 gilt offensichtlichν R ν C. Frage: Lässt sich der Konflikt des Spiels lösen, d.h. giltν R = ν C? Zur Beantwortung dieser Frage formen wir die Optimierungsaufgaben(P R ) und(p C ) noch einmal äquivalent um und erhalten nach Einführung jeweils einer zusätzlichen Variablen L bzw.k das folgende Paar linearer Optimierungsprobbleme: (LP R ) : L max! m a ij x i L j i=1 m x i = 1 i=1 x 0 (LP C ) : K min! n a ij y j K i j=1 n y j = 1 j=1 y 0 Aus den bisherigen Überlegungen, der Äquivalenz der Aufgaben und aus den in linearen Optimierung bewiesenen Zusammenhängen ergeben sich schließlich folgende Erkenntnisse: a) (LP R ) und (LP C ) besitzen zulässige Lösungen. b) (LP R ) und (LP C ) sind dual. c) (LP R ) und (LP C ) besitzen optimale Lösungen(x,L ) und(y,k ) mit: ν R = min 1 j n x T Ae j = L = x T Ay }{{} = K = max 1 i m et i Ay = ν C. E(x,y ) d) Es gilt:x T Ay x T Ay x T Ay für allex Σ m,y Σ n. Definition. (i) ν = ν R = ν C heißt gemischter Wert des Spiels. (ii) Ein Paar (x,y ) gemischter Strategien für (R,C) heißt Sattelpunkt bzw. Gleichgewichtspunkt des Matrixspiels, falls gilt: x T Ay x T Ay x T Ay x Σ m, y Σ n. Für Matrixspiele lassen sich die gewonnenen Erkenntnisse nun im folgenden Satz zusammenstellen. Satz 6.3. [v. Neumann/Morgenstern und Nash] Die gemischte Erweiterung eines Matrixspiels besitzt stets einen Wert ν und mindestens einen Gleichgewichtspunkt. Fazit: Rkann sich bei optimaler Spielweise im Mittel eine Mindestauszahlungν sichern. C kann sich bei optimaler Spielweise im Mittel eine Mindestauszahlung ν sichern. Ein Spieler kann aus der Erkenntnis, dass der andere Spieler seine optimale Strategie gewählt hat, keinen Nutzen ziehen. Bemerkung: Für jeden Spieler kann es mehrere optimale Strategien geben. Es gilt dann: 1. Jede optimale Strategie liefert denselben Spielwert ν. 2. Eine konvexe Linearkombination optimaler Strategien ist wieder eine optimale Strategie. 7