Kap 7. Nash-GG und soziales Optimum. Ist das Ergebnis gut oder schlecht? Welcher Vergleichsmaÿstab ist geeignet?

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1 1 Kap 7. Nash-GG und soziales Optimum Ein strategisches Spiel erfasst eine Situation,... - in der die Spieler dezentral und unabhängig von einander interagieren - d.h. es gibt niemanden, der den Spielern vorschreiben kann, was sie tun Klassische Frage: Ist das Ergebnis gut oder schlecht? Welcher Vergleichsmaÿstab ist geeignet? Wenn es einen wohlmeinenden Diktator gäbe,... - der den Spielern bestimmte Strategien befehlen könnte - was würder er verordnen?

2 2 Nash-GG und soziales Optimum Wir wissen: Auf Wettbewerbsmärkten ohne strategische Interaktion führt dezentrale Organisation via Angebot und Nachfrage zum sozialen Optimum Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie In Spielen jedoch hatten wir schon gesehen: im Gefangenendilemma nicht der Fall Ist das immer so?

3 3 Das soziale Optimum Sei G = {(S i, u i ) n i=1 } ein Spiel mit stetigen Strategienräumen Nimm an, Nutzen ist transferierbar (z.b. Geld) Die soziale Wohlfahrt aus einem Prol s S ist deniert als n U(s) = u j (s) j=1 Das soziale Optimum ist deniert als ein Maximierer von U: ŝ = arg max s S U(s) Idee: ein wohlmeinender Diktator würde ŝ verordnen

4 4 Vergleich B.e.O: Nash versus soziales Optimum B.e.O. für das soziale Optimum ŝ : Für alle i U(ŝ) n u j (ŝ) = = 0 s i s i j=1 B.e.O. für ein Nash-GG s : Für alle i u i (s ) s i = 0 Oenbar sind die Bedingungen verschieden Also: im allgemeinen ist das Nash-GG nicht sozial optimal

5 5 Das Allmendeproblem (Hardin, 1968) Eine Gruppe von n Fischern bewirtschaftet einen gemeinsamen Teich Jeder Fischer i wählt eine Anzahl b i S i = [0, ) von Booten Der Betrieb von b i Booten kostet cb i > 0 Sei B = b b n die Anzahl aller ausgesandten Boote Der Ertrag pro Boot bei insgesamt B Booten ist v(b) v ist fallend und konkav in B

6 6 Das Allmendeproblem Also: u i (b i, b i ) = b i v(b) cb i Soziale Wohlfahrt: U(b) = Bv(B) cb Soziales Grenzprodukt von b i : [Produktregel] b i Bv(B) = v(b b n ) + (b b n ) v (b b n ) Individuelles Grenzprodukt von b i : b i b i v(b) = v(b b n ) + b i v (b b n ) Beachte: v < 0 individuelles Grenzprodukt höher

7 7 Das Allmendeproblem BeO für soziales Optimum: Soziales Grenzprodukt = Grenzkosten c BeO für Nash: Individuelles Grenzprodukt = Grenzkosten c Berechnung unter der Symmetrieannahme: b 1 =... = b n = B/n BeO für soz. Opt: v( B) + B v ( B) = c (1) BeO für Nash-GG: v(b ) + (B /n) v (B ) = c (2) Beachte: v < 0, v < 0 Linke Seiten von (1) und (2) fallen in B Da v < 0: Linke Seite von (2) oberhalb der von (1) Also B > B Im Nash-GG werden aus sozialer Sicht zu viele Boote entsandt

8 8 Das Allmendeproblem Grund: i sendet so lange Boote aus wie sein Ertrag aus einem zusätzlichen Boot über dessen zusätzlichen Kosten liegt Er bezieht den sozialen Grenzertrag seiner Aktion nicht mit ein er internalisiert nicht, dass sein zusätzliches Boot den Grenzertrag der anderen Boote reduziert Negative Externalität Aus sozialer Sicht also zu viele Boote (Ressourcenübernutzung) Mögliche Lösung: Eigentumsrechte festlegen, die berechtigen Fischgebühren zu verlangen

9 9 Das Allmendeproblem als Populationsspiel Wir können das Allmendeproblem auch als Populationsspiel formulieren eleganter Betrachte nun ein Kontinuum I = [0, 1] von Fischern. Jeder Fischer hat zwei Aktionen s i = 0: Kein Boot aussenden Nutzen = 0 s i = 1: Boot aussenden Nutzen = v(β) c v(β) = Ertrag für Fischer i, wenn ein Anteil β von Fischern Boote aussendet

10 10 Das Allmendeproblem als Populationsspiel Soziale Wohlfahrt, wenn ein Anteil β Boote sendet: W (β) = βv(β) βc B.e.O. für sozial optimales β: βv ( β) + v( β) c = 0 Im NashGG β : v(β ) = c (Leicht zu sehen: es gibt keine anderen) Beachte: Formeln entsprechen genau den Formeln im ersten Allmendeproblem, wenn n Also: β > β, d.h. Überschung im NashGG

11 11 Wettkämpfe Gruppe von n Spielern streitet um einen Preis in Höhe von V > 1 Jeder Spieler wählt eine Anstrengung s i S i = [0, ) Dafür muss jeder Spieler Kosten c(s i ) aufwenden Die Gewinnwahrscheinlichkeit von Spieler i ist p i (s i, s i ) Konkret betrachten wir den sog. Tullock-Wettkampf p i (s i, s i ) = s i s s n und p i (0, 0) = 1/n mit linearen Kosten c(s i ) = s i Beachte: s i erhöht die eigene Siegchance und reduziert die der Gegner

12 12 Wettkämpfe Beispiele - Patentrennen - Vergabe von Gebietsmonopolen (Strom, Wasser, etc) - Lobbying, Bestechung - Bewerbungen: Jobs, Stipendien, Forschungsgelder, Architekturwettb. - Sportwettkämpfe - Kampf um Positionen in Unternehmen - Kriege

13 13 Tullock-Wettkampf: soziales Optimum Soziale Wohlfahrt - Beachte: Gewinnwahrscheinlichkeiten summieren sich zu 1 U(s) = V (s s n ) Damit: Soziales Optimum: ŝ = 0 Aus sozialer Sicht sind die Wettkampfaufwendungen reine Verschwendung. Denn sie vergrössern den Gesamtkuchen nicht Dies ist eine Extremannahme, die man abschwächen kann,... - die aber die Grundlogik am klarsten macht

14 14 Tullock-Wettkampf: Nash-GG Nutzen für Spieler i: BeO für Nash-GG u i (s i, s i ) = V s i /(s s n ) s i (Quotientenregel) V s s i 1 + s i s n (s s n ) 2 1 = 0 Symmetrie: s i = s für alle i V Also: s i = V (n 1)/n2 ist Nash (n 1) s (n s) 2 1 = 0

15 15 Tullock-Wettkampf: Intuition Also: Wettkampf führt zu sozial exzessiven Aufwendungen Grund Der soziale Ertrag einer zusätzlichen Aufwandseinheit ist Null Aber bei kleinen Aufwendungsniveus liegt der private Ertrag einer zusätzlichen Aufwandseinheit über deren Kosten Im Extremfall von s i = 0 - Eine zusätzliche Aufwendungseinheit kostet i nichts - erhöht aber seine Siegschance von 1/n auf 1!

16 16 Wettkämpfe als Anreizinstrumente Häug will man aber gerade, dass die Spieler sich anstrengen - Forschung und Entwicklung, Arbeiter, Studium, etc. Deshalb werden Wettkämpfe häug als Anreizinstrumente verwendet - relative performance pay Wenn Anstrengung der Spieler sozial wünschenswert ist - dann muss man aber die soziale Wohlfahrt anders denieren - z.b. Wohlfahrt = Summe der Aufwendungen Das heisst nicht, dass Wettkämpfe optimale Anreizinstrumente sind - Diese Fragestellung wird im Mechanism Design untersucht

17 17 Das Teamproblem Eine Gruppe von n Spielern erwirtschaftet gemeinsam einen Output Jeder Spieler i wählt eine Investition s i S i = [0, ) Dafür muss er Kosten c(s i ) aufwenden Daraus ensteht der Output y = f(s 1,..., s n ), der gleichmässig unter den Spielern geteilt wird Sei f steigend und konkav in s i, c steigend und konvex Also: u i (s i, s i ) = n 1f(s 1,..., s n ) c(s i ) Soziale Wohlfahrt: U(s) = f(s 1,..., s n ) i c(s i)

18 18 Das Teamproblem B.e.O. für soziales Optimum f(s) s i c (s i ) = 0 - Soziales Grenzprodukt von Input s i gleich Grenzkosten von s i B.e.O. für Nash-GG: 1 f(s) c (s n s i ) = 0 i - Individuelles Grenzprodukt von Input s i gleich Grenzkosten von s i Beachte: individuelles Grenzprodukt geringer

19 19 Das Teamproblem: Beispiel f(s 1,..., s n ) = s s n, c(s i ) = (1/2)s 2 i BeO für soz. Optimum: 1 s i = 0 ŝ i = 1 BeO für Nash-GG: 1/n s i = 0 s i = 1/n Also: zu geringe individuelle Beiträge im Nash-GG Grund: i investiert so lange wie sein Ertrag aus einer zusätzlichen Investitionseinheit über deren zusätzlichen Kosten liegt Aus sozialer Sicht sollte i so lange investieren, wie der soziale Ertrag aus einer zusätzlichen Investitionseinheit über deren zusätzlichen Kosten liegt

20 20 Das Teamproblem i bekommt aber nur ein n-tel des Produkts seiner Investition zurück - der Rest geht an die anderen Spieler - Investieren ist öentl. Gut - Spieler i übt eine positive Externalität aus Daher ist der private Ertrag einer zusätzlichen Investitionseinheit geringer als deren sozialer Ertrag Also wird im Nash-GG aus sozialer Sicht zu wenig investiert