2. Wohlfahrtstheorie

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1 2. Wohlfahrtstheorie Prof. Dr. Christian Holzner LMU München WS 2011/2012

2 2. Wohlfahrtstheorie 2.1 Grundlagen 2.2 Die optimale Güterverteilung 2.3 Der optimale Faktoreinsatz 2.4 Die optimale Produktionsstruktur 2.5 Die kritischen Annahmen Literatur Jean Hindricks und Gareth D. Myles. Intermediate Public Economics, MIT Press, Cambridge, MA, 2006, Kapitel 2. Wellisch, Finanzwissenschaft I - Rechtfertigung der Staatstätigkeit, Vahlen, München, 1999, Kapitel 2. [*] 1 / 42

3 Optimale Allokation In diesem Kapitel sollen einige der wesentlichen Bedingungen für eine effiziente Allokation hergeleitet werden. Die Fragestellung: Wie sollten Güter auf Haushalte verteilt werden? (Kapitel 2.2) Wie sollten die Produktionsfaktoren in der Produktion verteilt werden? (Kapitel 2.3) Welche Güter sollten produziert werden? (Kapitel 2.4) Die Vorgehensweise Zunächst Herleitung der optimalen Allokation (benevolenter Planer) dann Nachweis, dass ein perfekter Markt dezentral genau diese optimale Lösung realisiert. Einige weitere Aspekte der optimalen Allokation (intertemporale Allokation, Allokation von Risiken etc.) werden hier nicht behandelt. 2 / 42

4 2.1. Grundlagen Es gebe N Individuen mit Nutzenfunktionen u i (x i ) definiert über den Konsum von M Gütern: x i = (x i 1, xi 2,..., xi M ). Definition: Eine Allokation x = (x 1, x 2,...x N ) ist paretoeffizient, wenn es keine andere Allokation gibt, bei der alle Individuen mindestens gleich gut und mindestens ein Individuum strikt besser gestellt wird, d.h. wenn es keine Allokation x gibt mit u i (x i ) u i (x i ) für alle i und u i (x i ) > u i (x i ) für mindestens ein i. Pareto-Effizienz: Minimalkriterium für wohlfahrtsoptimale Allokationen, in der die Nutzen verschiedener Individuen nicht gewichtet werden. 3 / 42

5 Wohlfahrtsfunktion: Individuelle Nutzen werden gewichtet: W = W(u 1 (x 1 ), u 2 (x 2 ),...u N (x N )) (1) W mit u i > 0 für alle i (2) z.b. Summe der Nutzen (utilitaristische Wohlfahrtsfunktion): W = N u i (x i ) (3) i=1 Wohlfahrtsfunktion setzt interpersonellen Nutzenvergleich voraus. Aber: Jede Allokation, die eine Wohlfahrtsfunktion maximiert, ist paretoeffizient. 4 / 42

6 2.2. Die optimale Güterverteilung Effiziente Allokation: Verteile die exogen gegebenen Gütermengen x 1 und x 2 so auf die beiden Haushalte A und B, dass es nicht möglich ist, durch Umverteilung der Güter entweder A oder B besser zu stellen, ohne den jeweils anderen schlechter zu stellen. Individuen haben quasikonkave Nutzenfunktionen u i = u(x i 1, x i 2), i = A, B und Anfangsausstattungen ω i 1, ωi 2. Seien x A = (x A 1, xa 2 ) und xb = (x B 1, xb 2 ) die Konsumgüterbündel von A und B und x = (x A, x B ). 5 / 42

7 Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer) Allokation ist möglich innerhalb der Edgeworth Box. Tausch erfolgt ausgehend vom Ausstattungspunkt Ω. Paretoeffizienz ist erreicht, wenn es nicht möglich ist, A besser zu stellen ohne B schlechter zu stellen und umgekehrt. Tauschlinse: geometrischer Ort aller Güterkombinationen, für die sich verglichen mit Ω alle mindestens gleich gut stellen (Pareto-Verbesserung). Kontraktkurve: geometrischer Ort aller paretoeffizienten Güterkombinationen Zeichnen Sie die Indifferenzkurven für A und B ausgehend von Ω in Abbildung 1 ein und markieren Sie die Tauschlinse und die Kontraktkurve. 6 / 42

8 Gut 2 1 B B 2 A B 2 A Gut 1 1 A Abbildung 1: Edgeworth Box 7 / 42

9 Maximiere den Nutzen des Individuums A bei gegebenem Nutzen des Individuums B [u(x B 1, xb 2 ) ū] und halte die Ressourcenbeschränkung [x A 1 + xb 1 = ωa 1 + ωb 1 und x A 2 + xb 2 = ωa 2 + ωb 2 ] ein. Formal: max u(x A x A 1, x A 2 ) u.d.b. u(x B 1, x B 2 ) ū (4) 1,xA 2,xB 1,xB 2 x A 1 + x B 1 = ω A 1 + ω B 1 (5) x A 2 + x B 2 = ω A 2 + ω B 2 (6) 8 / 42

10 Lagrange Funktion: L = u(x A 1, x A 2 ) + λ(u(x B 1, x B 2 ) ū) + µ 1 (x A 1 + x B 1 ω1 A ω1 B ) + µ 2 (x A 2 + x B 2 ω2 A ω2 B ) Bedingungen 1. Ordnung (FOCs) - auch für λ, µ 1, µ 2 : x A u A 1 : + µ 1 = 0 (7) x A 1 x A 2 : u A x A 2 + µ 2 = 0 (8) x B 1 : λ ub x B 1 + µ 1 = 0 (9) x B 2 : λ ub x B 2 + µ 2 = 0 (10) 9 / 42

11 (7)-(10) folgt µ 1 µ 2 = ua / x A 1 u A / x A 2 }{{} U A 1 = ub / x B 1 u B / x B 2 }{{} U B 1 (11) U A 2 U B 2 oder GRS A = GRS B (12) Interpretation: Tauscheffizienz ist erreicht, wenn die Grenzraten der Substitution im Konsum für alle Individuen übereinstimmen Kontraktkurve. 10 / 42

12 B Kontraktkurve Gut 2 A Gut 1 Abbildung 2: Paretoeffizienter Tausch Welche Allokation folgt aus dem Maximierungsproblem oben für Ω? 11 / 42

13 Dezentrale Lösung des Marktes Sichert der Markt eine effiziente Güterallokation, wenn die Individuen dezentral entscheiden? Ja, falls die Individuen Preisnehmer sind und für alle die gleichen Güterpreise gelten. Markt als Institution: Aus Sicht der Individuen sind Preise gegeben (Auktionator wählt Preise p 1, p 2 ). 12 / 42

14 Individuen bestimmen, wieviel sie (ver-)kaufen wollen, um ihren Nutzen unter Berücksichtigung der Budgetbeschr. zu maximieren, z.b. für A: max u(x A x A 1, x A 2 ) (13) 1,xA 2 u.d.b. p 1 x A 1 + p 2 x A 2 = p 1 ω A 1 + p 2 ω A 2 }{{} exog. Einkommen / Anfangsausst. (14) oder max u(x A x A 1, p 1 ω1 A + ω2 A p 1 x A 1 ) (15) p 1 2 p 2 13 / 42

15 Bedingung 1. Ordnung: u A x A 1 p 1 p 2 u A x A 2 = 0 (16) u A / x A 1 u A / x A 2 }{{} U A 1 U A 2 = p 1 p 2 (17) Aus dem Maximierungsproblem ergeben sich die Nachfragemengen x A 1 (p 1, p 2 ) und x A 2 (p 1, p 2 ) und analog für B. Wenn die Nachfragen nicht dem Angebot entsprechen, ändert der Auktionator die Preise solange bis dies der Fall ist. Im Konkurrenz-Gleichgewicht mit Preisen p 1, p 2 muss gelten x A j (p 1, p 2) + x B j (p 1, p 2) = ω A j + ω B j, j = 1, 2 (18) 14 / 42

16 In (17) sieht man, dass die Grenzrate der Substitution dem Preisverhältnis entspricht. Da sich alle Individuen an dasselbe Preisverhältnis anpassen, gleichen sich auch die Grenzraten der Substitution an. Da der Markt dieselbe Allokation wie der Zentrale Planer umsetzt folgt, dass das Gleichgewicht paretoeffizient ist: GRS A = p 1 p 2 = GRS B (19) Durch den marktlichen Tausch wird ein Punkt auf der Kontraktkurve realisiert (vergleiche (11) und (17)). 15 / 42

17 Theorem (Erster Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie) Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist paretoeffizient. 16 / 42

18 B Steigung -p 1 /p 2 Gut 2 A Gut 1 Abbildung 3: Preise: Kein Gleichgewicht 17 / 42

19 B Steigung -p* 1 /p* 2 Gut 2 M A Gut 1 Abbildung 4: Paretoeffizienz und Konkurrenz 18 / 42

20 Beachte: Punkt M ist nur ein mögliches paretoeffizientes Gleichgewicht (das Wettbewerbsgleichgewicht, das ausgehend von Ω erreicht wird). Lassen sich auch andere paretoeffiziente Allokationen als Wettbewerbsgleichgewicht implementieren? Theorem (Zweiter Hauptsatz der Wohlfahrtstheorie) Wenn alle Konsumenten konvexe Präferenzen haben, kann jede paretoeffiziente Allokation durch Wahl der Anfangsausstattungen als Wettbewerbsgleichgewicht implementiert werden. 19 / 42

21 B Gut 2 E A Gut 1 Abbildung 5: 2. Hauptsatz 20 / 42

22 Bedeutung der Hauptsätze Unter vollständigem Wettbewerb wird ein effizientes Ergebnis erreicht. Staat muss nur eingreifen, wenn Annahmen nicht zutreffen und Marktversagen vorliegt. Verteilung der Markteinkommen kann extrem ungleich sein. Jede beliebige pareto-effiziente Allokation lässt sich durch Pauschalsteuern und Transfers erreichen (2. Hauptsatz): Trennung von Allokation und Verteilung. Problem: Information über Fähigkeiten der Individuen optimale Besteuerung. 21 / 42

23 2.3. Der optimale Faktoreinsatz Effiziente Allokation: Verteile den exogen gegebenen Faktorbestand an Arbeit N und Kapital K so auf die Produktion der beiden Güter x 1 und x 2, dass es nicht möglich ist, durch Umverteilung der Faktoren von einem Gut mehr zu produzieren, ohne gleichzeitig von dem anderen Gut weniger zu produzieren. Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer) Maximiere den Output eines Gutes F 1 bei gegebener Produktion des anderen Gutes [F 2 (N 2 ; K 2 ) x 2 ] und halte die Ressourcenbeschränkung [N N 1 + N 2 und K K 1 + K 2 ] ein. 22 / 42

24 Lagrange Funktion: L = F 1 (N 1 ; K 1 ) + λ(f 2 (N 2 ; K 2 ) x 2 ) + µ 1 (N N 1 N 2 ) + µ 2 (K K 1 K 2 ) Bedingungen 1. Ordnung (FOCs): N 1 F 1 : N 1 µ 1 = 0 (20) K 1 : F 1 K 1 µ 2 = 0 (21) N 2 : λ F 2 N 2 µ 1 = 0 (22) K 2 : λ F 2 K 2 µ 2 = 0 (23) 23 / 42

25 Aus (20) - (23) folgt: FN 1 FK 1 = F 2 N F 2 K (24) mit F i j = F i j i, wo i = 1, 2 (Gut 1, Gut 2) und j = N, K. Aus (24) folgt: Eine effiziente Produktion ist erreicht, wenn das Verhältnis der Grenzprodukte von Arbeit und Kapital in der Produktion beider Güter gleich ist. Anders gesagt: Die Grenzraten der technischen Substitution müssen in beiden Produktionen gleich sein: GRtS 1 = GRtS 2 (25) 24 / 42

26 0 2 Kapital K Q x 2 P S x 1 R 0 1 Arbeit N Abbildung 6: Paretoeffiziente Allokation 25 / 42

27 Die effizienten Outputkombinationen kann man auch durch die Produktionsmöglichkeitenkurve (oder Transformationskurve) darstellen T(x 1, x 2 ) = 0 (26) Die Steigung ist die Grenzrate der Transformation (GRT): Wieviel x 2 kann mehr produziert werden, wenn eine Einheit x 1 weniger produziert wird (Grenzkosten) dx 2 dx 1 = F 2 N F 1 N Transformationskurve ist konkav; Firmen sind Preisnehmer. Überlegen Sie, was Grenzrate der technischen Substitution und Grenzrate der Transformation inhaltlich bedeuten. 26 / 42

28 Kapital K 0 2 x 2 Q x 2 Steigung = GRT P S x 1 R 0 1 Arbeit N x 1 Abbildung 7: Transformationskurve Zeichnen Sie die Punkte P, Q, R, S in die rechte Graphik. 27 / 42

29 Dezentrale Lösung des Marktes Sichert der Markt eine effiziente Faktorallokation, wenn die Produzenten dezentral entscheiden? Die Unternehmen sind Preisnehmer auf den Güter- und Faktormärkten, d.h. sie nehmen den Lohn w, den Zins r und die Güterpreise p 1, p 2 als gegeben. Ein Unternehmen maximiert seinen Gewinn max p i F i (N i ; K i ) wn i rk i (27) durch Wahl der geeigneten Faktoreinsatzmengen. 28 / 42

30 Die Bedingungen 1. Ordnung lauten p i F i N = w (28) p i F i K = r (29) Da sich alle Unternehmen an dieselben Faktorpreise anpassen, gilt auch: FN 1 FK 1 = w r = F 2 N F 2 K (30) Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für eine effiziente Güterallokation (vergleiche (24) und (30)), d.h. GRtS 1 = w r = GRtS 2 (31) 29 / 42

31 2.4. Die optimale Produktionsstruktur Effiziente Allokation: Suche unter den Allokationen, die die Bedingungen für Tausch- und Produktionseffizienz erfüllen, diejenige Allokation, bei der kein Individuum mehr besser gestellt werden kann, ohne ein anderes schlechter zu stellen. Paretoeffiziente Allokationen (benevolenter Planer) Beginnen wir mit einer beliebigen Allokation, bei der sowohl Tausch- als auch Produktionseffizienz erfüllt sind: Punkt F liegt auf der Transformationskurve (Produktionseffizienz). Die dort produzierten Güter sind effizient auf die Individuen verteilt, da die Grenzraten der Substitution im Punkt G gleich sind (Punkt auf der Kontraktkurve). 30 / 42

32 x 2 F U A U B G H A x 1 Abbildung 8: Scitovsky-Indifferenzkurve 31 / 42

33 Um zu sehen, dass diese Allokation nicht pareto-optimal ist, überlegen wir nun, welche anderen Güterkombinationen den beiden Individuen denselben Nutzen wie in G liefern würden. Dazu verschieben wir die Indifferenzkurve U B entlang der Kurve U A. Die dafür benötigten gesamten Gütermengen beschreibt der Eckpunkt der Edgeworth-Box. Dies ist die sogenannte Scitovsky-Indifferenzkurve: Sie beschreibt alle Gütermengen, mit denen man (bei geeigneter Aufteilung) die Individuen auf einem gegebenen (tauscheffizienten) Nutzenniveau halten kann. 32 / 42

34 Warum war die ursprüngliche Allokation nicht optimal? Indem wir die Produktion hin zu mehr von Gut x 1 verschieben - auf der Transformationskurve zwischen F und H - können wir mindestens einen Haushalt besser stellen. Das Optimum ist offensichtlich erreicht, wenn die Scitovsky-Indifferenzkurve die Transformationskurve tangiert. Da die Steigung der Scitovsky-Indifferenzkurve der Steigung der individuellen Indifferenzkurven entspricht, muss gelten FN 2 FN 1 = UA 1 U A 2 = UB 1 F B 2 (32) d.h. die Grenzrate der Transformation muss gleich der Grenzrate der Substitution sein: GRT = GRS A = GRS B (33) 33 / 42

35 x 2 F U B U A U A F A G I U B H U U x 1 Abbildung 9: Optimale Produktionsstruktur 34 / 42

36 Kritik an den Scitovsky-Indifferenzkurven: Optimum hängt von Verteilung ab. Möglicherweise kann auch Punkt F ein Optimum darstellen, wenn eine andere Anfangsausstattung Ω betrachtet wird. Die gesamtgesellschaftlichen Indifferenzkurven können sich dann schneiden. 35 / 42

37 Dezentrale Lösung des Marktes Sichert der Markt eine effiziente Produktionsstruktur, wenn die Konsumenten und Produzenten dezentral entscheiden? Da für die Unternehmen in beiden Sektoren dieselben Faktorpreise gelten, folgt aus der Gewinnmaximierung die Angleichung der Wertgrenzprodukte: p 1 F 1 N = w = p 2 F 2 N (34) und p 1 F 1 K = r = p 2 F 2 K (35) 36 / 42

38 Durch Umstellen erhalten wir FN 2 FN 1 = p1 p 2 und F 2 K F 1 K = p1 p 2 (36) d.h. die Grenzrate der Transformation entspricht dem Preisverhältnis der beiden Güter. Für das Haushaltsoptimum, wissen wir bereits (vgl. (17) und (19)), dass U1 A U2 A = p 1 p 2 = UB 1 U B 2 d.h. dass die Grenzrate der Substitution dem Preisverhältnis entspricht. (37) 37 / 42

39 Fügen wir die letzten beiden Bedingungen zusammen, folgt FN 2 FN 1 = F 2 K F 1 K = p 1 p 2 = UA 1 U A 2 = UB 1 U B 2 (38) Da sich sowohl die Produzenten als auch die Konsumenten am selben Preisverhältnis orientieren, gleichen sich auch Grenzrate der Transformation und Grenzrate der Substitution an. Ergebnis: Die dezentrale Marktlösung sorgt für eine pareto-effiziente Produktionsstruktur (vergleich (32) und (38)): GRT = GRS A = GRS B (39) Die beiden Hauptsätze gelten auch mit der Produktion. 38 / 42

40 x 2 Steigung = -p / p 1 2 U A F I U A U B x 1 Abbildung 10: Dezentrale Marktlösung 39 / 42

41 2.5. Diskussion der Annahmen Wir haben nun gezeigt, dass die dezentrale Marktlösung, bei der jeder einzelne nur die Informationen über die für ihn wichtigen Preise braucht, eine Pareto-optimale Allokation erreicht, die auch ein allwissender, benevolenter Sozialplaner nicht besser machen könnte. Würde dieses Ergebnis stets gelten, bräuchte man keinen Staat. Was sind also die wichtigen Annahmen, bei deren Abwesenheit der Markt vielleicht nicht mehr so perfekt funktioniert und möglicherweise korrigierende Staatseingriffe benötigt? 40 / 42

42 1 Vollkommener Wettbewerb: Sind die Akteure nicht Preisnehmer, sondern verfügen über Marktmacht, kann es zu Verzerrungen kommen. siehe Kapitel 3 (Marktmacht) 2 Keine steigenden Skalenerträge: Bei steigenden Skalenerträgen kann ein Wettbewerbsmarkt nicht Bestand haben. siehe Kapitel 3 (natürliches Monopol) 3 Keine externen Effekte: Bei den bisher betrachteten perfekten Märkten sind alle Vorund Nachteile, die Produktion oder Konsum verursachen, vollständig in den Preisen reflektiert. In vielen Fällen verursacht aber das Handeln eines einzelnen auch unberücksichtigte Schäden oder Vorteile bei anderen. siehe Kapitel 5 (externe Effekte) 41 / 42

43 4 Keine öffentlichen Güter: Alle bisher betrachteten Güter sind private Güter, d.h. der Konsum durch eine Person schließt den Konsum desselben Gutes durch eine andere Person aus. Bei öffentlichen Gütern, die in gegebener Qualität von vielen genutzt werden können, versagt aber der Bereitstellungsmechanismus. siehe Kapitel 4, 6, 7 (öffentliche Güter, Allmendegüter, Mautgüter) 5 Vollkommene Informationen: Bei den bisher betrachteten marktlichen Transaktionen sind Informationen perfekt und vollständig. Asymmetrische Information kann dazu führen, dass ein Markt verschwindet, obwohl alle Teilnehmer davon profitieren würden. siehe Kapitel 8 42 / 42