Das Kucheness Problem

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1 Das Kucheness Problem Das Kucheness Problem: Einführung Kuchen der Größe hält sich noch zwei Tage. Nutzen in Periode : U (x) = x 0.5 Nutzen in Periode 2: U2 (x) = δx 0.5 bei δ < Optimierung der zeitlichen Aufteilung max x x,x δx2 0.5 s.t. x + x 2 = 2 L(x, x 2, λ) = x δx2 0.5 λ(x + x 2 ) = λ = 0 x x 2 = 2x 0.5 δ 2x λ = 0 2x 0.5 λ = λ = δ 2x λ = x + x 2 = 0 x + x 2 =

2 Einleitung, Folie 2 Wir wissen also 2x 0.5 = δ 2x x + x 2 = Daraus folgt x 2 = δ 2 x x + δ 2 x = und die optimale Aufteilung ist x = + δ 2 x 2 = + δ 2 = δ2 + δ 2 Interpretation Das Kucheness Problem (cake eating problem) ist das einfachste Beispiel der intertemporalen Nutzung einer natürlichen Ressource nicht produzierter Produktionsfaktor nicht produziertes Konsumgut Beispiele für natürliche Ressourcen sind Erze Wasser, Luft Energieressourcen nicht erneuerbar (Bestandsgröße ohne Wachstum) Kohle, Erdöl, Erdgas, Uran,... erneuerbar (Bestandsgröße mit Wachstum) Sonne, Wind, Wasserkraft, Holz,...

3 Ökonomische Theorie Theoretische Modellierungen begannen mit Hotelling (93), erreichten aber erst in den 970ern nennenswerten Umfang (nach den Ölpreis Schocks 973, 979). Wesentliche Modellkomponenten natürliche Ressource(n), erneuerbar/nicht erneuerbar Nachfragefunktion (aus Konsum oder Produktion) oder Nutzen /Wohlfahrtsfunktion Eigentümerstruktur freier Zugang (Hochseefischerei) Eigentümer (einer, wenige, viele) Typische Optimierungsprobleme Welche Menge im Zeitablauf anbieten? Gewinnmaximierung (Konkurrenzmodelle) Welche Menge im Zeitablauf konsumieren? Wohlfahrtsmaximierung (Planungsmodelle) Kuchen der Größe R Planungsmodelle: Zwei Perioden Konsummenge in Periode t {, 2} ist x t IR Intertemporale Nutzenfunktion U(x, x 2 ) : IR IR IR max U(x, x 2 ) s.t. x + x 2 = R x,x 2 Analog zur Nutzenmaximierung eines Haushaltes Zwei Güter Mengen x, x 2 Güterpreise sind Einkommen ist R Die Lagrange Funktion ist also L(x, x 2, λ) = U(x, x 2 ) λ(x + x 2 R).

4 Zwei Perioden Modell, Folie 2 L(x, x 2, λ) = U(x, x 2 ) λ(x + x 2 R) x = 0, x 2 = 0 U/ x U/ x 2 = λ λ = Grenzrate der Substitution = Preisverhältnis bzw. U = U x x 2 identische Grenznutzen in beiden Perioden Ein spezielleres Zwei Perioden Modell Häufig genügt die intertemporale Nutzenfunktion folgender Form: U(x, x 2 ) = V (x ) + δv (x 2 ) für eine gegebene Funktion V (x) : IR IR. D.h. die Nutzenfunktion ist identisch in allen Perioden, Asymmetrien entstehen lediglich durch Ungeduld. Optimierungsproblem max V (x ) + δv (x 2 ) s.t. x + x 2 = R x,x 2 Lagrange Funktion L(x, x 2, λ) = V (x ) + δv (x 2 ) λ(x + x 2 R)

5 Lösung L(x, x 2, λ) = V (x ) + δv (x 2 ) λ(x + x 2 R) x = V (x ) λ = 0 x 2 = δv (x 2 ) λ = 0 V (x ) = δv (x 2 ) bzw. V (x 2 ) = δ V (x ) Der reine Grenznutzen des Konsums (d.h. ohne Ungeduld) steigt in jeder Periode um δ >. Viele Perioden n Perioden Nutzenfunktion U : IR n IR U(x,..., x n ) = V (x ) + δv (x 2 ) + + δ n V (x n ) n n = δ t V (x t ) = δ t V (x t+ ) t= Optimierungsproblem max δ t V (x t ) x,...,x n t n L(x,..., x n, λ) = t n Optimierung x t = δ t V (x t ) λ = 0 t=0 s.t. x t = R t n ( ) δ t V (x t ) λ t n x t R

6 Lösung des n Perioden Modells x t = δ t V (x t ) λ = 0 t n λ = λ δ V (x ) = δ t V (x t ) bzw. V (x t ) = δ t V (x ) Ähnlich wie zuvor: Grenznutzen des reinen Konsums wächst exponentiell im Grade der Ungeduld. Grenzbetrachtungen bei n : Grenznutzen in späten Perioden lim V (x t ) = lim δ t V (x ) t t Üblicherweise gilt: V (x) < 0 V (x) ist fallend in x min V (x) = V (R) = const > 0 x R lim t δ t V (x ) lim δ t V (R) = t D.h.: unsere Lösung existiert nur, falls lim x 0 V (x) =. Ansonsten ist das Optimum eine Randlösung und der Konsum stoppt in einer Periode T <.

7 Grenzbetrachtungen bei n : Konsum von geduldigen Spielern V (x t ) = δ t V (x ) Nun: Konsumenten sind nicht ungeduldig δ = V (x t ) = t V (x ) = V (x ) x t = x =: x t In jeder Periode wird die gleiche Menge gefördert/konsumiert. n Perioden: x t = R x = R n 0 n t n Es sollte nie etwas gefördert werden? Das kann kein Optimum sein: lieber alles in Periode Es gibt kein Optimum (nicht mal eine Randlsg.) Diskussion folgt... Interpretation des Allokationsproblems aus Sicht eines sozialen Planers Der soziale Planer teilt die Ressource auf n Generationen auf. x t = Konsum der Generation t Annahme: Ressource stiftet in jeder Generation Nutzen entsprechend V (x) : IR IR. Wohlfahrtsfunktion W (x,..., x n ) = V (x ) + δv (x 2 ) + + δ n V (x n )

8 Sozialer Planer, Folie 2 Interpretation von δ in einer solchen Wohlfahrtsfunktion schwindender Einfluß zukünftiger Generationen auf den Planer δ < sozial ineffiziente Allokation soziale Diskontierung, da zukünftige Existenzbedingungen unbekannt (Berücksichtigung von Fortpflanzungsunsicherheit) δ < durchaus effizient Berücksichtigung technischen Fortschritts δ < Ressource verliert zukünftig an Bedeutung (durchaus effizient) Deswegen: δ < ist realistisch Konkurrenzmodelle Modellrahmen Es gibt viele kleine Ressourcenanbieter k mit Anfangsbeständen R k Ressourcennutzung erfolgt im Rahmen einer Marktallokation vollst. Konkurrenz (erheblich anders: Monopol, Oligopol) inverse Nachfrage der Konsumenten nach Ressource: P = p(x) Kapitalmarkt mit Zins r > 0 es ist besser, heute Geld zu bekommen, als morgen (analog zu δ < beim Planungsproblem) Terminmarkt für Förderung (mit perfekten Kontrakten) Ressourcenbesitzer können bereits in Periode Kontrakte bzgl. zukünftiger Förderung abschließen vorläufig: keine Extraktionskosten, zwei Perioden

9 Zwei Perioden, keine Extraktionskosten Gewinnfunktion von Produzent k Π k (x k, xk 2 ) = xk p(x ) + + r xk 2 p(x 2) mit x t = k x k t t {, 2} x k t x t Förderung von Besitzer k in Periode t Gesamtförderung in Periode t Nebenbedingung: x k + xk 2 = Rk k Angenommen: ( x k t ) Hotelling Preisregel t,k p(x ) > + r p(x 2). sind so gewählt, daß Dann gibt es mindestens einen Besitzer, der den Preisunterschied ausnutzen kann und weniger Kontrakte für t = 2 abschließt. Diese Förderungen sind nicht gleichgewichtig. Analog: falls p(x ) < +r p(x 2), werden die Fördermengen zugunsten t = 2 umgeschichtet ( ungleichgewichtig). Es muß also gelten: p = + r p 2 (Regel von Hotelling) mit p := p(x ) und p 2 := p(x 2 ).

10 Konsequenzen Es gibt viele Förderallokationen, die der Hotelling Regel genügen. Es gilt aber in jedem Ggw.: p(x ) = + r p(x 2) bei x + x 2 = k R k = const Wenn die Funktion p(x) bekannt ist, können wir das Gleichungssystem lösen und x, x 2 bzw. p, p 2 bestimmen. Der Preis ist unabhängig davon, auf wieviele Anbieter die Ressource aufgeteilt ist (solange keiner der Besitzer Marktmacht hat). Modellverallgemeinerung, Folie Viele Perioden. Maximiert wird (als Antwort auf gegn. Förder.) Π k = x k p(x ) + + r xk 2 p(x 2 ) + + s.t. = ( + r) t xk t p(x t ) t n xt k = R k und bei x t := t n k In diesem Fall gilt folgende Ggw bedingung: für alle t ( + r) n xk n p(x n ) x k t p(x ) = ( + r) t p(x t) bzw. p t = ( + r) t p, ansonsten hat mindestens ein Spieler die Möglichkeit zu zeitlicher Arbitrage.

11 Modellverallgemeinerung, Folie 2 Viele Perioden, konstante Extraktionskosten c pro geförd. Einheit. Π k = x k [p(x ) c] + + r xk 2 [p(x 2 ) c] +... = ( + r) t xk t [p(x t ) c] t n s.t. xt k = R k bei x t := xt k t n k Hier gilt im Gleichgewicht (für alle t) p t c = ( + r) t (p c) Angenommen: k, k : R k <, n ist groß genug die Ressource ist knapp. Dann gilt im Gleichgewicht: p > c und p t c wächst. Knappheitsrente p t c = ( + r) t (p c) > 0 Die Produzenten erzielen einen positiven Gewinn trotz vollständiger Konkurrenz Knappheitsrente. Barwert der Ressource von Besitzer k in t = 0 V k = t n = t n ( + r) t [p(x t) c] x k t ( + r) t ( + r)t [p(x ) c] x k t = [p(x ) c] t n = (p c)r k > 0 x k t

12 Weitere Modellierungsmöglichkeiten die Ressource wird als Produktionsinput genutzt es gibt eine zweite Ressource mit hohen Kosten aber unendlichem Vorrat (Backstop Technologie) wenige Ressourcenanbieter (Monopol, Oligopol, Kartell) variable Förderkosten steigend: die günstigen Lagerstätten werden aufgebraucht sinkend: technischer Fortschritt Wachstum der Energienachfrage Kosten für Exploration, Bohrungen, Infrastruktur, Transport Unsicherheit (Bestandsgröße, ökonomische oder politische Risiken) Ein Beispiel: Übungsaufgabe Modellrahmen Kuchen der Größe Zeithorizont N (Tage):, 2,..., N Konsum am Tag t sei xt Die intertemporale Nutzenfunktion ist U = N δ t ln x t = t= N t=0 δ t ln x t+ bei δ = 0.95

13 (a) optimaler Verbrauch bei N {2, 3, } N max δ t ln x t+ x,...,x N t=0 s.t. x t = t N L(x,..., x N ; λ) = N t= ( ) δ t ln x t λ t N x t = δ t λ = 0 x t x t λ = t N x t = 0 t : t N λ=λ δ t x t = δ x δ t x = x t Fortsetzung (a) Wir wissen: x t = δ t x t N x t = t N = x δ t x = x N t=0 N t= δ t δ t = x δn δ = x = δ δ N = N = N bspw. N = 2 x = = = = 0.53 N = 3 x = = = = 0.35 N = x = lim N N = = 0.05

14 (b) Neue Nutzenfunktion Ũ = N δ t xt α bei 0 < α < t= L(x,..., x N ; λ) = N t= ( ) δ t xt α λ t N x t = δ t αxt α λ = 0 x t λ = t N x t = 0 λ=λ δ t αx α t δ t x α t = δ αx α = x α δ t α xt = x Fortsetzung zu (b): Abschluß der Berechnung x = δ t α xt x t = x δ t α t N x t = t N x δ t α = x (δ α ) N δ α = x = N t= ) (δ t α x = δ α δ N α

15 zu (b): Vergleich mit (a) x = δ δ N vs. x = δ α δ N α x t = x δ t vs. x t = x δ t α = δ (δ ) N = x (δ ) t bei δ = δ α. Dabei: δ < δ. Wir brauchen nur zu schauen, wie der Verbrauch in (a) von δ abhängt. Zuerst: nur Runde. ( ) d δ δ N dδ = ( δn ) + Nδ N ( δ) ( δ N ) 2 = + NδN δ δ N ( δ N ) 3 < 0 x < x Vergleich (a) und (b): Nun die ersten T N Runden Der Verbrauch in (a) bis Runde T N ist x t = δ t x = x t T t T t T = δ δ N t T δ t δ t = δ δ N δt δ = δt δ N d ( δ T δ N ) dδ = T δt ( δ N ) + Nδ N ( δ T ) ( δ N ) 2 = + N T δn T δt δ N T δ T ( δ N ) 3 < 0 x t < x t t T t T

16 Vergleich (a) und (b): etwas genauer N T N T T δ N T δ N δ N < T ( N N δ N T δ N) < T ( δ N) N T δn T δ N < δn δ δ ( δ N T + δ N T δ N ) < (δ 0 + δ + + δ N ) (δ N T + δ N T δ N ) < (δ 0 + δ N T + + δ ) } {{ } } {{ } <T δ N T >(N T ) δn T N T T T δ N T N T < (N T ) δ δ < (c) Angebot der Ressource als Monopolist Nachfrage ist (für Periode t) x t = p β t < β < β d.h. p t = xt. Zur Vereinfachung: der Zeithorizont ist N =. Die Gewinnfunktion ist zu maximieren, unter der obigen Nebenbedingung. Abdiskontiert auf Periode 0 ist sie Π = t ( ) t x + r β t x t = t ( ) t x + r +β β t bei t x t =. Dieses Problem ist äquivalent zu dem von (b) mit δ = + r α = + β β

17 Fortsetzung (c): Die Lösung Daher ist die Lösung für die optimalen Mengen x = δ α δ N α x t = x δ t α x t = δ α δ N α δ t α bei N = und α = +β β sich x t = p t = x ( δ β) δ β (t ) = β t = ( δ β) β = β δ (t ) = = β sowie δ = +r ergibt ( ( + r) β) ( + r) β (t ) ( ( + r) β) β ( + r) t