Aufgabenblatt 1: Rechenbeispiel zu Diamond/Dybvig (JPE 1983)

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1 Aufgabenblatt 1: Rechenbeispiel zu Diamond/Dybvig (JPE 1983) Prof. Dr. Isabel Schnabel The Economics of Banking Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 2009/ Aufgabe Betrachten Sie den Modellrahmen von Diamond/Dybvig (1983). Die Nutzenfunktion der Haushalte sei gegeben durch u(c) = c1 γ 1 γ. Außerdem gelten die folgenden Parameterwerte: L = 2 3, R = 7 3, π 1 = π 2 = 1 2, ρ = 1, γ = 2 (a1) Autarkie: Bestimmen Sie die optimale Investition I in die langfristige Produktionstechnologie. Errechnen Sie den Konsum für frühe und späte Typen, und erklären Sie, wie der Konsum sich zusammensetzt (d. h. wie viel stammt aus der Lagerhaltung und wie viel aus der langfristigen Investition). Berechnen Sie auch den Erwartungsnutzen. Hinweis: Die Rechnung ist etwas mühsam, das Ergebnis ist aber glatt. (a2) Kostenlose Liquidierung: Betrachten Sie wieder den Fall der Autarkie. Wie sähen die optimale Investition und der optimale Konsum aus, wenn die Liquidierung kostenlos wäre, d. h. L = 1? 1

2 The Economics of Banking Aufgabenblatt 1 2 (b1) Finanzmarkt: Erklären Sie, wie sich der Konsum der Haushalte bei Existenz eines Finanzmarktes zusammensetzt. Zeigen Sie, dass der Erwartungsnutzen der Haushalte sich durch die Einführung eines Finanzmarkts erhöht, obwohl sich die Investition nicht ändert. Was ist der Grund dafür? (b2) Kostenlose Liquidierung: Wie würde der Vergleich zwischen Autarkie und Marktlösung ausfallen, wenn L = 1 wäre? Wie groß wäre das Handelsvolumen auf dem Finanzmarkt? (c1) First-best-Lösung: Verwenden Sie die Bedingung erster Ordnung aus der Vorlesung und zeigen Sie, dass die Marktlösung nicht paretooptimal ist. Berechnen Sie nun den optimalen Konsum für beide Typen in der Firstbest-Lösung sowie den Erwartungsnutzen. Warum ist der Erwartungsnutzen höher, obwohl der Gesamtkonsum über beide Typen geringer ist? Wieviel muss in die langfristige Produktionstechnologie investiert werden? Hinweis: Verwenden Sie zur Berechnung des Konsums einen Taschenrechner. (c2) Anreizverträglichkeit: Zeigen Sie, dass die First-best-Lösung aus (c1) die Anreizverträglichkeitsbedingung erfüllt (d. h., kein Typ hat den Anreiz, den anderen Typen zu imitieren). Gilt das auch, wenn ρ = 1 3? Was hat dies für Konsequenzen für die Implementierbarkeit der First-best-Lösung durch eine Bank? Was ist das beste, was in dieser Situation erreicht werden kann? (c3) First-best-Lösung bei logarithmischer Nutzenfunktion: Sei nun u(c) = ln(c) und ρ = 1 wie zuvor. Berechnen Sie die relative Risikoaversion der Haushalte und vergleichen Sie diese mit derjenigen der vorherigen Nutzenfunktion. Berechnen Sie dann für die logarithmische Nutzenfunktion den optimalen Konsum und den Erwartungsnutzen. Erklären Sie das Ergebnis. Können Banken in einer solchen Welt die Wohlfahrt erhöhen? (c4) Finanzmarkt und Banken: Betrachten Sie nun wieder die ursprüngliche Nutzenfunktion. Nehmen Sie an, es gibt gleichzeitig Banken und einen Finanzmarkt. Lässt sich die First-best-Lösung durch eine Bank implementieren?

3 The Economics of Banking Aufgabenblatt Lösungen (a1) Autarkie: max I unter den Nebenbedingungen: wobei E[U( )] = 0, 5 u(c 1 ) + 0, 5 u(c 2 ) C 1 = I C 2 = I, u(c) = 1 C. Einsetzen der Nutzenfunktion und der Nebenbedingungen und Ableiten nach I ergibt (nach einer Reihe von Umformungen) I = 1 2. Einsetzen der optimalen Investition in die Nebenbedingungen ergibt C 1 = 5 6 0, 83 und C 2 = 5 3 1, 67. Dabei setzt der Konsum der frühen Konsumenten sich folgendermaßen zusammen: 1 2 aus Lagerhaltung und = 1 3 aus Liquidierung der langfristigen Technologie. Bei den späten Konsumenten ergeben sich 1 2 aus (zweimaliger) Lagerhaltung und = 7 6 aus der langfristigen Technologie. Der Erwartungsnutzen beträgt 0, 90. (a2) Kostenlose Liquidierung: Im Falle von L = 1 würde jeder Haushalt alles in die langfristige Technologie investieren. Ein früher Konsument würde alles liquidieren, so dass C 1 = 1. Ein später Konsument erhält C 2 = 7 3. Der Erwartungsnutzen beträgt hier 0, 71. aus Wertpapierverkäufen. Der späte Konsument erhält 1/2 3/7 = 7 6 aus gekauften Wertpapieren und = 7 6 aus der langfristigen Technologie. Der Erwartungsnutzen beträgt (genauso wie im Falle kostenloser Liquidierung) 0, 71 > 0, 90. Der Erwartungsnutzen erhöht sich im Vergleich zu Aufgabe (a1), weil es hier weder ineffiziente Liquidierung noch ineffiziente Lagerhaltung gibt. Dasselbe gilt auch in Aufgabe (a2). (b1) Finanzmarkt: Wir wissen aus der Vorlesung, dass bei Existenz eines Finanzmarktes Folgendes gilt: C 1 = 1, C 2 = R = 7 3, I = 1 2 und p = 1/R = 3 7. Der Konsum eines frühen Konsumenten setzt sich folgendermaßen zusammen: 1 2 aus Lagerhaltung und = 1 2

4 The Economics of Banking Aufgabenblatt 1 4 (b2) Kostenlose Liquidierung: Bei kostenloser Liquidierung bietet der Finanzmarkt keine Vorteile. Auch ohne Finanzmarkt kann auf Liquidierung oder ineffiziente Lagerhaltung verzichtet werden. Das Handelsvolumen auf dem Finanzmarkt wäre daher gleich Null. (c1) First-best-Lösung: u (1) = 1 > R u (R) = R R 2 = 1 R = 3 7 Die Bedingung erster Ordnung ist bei Einsetzen der Marktlösung also nicht erfüllt. Das Optimierungsproblem für die First-best-Lösung lautet: max 0, 5 u(c 1 ) + 0, 5 u(c 2 ) C 1,C 2 s.t. 0, 5 C 1 + 0, 5 C2 7/3 = 1 Der Lagrange für das Optimierungsproblem lautet: L = 0, 5 u(c 1 ) + 0, 5 u(c 2 ) + λ (1 0, 5 C 1 0, 5 C2 7/3 ) Nach einigem Rechnen erhält man C 1 = , 21, C 2 = , 85. Der Erwartungsnutzen beträgt nun 0, 68. Der Gesamtkonsum beträgt hier 3, 06 < 3, 33, er ist also kleiner als in der Marktlösung. Der Erwartungsnutzen ist trotzdem höher als in (b1), weil eine Konsumglättung über die beiden Zustände stattfindet. Dem risikoaversen Haushalt ist es (ex ante) lieber, wenn er insgesamt weniger Konsum erhält, dieser aber anders verteilt ist. In der First-best-Lösung wird ineffiziente Liquidierung vermieden. Es wird also genau so viel in die Lagerhaltung investiert, dass im Aggregat genug Liquidität da ist, um die frühen Konsumenten zu befriedigen. Also: 1 I = C1 π 1 0, 60 > 0, 5. In die langfristige Technologie werden also nur 0, 40 Einheiten investiert, um den frühen Konsumenten einen höheren Konsum und damit eine Liquiditätsversicherung bieten zu können.

5 The Economics of Banking Aufgabenblatt 1 5 (c2) Anreizverträglichkeit: Der frühe Konsument hat nie den Anreiz, den späten Konsumenten zu imitieren, da er aus spätem Konsum keinen Nutzen zieht. Der späte Konsument könnte den frühen Konsumenten imitieren, indem er sich C1 auszahlen lässt und dieses dann in die Lagerhaltungstechnologie investiert. Dies wird er nur dann optimal finden, wenn C1 > C 2. Dies ist hier aber nicht der Fall; die Anreizverträglichkeitsbedingung ist also erfüllt. Wenn ρ = 1 3 wäre, so würde in der First-best-Lösung gelten: u (C1 ) = ρ R u (C2 ) = 7 9 u (C2 ), so dass u (C1 ) < u (C2 ) C 1 > C 2. In diesem Fall wäre die Anreizverträglichkeitsbedingung für die späten Konsumenten also verletzt. Dies bedeutet, dass die First-best-Lösung durch eine Bank nicht implementiert werden kann, obwohl diese den Erwartungsnutzen erhöhen würde. Der Grund ist, dass es auch für späte Konsumenten optimal wäre, ihr Geld in Periode 1 abzuziehen. Das beste, was in dieser Situation erreicht werden kann, ist, dass die Anreizverträglichkeitsbedingung gerade bindet, d. h., C 1 = C 2 (Second-best- Lösung). Durch Einsetzen in die Nebenbedingung des Optimierungsproblems (die Ressourcenrestriktion) ergibt sich C 1 = C 2 = 1, 4. Der Erwartungsnutzen beträgt in diesem Fall 0, 48, was immer noch höher ist als der Erwartungsnutzen in der Finanzmarktlösung (nämlich 0, 57 bei Berücksichtigung des Diskontfaktors ρ = 1/3). (c3) First-best-Lösung bei logarithmischer Nutzenfunktion: Im Ausgangsbeispiel beträgt die relative Risikoaversion gerade γ = 2. Bei der logarithmischen Nutzenfunktion gilt: C u (C) u (C) = 1 Dies verletzt die Bedingung von Diamond und Dybvig, dass die relative Risikoaversion strikt größer als 1 sein muss. Berechnet man die First-best-Lösung, so erhält man hier C1 = 1 und C 2 = R = 7 3. In diesem Fall ist also die Marktlösung gerade effizient, und eine Bank kann den Erwartungsnutzen nicht erhöhen. Der Erwartungsnutzen ist genauso hoch wie in der Marktlösung. Dies zeigt, dass Risikoaversion allein nicht hinreichend ist, sondern dass man starke Risikoaversion benötigt, damit Banken die Wohlfahrt erhöhen können.

6 The Economics of Banking Aufgabenblatt 1 6 (c4) Finanzmarkt und Banken: In der First-best-Lösung gilt C1 1, 21 > 1 und C2 1, 85 < R 2, 33. Bei Existenz eines Finanzmarkts lässt sich die First-best-Lösung nicht implementieren. Der Grund ist, dass der späte Konsument den Anreiz hat, von der First-best-Lösung abzuweichen. Statt sein Geld in der Bank zu lassen, möchte der Haushalt lieber sein Geld abheben und Wertpapiere kaufen; dies erbringt C 1 p = C1 R > R > C 2.