Aufgabenblatt 3: Versicherungsmärkte

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Ralph Schumacher
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1 Aufgabenblatt 3: Versicherungsmärkte Prof. Dr. Isabel Schnabel, Florian Hett Informationsökonomik Johannes Gutenberg-Universität Mainz Wintersemester 200/20 Lösungen Die folgenden Lösungen sind als Lösungsskizze zu verstehen. Sollten sich Fehler eingeschlichen haben, so machen Sie uns bitte darauf aufmerksam. Eine Berufung auf diese Musterlösung ist nicht möglich. Lösung zu Aufgabe : Versicherungsmärkte und adverse Selektion (a) Monopolmarkt bei vollständiger Information: Erwartungsnutzen eines versicherten Individuums vom Typ i {h, l} mit einem Vertrag γ = (w i, w 2i ): U i (w i, w 2i ) = p i wi + ( p i ) w 2i Erwarteter Gewinn des Versicherers aus einem Vertrag γ i = (w i, w 2i ) mit einem Individuum der Risikoklasse i: Π i (w i, w 2i ) = p i (ω w i ) + ( p i )(ω 2 w 2i ) = p i (6 w i ) ( p i )w 2i Der Versicherer maximiert (separat für die beiden Risikotypen) seinen erwarteten Gewinn unter der Nebenbedingung, dass die Individuen überhaupt bereit sind, einen Versicherungsvertrag nachzufragen (Partizipationsbedingung):

2 Informationsökonomik Aufgabenblatt 3 2 max Π i (w i, w 2i ) s. t. U i (w i, w 2i ) U i (ω, ω 2 ) w i,w 2i Im Optimum wird die Partizipationsbedingung gerade binden; die Individuen können also auf ihren Reservationsnutzen gedrückt werden. Der Lagrangeansatz lautet dann: max p i (6 w i ) ( p i )w 2i + µ[p i wi + ( p i ) w 2i 4 p i ] w i,w 2i Bedingungen erster Ordnung: Aus () und (2) folgt: () p i + µp i 2 w i = 0 2 w i = µ (2) ( p i ) + µ( p i ) (3) p i wi + ( p i ) w 2i = 4p i 2 w 2i = 0 2 w 2i = µ wi = w 2i w i = w 2i Ergebnis: Beide Risikotypen werden vollständig versichert. Aus Bedingung (3) folgt: wi = 4p i w i = 6p 2 i Ergebnis: w h = = 9, w l = 6 4 = 4. Der hohe (sichere) Typ erhält also den folgenden Vertrag: γ h = (9, 9), π h = 6 9 = 7, d h = 6. Der niedrige (riskante) Typ erhält den Vertrag: γ l = (4, 4), π l = 6 4 = 2, d l = 6. Der sichere Typ zahlt also eine geringere Versicherungsprämie. Die Gewinne des Versicherers betragen: Π h (wh, w h ) = 0, 75 (6 9) 0, 25 9 = 3 Π l (wl, w l ) = 0, 5 (6 4) 0, 5 4 = 4

3 Informationsökonomik Aufgabenblatt 3 3 Über beide Typen hinweg beträgt der erwartete Gewinn (pro versicherter Person): Π = 0, , 8 4 = 0, 6 + 3, 2 = 3, 8 (b) Monopolmarkt bei unvollständiger Information: Man muss hier überprüfen, ob die Verträge aus (a) anreizverträglich sind. Die Anreizverträglichkeitsbedingung für den sicheren Typ lautet: Es gilt: U h (w h, w 2h ) U h (w l, w 2l ) U h (w h, w h ) = w h = 3 > U h(w l, w l ) = w l = 2 Die Anreizverträglichkeitsbedingung für den sicheren Typen ist also erfüllt. Die Anreizverträglichkeitsbedingung für den riskanten Typen lautet: Es gilt: U l (w l, w 2l ) U l (w h, w 2h ) U l (w l, w l ) = w l = 2 < U l (w h, w h ) = w h = 3 Die Anreizverträglichkeitsbedingung für den riskanten Typen ist also verletzt. Beide Typen würden also den Vertrag γ h wählen. Erwarteter Gewinn der Versicherung: Π h (γ h ) = 3 Π l (γh ) = 0, 5 (6 9) 0, 5 9 = Π = λ Π h (γh ) + ( λ) Π l(γh ) = 0, , 8 ( ) = 0, 2 Ein monopolistischer Versicherer würde stattdessen einen Vertrag anbieten, bei dem neben den Partizipationsbedingungen auch die Anreizverträglichkeitsbedingungen für beide Typen erfüllt wären. Die Anreizverträglichkeitsbedingung des sicheren Typen wird im Gleichgewicht nie binden und kann daher vernachlässigt werden. Außerdem lässt sich zeigen, dass aus der Anreizverträglichkeitsbedingung des niedrigen Typen und der Partizipationsbedingung des hohen Typen automatisch folgt, dass die Partizipationsbedingung des niedrigen Typen erfüllt ist (Bester, S. 37 oben); daher kann auch diese

4 Informationsökonomik Aufgabenblatt 3 4 Bedingung ignoriert werden. Außerdem wissen wir, dass der niedrige Typ auch hier voll versichert werden kann, da keine Anreizverträglichkeitsbedingung berücksichtigt werden muss (w l = w 2l = w l ). Schließlich wissen wir auch, dass die Anreizverträglichkeitsbedingung des niedrigen Typen und die Partizipationsbedingung des hohen Typen im Gleichgewicht binden. Die Lösung ergibt sich dann aus dem folgenden Optimierungsproblem: max λ Π h(w h, w 2h ) + ( λ) Π l (w l, w l ) s. t. (w h,w 2h,w l ) (IR h ) : U h (w h, w 2h ) = U h (ω, ω 2 ) (IC l ) : U l (w l, w l ) = U l (w h, w 2h ) Die Anreizverträglichkeitsbedingung des niedrigen Typen kann folgendermaßen geschrieben werden: 0, 5 w h + 0, 5 w 2h = w l Die Partizipationsbedingung des hohen Typen kann folgendermaßen geschrieben werden: Der Lagrangeansatz lautet: 0, 75 w h + 0, 25 w 2h = 0, 75 4 = 3 max 0, 2 [0, 75 (6 w h ) 0, 25 w 2h ] + 0, 8 [0, 5 (6 w l ) 0, 5 w l ] w h,w 2h,w l + µ[0, 75 w h + 0, 25 w 2h 3] + ν [ w l 0, 5 w h 0, 5 w 2h ] Wie im Skript detailliert beschrieben wurde, gibt es zwei mögliche Verträge: Entweder werden beide Typen versichert, wobei der riskante Typ jedoch eine positive Rente erzielt; oder es wird nur der riskante Typ versichert, der in diesem Fall jedoch auf seinen Reservationsnutzen gedrückt wird. Die Berechnung des ersten Falls ist im Allgemeinen kompliziert. Der zweite Fall ist hingegen einfach: Den riskanten Typen wird derselbe Vertrag angeboten wie bei vollständiger Information: wl = 4. Hieraus folgt, dass der Versicherer mindestens einen Gewinn von ( λ) Π l (wl, w l ) = 0, 8 4 = 3, 2 (pro Person in der Bevölkerung!) erzielen kann. Beachten Sie, dass hier die Anzahl der versicherten Personen kleiner ist als die Anzahl der Personen in der Bevölkerung, da nur die riskanten Typen versichert werden.

5 Informationsökonomik Aufgabenblatt 3 5 (c) Wettbewerbsgleichgewicht bei vollständiger Information: Die Versicherer maximieren (separat für jeden Risikotyp) den Nutzen der Individuen unter der Nebenbedingung, dass die Versicherung auf den einzelnen Vertrag Nullgewinne erzielt: Der Lagrangeansatz lautet: max U i (w i, w 2i ) s.t. Π i (w i, w 2i ) = 0 w i,w 2i max w i,w 2i p i wi + ( p i ) w 2i + µ[p i (6 w i ) ( p i )w 2i ] Bedingungen erster Ordnung: () p i 2 w i µp i = 0 2 w i = µ (2) ( p i ) Aus () und (2) folgt: 2 w 2i µ( p i ) = 0 2 w 2i = µ (3) p i (6 w i ) ( p i )w 2i = 0 wi = w 2i w i = w 2i Ergebnis: Beide Risikotypen werden vollständig versichert. Aus Bedingung (3) folgt: p i (6 w i ) ( p i )w i = 0 w i = 6p i Ergebnis: w h = = 2, w l = 6 2 = 8. Der hohe (sichere) Typ erhält also den folgenden Vertrag: γ h = (2, 2), π h = 6 2 = 4, d h = 6. Der niedrige (riskante) Typ erhält den Vertrag: γ l = (8, 8), π l = 6 8 = 8, d l = 6. Die Verträge sind aus Sicht der Individuen also günstiger als im Monopolfall.

6 Informationsökonomik Aufgabenblatt 3 6 (d) Wettbewerbsgleichgewicht bei unvollständiger Information: Bei unvollständiger Information erhalten die riskanten Typen denselben Vertrag wie bei vollständiger Information. Wir wissen also, dass γ l = (8, 8). Der sichere Typ kann hingegen nicht voll versichert werden, da die Anreizverträglichkeitsbedingung des riskanten Typen binden wird. Der Vertrag des sicheren Typen ergibt sich aus zwei Bedingungen: Der Nullgewinnbedingung der Versicherungen für die sicheren Typen und der (bindenden) Anreizverträglichkeitsbedingung des riskanten Typen: () 0, 75 (6 w h ) 0, 25 w 2h = 0 (2)U l (w h, w 2h ) = U l (8, 8) 0, 5 w h + 0, 5 w 2h = 8 γh ergibt sich als Lösung dieses Gleichungssystems. Um herauszufinden, ob dieses Gleichgewicht tatsächlich existiert, müsste man überprüfen, ob es einen Mischvertrag gibt, den beide Typen vorziehen würden und durch den eine Versicherung einen positiven Gewinn erzielen könnte.

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