Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 2016, Aufgabenblatt 1

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1 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 Aufgabenblatt 1 0 Punkte Aufgabe 1 Welche der folgenden Ausdrücke sind Aussagen, welche sind Aussageformen und welche sind Terme, welche nichts von den dreien? Geben Sie jeweils eine Begründung an. Begründen Sie bei den Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind. a) Die Zahl π hat den Wert π/ + 01/ b) a + b x. c) x + y ist kleiner als x z +. d) Die kleinste natürliche Zahl ist grösser als 1. e) ((x + (1 (y z) y)) + y) + 1) f) Für je zwei verschiedene ganze Zahlen n und m gilt entweder m n oder m > n. g) Jede reelle Zahl x ist höchstens h) Wenn 3 1 = 1, dann 1 + =. von einer ungeraden Zahl entfernt. a) Dies ist eine Aussage, wir können Überprüfen ob sie wahr oder falsch ist. Hier π aber π Die Aussage ist also eine falsche Aussage. b) Dies ist ein Term, da Konstanten (die Zahl ) und Variablen (a, b und x) durch Operationen (+, und ) miteinander verknüpft sind. c) Dies ist eine Aussageform. Wenn wir für x, y und z Werte einsetzen, können wir entscheiden ob sie wahr oder falsch ist. 3 + ( ) ist kleiner als 3 ( ) + wäre wahr, 3 + ist kleiner als 3 + hingegen falsch. d) Dies ist eine Aussage, wir können Überprüfen ob sie wahr oder falsch ist. Die kleinste natürliche Zahl ist 0 und also grösser als 1. Damit ist diese Aussage wahr. e) Dies ist bestimmt keine Aussage und keine Aussageform, da wir nicht entscheiden können, ob es wahr oder falsch ist, auch nicht, nachdem wir für x, y Werte eingesetzt haben. Auf den ersten Blick schaut der Ausdruck zwar wie ein Term aus, bei genauerem Hinsehen bemerken wir aber, dass wir vier öffnende Klammen und fünf schliessende Klammern in unserem Ausdruck haben, was ausschliesst, dass es ein Term ist. In diesem Fall trifft also keine der drei Definitionen zu. f) Dies ist eine Aussage. Obwohl Variablen darin vorkommen, ist es keine Aussageform. Es wird eine Aussage über alle Zahlenpaare m, n gemacht welche voneinander verschieden sind. Die Wahrheit oder Falschheit der Aussage hängt nicht davon ab, was für n und m eingesetzt wird. Die Aussage ist falsch, da zum Beispiel für m = und n = 3 gilt, dass sie verschieden sind, aber weder 3 noch ( ) > ( 3) treffen zu. g) Dies ist eine Aussage. Die Aussage ist falsch. Jede gerade Zahl ist reell und hat mindestens Abstand 1 zu einer ungeraden Zahl. h) Dies ist eine Aussage. Diese ist wahr. Es handelt sich um eine Subjunktion und die Prämise ist falsch. Aufgabe Ersetzen Sie in den nachstehenden Formeln die logischen Symbole durch Ausdrücke der Umgangssprache. (Die Variablen stehen dabei für beliebige reelle Zahlen also x, y, z R). a) x [(z = 0) (x/z 1) (z/x > 1)] 1

2 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 b) x y [( x y ) z ( x z y z )] a) Es gibt ein x, sodass gilt: z = 0 oder x/z 1 oder z/x > 1. b) Für alle x gibt es ein y, sodass: Falls x y gilt, dann gibt ein z mit den Eigenschaften, dass x y und y z gleichzeitig erfüllt sind. Aufgabe 3 Drücken Sie die folgenden Aussagen bzw. Aussageformen über reelle Zahlen mit Hilfe logischer Symbole aus: a) Für alle Zahlen x und y gibt eine Zahl z mit x z < y + z. b) Wenn x < y dann gibt es eine Zahl z mit x < z und z < y. c) Wenn x y = 1, dann ist x < 1 oder y < 1. a) x y z(x z < y + z) b) x < y z(x < z z < y) c) x y = 1 (x < 1 y < 1) Aufgabe Für sämtliche Ausdrücke der Aufgaben und 3 gebe man an, welche Variablen frei und welche gebunden vorkommen. Bei Aussagen bestimme man, ob sie wahr oder falsch sind. Im Falle von Aussageformen entscheide man ob sie allgemeingütlig, teilgütlig oder unerfüllbar sind. Zur Erinnerung: Eine Aussageform ist teilgültig, wenn sie en hat, aber nicht allgemeingültig ist. Eine Aussageform ist unerfüllbar, falls sie keine besitzt. 10 a) Hier ist die Variable x gebunden, z hingegen kommt frei vor. Wir haben es also mit einer Aussageform zu tun. Sie ist allgemeingültig, da für alle z ein x existiert sodass gilt: z = 0 oder x/z 1 oder z/x > 1. Dies ist einfach zu sehen indem wir folgende folgende Fälle unterscheiden: a) Falls z = 0 ist, dann ist eine der Bedingungen wahr und wir sind fertig; b) Nehmen wir also an z > 0, dann finden wir aber immer ein x so dass x/z 1 oder z/x > 1. Wir können beispielsweise x = 1 wählen, dann gilt automatisch 1/z 1 oder z/1 > 1. Eine andere Möglichkeit wäre es x = z + 1 zu wählen, dann ist auch automatisch x/z 1 wahr, da dann x z = z+1 z = z 1. c) Für den verbleibenden letzten Fall, dass z < 0 können wir fast genau das Gleiche machen wie zuvor, aber diesmal mit einem Minuszeichen. Wir können also x = 1 wählen oder x = z 1. b) Hier sind alle Variablen x, y und z gebunden. Es handelt sich also um eine Aussage. Der Inhalt der Aussage ist umgangssprachlich ausgedrückt: Für alle x gibt es ein y, sodass p q gilt, wobei in unserem Fall p x y und q z( x z y z ). Da wir wissen, dass die Subjunktion p q wahr ist, wenn die Hypothese p falsch ist, können wir ein y suchen, mit welchem unser p falsch wird. Für ein beliebiges x ist y = x + 7 eine gute Wahl. Wir haben dann nämlich immer x y = 7 >. Es gibt also für jedes x ein y, sodass p falsch ist, und somit haben wir für jedes x ein y, für welches die Subjunktion p q wahr ist. Also ist die Aussage wahr. Bemerkung: Es war für das Bestimmen der Wahrheit der Aussage völlig unwichtig, was unsere Konklusion

3 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 q überhaupt ist. Man kann auch wie folgt zeigen, dass diese Aussage wahr ist: Für alle x, wähle zum Beispiel y = x +, dann ist die Prämisse x y erfüllt und für z = x + 1 gilt x z = 1 und y z = 1. 3a) Wiederum sind alle Variablen x, y, z gebunden und wir haben es deshalb erneut mit einer Aussage zu tun. Sie ist wahr da wir zum Beispiel z = x y + 1 wählen können. Dann ist x z < y < y + z. Man kann die Aufgabe auch ohne die Verwendung von Betragsstrichen lösen: Wähle zum Beispiel z = x y Also x z < y + z. x z < y + z x y < z x y + 1, dann gilt x z = x x + y x + z = y + z y 1 = x + y + 1 = x + y 3b) Hier kommen x und y frei vor, während z gebunden wird. Es ist also eine Aussageform, die die Form p q hat, wobei p x < y ist und q: Es gibt eine Zahl z, so dass x < z und z < y. Wenn x y ist, dann muss p schon mit Sicherheit falsch sein und die Subjunktion damit wahr. Nehmen wir also an, dass x < y. Dann ist p wahr und wir müssen überprüfen, was mit q passiert. q sagt, dass es eine Zahl z gibt, die grösser als y und kleiner als x ist. Wir können zum Beispiel z = x+y wählen und q ist erfüllt. Somit ist die Subjunktion wahr und wir können folgern, dass unsere Aussageform allgemeingültig ist. 3c) Dieses Mal kommen x und y beide frei vor, wir betrachten also wieder eine Aussageform. Es liegt uns wieder eine Subjunktion vor, wobei die Konklusion x < 1 oder y < 1 lautet. Wir unterscheiden folgende Fälle: Wenn x = 1 ist, dann folgt aus x y = 1, dass y = 1 sein muss, was die Konklusion x < 1 oder y < 1 und damit auch die Subjunktion falsch macht. Wenn x > 1 ist, dann folgt aus x y = 1, dass y < 1 sein muss. Damit ist die Konklusion x < 1 oder y < 1 wahr und damit ist auch die Subjunktion wahr. Wenn x < 1 ist, ist die Konklusion der Subjunktion bereits wahr, egal, was mit der Hypothese passiert. Auch in diesem Fall ist also die Subjunktion wahr. Unsere Aussageform ist also teilgültig, da sie nur für x = y = 1 falsch ist und sonst wahr ist. Aufgabe 5 Bestimmen Sie je die Wahrheitstafel: a) ( p q) (q p) b) [p (q r)] [(p q) r] 1, + 1. < z. c) Bei den Ausdrücken (p q) r und p (q r) können wir die Klammern dank dem Assoziativgesetz weglassen. Begründen Sie mit Aufgabe 5 b) warum wir das bei dem Ausdruck p (q r) nicht ohne Weiteres dürfen. 3

4 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 a) b) p q ( p q) (q p) p q r [(p (q r)] [(p q) r] c) Wie man der Tabelle entnehmen kann, sind die beiden Ausdrücke p (q r) und (p q) r im allgemeinen nicht gleich. Aufgabe Welche der folgenden Aussageformen sind Tautologien, welche Kontradiktionen. (Mittels Wahrheitstafel oder Umformen) a) (p q) ( p q). b) (p (q p)) (p q). c) [(q r) s] [( s q) ( s r)]. a) b) Es handelt sich also um eine Tautologie. p q (p q) ( p q) p q (p (q p)) (p q)

5 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 Es handelt sich also um eine Kontradiktion. c) Wir schreiben dies um (mit den Regeln auf Seiten 18-1 im Buch): [(q r) s] [( s q) ( s r)] [( q r) s] [(s q) (s r)] ( q r) s [s (q r)] ( q r) [( s s) ( s (q r))] ( q r) [f ( s (q r))] ( q r) ( s (q r)) ( q r) s q r ( q r) r s q (( q r) ( r r)) s q (( q r) f) s q ( q r) s q q r s q q q r s f r s f Also eine Kontradiktion. Aufgabe 7 Es gibt genau 1 verschiedene Wahrheitstafeln zu zwei Variablen p, q. Acht davon sind: p q f p q p p q w p q p q p q p q p q p q p q p q p q p > < q 5

6 Musterlösung Grundbegriffe der Mathematik Frühlingssemester 01, Aufgabenblatt 1 a) Finde zu jeder der anderen acht eine möglichst einfache (das heisst ohne Klammern) aussagenlogische Aussageform in p und q die sie beschreibt. b) Warum gibt es nur 1 verschiedene Wahrheitstafeln für zwei Variabeln? c) Wieviele Tafeln gibt es für eine Variable? Wieviele für drei? a) p q p q p p q q p q q p q p q p q p q p q p q p q p q b) Es gibt genau 1 Möglichkeiten 0, 1 zuzuordnen. p und q können jeweils einen von möglichen Werten annehmen. Das heisst es gibt Möglichkeiten wie man p, q belegen kann. Jeder dieser Belegungen ordnet man entweder 0 oder 1 zu. Dass heisst es gibt = 1 verschiedene Wahrheitstafeln für zwei Variablen. c) Für eine Variable gibt es = Wahrheitstafeln. Für drei Variablen gibt es 8 = 5 Wahrheitstafeln.