6. Adverse Selektion und Moralisches Risiko

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1 6. Adverse Selektion und Moralisches Risiko Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Adverse Selektion und Moralisches Risiko 1 / 11

2 1. Adverse Selektion 1.1 Notation Zwei Typen von Versicherungsnehmern: Versicherungsnehmer vom Typ l haben eine niedrige Schadenswahrscheinlichkeit π l > 0. Versicherungsnehmer vom Typ h haben eine hohe Schadenswahrscheinlichkeit 1 > π h > π ell. Bis auf die unterschiedliche Schadenswahrscheinlichkeit sind alle Versicherungsnehmer identisch: Erstausstattung ( w 1, w 2 ) mit w 1 w 2 = L > 0. Bernoulli-Nutzenfunktion u mit u > 0 und u < 0. Ein Versicherungsvertrag ist durch (w 1,w 2 ) beschrieben p = w 1 w 1 ist die Prämienzahlung. c p = w 2 w 2 ist die Nettoerstattung im Schadensfall. Die Anteile der beiden Typen von Versicherungsnehmern sind durch γ h > 0 und γ l > 0 mit γ h + γ l = 1 gegeben. Die durchschnittliche Schadenswahrscheinlichkeit ist π = γ h π h + γ l π l. 2 / 11

3 1. Adverse Selektion 1.2 Erwartungsnutzen und Indifferenzkurven Die Nutzenbewertung eines Versicherungsvertrages hängt von dem Typen des Versicherungsnehmers ab: U l (w 1,w 2 ) = (1 π l )u(w 1 ) + π l u(w 2 ) U h (w 1,w 2 ) = (1 π h )u(w 1 ) + π h u(w 2 ) Insbesondere gilt, dass die Indifferenzkurven der Versicherungsnehmer vom Typ l steiler verlaufen: (1 π l )u (w 1 ) π l u (w 2 ) > (1 π h)u (w 1 ) π h u (w 2 ), da π h > π l. 3 / 11

4 1. Adverse Selektion 1.3 Versicherungsangebot Versicherungsverträge werden durch risikoneutrale Versicherungsunternehmen angeboten. Der erwartete Gewinn aus dem Abschluss eines Vertrages hängt davon ab, welcher Typ den Vertrag annimmt: G l (w 1,w 2 ) = (1 π l )[ w 1 w 1 ] π l [w 2 w 2 ] G h (w 1,w 2 ) = (1 π h )[ w 1 w 1 ] π h [w 2 w 2 ]. Nullgewinnlinien verlaufen durch den Erstausstattungspunkt des Versicherungsnehmers mit Steigung (1 π l )/π l, resp. (1 π h )/π h. Definiere den erwarteten Gewinn eines Versicherungsunternehmens, bei dem ein zufällig ausgewählter Versicherungsnehmer einen Vertrag abschliesst: Ḡ(w 1,w 2 ) = γ l G l (w 1,w 2 ) + γ h G h (w 1,w 2 ). Nullgewinnlinie dazu hat die Steigung (1 π)/ π. 4 / 11

5 1.4 Wettbewerbsgleichgewicht bei symmetrischer Information Wettbewerb zwischen Versicherungsunternehmen führt dazu, dass sie jedem Typ von Versicherungsnehmer denjenigen Vertrag anbieten, der den Nutzen eines Versicherungsnehmers unter der Nebenbedingung maximiert, dass der Anbieter keinen Verlust erleidet. Versicherungsnehmer vom Typ l erhalten den Vertrag (w l 1,wl 2 ), der das folgende Problem löst: max w 1,w 2 U l (w 1,w 2 ) unter der NB G l (w 1,w 2 ) 0 Entsprechend für Typ h: (w h 1,wh 2 ) löst maxu h (w 1,w 2 ) unter der NB G h (w 1,w 2 ) 0 w 1,w 2 Welche Verträge sind das? 5 / 11

6 6 / Wettbewerbsgleichgewicht bei symmetrischer Information 1.5 Wettbewerbsgleichgewicht bei asymmetrischer Information Es ist nicht klar, was die richtige Definition eines Wettbewerbsgleichgewichts bei asymmetrischer Information ist. Eine Möglichkeit ist, das folgende zu verlangen: 1 Verträge, die im Markt gehandelt werden, erzielen positive Gewinne. 2 Versicherungsnehmer schliessen diejenigen Verträge ab, welche ihren Nutzen maximieren. 3 Es keine Möglichkeit gibt, durch das Angebot eines weiteren Versicherungsvertrages eines streng positiven Gewinn zu erzielen. Wir betrachten zwei mögliche Kandidaten für Gleichgewichtskonstellationen: 1 Mischgleichgewichte: Es wird nur ein Vertrag (ŵ 1,ŵ 2 ) im Markt angeboten, der von allen Versicherungsnehmern akzeptiert wird. 2 Trenngleichgewichte: Verträge (w l 1,wl 2 ) (wh 1,wh 2 ), so dass alle Versicherungsnehmer vom Typ l (h) den ersten (den zweiten) dieser Verträge akzeptieren.

7 7 / Wettbewerbsgleichgewicht bei symmetrischer Information 1.5 Wettbewerbsgleichgewicht bei asymmetrischer Information Es gibt keine Mischgleichgewichte.... da es ausgehend von einer Situation, in der ein Mischvertrag mit Ḡ(w 1,w 2 ) = 0 gehandelt wird, stets eine Möglichkeit für profitablen Marktzutritt durch das Angebot eines Vertrages, der nur von l-typen akzeptiert wird, gibt. Es gibt nur einen Kandidaten für ein Trenngleichgewicht: (w h 1,wh 2 ) entspricht dem Wettbewerbsvertrag für Typ h unter symmetrischer Information. (w l 1,wl 2 ) ist derjenige Vertrag auf der Nullgewinnlinie G l(w 1,w 2 ) = 0, für den gilt: U h (w h 1,wh 2 ) = U h(w l 1,w l 2). Der einzige Kandidat für ein Trenngleichgewicht ist nur dann tatsächlich ein Wettbewerbsgleichgewicht, wenn γ h hinreichend gross ist ansonsten existiert kein Wettbewerbsgleichgewicht.

8 2. Moralisches Risiko 2.1 Modellrahmen Versicherungsnehmer kann zwischen zwei möglichen Aktionen a = s, f wählen: Fahrlässiges Verhalten, a = f, führt zu einer Schadenswahrscheinlichkeit π f. Sorgfältiges Verhalten, a = s, führt zu einer Schadenswahrscheinlichkeit π s und verursacht Kosten die als Abzug vom Nutzen gemessen werden in Höhe von c > 0. Es gilt 1 > π f > π s > 0. Erstausstattung des Versicherungsnehmers ist ( w 1, w 2 ); seine Bernoulli-Nutzenfunktion ist u mit u > 0 und u < 0. Nutzen aus einem Versicherungsvertrag (w 1,w 2 ) bei fahrlässigem Verhalten ist U f (w 1,w 2 ) = (1 π f )u(w 1 ) + π f u(w 2 ). Entsprechender Nutzen bei sorgfältigem Verhalten ist: U s (w 1,w 2 ) = (1 π s )u(w 1 ) + π s u(w 2 ) c. 8 / 11

9 2. Moralisches Risiko 2.1 Modellrahmen Der Gewinn eines Versicherungsunternehmens aus einem Vertrag hängt ebenfalls von dem Verhalten des Versicherungsnehmers ab: G f (w 1,w 2 ) = (1 π f )[ w 1 w 1 ] π f [w 2 w 2 ] G s (w 1,w 2 ) = (1 π f )[ w 1 w 1 ] π f [w 2 w 2 ] Für einen gegebenen Versicherungsvertrag mit w 1 < w 1 und w 2 > w 2 zieht das Versicherungsunternehmen immer vor, dass der Versicherungsnehmer sich sorgfältig verhält. Der Versicherungsnehmer zieht sorgfältiges Verhalten genau dann vor, wenn die folgende Anreizbedingung gilt: U s (w 1,w 2 ) U f (w 1,w 2 ) [π f π s ][u(w 1 ) u(w 2 )] c Insbesondere zieht der Versicherungsnehmer bei vollständiger Versicherung stets das fahrlässige Verhalten vor. 9 / 11

10 10 / Moralisches Risiko 2.2 Wettbewerbsgleichgewicht bei symmetrischer Information Symmetrische Information meint hier, dass das Verhalten des Versicherungsnehmers überprüfbar ist und somit im Vertrag vorgeschrieben werden kann. Es gibt zwei Kandidaten für das Wettbewerbsgleichgewicht: 1 Vollständige Versicherung mit w f 1 = w f 2 = π f w 2 + (1 π f ) w 1 und fahrlässigem Verhalten. 2 Vollständige Versicherung mit w s 1 = ws 2 = π sw 2 + (1 π s ) w 1 und der Vorschrift des sorgfältigen Verhaltens. Im Wettbewerbsgleichgewicht wird derjenige dieser Verträge angeboten, der dem Versicherungsnehmer den grösseren Nutzen verschafft: U f (w f 1,wf 2 ) > U s(w s 1,ws 2 ) (w f 1,wf 2 ) wird angeboten und gehandelt. U f (w f 1,wf 2 ) < U s(w s 1,ws 2 ) (ws 1,ws 2 ) wird angeboten und gehandelt. Welcher dieser beide Fälle eintritt hängt von der Höhe der Kosten, der Effektivität der Sorgfalt und den Risikopräferenzen ab.

11 11 / Moralisches Risiko 2.3 Wettbewerbsgleichgewicht bei asymmetrischer Information Asymmetrische Information bedeutet nun, dass das Verhalten des Versicherungsnehmers nicht überprüfbar ist und damit auch nicht vertraglich festgelegt werden kann. Es gibt zwei Kandidaten für ein Wettbewerbsgleichgewicht: 1 (w f 1,wf 2 ) wie zuvor bestimmt. 2 (w a 1,wa 2 ) der durch den Schnittpunkt der Nullgewinnbedingung G s (w 1,w 2 ) = 0 mit der Anreizgleichung [π f π s ][u(w 1 ) u(w 2 )] = c bestimmt ist. Ist (w f 1,wf 2 ) der Vertrag, der in einem Wettbewerbsgleichgewicht mit symmetrischer Information gehandelt wird, so gilt dieses auch unter asymmetrischer Information. Anderenfalls tritt eine der folgenden Ineffizienzen auf: 1 Versicherungsnehmer verhalten sich fahrlässig, obgleich sorgfältiges Verhalten optimal wäre. 2 Versicherungsnehmer verhalten sich sorgfältig, erhalten aber nur unvollständige Versicherung.