3. Selbstbehalt und Selbstbeteiligung

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1 3. Selbstbehalt und Selbstbeteiligung Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Versicherungsökonomie (FS 11) Selbstbehalt und Selbstbeteiligung 1 / 16

2 1. Modellrahmen 1.1 Versicherungsnehmer und Schadensverteilung Versicherungsnehmer beschrieben durch Ausgangsvermögen W 0 > 0 (sicher). Bernoulli-Nutzenfunktion u (streng steigend, streng konkav) Schaden beschrieben durch eine Zufallsvariable L mit Realisierungen L [0,W 0 ]. Wir betrachten den diskrete Fall mit möglichen Schäden 0 = L 1 < L 2 < < L n und dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten π 1,,π n, die allesamt streng grösser als Null sind. Das Lehrbuch betrachtet den stetigen Fall, wobei f die Dichtefunktion der Schadensverteilung bezeichnet. Der Fall n = 2 entspricht dem zuvor betrachteten Modell. 2 / 16

3 3 / Modellrahmen 1.2 Versicherungsverträge Ein Versicherungsvertrag ist beschrieben durch: 1 die Entschädigungszahlung I : [0,W 0 ] R + 2 die Versicherungsprämie P(I), von der wir annehmen, dass sie durch P(I) = (1 + λ)e[i( L)] mit λ 0 gegeben ist. Interpretation: I(L) 0 ist die Zahlung, die der Versicherungsnehmer erhält, wenn ein Schaden in Höhe von L auftritt. Die Versicherungsprämie wird auf Grundlage der erwarteten Entschädigungszahlung kalkuliert, die um den Aufschlagsfaktor λ 0 vergrössert wird. λ = 0 ist der Fall der fairen Versicherung; ein Vertrag mit λ > 0 heisst unfair.

4 1. Modellrahmen 1.2 Versicherungsverträge Ein Versicherungsvertrag mit (proportionaler) Selbstbeteiligung ist durch I(L) = αl mit 0 α 1 beschrieben. α = 1 ist der Spezialfall der vollständigen Versicherung (keine Selbstbeteiligung). α = 0 stellt den Fall dar, dass keine Versicherung erworben wird. Die Prämienzahlung ergibt sich hier als P(I) = (1 + λ)αe[ L]. 4 / 16

5 1. Modellrahmen 1.2 Versicherungsverträge Versicherungsverträge mit Selbstbehalt werden durch die Funktion I(L) = max[0,l D] mit D 0 dargestellt. D ist die Höhe des Selbstbehalts (Deductible, Franchise) Bei Schäden unterhalb von D wird keine Entschädigung geleistet. Bei Schäden oberhalb von D erhält der Versicherungsnehmer den Schaden abzüglich des Selbstbehalts erstattet. Der Fall der vollständigen Versicherung ist durch D = 0 erfasst. D = W 0 stellt den Fall dar, dass keine Versicherung erworben wird. 5 / 16

6 1. Modellrahmen 1.2 Versicherungsverträge Beachte: Natürlich könnte man auch Versicherungsverträge betrachten, die Selbstbeteiligung und Selbstbehalt kombinieren: I(L) = max[0,α(l D)]... oder auch noch eine Höchstgrenze für die Erstattung definieren: I(L) = min[z,max[0,α(l D)]]. Als allgemeine Einschränkung an die Klasse der betrachteten Versicherungsverträge formulieren wir die folgende Annahme: I ist steigend mit 0 I(L) L, L [0,W 0 ] Was motiviert diese Annahme? Was wird durch sie ausgeschlossen? 6 / 16

7 1. Modellrahmen 1.3 Nutzenbewertung eines Versicherungsvertrages Aus dem Abschluss eines Versicherungsvertrages, der die Entschädigungszahlungen I(L) verspricht, resultiert der Erwartungsnutzen n π i u(w 0 (1 + λ)e[i( L)] L i + I(L i )). i=1 Das Versicherungsnachfrageproblem besteht im allgemeinen darin, aus einer Menge solcher Verträge denjenigen auszuwählen, der den höchsten Erwartungsnutzen erzeugt. 7 / 16

8 2. Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung 2.1 Formulierung des Versicherungsnachfrageproblems Problemstellung: Welchen Wert von α sollte der Versicherungsnehmer wählen, wenn alle Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung zur Auswahl stehen? Bezeichne mit ū(α) den Erwartungsnutzen des Versicherungsvertrages, in dem der Anteil α eines jeden Schadens ersetzt wird: ū(α) = n π i u(w 0 (1 + λ)αe[ L] (1 α)l i ) i=1 Das betrachte Versicherungsnachfrageproblem ist max 0 α 1ū(α) 8 / 16

9 2. Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung 2.2 Eigenschaften des Versicherungsnachfrageproblems Die Zielfunktion ū(α) ist streng konkav, so dass das Versicherungsnachfrageproblem eine eindeutige Lösung besitzt. Mossins Theorem Es existiert ein λ > 0, so dass α = 0 gilt, wenn λ λ ist Keine Versicherung ist optimal, wenn der Aufschlagsfaktor zu gross wird. α = 1 gilt, wenn λ = 0 ist Vollständige Versicherung ist optimal, wenn die Versicherung fair ist. 0 < α < 1 gilt, wenn 0 < λ < ˆλ gilt Ist die Versicherung weder fair noch prohibitiv teuer, so ist unvollständige Versicherung optimal. 9 / 16

10 2. Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung 2.3 Komparative Statik: Vermögen und Aufschlag Ausgehend von Parameterwerten, die zu 0 < α < 1 führen, kann die komparative Statik bezüglich des Ausgangsvermögens und des Aufschlagsfaktors mit Hilfe des Satzes über implizite Funktionen durchgeführt werden. Die Vorgehensweise entspricht derjenigen im einfachen Grundmodell. Ergebnisse sind ebenfalls entsprechend zu denen im einfachen Grundmodell: Ausgangsvermögen: α fallend (bzw. konstant, bzw. steigend) in W 0, falls u fallende (bzw. konstante, bzw. steigende) absolute Risikoaversion aufweist. Aufschlagsfaktor: α fallend in λ, falls u konstante oder steigende absolute Risikoaversion aufweist. Im Fall der fallenden absoluten Risikoaversion ist keine allgemeine Aussage möglich. 10 / 16

11 2. Versicherungsverträge mit Selbstbeteiligung 2.4 Komparative Statik: Risikoaversion Betrachte Bernoulli-Nutzenfunktionen u und v, wobei u risikoaverser als v sei. Frage: Was kann man über den Vergleich von α u und α v bei identischen Parametern sagen? Antwort: Es muss α u α v gelten. Zusätzlich gilt: Ist u streng risikoaverser als v, dann gilt α u > α v Beachte die Voraussetzung einer inneren Lösung (0 < α < 1). Ohne diese können die Fälle α u = α v = 0 und α u = α v = 1 auftreten. 11 / 16

12 3. Versicherungsverträge mit Selbstbehalt 3.1 Fragestellung Entsprechend zu der Analyse im vorhergehenden Abschnitt kann man die Auswahl des optimalen Wertes von D aus einer Klasse von Versicherungsverträgen mit Selbstbehalt diskutieren. Dies tun wir nicht. Stattdessen fragen wir: Wenn der Versicherungsnehmer die Form der Entschägigungszahlung unter der Nebenbedingung P(I) = (1 + λ)e[i( L)]. frei wählen könnte, würde er sich für einen Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt entscheiden? 12 / 16

13 13 / Versicherungsverträge mit Selbstbehalt 3.1 Fragestellung Definition Ein Versicherungsvertrag I : [0,W 0 ] R + ist optimal, wenn er das Problem maxe[u(w 0 P L + I( L))] I unter den Nebenbedingungen P = (1 + λ)e[i( L)] und I(L) ist steigend mit 0 I(L) L. löst.

14 3. Versicherungsverträge mit Selbstbehalt 3.2 Antwort Satz Ist I ein optimaler Versicherungsvertrag, dann existiert D 0, so dass I (L i ) = max{0,l i D} für alle i = 1, n gilt. Dies bedeutet, dass Versicherungsverträge mit Selbstbehalt optimal sind. Dieses Ergebnis gilt auch unter schwächeren Annahmen: Für den Zusammenhang zwischen Entschädigung und Prämienzahlung ist nur wesentlich, dass die Prämie für Verträge mit gleicher erwarteter Auszahlung gleich ist. Erwartungsnutzenhypothese wird nicht benötigt wesentlich ist nur, dass weniger riskante Verteilungen vorgezogen werden. Warum gilt das? Die Intuition ist einfach / 16

15 15 / Versicherungsverträge mit Selbstbehalt 3.2 Antwort Man kann das Problem in zwei Schritte zerlegen: 1 Bestimme für eine gegebene Prämienzahlung P die dazugehörige optimale Funktion I. 2 Setze diese Lösung in die Zielfunktion ein und maximiere über P Führt schon der erste Schritt zu dem Ergebnis, dass die Lösung dieses Problems ein Versicherungsvertrag mit Selbstbehalt ist, braucht man den zweiten Schritt nicht mehr zu machen. Also kann man hoffen, dass es genügt, das folgende Problem zu betrachten: max x 1,,x n (Wieso?) n π i u(w 0 P L i +x i ) unter den NB π i x i = P/(1+λ) und x i 0. i=1 i

16 3. Versicherungsverträge mit Selbstbehalt 3.2 Antwort Um die Logik der Analyse zu verstehen, genügt es den Spezialfall mit π i = 1/n zu betrachten, max x 1, x n n u(w 0 P L i + x i ) unter den NB x i = k und x i 0, i=1 i und zu bedenken, dass es in einer Lösung dieses Problemes keine Möglichkeit geben darf, durch die Umverteilung eines kleinen Geldbetrages von einem Zustand zu einem anderen eine Verbesserung zu erreichen. 16 / 16