Bachelor-Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Wintersemester 2015/ Aufgabe Punkte

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1 Bachelor-Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Wintersemester 2015/ Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben Ihrer Wahl. Die Bearbeitungszeit für beide Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen beträgt 90 Minuten. Pro Aufgabe sind maximal 10 Punkte erreichbar. Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. 1

2 Aufgabe 1: Definitionen und grundsätzliche Fragen (Theorie) (a) Erläutern Sie den Unterschied zwischen einem statischen und einem dynamischen System. (b) Erläutern Sie den Unterschied zwischen einer algebraischen Gleichung und einer Funktionalgleichung. (c) Erläutern Sie den Unterschied zwischen einer Differenzengleichung und einer Differentialgleichung. (d) Wie viele Lösungsfolgen hat die DGL x t = x t 1 + b? (e) Kann es bei Differenzengleichungen passieren, dass zu einem Startwert keine Lösung existiert? Begründung! 2

3 Aufgabe 2: Der exponentiell gleitende Durchschnitt (Anwendung) Der Exponential Moving Average (EMA) wird zum Beispiel in der Chartanalyse von Aktien benutzt. Er wird für jeden Tag folgendermaßen berechnet: EMA t = (1 SF) EMA t 1 + SF C t Dabei ist 0 < SF < 1 ein sogenannter Smoothing-Factor. C t ist der Schlusskurs des betrachteten Tages. (a) Bestimmen Sie die Ordnung der DGL. (b) Zeigen Sie in drei Schritten, dass EMA t := (1 SF) t EMA 0 + SF t i=1 (1 SF)t i C i die DGL löst. (c) Gegeben seien die Schlusskurse laut Tabelle und ein Smoothing-Factor von 1 2. Berechnen Sie iterativ den EMA für Tag eins und zwei und tragen Sie die Werte in die Tabelle ein. Tag Schlusskurs EMA (SF=1/2) 8 (d) Berechnen Sie den EMA für Tag acht und tragen Sie ihn ebenfalls ein. (Tipp: 8 i=1 (1/2)t i C i = 12,61.) (e) Angenommen, der Schlusskurs bliebe ab einem bestimmten Tag für immer konstant bei C t = C. Wie entwickelt sich der EMA ab diesem Zeitpunkt? Begründung! 3

4 Aufgabe 3: Lineare Differenzengleichungen höherer Ordnung (Theorie) Gegeben sei folgende DGL y n+3 = 2y n+2 + y n+1 + 2y n (a) Geben Sie das charakteristische Polynom der DGL an. (b) Ist folgender Term eine Lösung der DGL: y n = 1 + ( 1) n + ( 2) n? Kurze Begründung! (c) Nehmen Sie an, der Ausdruck in Teilaufgabe (b) sei eine Lösung. Was müssten die Startwerte y 0, y 1, y 2 sein, damit die spezielle Lösung in (b) genau zu diesen Startwerten passt? (d) Ist diese DGL stabil? Begründung! (e) Geben Sie einen Ruhepunkt der DGL an. 4

5 Aufgabe 4: Populationsmodell (Anwendung) In einer Stadt wie Regensburg lebe eine Hasenpopulation. Neugeborene Tiere sind nicht gleich in der nächsten, sondern erst in der übernächsten Periode fortpflanzungsfähig. Ab dann vermehren Sie sich mit einer Rate von 6 Nachkommen pro Tier pro Periode. Die Mortalitätsrate in diesem Modell ist null. (a) Stellen Sie die Differenzengleichung auf, welche die Anzahl der Tiere N t im Zeitverlauf beschreibt. (b) Bestimmen Sie Ordnung und Typ der DGL. (c) Stellen Sie das charakteristische Polynom der DGL auf. (d) Berechnen Sie die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. (e) Geben Sie die allgemeine Lösung der DGL zu beliebigen Startwerten an. (f) Welche konstante Anzahl an Tieren müsste man jede Periode einfangen, damit der Ruhepunkt des dynamischen Systems bei 1000 Tieren liegt? 5

6 Aufgabe 5: Abschreibungen (Anwendung) Eine Maschine werde mit der Rate r = 0.5 pro Periode abgeschrieben. Der Buchwert (=Restwert) nach 5 Jahren sei B 5 = (a) Stellen Sie die Beziehung zwischen den Buchwerten zweier aufeinanderfolgender Perioden durch eine Differenzengleichung dar. (b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung! (c) Bestimmen Sie die spezielle Lösung so dass B 5 = (d) Beschriften Sie alle Bestandteile der Graphik (Felder ausfüllen)! Stellen Sie die DGL aus (a) graphisch dar. Die Einheit der Achsen ist 1000 Euro. (e) Zeichnen Sie die Entwicklung des Buchwerts für B 0 = 6000 und t = 0, 1, 2, 3 in die Graphik ein und markieren Sie die Werte B 0, B 1, B 2, B 3 auf der Abszisse. 6

7 Aufgabe 6: Erwartungsdifferenzengleichungen (Theorie) Im Folgenden soll folgende Aussage bewiesen werden: Falls a < 1, dann hat die DGL x t = ax t+1 + b t höchstens eine beschränkte Lösung. (a) Widerspruchsbeweis. Angenommen, es gibt zwei verschiedene beschränkte Lösungsfolgen (x t ) t N, (y t ) t N. Schreiben Sie auf was es formal bedeutet, dass diese beiden Folgen beschränkt sind. (b) (x t ) t N, (y t ) t N sind Lösungsfolgen. Was bedeutet das formal? (c) Berechnen Sie mit Hilfe von Teilaufgabe (b) die Differenz (x t y t ). (d) Wie lässt sich nun der Differenzbetrag x t+1 y t+1 in Abhängigkeit von x t y t und a ausdrücken. (e) Was sagt die Beziehung in Teilaufgabe (d) über den Abstand der beiden Folgen? Zu welcher Annahme steht das schließlich im Widerspruch? 7

8 Aufgabe 7: Ressourcen optimal verteilen (Anwendung) Sie können 300T Euro auf drei Niederlassungen verteilen. Jede Ihrer Niederlassungen schlägt Ihnen Investitionsprojekte vor: Betrieb 1 Betrieb 2 Betrieb T 200T 200T 300T 100T 150T 200T 360T 300T 400T (Legende: Investitionssumme Ertrag) Betrachten Sie die einzelnen Betriebe als die einzelnen Stufen des mehrstufigen Optimierungsproblems. (a) Für was stehen in dieser Situation die Kontrollvariable a t und die Zustandsvariable x t? (b) Definieren Sie die technische Beschränkung x t+1 = T (x t, a t ) zu diesem Problem passend. (c) Vervollständigen Sie - mittels Bellman-Prinzip - die folgenden Tabellen: Betrieb 1 a 1 = 0 a 1 = 100 a 1 = 200 a 1 = 300 V (x 1 ) x 1 = Betrieb 2 a 2 = 0 a 2 = 100 a 2 = 200 a 2 = 300 V (x 2 ) x 2 = x 2 = x 2 = Betrieb 3 a 3 = 0 a 3 = 100 a 3 = 200 a 3 = 300 V (x 3 ) x 3 = x 3 = x 3 = x 3 = (d) Was ist der maximal mögliche Nutzen? (e) Wieviel muss man optimalerweise in Betrieb 2 und 3 investieren? Betrieb 2: Betrieb 3: 8

9 Aufgabe 8: Dynamische Optimierung (Theorie) Verwenden Sie folgende Bezeichnungen: Die Zustandsvariable heiße y t, die Kontrollvariable c t. (a) Erstellen Sie eine Zeichnung, welche die Grundstruktur eines mehrstufigen Entscheidungsproblems beschreibt. In der Zeichnung sollen insbesondere die Technische Beschränkung und der Nutzen pro Periode ersichtlich werden. (b) Geben Sie die allgemeine Formel für den maximal möglichen Gesamtnutzen V (y 0 ) im Zustand y 0 an. Die Nutzen der einzelnen Perioden sollen sich dabei zum Gesamtnutzen addieren. Der Zeithorizont sei unendlich. (c) Schreiben Sie die Bellman-Gleichung zu diesem Optimierungsproblem auf, und erläutern Sie, welche Idee der Bellman-Gleichung zugrunde liegt. (d) Die Funktion H sei definiert durch H(y t, c t ) := u(y t, c t ) + V (y t ). Falls c t eine optimale Wahl für den Zustand ỹ t ist, welche beiden notwendigen Optimalitätsbedingungen müssen dann gelten? (Bezeichung und formale Darstellung der Bedingungen!) (e) Nennen Sie zwei objektive Nachteile des Lösens von Mehrperiodenproblemen mittels in (d) genannter Optimalitätsbedingungen gegenüber dem iterativen Lösen direkt mit dem Bellman-Prinzip. 9