Klausur Wirtschaftsmathematik VO

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1 Klausur Wirtschaftsmathematik VO 08. Mai 2015 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner und Handys am Arbeitsplatz! Aufgabe max. Punkte erreichte Punkte Summe 60 Note:

2 1. G ist die Menge der Berufstätigen einer Stadt, M die Menge der männlichen Berufstätigen, A die Menge der Berufstätigen über 50 Jahre und P die Menge der Pendler. M, A und P sind Teilmengen von G. a) (8 Punkte) Angenommen in der Stadt leben insgesamt 1000 berufstätige Personen davon 655 männliche Berufstätige. Des Weiteren leben hier 333 Berufstätige über 50 Jahre, wobei doppelt so viele Frauen wie Männer über 50 noch berufstätig sind. Die Statistiken machen deutlich, dass 80 % der Berufstätigen keine Pendler sind, und bei dem Rest - der pendelt - handelt es sich in 10% um Frauen. Des Weiteren ist es bekannt, dass Berufstätige über 50 Jahre nicht pendeln. Zeichnen Sie das passende Venn-Diagramm samt der Mächtigkeiten der folgenden Mengen: A \ M; A fl M; (M \ A) \ P ; P \ M; M fl P ; A fl P. b) (2 Punkte) Stellen Sie die folgenden Mengen mittels Mengenoperatoren und der Mengen G, A, P und M dar. i. Menge der männlichen Pendler über 50 Jahre ii. Menge der weiblichen Berufstätigen, die nicht pendeln c) (2 Punkte) Bestimmen Sie anhand der oben genannten Informationen, die Mächtigkeiten der in Teilaufgabe (b) genanten Mengen. Ausführung Beispiel 1:

3 Ausführung Beispiel 1: Lösung a) G=1000 M=655 A=333 G\M=345 (M\A)\P =364 M A=111 A\M=222 M P=180 P\M=20 P=200 b) c) A \ M =222 A fl M =111 (M \ A) \ P =364 P \ M =20 M fl P =180 A fl P =0 i. M fl P fl A ii. M \ P =(G \ M) \ P i. M fl P fl A =0 ii. - M \ P - = (G \ M) \ P =325

4 2. a) (4 Punkte) Bestimmen Sie den Grenzwert der Zahlenfolge mit dem allgemeinen Folgenglied: Ô 4n2 +2n b n = n b) (4 Punkte) Prüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz: Œÿ ( 1) n+1 n! (n +1)! n=1 c) (4 Punkte) Gegeben ist die Folge a n = 3n+1 n. Zeigen Sie, dass für ein beliebiges Á>0 der Abstand zwischen dem n-te Folgenglied und dem Grenzwert a = 3 ab einem bestimmten Index n (Á) kleiner als Á ist. Ausführung Beispiel 2:

5 Ausführung Beispiel 2: Lösung: a) b =2 b) konvergent, Leibniz-Kriterium c) - 3n+1 n 3- <Á n> 1 Á

6 3. Die Kostenfunktion eines Unternehmens lautet K (x) = x Zwischen dem Verkaufspreis p und der abgesetzten Menge x besteht ein linearer Zusammenhang, der durch die Gleichung x + p = 10 beschrieben werden kann. Alle produzierten Mengeneinheiten werden vom Unternehmen abgesetzt. a) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Gleichung der Erlösfunktion E (x) und berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen der Funktionen K (x) und E (x). Beschreiben Sie, welche Informationen die Koordinaten dieser Schnittpunkte für den Gewinn des Unternehmens liefern! b) (2 Punkte) Zeichnen Sie den Graphen der Gewinnfunktion G (x) in die untenstehende Abbildung ein! Markieren Sie in Ihrer Zeichnung die Höhe des Gewinns im Erlösmaximum! c) (2 Punkte) Berechnen Sie diejenige Menge, bei der der Gewinn maximal wird und zeigen Sie, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt! d) (2 Punkte) Berechnen Sie den zu erwartenden Gewinn, wenn das Unternehmen sein Produkt zu einem Preis von p = 6 verkauft! e) (2 Punkte) Welche Auswirkungen hat eine Erhöhung der Fixkosten auf diejenige Stückzahl, bei der der maximale Gewinn erzielt wird, welche Auswirkungen auf die Höhe des maximalen Gewinns und warum? Ausführung Beispiel 3: G(x) E(x) K(x) x

7 Ausführung Beispiel 3: Lösung: a) E (x) = x 2 +10x; S 1 (2/16), S 2 (7/21); z.b.für die Stückzahlen x 1 =2und x 2 =7wird kein Gewinn erzielt b) G(x) E(x) K(x) x c) G(x) =E(x) K(x) = x 2 +10x (x +14)= x 2 +9x 14; G Õ (x) = 2x +9; x =4, 5 d) p =6 x =4und G (4) = 6; e) Stückzahl bleibt unverändert, Gewinn sinkt um die Erhöhung der Fixkosten.

8 4. Gegeben sind die Matrix A und die Vektoren b und c: Q R Q R Q R A = c a2 7 4 d b, b = c a 4 d b und c = c a4 d b a 2 a +2 2 a) (2 Punkte) Bestimmen Sie alle a œ R für die das lineare Gleichungssystem Ax = b keine Lösung besitzt. b) (2 Punkte) Bestimmen Sie alle a œ R für die das lineare Gleichungssystem Ax = b genau eine Lösung besitzt. c) (2 Punkte) Bestimmen Sie alle a œ R für die das lineare Gleichungssystem Ax = b unendlich viele Lösungen besitzt. d) (6 Punkte) Bestimmen Sie für a = 3 alle Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax = c. Ausführung Beispiel 4:

9 Ausführung Beispiel 4: Lösung: a) a =3 b) a = ±3 c) a = 3 Q R Q R Q R x 2 1 d) c ayd b = c a0 d b + t c a 2 d b z 0 3

10 5. Gegeben sind die Nachfragefunktionen! N i" für drei Güter mit den Preisen p i mit i =1, 2, 3. N 1 (p 1,p 2 )=270 24p 1 +33p 2 N 2 (p 1,p 2 )=256+10p 1 2 2p 2 N 3 (p 2,p 3 )=a p 2 b Ôc p 3 a, b, c œ R ++ Derzeit werden Gut 1 um Ä 3.-, Gut 2 um Ä 2.- vertrieben. a) (4 Punkte) Um wie viel Prozent ändert sich bei derzeitigen Preisen die Nachfrage nach Gut 1 ungefähr, wenn sich der Preis von Gut 2 um ein Prozent erhöht? b) (4 Punkte) Um wie viel ändert sich ausgehend von den derzeitigen Preisen die Nachfrage nach Gut 2 ungefähr, wenn der Preis von Gut 1 um 20% sinkt und der Preis des Gutes 2 um Ä 0,5 steigt? c) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Menge aller Parameter a, b und c so, dass die Funktion N 3 homogen vom Grad 0 ist. Was bedeutet dies für die Nachfrage nach Gut 3, wenn man nun sowohl p 2 als auch p 3 in Dollar anstatt in Euro angibt? Begründen Sie! Ausführung Beispiel 5:

11 Ausführung Beispiel 5: Lösung: a) 1 4 % b) -37 c) a, c œ R ++, b = 1 2,keineÄnderung der Nachfrage.