Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Wintersemester 2013/ Aufgabe Punkte

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1 Kursprüfung Methoden der VWL Klausurteil Dynamische Methoden der VWL Wintersemester 2013/ Bitte gut leserlich ausfüllen: Name: Vorname: Matr.-nr.: Wird vom Prüfer ausgefüllt: Aufgabe Punkte Wichtige Hinweise Die Bearbeitungszeit für beide Klausurteile Dynamische Methoden und Quantitative Methoden zusammen beträgt 90 Minuten. Pro Aufgabe sind maximal je 10 Punkte erreichbar. Notation und Symbole sind aus der Vorlesung übernommen. Zugelassenes Hilfsmittel: nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte überprüfen Sie vor Beginn der Bearbeitung, ob Ihr Aufgabenteil alle Seiten enthält. Er beginnt mit Seite 1 und endet mit Seite 9. Bearbeiten Sie 6 der 8 Aufgaben Ihrer Wahl. 1

2 Aufgabe 1: Lineare Differenzengleichungen 1.Ordnung (Theorie) (a) Schreiben Sie die allgemeine Form einer stochastischen linearen Differenzengleichung 1.Ordnung auf. (b) Berechnen Sie die Lösung der DGL in (a) iterativ bis t = 3. (c) Raten Sie auf Grundlage von (b) die allgemeine Lösung der DGL. (d) Wie vereinfacht sich die Lösung, wenn der Störterm in jeder Periode konstant ist (Rechenweg nicht nötig)? (e) Falls die Lösung in (d) stabil ist, gegen welchen Wert konvergiert sie dann (Begründung)? 2

3 Aufgabe 2: BIP-Wachstum und Haushaltsdefizit (Anwendung) Ein Land hat aktuell ein BIP von 100 Milliarden Euro pro Jahr. (a) Die Wirtschaft wächst jede Periode um 4%. Stellen Sie die DGL auf, die die Entwicklung des BIP modelliert. (b) Bestimmen Sie Ordnung und Typ der DGL und geben Sie die Lösung an. (c) Ist die Lösung stabil (Begründung)? (d) Wie hoch ist das BIP in 30 Jahren? (e) Berechnen Sie wie lange es dauert, bis das BIP 333 Milliarden Euro beträgt (mit Rechenweg)? (BIP-Wachstum konstant 4%, Zinsen und andere Effekte werden ignoriert.) 3

4 Aufgabe 3: Nicht-lineare Differenzengleichungen (Theorie) Betrachten Sie folgende DGL: x t = ln(x t 1 ) + 1. (a) Stellen Sie die Situation graphisch dar. (Auf Beschriftung der Diagrammbestandteile achten.) (b) Zeichnen Sie in die Graphik von (a) die Entwicklung der DGL für einen beliebigen Startwert x 0 > 1 ein. (c) Für welche Startwerte ist die DGL stabil, d.h. die Lösungen der DGL konvergieren (ohne Begründung)? (d) Berechnen Sie zum Startwert x 0 = 0,5 die Lösung iterativ bis t = 2. Was schließen Sie daraus für die Lösung der DGL zu diesem Startwert? (e) Unter welcher Bedingung kann bei einer DGL x t = f(x t 1 ) das Phänomen, dass zu einigen Startwerten keine Lösung existiert, überhaupt auftreten? 4

5 Aufgabe 4: Aktienpreise und Bubbles (Anwendung) (a) (b) (c) (d) Stellen Sie zunächst die No-Arbitrage-Bedingung auf, welche beschreibt, dass Aktien die gleiche Rendite haben müssen wie festverzinsliche Wertpapiere (Dividenden werden noch in der Ausschüttungsperiode verzinst). Leiten Sie aus (a) die DGL her, die den Kurs einer Aktie beschreibt und bestimmen Sie Ordnung und Typ. Was ist die Lösung der DGL in (b). Nennen Sie Bedingungen unter denen die Lösung tatsächlich existiert? Berechnen Sie den Erwartungswert der folgendermaßen definierten Bubble. 1+r p b t mit Wahrscheinlichkeit p b t+1 = 0 mit Wahrscheinlichkeit (1 p) (e) Kann die Bubble aus (d) Bestandteil des Aktienkurses sein (Begründung)? 5

6 Aufgabe 5: Samuelsons Multiplikator-Akzelerator-Modell (Anwendung) Betrachten Sie das folgende Modell: Y t = C t + I t C t = 2 3 Y t 1 I t = 7 2 C t 3C t 1 (a) Leiten Sie die DGL 2.Ordnung her, die die Entwicklung von Y t bestimmt. (b) Seien Y 0 = 0 und Y 1 = 1 gegeben. Berechnen Sie iterativ Y t bis t = 3. (c) Stellen Sie das charakteristische Polynom zu der DGL auf (Herleitung nicht notwendig). (d) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL zu beliebigen Startwerten. (e) Ist die Lösung stabil (Begründung)? 6

7 Aufgabe 6: Dynamische Programmierung (Theorie) Betrachten Sie folgendes Maximierungsproblem: wobei x t+1 = T (x t, a t ). (a) (b) (c) (d) (e) max (a t) t=0 Stellen Sie die zugehörige Bellman-Gleichung auf. u(x t, a t ) Erklären Sie in Worten das Prinzip, das hinter der Bellman-Gleichung steckt. Formulieren Sie die First-Order-Condition? Formulieren Sie die Envelope-Bedingung? t=0 Welche Vor- bzw. Nachteile ergeben sich, wenn man ein Mehrperioden-Entscheidungsproblem über die Optimalitätsbedingungen löst? 7

8 Aufgabe 7: Optimales Schokolade essen (Anwendung) 3 Tafeln Schokolade sollen in den 24 Dezembertagen bis Weihnachten möglichst nutzenmaximierend gegessen werden. Die Nutzenfunktion sei dabei gegeben durch u(x t, a t ) = a 2 t + 2a t. (a) Formulieren Sie das Optimierungsproblem, das hier zu lösen ist, und geben Sie für T (x t, a t ) die sinnvollste Funktion konkret an. (b) Stellen Sie die Bellman-Gleichung auf. (c) Berechnen Sie die Optimalitätsbedingungen für diesen Fall. (d) Leiten Sie aus den Optimalitätsbedingungen eine DGL für die Kontrollvariable her. (e) Welches Konsumprofil ist optimal und wieviel Schokolade sollte man jeden Tag essen? 8

9 Aufgabe 8: Preisentwicklung (Anwendung) Gegeben sei ein Marktmodell mit Nachfragekurve D(t) = δ 0 0,7P (t), Angebotskurve S(t) = 0,3P (t), Preisanpassungsfunktion P (t) t = D(t) S(t). (a) Berechnen Sie den Markträumungspreis P. (b) (c) (d) (e) Stellen Sie die Differentialgleichung auf, die die Preisentwicklung beschreibt. Lösen Sie die Differentialgleichung allgemein. Zu Beginn beträgt der Preis das doppelte des Markträumungspreises. Bestimmen Sie die spezielle Lösung zu diesem Startwert. Wohin entwickelt sich der Preis für t (Begründung)? 9