Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik I für Wirtschaftsingenieure am B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe gesamt erreichbare P (2) (4) (6) erreichte P. Bemerkungen: Bitte für jede Aufgabe eine neue Seite anfangen und jeweils angeben zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die Lösung gehört. Die Bedeutung von Symbolen und Bezeichnungen sowie verwendete Formeln und Gleichungen sind anzugeben. Jeder Lösungsweg muß nachvollziehbar sein. Fragen sind jeweils mit einem Antwortsatz zu beantworten. Aufgabe : Geben Sie die folgenden Mengen in aufzählender Schreibweise an: A = {x Z (9x 2 )(x + 5)(x 3 x) = } und B = {x R (x < 2) ( n N : x = 5n)}. Aufgabe 2 : Personen wurden über ihr Interesse an olympischen Wettkämpfen befragt. Dabei geht es um die Sportarten Biathlon, Skispringen und Nordische Kombination. 2 % der Befragten interessieren sich für alle drei Sportarten, während sich 22 % für keine dieser Sportarten interessieren. 35 % der Befragten interessieren sich für genau zwei der Sportarten, darunter % für Biathlon und Nordische Kombination und 2 % für Biathlon und Skispringen. Weiterhin ist bekannt, dass sich % der Befragten nur für Biathlon und 8 % nur für Skispringen interessieren. Wieviele der Befragten interessieren sich nur für die Nordische Kombination? Wieviele % der Befragten interessieren sich nicht für Skispringen? Wieviele % der Befragten interessieren sich für Biathlon oder Skispringen (oder beides)? Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe eines Venn-Diagramms. Aufgabe 3 : Herr Fuchs zahlt einmalig am..25 einen gewissen Betrag auf sein Konto ein. Das Guthaben auf dem Konto soll nach 2 Jahren 4 e betragen. Wie hoch ist der einzuzahlende Betrag, sofern der Zinssatz in den ersten 4 Jahren 2% p.a. und ab dem 5 Jahr 2,5% p.a. beträgt? Wie hoch ist der Effektivzinssatz dieser Geldanlage? Geben Sie jeweils den Rechenweg an.

2 Aufgabe 4 : Herr Hausmann möchte auf ein Eigenheim sparen. Dazu beabsichtigt er ab 25 jährlich nachschüssig 3 e auf ein mit,5% p.a. verzinstes Konto einzuzahlen (d.h.: erste Einzahlung am ). (a) Wie hoch ist sein Guthaben am nach der Einzahlung? Geben Sie den Rechenweg an. Falls Sie Aufgabe (a) nicht lösen können, gehen Sie von einem Guthaben von 32 e am aus. Die folgenden Fragen sind unabhängig voneinander zu beantworten. Geben Sie jeweils den Rechenweg an. (b) Statt der jährlichen Zahlungen möchte Herr Hausmann nur einmal ein größere Summe auf das Konto einzahlen. Welchen einmaligen Betrag müßte er am einzahlen, um am den unter (a) berechneten Betrag zur Verfügung zu haben? (c) Statt der jährlichen Zahlungen möchte Herr Hausmann ab Januar 25 bis Dezember 224 monatlich nachschüssig gleichbleibende Raten auf das Konto einzahlen. Wie hoch müssen diese Raten sein, damit am (nach der Einzahlung) das unter (a) berechnete Guthaben zur Verfügung steht? (d) Herr Hausmann möchte seine jährlichen Einzahlungen auf die Jahre 27 bis 222 beschränken, aber am den unter (a) berechneten Betrag zur Verfügung haben. Wie hoch sind in diesem Fall die jährlichen nachschüssigen Raten? (e) Zur Freude von Herrn Hausmann werden die Zinsen für sein Konto ab..22 auf 2% p.a. erhöht. Wie hoch ist sein Guthaben am nach der Einzahlung, sofern er die ursprünglich beabsichtigten jährlichen Einzahlungen von 3 e von 25 bis 224 durchführt? Aufgabe 5 : Herr Mutig möchte zum..25 für seine Firma eine neue Produktionsanlage für 2 e anschaffen. Die Nutzungsdauer der Anlage beträgt 5 Jahre, d.h. sie wird in dieser Zeit mittels linearer Abschreibung vollständig abgeschrieben. Somit ist die jährliche Abschreibung A j = 4 e (j =,..., 5). Durch die Anschaffung der Anlage wird für die 5 Jahre der Nutzung pro Jahr ein Gewinnzuwachs von G j = 52 e (j =,..., 5) erwartet. (a) Wie hoch ist der Kapitalwert C o dieser Anlage vor Steuern, sofern ein Vergleichszinssatz von i = 3% betrachtet wird? Geben Sie den Rechenweg an. (b) Wie hoch ist der Kapitalwert C m dieser Anlage nach Steuern, sofern ein Vergleichszinssatz von i = 3% und ein Steuersatz von s = 5% betrachtet werden? Geben Sie den Rechenweg an. Lohnt sich die Anschaffung der Anlage für Herrn Mutig? Zusatzaufgabe: (c) Geben Sie eine Formel für die Berechnung der Rendite dieser Anlage nach Steuern an.

3 Aufgabe 6 : In einer Firma werden aus 3 Rohstoffen R, R 2, R 3 über 3 Zwischenprodukte Z, Z 2, Z 3 die 2 Endprodukte E und E 2 hergestellt. Tabelle A gibt an, wieviele Mengeneinheiten (ME) vom Rohstoff R i in jeweils eine ME des Zwischenproduktes Z j eingehen, Tabelle B gibt an, wieviele ME des Zwischenproduktes Z j in jeweils eine ME des Endproduktes E k eingehen. A Z Z 2 Z 3 R 2 R R B E E 2 Z 4 2 Z 2 2 Z 3 (a) Berechnen Sie die Matrix C, die angibt wieviele ME von R i (i =, 2, 3) jeweils in eine ME von E bzw. E 2 eingehen. Geben Sie insbesondere die Matrizengleichung für C an. (b) Wieviele ME der Rohstoffe R, R 2 und R 3 werden für die Produktion von 5 ME E und ME E 2 benötigt? (c) Der Lagerverwalter stellt fest, dass noch 25 ME des Zwischenproduktes Z, ME des Zwischenproduktes Z 2 und ME des Zwischenproduktes Z 3 auf Lager sind, die für die Produktion verwendet werden können. Wieviele ME der Rohstoffe R, R 2 und R 3 werden darüber hinaus benötigt, um 5 ME E und ME E 2 zu produzieren? Aufgabe 7 : Zusatzaufgabe Sei L = { x R 3 A x = b} mit A = , b = 3 3 6, sowie L := x R3 x = + t 7 4, t R. Gilt L L? Begründen Sie Ihre Aussage rechnerisch. Aufgabe 8 : Gegeben sind die Matrizen A = und (A E) = sowie die Matrizengleichung A x x = ( 4, 7, 9) T. Berechnen Sie x. Geben Sie den Rechenweg an. 2 2,

4 Aufgabe 9 : In einer Getreidemühle fallen täglich 6 Tonnen Weizenmehl und 2 Tonnen Roggenmehl an. Aus diesen beiden Sorten werden drei Mehlmischungen für den Verkauf produziert: Mischung enthält 2% Weizenmehl und 8% Roggenmehl, Mischung 2 enthält 5% Weizenmehl und 5% Roggenmehl und Mischung 3 ist reines Weizenmehl. Die Herstellung und Verpackung einer Tonne Mehlmischung in Tüten zu je Kilogramm dauert jeweils zwei Stunden für die Mischungen und 2 und eine halbe Stunde für die Mischung 3. Die Misch- und Verpackungsanlage steht täglich 8 Stunden zur Verfügung. Mischung geht nur an Spezialläden und bringt einen Erlös von,6e pro Kilogramm. Mischung 2 wird für,6e pro Kilogramm und Mischung 3 für,4e pro Kilogramm verkauft. Aufgrund eines Liefervertrages soll Mischung 3 mindestens 8% der verkauften Menge ausmachen, d.h. x 3.8(x + x 2 + x 3 ). Das zugehörige LOP für die Maximierung des täglichen Erlöses sieht somit folgendermaßen aus: Z = 6x + 6x 2 + 4x 3 max.8x +.8x 2.2x 3 (y ) 2x + 2x 2 +.5x 3 8 (y 2 ).8x +.5x 2 2 (y 3 ).2x +.5x 2 + x 3 6 (y 4 ) x, x 2, x 3 Bei der Anwendung des Simplexalgorithmus erhält man nach mehreren Schritten das unten stehende Tableau. Die Fragen (b)-(e) beziehen sich auf die durch das Tableau gegebene Basislösung. Sie sind unabhängig voneinander zu beantworten und gegebenenfalls rechnerisch zu begründen. T 2 y x 2 y 2 x x y y Z (a) (b) Geben Sie die genaue Bedeutung der Strukturvariablen x, x 2 und x 3 an. Wieviel von den einzelnen Mehlmischungen sollte täglich hergestellt und verkauft werden, um maximalen Erlös zu erzielen und wie hoch ist dieser? Wieviel Weizenmehl und wieviel Roggenmehl wird dabei verarbeitet? (c) Wie ändern sich das optimale Produktionsprogramm und der maximale Zielfunktionswert, sofern die Misch- und Verpackungsanlage täglich 2 Stunden länger, also Stunden zur Verfügung steht? Wieviel Weizen- und wieviel Roggenmehl wäre dann noch übrig? (d) Wie weit kann der Preis für die Mischung 3 gesenkt werden, ohne dass sich das in (b) angegebene optimale Produktionsprogramm ändert? (e) Wie hoch müßte der Preis für ein Kilogramm der Mischung 2 mindestens sein, damit diese Mischung in einem optimalen Produktionsprogramm vorkommen kann? (f) Wieviele optimale Lösungen gibt es für das obige Problem? Ist die Produktion von einer Tonne der Mischung und 2 Tonnen der Mischung 3 optimal? Begründen Sie Ihre Antwort.

5 . A = { 5,,, }, B = {, 5,, 5} Ergebnisse - keine vollständigen Lösungen 2. B N B: Anteil der Personen, die an Biathlon interessiert sind in % 22 S: Anteil der Personen, die an Skispringen S interessiert sind in % N: Anteil der Personen, die an Nordischer Kombination interessiert sind in % 5 Personen interessieren sich nur für die Nordische Kombination. 47% der Befragten interessieren sich nicht für Skispringen. 73% der Befragten interessieren sich für Biathlon oder Skispringen. 3. Geg.: K 2 = 4 e, i = 2%p.a, q =.2, n = 4, i 2 = 2, 5%p.a., q 2 =.25, n 2 = 8, Ges.: K, i eff K = K 2 q 4 q8 2 = 3 329, 72e, i eff = 2 K 2 K = 2, 33% Der einzuzahlende Betrag ist 3 329, 72e. Der Effektivzinssatz für diese Geldanlage beträgt 2,33%. 4. Geg.: R = 3 e, n =, i =, 5%p.a. q =.5 (a) K = 3 q = 32 8, 65e q Das Guthaben am beträgt 32 8, 65e (b) K 6 mal abzinsen: K = K = , 72e q 6 Er müßte am einen Betrag von , 72e einzahlen. (c) R mon = R qmon mit q qmon 2 mon = 2 q, R = 2 482, 98e Er müßte monatlich 2 482, 98e einzahlen. (d) R q6 q q2 = 32 8, 65 R = 32 8, 65 q = 5 29, 56e (q 6 )q 2 In diesem Fall müßte er jährlich 5 29, 56e einzahlen. (e) Geg.: q =.2, K neu = 3 q5 q q5 + 3 q5 q = , 77 Er hätte am ein Guthaben von , 77e. 5. Geg.: K = 2 e, n = 5, A j = 4 (j =,..., 5), G j = 52 (j =,..., 5), q =.3 (a) C o = K + 5 G j = K q j + 52 q5 = 38 44, 77 q 5 q j= Der Kapitalwert der Anlage vor Steuern beträgt 38 44, 77e. (b) Geg.: s =.5 Gewinn nach Steuern: G j = G j s(g j A j ) = 46 e (j =,..., 5) C m = K + 5 G j = K q j + 46 q5 = 666, 53 q 5 q j= Der Kapitalwert der Anlage nach Steuern beträgt 666, 53e. Somit lohnt sich die Anschaffung der Anlage. (c) Ges.: i eff = q eff mit = 2 + q 5 eff 46 q5 eff q eff

6 6. (a) C = A B = (b) ( ) = = Es werden 3 ME R, 9 ME R 2 und 245 ME R 3 benötigt, um 5 ME E und ME E 2 herzustellen. 4 2 ( ) 4 (c) Benötigte Zwischenprodukte: z = 2 5 = Differenz: 2 = 5 5 noch zu produzierende Zwischenprodukte: z = r = = 85 9 Es werden zusätzlich ME R, 85 ME R 2 und 9 ME R 3 benötigt t + 7t + 4t = Damit ist L eine Menge von Lösungen des linearen Gleichungssystems (L L) 8. x = (A E) = = 3 9. (a) x : Menge der produzierten Mehlmischung in Tonnen pro Tag, x 2 : Menge der produzierten Mehlmischung 2 in Tonnen pro Tag, x 3 : Menge der produzierten Mehlmischung 3 in Tonnen pro Tag (b) Es sollten 8 Tonnen der Mischung 3 und 2 Tonnen der Mischung hergestellt werden, um maximalen Erlös von 6 4e zu erzielen. Dabei werden 8,4 Tonnen Weizenmehl und,6 Tonnen Roggenmehl verarbeitet. (c) y 2 = t = 2: x x 3 y 3 y 4 = = Z max = = 8 e Es sollten Tonnen der Mischung 3 und 2,5 Tonnen der Mischung hergestellt werden, um maximalen Erlös von 8 e zu erzielen. Es wären noch 5,5 Tonnen Weizenmehl und kein Roggenmehl übrig. (d) c 3 = 4, x 3 BV: (8,, ) + t(, 2.5, ) (,, ) t [ 8, ] c 3 [ 4, 4]

7 Der Preis für die Mehlmischung 3 könnte bis auf e gesenkt werden, ohne das optimale Programm zu verändern. (e) c 2 = 6, x 2 NBV: t (, ] c 2 (, 6] Ein Kilogramm der Mischung 2 müßte mindestens,6e kosten. (f) Es gibt unendlich viele Lösungen, da es mindestens eine zweite Basislösung gibt (Tausch: x y oder y 4 y ). Die Produktion von 2 Tonnen der Mischung und einer Tonne der Mischung 3 ist optimal. Begründung (z.b.): Alle Restriktionen sind erfüllt und der Erlös beträgt 6 4e.