Übungsserie 11: bedingte Extremwerte

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik II Funktionen mit mehreren Variablen Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 11: bedingte Extremwerte 1. Ein Bauunternehmer beschäftigt Fach- und Hilfsarbeiter. Sein monatlicher Erlös [in 1000 e ] berechnet sich erfahrungsgemäß nach der Funktion E(F, H) = 5F F + 20H H (F 5H) 2 wobei F für die Anzahl der beschäftigten Fachkräfte und H für die Anzahl der beschäftigten Hilfskräfte stehen. Für einen Facharbeiter muss er monatlich e Bruttolohnkosten rechnen, für einen Hilfsarbeiter monatlich e. Die Lohnkosten insgesamt sollen pro Monat e betragen. (a) Wie viele Fach- und Hilfsarbeiter muss er beschäftigen, damit sein Erlös maximal wird? (Runden Sie die Ergebnisse einfach auf ganze Zahlen!) (b) Um wie viel könnte der Erlös des Unternehmens näherungsweise gesteigert werden, wenn monatlich e (anstatt e ) für Löhne zur Verfügung stehen? Welche Aussage können Sie dazu auf Basis der Lagrange-Multiplikatoren für das nicht gerundete Ergebnis von (a) machen? 2. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer Produktionsfunktion: x(a, K) = 100 A 0,8 K 0,2 A > 0, K > 0, wobei x der Output [ME x ], A der Arbeitsinput [ME A ] und K der Kapitalinput [ME K ] ist. Eine ME K verursacht 10 e Zinskosten, eine ME A verursacht 20 e Lohnkosten. (a) Ermitteln Sie für einen vorgegebenen Output von ME x den kostenminimalen Faktoreinsatz! (b) Ermitteln Sie den maximalen Output und die zugehörigen Inputmengen bei einem vorgegebenen Kostenbudget von e! (c) Wie groß sind die Lagrange-Multiplikatoren für (a) und (b) und was geben sie an?

2 (d) Ermitteln Sie die partiellen Grenzprodukte bei Einsatzmengen von A = 120 und K = 80! 3. Ein Pharmaunternehmen stellt ein Schlafmittel her, dessen Wirkung auf der Kombination zweier Wirkstoffe A und B beruht, die in je einem Dragee in den Mengen a und b [in mg] enthalten sind. Die Kosten für die Wirkstoffe, die in unterschiedlichen Rohsubstanzen vorkommen, sind mit p a = 20 e/mg und p b = 10 e/mg angegeben. Die Wirksamkeit des Schlafmittels, gemessen in durchschnittlich bewirkten Stunden Schlaf je Dragee wird durch die Funktion beschrieben. W (a, b) = a3 b 2 (a) In welchen Dosierungen sind die beiden Wirkstoffe je Dragee einzusetzen, um minimale Materialkosten zu erhalten, wenn eine Wirksamkeit von 8 Stunden je Dragee angestrebt wird? (b) Wie hoch sind die unter (a) berechneten minimalen Materialkosten je Dragee? Um wie viel könnten diese näherungsweise gesenkt werden, wenn nur eine Wirksamkeit von 6 Stunden angestrebt würde? (c) Um wie viel könnte die Wirksamkeit des Medikaments maximal gesteigert werden, wenn man gegenüber dem Kostenminimum den Materialeinsatz je Dragee um 1 e erhöht? 4. Ein Unternehmen setzt Facharbeiter (r 1 - Arbeitszeit in Stunden) und Hilfsarbeiter (r 2 - Arbeitszeit in Stunden) zur Produktion eines Produktes ein. Für einen vorgegebenen Zeitraum gelte die Produktionsfunktion 100 x(r 1, r 2 ) = 120r r r 1 r 2 r 2 1 2r 2 2, r i > 0, i = 1, 2. Der Arbeitslohn betrage für einen Facharbeiter 6GE/h und für einen Hilfsarbeiter 4GE/h. In dem betrachteten Zeitraum stehen insgesamt genau 284 GE für Arbeitslohn zur Verfügung. Bei welcher Einsatzkombination von Fach- und Hilfsarbeitern wird die Produktionsmenge x am größten? Deuten Sie den Wert des Lagrange- Multiplikators λ! 5. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion K(x) = 0.2x x Das Produkt wird zu unterschiedlichen Preisen p 1 und p 2 auf zwei Teilmärkten in den Mengen x 1 und x 2 verkauft. Das Unternehmen agiert dort jeweils als Monopolist. Es gelten die Preis-Absatz-Funktionen x 1 (p 1, p 2 ) = p p 2,

3 x 2 (p 2 ) = p 2, wobei die Kosten K und die Preise p 1, p 2 in e und die Produktions- bzw. Absatzmengen x, x 1, x 2 in ME angegeben sind. (a) In welchen Mengen x 1 und x 2 muss das Unternehmen das Produkt absetzen, um einen maximalen Gewinn zu erzielen, wie groß ist dieser und bei welchen Preisen kann das Unternehmen diesen Maximalgewinn erzielen? (Begründen Sie, dass es sich um ein Maximum handelt!) (b) Das Unternehmen kann durch Ausfall einer Maschine kurzfristig nur 75 ME des Produkts herstellen. Wie viel davon ist auf jedem der beiden Märkte zu verkaufen, welche Preise muss das Unternehmen dort verlangen, um einen maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? (c) Um wie viel würde der maximal erzielbare Gewinn (aus Aufgabe b) näherungsweise sinken, wenn die Produktionskapazität um weitere 1.5 ME auf dann nur noch 73.5 ME sinkt? 6. Ein Kleinunternehmen produziert 2 Produkte P 1 und P 2 in den Mengen x 1 und x 2 [in ME]. Die Gewinnfunktion [in e ] für eine Tagesproduktion lautet G(x 1, x 2 ) = 480x x 2 10(x 1 + x 2 ) 2. Für die Produktion einer ME des Produktes P 1 werden 2 Stunden Arbeitszeit benötigt, bei P 2 sind es 6 Stunden. An einem Arbeitstag stehen 48 Stunden Arbeitszeit (6 Arbeiter je 8 Stunden) zur Verfügung. (a) Wie viel muss von beiden Produkten produziert werden, um maximalen Gewinn zu erzielen und wie groß ist dieser? (b) Um wie viel wird der maximale Gewinn näherungsweise sinken, wenn nach Einführung der 35-Stunden-Woche je Tag und Arbeiter nur noch 7 Stunden Arbeitszeit verfügbar sind? 7. Das Bruttoprodukt eines Industriezweiges betrage Y (A; K) = 5 A 0,6 K 0,4, A und K stehen dabei für den Arbeits- bzw. Kapitalinput, beide in Mrd. e gemessen. Für beide Inputfaktoren stehen zusammen 5 Mrd. e zur Verfügung. (a) Wie ist diese Summe auf die beiden Inputfaktoren zu verteilen, dass das Bruttoprodukt maximal wird? (b) Um wie viel steigt das maximal erreichbare Bruttoprodukt auf diesem Niveau mit jedem zusätzlich eingesetzten e?

4 8. Ein Hersteller von Kaffeemaschinen bietet zwei Modelle an, Modell A zum Preis p A und Modell B zum Preis p B [Preise in e ]. Die Absatzmengen hängen im wesentlichen von den beiden eigenen, konkurrierenden Preisen ab, es gilt bzw. (vgl. Abschnitt Umkehrfunktionen) x A (p A, p B ) = 100 4p A + 3p B x B (p A, p B ) = p A 4p B p A (x A, x B ) = x A 0.3x B p B (x A, x B ) = x A 0.4x B (a) Welche Mengen kann der Anbieter absetzen, wenn er das Modell A für p A = 60 e und Modell B für p B = 70 e auf den Markt bringt, und wie groß ist damit sein Umsatz (Erlös)? (b) Bestimmen Sie die Erlösfunktion einmal als Funktion der Preise p A und p B und einmal als Funktion der Absatzmengen x A und x B. Überprüfen Sie, dass sich nach beiden Funktionen mit den in Aufgabe (a) angegebenen Preisen bzw. berechneten Absatzmengen der gleiche Erlös ergibt! (c) Bestimmen Sie die partielle Ableitung des Erlöses nach der Absatzmenge x A in dem in Aufgabe (a) bestimmten Punkt, einmal direkt als partielle Ableitung der Funktion E(x A, x B ) und einmal mit Hilfe der Kettenregel aus den Funktionen E(p A, p B ) und p A (x A, x B ) bzw. p B (x A, x B )! Vergleichen Sie den mit dieser partiellen Ableitung näherungsweise berechneten Zuwachs der Erlösfunktion (wenn x A um 1 erhöht wird) mit dem tatsächlichen Erlöszuwachs E = E(x A + 1, x B ) E(x A, x B )! (d) Bei welchen Preisen erzielt der Anbieter mit seinen beiden Modellen den maximalen Erlös und wie groß ist dieser? (Begründen Sie, dass sich bei diesen Preisen ein maximaler Erlös ergibt!) Wie viele Kaffeemaschinen kann er zu diesen Preisen absetzen? (e) Bei welchen Preisen erzielt der Anbieter mit seinen beiden Modellen den maximalen Erlös und wie groß ist dieser, wenn zu beachten ist, dass insgesamt (im betrachteten Zeitraum) nur 120 Kaffeemaschinen hergestellt (und abgesetzt) werden können? Wie groß ist der Lagrange-Multiplikator in der Lösung und was sagt er aus?

5 Lösungen 1. (a) F = 31, H = 38; E max = e, (b) E e , 87 e 2. (a) A = ; K = 57.43; Cost = , (b) A = 1600; K = 800; x = ) 0.2 = ; x K = 20 ( A K ) 0.8 = (c) a) λ = 0, 287 b) λ = 3, 482, (d) x A = 80 ( K A 3. (a) a = 3.393; b = 4.525; λ = 2.828, (b) K min = e ; K 5.66e, (c) W = 1 λ = 0.354; 4. r 1 = 26; r 2 = 32; λ = (a) x 1 = ; x 2 = ; p 1 = ; p 2 = G max = e, (b) x 1 = ; x 2 = ; p 1 = ; p 2 = G max = e; (c) λ = = G = e 6. (a) x 1 = 12; x 2 = 4; G max = 6400; (λ = 80) (b) dg max = (a) A = 3, K = 2, (b) um 2.55 e 8. (a) x A = 70; ; E = 7000 e (b) E(x A, x B ) = 100x A + 100x B 0.4x 2 A 0.4x2 B 0.5x Ax B ; E(70, 40) = 7000 E(p A, p B ) = 100p A + 200p B 4p 2 A 4p2 B + 5p Ap B ; E(60, 70) = 7000 (c) E(x A, x B ) x A x A = 70 E(p A, p B ) p A p A = 60 p B = 70 + E(p A,p B ) p B pa = 60 p B = 70 = 24; p A(x A, x B ) x A x A = 70 p B(x A,x B ) x A xa = 70 = 24; E = E(x A + 1, x B ) E(x A, x B ) = = 23.6 (d) p A = e und p B = e, x A = x B = 76.92; E max = e ; gerundet: x A = x B = 77; p A = e und p B = e, E max = e ; (e) x A = x B = 60; p A = 58 e und p B = 64 e, E max = 7320 e ; λ = 22, d.h. wenn insgesamt 2 Kaffeemaschinen mehr produziert werden können, steigt der Erlös um 44 e auf dann insgesamt 7364 e.