Differenzialrechung Herbert Paukert 1
|
|
|
- Gitta Esser
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Differenzialrechung Herbert Paukert 1 DIFFERENZIALRECHNUNG Version 2.0 Herbert Paukert Die Stetigkeit von Funktionen [ 02 ] Definition des Differenzialquotienten [ 06 ] Beispiele von Ableitungsfunktionen [ 11 ] Einfache Ableitungsregeln [ 12 ] Logarithmus- und Sinus-Funktion [ 16 ] Tangenten in Kurvenpunkten [ 19 ] Kurvendiskussion - Theorie [ 20 ] Kurvendiskussion - Praxis [ 23 ] Asymptoten einer Kurve [ 26 ] Extremwertaufgaben [ 27 ] Betriebswirtschaftliche Funktionen [ 30 ] Hinweis: Das vorliegende Skriptum besteht hauptsächlich aus Kopien aus dem interaktiven Lernprojekt paumath.exe, das von der Homepage des Autors heruntergeladen werden kann. Deswegen sind Texte und Grafiken teilweise nicht von höchster Qualität.
2 Differenzialrechung Herbert Paukert 2 Stetigkeit von Funktionen
3 Differenzialrechung Herbert Paukert 3
4 Differenzialrechung Herbert Paukert 4
5 Differenzialrechung Herbert Paukert 5
6 Differenzialrechung Herbert Paukert 6 Definition des Differenzialquotienten
7 Differenzialrechung Herbert Paukert 7
8 Differenzialrechung Herbert Paukert 8
9 Differenzialrechung Herbert Paukert 9
10 Differenzialrechung Herbert Paukert 10
11 Differenzialrechung Herbert Paukert 11 Zwei Beispiele von Ableitungsfunktionen f (x)
12 Differenzialrechung Herbert Paukert 12 Einfache Ableitungsregeln
13 Differenzialrechung Herbert Paukert 13
14 Differenzialrechung Herbert Paukert 14
15 Differenzialrechung Herbert Paukert 15
16 Differenzialrechung Herbert Paukert 16 Ableitung der LOGARITHMUS-Funktion
17 Differenzialrechung Herbert Paukert 17
18 Differenzialrechung Herbert Paukert 18 Ableitung der SINUS-Funktion
19 Differenzialrechung Herbert Paukert 19 Tangente in einem Kurvenpunkt Gegeben ist die Kreisfunktion y = f(x) = sqrt(r^2-x^2) mit dem Radius r = 3. Gesucht ist die Tangente im Kreispunkt T(2/y). f(x) = sqrt(9-x^2) = (9-x^2)^(1/2) f (x) =(1/2)*(9-x^2)(-1/2)*(-2*x) = - x / sqrt(9-x^2) Tangentengleichung im Berührpunkt T(a/f(a)): y = f (a)*x + (f(a)-f (a)*a) f(2) = sqrt(9-4) = sqrt(5) = 2.24 f (2) = - 2 / sqrt(5) = Berührpunkt T(2/2.24) Tangentengleichung in T: y = -0.89*x
20 Differenzialrechung Herbert Paukert 20 Kurvendiskussion Theorie
21 Differenzialrechung Herbert Paukert 21
22 Differenzialrechung Herbert Paukert 22
23 Differenzialrechung Herbert Paukert 23 Kurvendiskussion Praxis Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades: y = f(x) = x^3 2*x^2 3*x + 4 Für die Nullstellen gilt: f(x) = 0. An Hand des Schaubildes der Funktion und durch Ausprobieren erhält man die Nullstelle x 0 = 1. Daher muss (x 1) die Polynomfunktion f(x) teilen, d.h. (x^3 2*x^2 3*x + 4) : (x 1) = x^2 x 4. Die restlichen zwei Nullstellen sind Lösungen der quadratischen Gleichung x^2 x 4. x 1 = (1 + sqrt(17)) / 2 = 2.56 und x 2 = (1 - sqrt(17)) / 2 =
24 Differenzialrechung Herbert Paukert 24 Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades: y = f(x) = x^3 2*x^2 3*x + 4 Für die Extremstellen gilt: f (x) = 0 Für Hochpunkte gilt zusätzlich: f (x) < 0 Für Tiefpunkte gilt zusätzlich: f (x) > 0 f(x) = x^3 2*x^2 3*x + 4 f (x) = 3*x^2 4*x 3 f (x) = 6*x 4 f (x) = 6 f (x) = 3*x^2 4*x 3 = 0 x 1 = (4 + sqrt(52)) / 6 = 1.87, f (1.87) = 7.22 > 0, Tiefpunkt T(1.87/-2.06) x 2 = (4 sqrt(52)) / 6 = -0.54, f (-0.54) = < 0, Hochpunkt H(-0.54/4.88)
25 Differenzialrechung Herbert Paukert 25 Gegeben ist eine Polynomfunktion dritten Grades: y = f(x) = x^3 2*x^2 3*x + 4 Für die Wendestellen gilt: f (x) = 0 f(x) = x^3 2*x^2 3*x + 4 f (x) = 3*x^2 4*x 3 f (x) = 6*x 4 f (x) = 6 f (x) = 6*x 4 = 0 x = 2/3 = 0.67, Wendestelle W(0.67/1.39) Wendetangente: y = f (a)*x + (f(a)-f (a)*a) mit a = 0.67 y = *x
26 Differenzialrechung Herbert Paukert 26 Asymptoten einer Kurve
27 Differenzialrechung Herbert Paukert 27 Extremwertaufgaben
28 Differenzialrechung Herbert Paukert 28
29 Differenzialrechung Herbert Paukert 29
30 Differenzialrechung Herbert Paukert 30 Betriebswirtschaftliche Funktionen
31 Differenzialrechung Herbert Paukert 31
32 Differenzialrechung Herbert Paukert 32
33 Differenzialrechung Herbert Paukert 33
34 Differenzialrechung Herbert Paukert 34
35 Differenzialrechung Herbert Paukert 35 (III) Nachfragefunktion und Preiselastizität Die Nachfragefunktion x = n(p) zeigt den Zusammenhang zwischen der Nachfrage nach der Menge x eines Produktes und dem Preis p des Produktes. Normalerweise sinkt die Nachfrage bei steigenden Preisen. Gemäß ihrer Definition ist die Nachfragefunktion die Umkehrung (Inversion) der Preis- Funktion p = p(x) = n -1 (p). Achtung: In der Literatur wird oftmals die Preisfunktion auch als Nachfragefunktion bezeichnet!!! Der Cournotsche Punkt C ist jener Punkt, den die Preisfunktion p(x) (d.h. die inverse Nachfragefunktion) an der Stelle des Gewinnmaximums x MAX erreicht. Dieser Punkt C(x MAX /p(x MAX ) kennzeichnet die gewinnmaximale Absatzmenge und den zugehörigen gewinnmaximalen Preis. Die Berechnung erfolgt in mehreren Schritten: Erlösfunktion E(x) = p(x) * x Kostenfunktion K(x) Gewinnfunktion G(x) = E(x) K(x) G (x MAX ) = 0 mit G (x MAX ) < 0 Die Preiselastizität e(x,p) ist das Verhältnis der relativen Mengenänderung dx zur relativen Preisänderung dp. Sie gibt also an, um wie viele Prozent sich die Menge ändert, wenn sich der Preis um 1% ändert. Für die Elastizitätsfunktion gilt dann: e(x,p) = (dx/x) / (dp/p) = (dx/dp) * (p/x) = n (p) * p / x Dabei ist x = n(p) die bekannte Nachfragefunktion. Ist beispielsweise x = 1/p, dann ist e(x,p) = (-1)/(p²) * p² = (-1). Diese Preiselastizität heißt indirekt proportional oder auch isoelastisch, weil die Nachfrage um den gleichen Prozentsatz fällt, um den der Preis steigt. Bei e(x,p) = 0 erfolgt keine Reaktion der Nachfrage auf Preisänderungen, beispielsweise bei lebenswichtigen Medikamenten. Bei e(y,x) > 1 bewirken höhere Preise eine überproportional größere Nachfrage. Diese atypische Form findet man bei sehr exklusiven Luxusartikeln oder auch bei Hamsterkäufen.
36 Differenzialrechung Herbert Paukert 36 Wichtige Formeln der Kosten- und Preistheorie Kostenfunktion K(x) Fixkosten K F = K(0) variable Kosten K var (x) = K(x) - K F Grenzkosten K'(x) degressive Kosten K''(x) < 0 progressive Kosten K''(x) > 0 Kostenkehre K''(x) = 0 (Minimum der Grenzkosten) Stückkostenfunktion K s (x) = K(x) / x Betriebsoptimum K' s (x opt ) = 0 (Minimum der Stückkosten) LPU, langfristige Preisuntergrenze K s (x opt ) (=Verkaufspreis im Grenzbetrieb) variable Stückkosten K s,var (x) = K var (x) / x Betriebsminimum K' s,var (x min ) = 0 (Minimum der variablen Stückkosten) KPU, kurzfristige Preisuntergrenze K s,var (x min ) Preisfunktion (Nachfragefunktion) p(x), bei Polypol konstanter Preis p Höchstpreis p max = p(0) Sättigungsmenge p(x s ) = 0 Erlösfunktion (Umsatzfunktion) E(x) = p(x) x, bei Polypol E(x) = p* x Gewinnfunktion G(x) = E(x) - K(x) Gewinngrenzen G(x) = 0 (Gewinnschwelle und Gewinnobergrenze) Gewinnmaximum G'(x max ) = 0 Cournot'scher Punkt C( x max ; p(x max ) ) Monopolisten und Polypolisten Bestimmt nur eine Produktionsfirma den Warenpreis am Markt (Monopolist), dann kann diese Firma den Preis p = p(x) variabel gestalten und damit Gewinnmaximierung betreiben. Existieren am Markt mehrere Produktionsfirmen (Polypolisten), so wird der Warenpreis p als konstant angesehen, und die Gewinnmaximierung kann nur über die Absatzmenge x erfolgen.
37 Differenzialrechung Herbert Paukert 37 Aufgabe 1: Polypolistische Konkurrenz Zur Berechnung einer Kostenfunktion dritten Grades für ein bestimmtes Produkt stehen einem Betrieb folgende Werte zur Verfügung: die Fixkosten betragen 300 GE die Kostenkehre liegt bei x = 6 ME das Betriebsoptimum liegt bei x opt = 10 ME der Verkaufspreis im Grenzbetrieb ist p = 80 GE/ME a) Ermitteln Sie die Kostenfunktion. Führen Sie alle weiteren Berechnungen mit folgender Kostenfunktion durch: K(x) = 1.5x 3-27x x b) Wann wird der Betrieb zum Minimalbetrieb? c) Wie lautet die Gewinnfunktion bei einem Marktpreis von p = 280 GE/ME? Bei welcher Menge x macht man maximalen Gewinn und wie hoch ist er? Wo liegen die Gewinngrenzen? d) Stellen Sie die Kostenfunktion und die Erlösfunktion graphisch dar und zeichnen Sie die gegebenen und die berechneten Werte ein: Intervall: [0;24] Maßstab: x-achse: 1cm = 2 ME; y-achse: 1 cm = GE Zeichengenauigkeit: 1cm Lösungen: b) Bei einem Preis von 48,5 GE/ME wird der Betrieb zum Minimalbetrieb. c) G(x) = 280x - K(x) = -1.5x x x Der maximale Gewinn wird bei ME erzielt und beträgt GE. Die Gewinngrenzen liegen bei 1.92 ME und ME.
38 Differenzialrechung Herbert Paukert 38 Aufgabe 2: Monopolistischer Betrieb Ein monopolistischer Anbieter erreicht bei einer Absatzmenge von 25 ME einen Preis von GE/ME. Beim Verkaufspreis von 254 GE/ME steigt die Nachfrage auf 40 ME und bei der Absatzmenge von 15 ME erzielt er einen Erlös von GE. Bei Stillstand der Produktion betragen die Gesamtkosten 400 GE und die Grenzkosten 198 GE. Die Kostenkehre liegt bei 2.50 ME und die Grenzkosten betragen dort GE. a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion dritten Grades K(x) und die quadratische Nachfragefunktion bzw. Preisfunktion p(x). Führen Sie alle weiteren Berechnungen mit folgenden Funktionen durch: K(x) = 0.04x 3 0.3x x p(x) = -0.04x 2 0.3x b) Geben Sie Höchstpreis und Sättigungsmenge an. c) Berechnen Sie das Betriebsoptimum. Welcher Preis macht den Betrieb zum Grenzbetrieb? Wo liegt die kurzfristige Preisuntergrenze? d) Geben Sie die Koordinaten des Cournotschen Punktes an. e) Stellen Sie die Kosten- und Erlösfunktion im Intervall [0;45] dar und zeichnen Sie die charakteristischen Punkte ein. Lösungen: b) p max = 330 GE/ME, x s = ME c) x opt = ME, p = K s (x opt ) = GE/ME, x min = 3.75 ME, KPU = K s,var (x min ) = GE/ME d) Cournotscher Punkt: C(23.45 ; )
WIRTSCHAFTLICHES RECHNEN
Wirtschaftliches Rechnen Herbert Paukert 1 WIRTSCHAFTLICHES RECHNEN Eine Einführung, Version 2.0 Herbert Paukert Betriebswirtschaftliche Funktionen [ 01 ] Formeln zur Kosten- und Preistheorie [ 08 ] Zwei
Expertengruppe A: Kostenfunktion
Expertengruppe A: Kostenfunktion Gegeben ist eine Kostenfunktion 3. Grades K(x) = x 3 30x 2 + 400x + 512. 1. Lesen Sie aus obigem Funktionsgraphen ab: a) Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-achse:
Kostenrechnung. Mengenangaben (Betriebsoptimum, gewinnmaximierende Menge) sind immer auf ganze ME zu runden.
Mengenangaben (Betriebsoptimum, gewinnmaximierende Menge) sind immer auf ganze ME zu runden. 1. Berechnen Sie die Gleichung der linearen Betriebskostenfunktion! a. Die Fixkosten betragen 300 GE, die variablen
Kosten- & Preistheorie Grundlagen
Grundlagen Die Funktionen (Gesamt)Kostenfunktion Beschreibt die anfallenden gesamten Kosten bei einer Produktionsmenge. Stückkostenfunktion / Durchschnittskostenfunktion Beschreibt die durchschnittlichen
Seite 1. ax² + bx + c = 0. Beispiel 1. Die Gewinnschwelle ist G'(x) = 0
Seite 1 Beispiel 1 Die variablen Kosten eines Produktes lassen sich durch die Funktion Kv(x) = -0,1 x² + 10x beschreiben, die fixen Kosten betragen 120 GE. Die Erlösfunktion ist gegeben durch die Funktion
WHB12 - Mathematik Übungen für die Klausur am
Aufgabe 1: Sie sehen den Graphen der Gewinnfunktion eines Monopolisten. Sie lautet G(x) = -0,4x² + 3,6x 3,2. G(x) (Euro) 6 5 4 3 2 1-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x (Stück) -2-3 -4 a) Wie hoch sind die Fixkosten
Aufgabe 1 Beschriften Sie in der folgenden Darstellung die einzelnen Funktionen und geben Sie die Bedeutung der Punkte A H an.
Kosten-Preis-Theorie Aufgabe 1 Beschriften Sie in der folgenden Darstellung die einzelnen Funktionen und geben Sie die Bedeutung der Punkte A H an. Aufgabe 2 Von einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion
Kurvendiskussion: Ganzrationale Funktionen 2. Grades: 1. f(x) = x². 2. f(x) = x² - x f(x) = 2x² - 12x f(x) = - 4x² + 4x + 3
Besuchen Sie auch die Seite http://www.matheaufgaben-loesen.de/ dort gibt es viele Aufgaben zu weiteren Themen und unter Hinweise den Weg zu den Lösungen. Kurvendiskussion: Ganzrationale Funktionen 2.
Kosten- und Preistheorie
Kosten- und Preistheorie Mag. Martin Bruckbauer 8. November 2005 1 Kostenfunktion Unter Kosten versteht man im Allgemeinen den in Geld bewerteten Güterverzehr, der für die Erstellung betrieblicher Leistungen
Übungen zur Kostenfunktion kompetenzorientiert
Übungen zur Kostenfunktion kompetenzorientiert 1) Eine Mini Produktion von Topfpflanzen hat Fixkosten in der Höhe von 100 pro Monat. Für 10 Stück der Produktion rechnet man mit 150 Gesamtkosten, für 20
KAUFM. BERUFSKOLLEGS II / FACHOBERSCH. - Hauptprüfung Aufgabe 7 - Aufgabe
90 KAUFM. BERUFSKOLLEGS II / FACHOBERSCH. - Hauptprüfung 000 - Aufgabe 7 - Aufgabe Punkte 7.1. Die Differentialkosten eines Unternehmens sind gegeben durch K (x) = 0,06x 3,8x+c, c IR. Bestimmen Sie die
KOSTEN- UND PREISTHEORIE
KOSTEN- UND PREISTHEORIE Eine Anwendung der Differentialrechnung in der Wirtschaft Das Modellieren realer Situationen durch mathematische Modelle hat viele Anwendungsbereiche. Die hier beschriebenen Überlegungen
WM.4.2 Mathematische Modelle für Kosten- und Gewinnfunktionen
WM.4.2 Mathematische Modelle für Kosten- und Gewinnfunktionen In einem mathematischen betriebswirtschaftlichen relevanten Modell ist die Gesamtkostenfunktion, demnächst einfach Kostenfunktion K(x) genannt,
Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg
Hauptprüfung Fachhochschulreife 2015 Baden-Württemberg Aufgabe 7 Mathematik in der Praxis Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Juni 2015 1 Die
Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg
Hauptprüfung Fachhochschulreife 2016 Baden-Württemberg Aufgabe 7 Mathematik in der Praxis Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Juni 2016 1 Die
Degressiver Kostenverlauf Die Kosten wachsen verhältnismäßig langsamer als die Stückzahl. Gesamtkosten sind streng monoton steigend K'(x) 0
Gesamtkostenfunktion Gesamtkostenfunktion () Die Gesamtkosten (häufig nur mit osten bezeichnet) setzen sich aus fien osten f und variablen osten v zusammen. osten werden in Geldeinheiten (GE) angegeben.
c) f(x)= 1 4 x x2 + 2x Überprüfe, ob der Punkte A(3/f(3)) in einer Links- oder in einer Rechtskrümmung liegt!
Zusätzliche Aufgaben zum Üben für die SA_2 1) a) Leite eine Formel zur Berechnung des Scheitels einer Parabel mit Hilfe der Differentialrechnung her! b) Was kann man aus folgenden Berechnungen schließen?
Bügeleisen* Ein Unternehmen stellt Bügeleisen her. Die Produktionskosten lassen sich näherungsweise durch die folgende Funktion K beschreiben:
Bügeleisen* Aufgabennummer: B_217 Technologieeinsatz: möglich erforderlich T Ein Unternehmen stellt Bügeleisen her. Die Produktionskosten lassen sich näherungsweise durch die folgende Funktion K beschreiben:
KOSTEN- UND PREISTHEORIE
KOSTEN- UND PREISTHEORIE Fikosten, variable Kosten und Grenzkosten Jedes Unternehmen hat einerseits Fikosten (Kf, sind immer gleich und hängen nicht von der Anzahl der produzierten Waren ab, z.b. Miete,
Ansgar Schiffler Untersuchung einer ökonomischen Funktion
Ein Unternehmen verkauft sein Produkt zum Preis von 1,5 GE / ME. Die Produktionskosten lassen sich durch die folgende Kostenfunktion beschreiben: y = K(x) = 0,4x³ 4,4x² + 18,18x + 10,3 Es gilt: y: Kosten
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2017/18
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 17/18 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und M = { 1,, 1, } sowie die Zuordnungsvorschrift f : M 1 æ
Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg
Hauptprüfung Fachhochschulreife 01 Baden-Württemberg Aufgabe 7 Mathematik in der Praxis Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Februar 015 1 7.1
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2017
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 017 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und M = { 1, 0, 1, } sowie die Zuordnungsvorschrift f : M 1
Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg
Hauptprüfung Fachhochschulreife 013 Baden-Württemberg Aufgabe 7 Mathematik in der Praxis Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Dezember 013 1 7.1
Wirtschaftsmathematik
Memo-Liste Schreibe zu allen Fragen auf dieser Seite in Stichworten auf, was dir dazu einfällt. Besprich das Ergebnis mit einer ollegin, einem ollegen, korrigiert es miteinander. Lies anschließend die
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2019
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 019 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} und M = { 1, 0, 1, } sowie die Zuordnungsvorschrift f : M 1 M, x f(x)
Ökonomie. ganz gründlich mit vielen Aufgaben. Teil1: Funktionen aus der Wirtschaftsmathematik bis 2. Grades
Ökonomie ganz gründlich mit vielen Aufgaben Teil1: Funktionen aus der Wirtschaftsmathematik bis. Grades Ökonomie Nachfragefunktion, Angebotsfunktion, Erlösfunktion, Kostenfunktionen, Gewinnfunktionen Alternativer
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 2018
Wirtschaftsmathematik - Übungen WS 8 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen. Gegeben sind die Mengen M = {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und M = {,,, } sowie die Zuordnungsvorschrift f : M æ M,x æ f(x) mit
Monopolistischer Betrieb
Aufgabennummer: B_148 Monopolistischer Betrieb Technologieeinsatz: möglich erforderlich S Die Produktion und der Verkauf einiger Produkte eines monopolistischen Betriebes werden untersucht. a) Die lineare
Workshop Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS. 1. Gewinnfunktion (bifie - Aufgabenpool)
Christian Dorner & Stefan Götz 24. Februar 2015 Workshop Kontexte aus den Wirtschaftswissenschaften bei der Zentralmatura AHS 1. Gewinnfunktion (bifie - Aufgabenpool) 1 Christian Dorner & Stefan Götz 24.
Hauptprüfung Fachhochschulreife Baden-Württemberg
Hauptprüfung Fachhochschulreife 2014 Baden-Württemberg Aufgabe 7 Mathematik in der Praxis Hilfsmittel: grafikfähiger Taschenrechner Berufskolleg Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com Juni 2015 1 Die
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen Theorie: Für die weiteren Berechnungen benötigen wie die 1. f (x) und 2. f (x) Ableitung der zu untersuchenden Funktion f (x). Wir werden viele Gleichungen lösen
Nachfrage im Angebotsmonopol
Nachfrage im Angebotsmonopol Aufgabe 1 Bearbeiten Sie in Ihrem Buch auf der Seite 42 die Aufgabe 13. Aufgabe 2 Die Birkholz AG hat bei einem Marktforschungsunternehmen ermitteln lassen, dass die Nachfrager
2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
a) Prüfen Sie, ob die Graphen der Funktionen f und g orthogonal sind: f(x) = 1,5x 1; g(x) =
50 Kapitel 2: Rationale Funktionen und ihre Anwendungen 2.2.5 Orthogonale Geraden Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, werden als zueinander orthogonale Geraden bezeichnet. Der Graph von g entsteht
f(x) a) Bestimmen Sie die Ableitung f (x) mittels Grenzwertbildung des Differenzialquotienten. f = a 5
Punkte: 1. Arbeit Mathematik von 120 Note Thema: Differenzieren Kurvendiskussion Arbeit 1 Note 1 2 3 4 5 6 [ab Pkte] 108 90 72 54 24 0 λ ζ Anzahl Hinweis: Zwischen- und Endergebnisse mindestens auf 2 Nachkommastellen
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 2018
Wirtschaftsmathematik - Übungen SS 218 Blatt 4: Funktionen von einer Variablen 1. Gegeben sind die Mengen M 1 = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} und M 2 = { 1,, 1, 2} sowie die Zuordnungsvorschrift f : M
Leseprobe. Helge Röpcke, Markus Wessler. Wirtschaftsmathematik. Methoden - Beispiele - Anwendungen. Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler
Leseprobe Helge Röpcke, Markus Wessler Wirtschaftsmathematik Methoden - Beispiele - Anwendungen Herausgegeben von Robert Galata, Markus Wessler ISBN (Buch): 978-3-446-43256-7 ISBN (E-Book): 978-3-446-43375-5
Wirtschaftsmathematik
Wirtschaftsmathematik Methoden - Beispiele - Anwendungen von Robert Galata, Markus Wessler, Helge Röpcke 1. Auflage Hanser München 2012 Verlag C.H. Beck im Internet: www.beck.de ISBN 978 3 446 43256 7
Berufliche Schule Wirtschaft, Verkehrstechnik und Berufsvorbereitung Bergedorf. Höhere Handelsschule Formelsammlung für die Fachhochschulreife
Berufliche Schule Wirtschaft, Verkehrstechnik und Berufsvorbereitung Bergedorf Höhere Handelsschule Formelsammlung für die Fachhochschulreife Mathematik Inhalt Seite 1. Lineare Funktionen 2 2. Quadratische
Ökonomische Anwendung (Diff.-Rg.)
Übungsblatt: Ökonomische Anwendung (Diff.-Rg.) Mathematik Jürgen Meisel Ökonomische Grundbegriffe: Betriebsoptimum (BO): Das BO ist die Ausbringungsmenge, bei deren Produktion die geringsten Durchschnittskosten
Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung
Übungsbeispiele Differential- und Integralrechnung A) Gegeben ist die Funktion: y = 2x 3 9x 2 + 12x. a) Skizzieren Sie die Funktion im Intervall [ 0,5; 3] b) Diskutieren Sie die Funktion (Nullstellen,
Abschlussprûfung Berufskolleg. Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Ökonomie: Produktion- Kosten - Gewinn. Jahrgänge 2002 bis 2016
Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Ökonomie: Produktion- Kosten - Gewinn Jahrgänge 2002 bis 2016 Ab 2009 beinhaltet ein Aufgabenteil die Gaußsche
Abiturprüfung Mathematik 2007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik 007 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe. (8 Punkte) Das Schaubild einer Polynomfunktion. Grades geht durch den Punkt S(0/) und hat den 3 Wendepunkt
Kosten- und Preistheorie in der AHS
Kosten- und Preistheorie in der AHS Priv.-Doz. Dr. Bernhard Krön Wienerwaldgymnasium Tullnerbach Universität Wien KPH Krems Kompetenzkatalog SRP Wo Wirtschaftsmathematik? nicht hier 1 BIFIE Grundkonzept
Betriebswirtschaftslehre > Betrieblicher Absatz, betriebliche Preispolitik > Polypol
Michael Buhlmann Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Betrieblicher Absatz, betriebliche Preispolitik > Polpol An der Schnittstelle zwischen Wirtschaftsunternehmen und Markt (im wirtschaftswissenschaftlichen
B Anwendungen der Differenzialrechnung
B Anwendungen der Differenzialrechnung Kurvendiskussionen Um den Verlauf eines Funktionsgraphen zu bestimmen, kann eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dies kann jedoch sehr mühselig sein und es ist nicht
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de Übungen QM I (Wirtschaftsmathematik) Extremwerte ohne Nebenbedingungen
Wirtschaftsmathematik
Wirtschaftsmathematik für die Betriebswirtschaftslehre (B.Sc.) Adam Georg Balogh Sommersemester 2017 Dr. rer. nat. habil. Adam Georg Balogh E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de 1 Ökonomische Funktionen In
Abiturprüfung Mathematik 2005 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis Gruppe I, Aufgabe A Für jedes a > ist eine Funktion f a definiert durch fa (x) = x (x a) mit x R a Das Schaubild von f
y = K(x) = 0,5x³ 3,9x² + 12,4x + 20,4
2. Übungsaufgabe zur Untersuchung ökonomischer Funktionen Ein Unternehmen kann sein Produkt zum Preis von 12 GE / ME verkaufen. Die Produktionskosten lassen sich durch die folgende Kostenfunktion beschreiben:
Abitur 2018 Grundkurs
Ott Lengersdorf Abitur 8 Grundkurs Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung Mathematik am Berufskolleg Berufliches Gymnasium Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung Merkur Verlag Rinteln Wirtschaftswissenschaftliche
4.4 Beispiele ökonomischer Funktionen
4.4 Beispiele ökonomischer Funktionen Zusammenhänge zwischen ökonomischen Grössen wie Preis, produzierte Stückzahl, Gewinn, usw. werden häufig mittels Funktionen beschrieben. Die Funktion ist damit ein
I Hilfsmittelfreier Teil der Zentralen Abiturprüfung ab 2017
Aufgaben 9 I Hilfsmittelfreier Teil der Zentralen Abiturprüfung ab 7 Dieser Teil der Abiturprüfung enthält Aufgaben entsprechend den Abiturvorgaben, davon mindestens zwei mit Anwendungsbezug. Analysis
WIRTSCHAFTLICHE ANWENDUNGEN IN DER SCHULMATHEMATIK
WIRTSCHAFTLICHE ANWENDUNGEN IN DER SCHULMATHEMATIK Peter Hofbauer / Heidi Metzger-Schuhäker Wirtschaftliche Anwendung der Differentialrechnung Kostenfunktionen Stückkostenfunktion / variable Stückkostenfunktion
SCHWINGUNGEN. Version 2.0 Herbert Paukert. Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ]
![SCHWINGUNGEN. Version 2.0 Herbert Paukert. Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ]](/thumbs/55/37142779.jpg "SCHWINGUNGEN. Version 2.0 Herbert Paukert. Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ]")
Schwingungen Herbert Paukert 1 SCHWINGUNGEN Version 2.0 Herbert Paukert Sinusfunktion y = sin(x) [ 03 ] Sinusfunktion y = a*sin(x) [ 08 ] Sinusfunktion y = sin(b*x) [ 09 ] Sinusfunktion y = sin(x+c) [
Ableitungsfunktion einer linearen Funktion
Ableitungsfunktion einer linearen Funktion Aufgabennummer: 1_009 Prüfungsteil: Typ 1! Typ 2 " Aufgabenformat: Konstruktionsformat Grundkompetenz: AN 3.1! keine Hilfsmittel! gewohnte Hilfsmittel möglich
4. Klassenarbeit Mathematik
Name: 30. Mai 2007 Klasse 11A 4. Klassenarbeit Mathematik Thema: Differentialrechnung Allgemeine Bearbeitungshinweise: Die Bearbeitung muss von einer geeigneten Dokumentation begleitet werden. Hierzu gehören:
Mathematik-Klausur vom 10. Februar 2003
Mathematik-Klausur vom 10. Februar 2003 Aufgabe 1 Für eine Hausrenovierung wurde ein Kredit von 25 000 bei einem Zinssatz von,5% (p.a.) aufgenommen. Die Laufzeit soll 30 Jahre betragen. a) Berechnen Sie
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel
Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Übungen zur Vorlesung Wirtschaftsmathematik Etremwerte und Kurvendiskussion
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Musteraufgaben ab 08 Pflichtteil Aufgabe Seite / BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ())
Klausur Wirtschaftsmathematik VO
Klausur Wirtschaftsmathematik VO 02. Februar 2019 Bitte leserlich in Druckbuchstaben ausfüllen! NACHNAME: VORNAME: MATRIKELNUMMER: ERLAUBT: nur die Formelsammlung des Instituts! VERBOTEN: Taschenrechner
Mathemathik-Prüfungen
M. Arend Stand Juni 2005 Seite 1 1980: Mathemathik-Prüfungen 1980-2005 1. Eine zur y-achse symmetrische Parabel 4.Ordnung geht durch P 1 (0 4) und hat in P 2 (-1 1) einen Wendepunkt. 2. Diskutieren Sie
Eigenschaften von Funktionen
Eigenschaften von Funktionen Mag. Christina Sickinger HTL v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 1 / 48 Gegeben sei die Funktion f (x) = 1 4 x 2 1. Berechnen Sie die Steigung der Funktion
Abschlussprüfung Mathematik 12 Nichttechnik A II - Lösung
GS.06.0 - m_nt-a_lsg_gs_pdf Abschlussprüfung 0 - Mathematik Nichttechnik A II - Lösung Teilaufgabe.0 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f( x) D f = IR. 0 x x 8 x mit der Definitionsmenge Teilaufgabe.
1.3 Berechnen Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Schaubildes der Funktion f mit f( x) x 6x 13
Pflichtteil Aufgabe BEISPIEL A. Geben Sie Lage und Art der Nullstellen der Funktion f mit 4 f( x) ( x ) ( x ) ; x IR an.. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in P( f ()) an das Schaubild der Funktion
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF. Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf.
Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der
Differenzialrechnung
Mathe Differenzialrechnung Differenzialrechnung 1. Grenzwerte von Funktionen Idee: Gegeben eine Funktion: Gesucht: y = f(x) lim f(x) = g s = Wert gegen den die Funktion streben soll (meist 0 oder ) g =
Angewandte Mathematik 9. Mai 2014 Korrekturheft Teil A + Teil B (Cluster 8)
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reife- und Diplomprüfung Angewandte Mathematik 9. Mai 2014 Korrekturheft Teil A + Teil B (Cluster 8) Aufgabe 1 a) x Masse der Rosinen oder Mandeln in Kilogramm
Abschnitt IV: Funktionen
Nr.01 Es sind bekannt P 1 (- / 1) und P (1 / -5). Bestimmen Sie den Funktionsterm. Nr. 0 Der Graph einer linearen Funktion g hat die Steigung und geht durch den Punkt C (-0,5 / -). Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Geben Sie das notwendige Gleichungssystem für die Berechnung der Koeffizienten von s 2 an und ermitteln Sie diese!
12 1 über Polynomfunktionen dritten Grades 04 a Splines werden allgemeine Polynomfunktionen dritten Grades genannt, die an einem bestimmten Punkt stetig aneinander gefügt werden. Für den Kontaktpunkt gilt
Aufgaben zum Aufstellen von Funktionen aus gegebenen Bedingungen
Augaben zum Austellen von Funktionen aus gegebenen Bedingungen 1. Die Parabel Gp ist der Graph der quadratischen Funktion p(. Diese Parabel schneidet die x-achse im Punkt N(6/0). Ihr Scheitelpunkt S(/yS)
Ökonomie. ganz gründlich für Schüler. Teil 2: Funktionen aus der Wirtschaftsmathematik ab 3. Grades
Ökonomie ganz gründlich für Schüler Teil : Funktionen aus der Wirtschaftsmathematik ab 3. Grades Ökonomie Nachfragefunktion, Angebotsfunktion, Erlösfunktion, Kostenfunktionen, Gewinnfunktionen Mit vielen
Übung BWL I SS Termin 4. Tabea Schüller
Ernst-Moritz-Arndt- Rechts- und Staatswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insbesondere Marketing Termin 4 Übung BWL I SS 2018 Tabea Schüller Friedrich-Loeffler-Straße 70
Grenzkosten und Durchschnittskosten
Grenzkosten und Durchschnittskosten Grenzkosten Durchschnittskosten Durchschnittliche variable Kosten Durchschnittliche fixe Kosten Wo liegt die optimale Produktionsmenge? Kosten ( ) 3.5 3.25 3. 2.75 2.5
Aufgabe des Monats Mai
Aufgabe des Monats Mai 2013 1 Ein Monopolist produziere mit folgender Kostenfunktion: K(x) = x 3 12x 2 + 60x + 98 und sehe sich der Nachfragefunktion (Preis-Absatz-Funktion) p(x) = 10, 5x + 120 gegenüber.
S2.26 Beschreibe folgende Messwerte durch eine geeignete Funktion und zeichne diese. Wie groß ist die Änderungsrate in [3; 5] bzw. für t = 4?
![S2.26 Beschreibe folgende Messwerte durch eine geeignete Funktion und zeichne diese. Wie groß ist die Änderungsrate in [3; 5] bzw. für t = 4?](/thumbs/58/41996831.jpg "S2.26 Beschreibe folgende Messwerte durch eine geeignete Funktion und zeichne diese. Wie groß ist die Änderungsrate in [3; 5] bzw. für t = 4?")
1 1 Komplexe Zahlen S1.43 A, B, D, E S1.44 A-, B-8, C-1, D-3, E-6, F-4 S1.4 A--, B-1-3-6-7, C-6-7-8, D-1-3, E-4, F-7, G-3 S1.46 C-E-F-G-H-J Grundlagen der Differenzialrechnung S.6 Beschreibe folgende Messwerte
a) Begründen Sie, dass der Graph von f symmetrisch zum Punkt S 0 2 f) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente im Punkt B
I. Wendepunkte 1. Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte sowie die Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit der angegebenen Funktionsgleichung. a) f(x) 1 b) 12 (x + 1) (x 2) (x + 6) f(x) 1 4 x4
1. Klausur 12 MG, Schuljahr 2008/2009 Mathematik als Grundkursfach
1. Klausur 12 MG, Schuljahr 2008/2009 Mathematik als Grundkursfach Arbeitszeit: Lernbereich : Thema: 90 Minuten Analysis Differentialrechnung ganzrationaler Funktionen Name: Datum: 12. September 2008 Anzahl
Mathematik. für das Berufskolleg Berufliches Gymnasium Jahrgangsstufen 12 und 13. Merkur M. Bohner Ott Deusch. Nordrhein-Westfalen.
Bohner Ott Deusch Mathematik für das Berufskolleg Berufliches Gmnasium Jahrgangsstufen 12 und 13 Merkur M Nordrhein-Westfalen Verlag Rinteln Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet
Arbeitsblätter Förderplan EF
Arbeitsblätter Förderplan EF I.1 Nullstellen bestimmen Lösungen I.2 Parabeln: Nullstellen, Scheitelpunkte,Transformationen Lösungen I.3 Graphen und Funktionsterme zuordnen Lösungen II.1 Transformationen
Marketing. Übungsaufgaben Kapitel 6. Konditionenpolitik
Fachhochschule Schmalkalden, M.Sc. Annette Liebermann Übungsaufgaben Kapitel 6 Konditionenpolitik 6.2 Preistheorie Aufgabe 2 Anwendungsaufgabe Preiselastizität der Nachfrage : Eine AG will ein neues Produkt
. Ihr Schaubild sei &. a) Geben Sie die Asymptoten von & an. b) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Tangente an & im Punkt 1 1 mit der Achse.
Aufgabe A4/04 Gegeben ist die Funktion mit 2; 0. Das Schaubild von hat im Punkt 1 die Tangente. Ermitteln Sie eine Gleichung von. Die Tangente schneidet die Achse im Punkt. Bestimmen Sie die Koordinaten
Analysis in der Ökonomie (Teil 1) Aufgaben
Analysis in der Ökonomie (Teil 1) Aufgaben 1 In einer Fabrik, die Farbfernseher produziert, fallen monatlich fie Kosten in Höhe von 1 Mio an Die variablen Kosten betragen für jeden produzierten Fernseher
Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (technische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 004 Prüfungsfach: Mathematik (technische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 4. Juni 004 Prüfungsdauer: 09:00-1:00 Uhr Hilfsmittel: elektronischer,
1.4 Schaubild von Schaubild von Schaubild von 1., /
Lösung A1 1.1 Das Integral ist größer als Null, da die Fläche die der Graph der - Funktion oberhalb der -Achse größer ist als die Fläche unterhalb der -Achse. 1.2 Aussagen über das Schaubild von sind:
3.3 Ganzrationale Funktionen. Kmitr((-x):n3-;l;t;-30t+16ind"intntutttpreisvonp=24G8/ME' der Erlös- und der Gewinnfunktion'
''!*ffiü a 3.3 Ganzrationale Funktionen gilt die Gesamtkostenfunktion Für einen polypolistischen Anbieter Kmitr((-x):n3-;l;t;-30t+16ind"intntutttpreisvonp=24G8/ME' it [u"n'*"ximal 9 ME/Periode produzieren
Analysis: Klausur Analysis
Analysis Klausur zu Ableitung, Extrem- und Wendepunkten, Interpretation von Graphen von Ableitungsfunktionen, Tangenten und Normalen (Bearbeitungszeit: 90 Minuten) Gymnasium J Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com
Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen
Fachhochschule Bochum Fachhochschule Münster Fachhochschule Südwestfalen Verbundstudiengang Technische Betriebswirtschaft Prof. Dr. rer. nat. habil. J. Resch Teilprüfung: Mathematik 1 (Modul) Termin: 19.
ARBEITSBLATT 6-5. Kurvendiskussion
ARBEITSBLATT 6-5 Kurvendiskussion Die mathematische Untersuchung des Graphen einer Funktion heißt Kurvendiskussion. Die Differentialrechnung liefert dabei wichtige Dienste. Intuitive Erfassung der Begriffe
Ergänzungsprüfung. zum Erwerb der Fachhochschulreife (nichttechnische Ausbildungsrichtung)
Ergänzungsprüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife 2005 Prüfungsfach: Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtung) Prüfungstag: Donnerstag, 16. Juni 2005 Prüfungsdauer: 09:00-12:00 Uhr Hilfsmittel:
K f = K(0) = F Fixkosten K v = K(x) - K(0) variable Kosten K v (0) = 0 K(x) = K v (x) + K f Gesamtkosten = variable Kosten + Fixkosten
Wirtschaftsmathematik mit Technologieunterstützung 3 Kostenfunktionen Durch die Kostenfunktion K() ist der Zusammenhang zwischen Produktionsmenge (Output; Beschäftigung in ME) und den Gesamtkosten K()
Formelsammlung. Mathematik für die Höhere Berufsfachschule Wirtschaft und Verwaltung. Ausgabe NRW
Klaus Schilling, Jens Helling Formelsammlung Mathematik für die Höhere Berufsfachschule Wirtschaft und Verwaltung Ausgabe NRW 1. Auflage Bestellnummer 15662 Geometrie Finanzmathematik Lineare Algebra Stochastik
Rechne die Lösung im 2. Quadranten ohne Verwendung der speziellen TI 92- Funktionen auf die Polarform um.
1.Schularbeit 7b Klasse 1a) Gegeben ist die Gleichung z 2 + pz + (33 + 47i) = 0 mit der Lösung z 1 = 4-9i. Berechne den Koeffizienten p sowie die 2. Lösung der Gleichung. b) Berechne die Lösungen der Gleichung
4. Lösung linearer Gleichungssysteme
4. Lösung linearer Gleichungssysteme a x + : : : + a m x m = b a 2 x + : : : + a 2m x m = b 2 : : : a n x + : : : + a nm x m = b n in Matrix-Form: A~x = ~ b (*) mit A 2 R n;m als Koe zientenmatrix, ~x