WM.4.2 Mathematische Modelle für Kosten- und Gewinnfunktionen

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1 WM.4.2 Mathematische Modelle für Kosten- und Gewinnfunktionen In einem mathematischen betriebswirtschaftlichen relevanten Modell ist die Gesamtkostenfunktion, demnächst einfach Kostenfunktion K(x) genannt, die Summe aus den variablen- und den fixen Produktionskosten. Beispiel: Graph der Kostenfunktion K(x)= 0,01x 3 9,1x x Die Kostenzuwachsfunktion K'(x) liefert den Zuwachs an Kosten, die bei der Herstellung einer zusätzlichen Produktionseinheit entstehen. Sie ist die 1. Ableitungsfunktion der Kostenfunktion und wird auch noch Grenzkostenfunktion genannt. Das Minimum der Kostenzuwachsfunktion K' befindet sich an der Wendestelle von K, und umgekehrt, bei der Wendestelle von K ist der Kostenzuwachs minimal. Die variable Stuckkostenfunktion S v (x) ist definiert als: S v ( x ) = Variable Kostenfunktion x Die Stelle, d.h. die Anzahl an Produktioneinheiten x Min, an der die variablen Stückkosten S v (x) ihr Minimum erreichen wird als Betriebsminimum bezeichnet. Das Minimum S v (x min ) ist die kurzfristige Preisuntergrenze P ku, denn es werden gerade noch die variablen Produktionskosten gedeckt. Die Stückkostenfunktion S(x) definiert als: K(x) S(x) = x Seite 1

2 Die Stelle, d.h. die Anzahl an Produktioneinheiten x Opt, an der die Stückkosten S(x) ihr Minimum erreichen wird als Betriebsoptimum bezeichnet. Das Minimum S(x Opt ) ist die langfristige Preisuntergrenze P lu, denn es werden sowohl die variablen wie auch die fixen Produktionskosten gedeckt. In der folgenden Abbildung sind die Graphen der Stückkostenfunktion S(x), der variablen Stückkostenfunktion S v (x) und der Kostenzuwachsfunktion K'(x) für die im Beispiel angegebene Kostenfunktion K(x) eingezeichnet. Stückkosten und Kostenzuwachs in (GE) Produktionseinheiten (PE) Die Gewinnfunktion G(x) ist definiert als die Differenz zwischen der Erlösfunktion E(x) und der Kostenfunktion K(x): G(x) = E(x) K(x) Beispiel: Der Graph folgender Gewinnkostenfunktion: G(x) = 0,01x 3 +9,1x 2 750x Gewinn in GE PE Seite 2

3 Das Intervall in dem die Gewinnfunktion positiv ist liefert die Gewinnzone. Die Stelle x Gmax ist die gewinnoptimierende Produktionsmenge und G(x Gmax ) ist der maximale Gewinn. Aufgaben mit produktionsspezifischen Fragestellungen (ÜW4) ÜW4.1.0 Die Gesamtkostenfunktion K einer eines Unternehmens sei gegeben durch a) K(x) = x 3 43x x mit einer Kapazitätsgrenze x kap von 24 ME (Mengeneinheiten). b) K(x) = 0,01x 3 9x x mit einer Kapazitätsgrenze x kap von 850 Stück PE (Produktionseinheiten). c) K(x) = x 3 32x x mit einer Kapazitätsgrenze x kap von 28 ME (Mengeneinheiten). d) 0, K(x) = x 10x x mit einer Kapazitätsgrenze x kap von 900 Stück PE (Produktionseinheiten). ÜW4.1.1 Bestimmen Sie das Monotonieverhalten, berechnen Sie den Wendepunkt und zeichnen Sie den Graph von K in einem geeigneten KKS. ÜW4.1.2 Ermitteln Sie den Funktionsterm S v (x) der variablen Stückkosten und berechnen Sie das Betriebsoptimum : x Min und die kurzfristige Preisuntergrenze p ku. a) Teilergebnisse: x Min = 21,50 ME ; p ku = 809,75 GE b) Teilergebnisse: x Min = 450 PE ; p ku = S v (450) GE c) Teilergebnisse: x Min = 16 ME ; p ku = 305,00 GE d) Teilergebnisse: x Min = 750 ME ; p ku =S v (750) GE ÜW4.1.3 Ermitteln Sie den Funktionsterm der Stückkosten S(x) und berechnen Sie das Betriebsoptimum x Opt und die langfristige Preisuntergrenze p lu mit Hilfe eines geeigneten Näherungverfahrens. a) Teilergebnisse: x Opt = 21,83 ME ; p lu = 824,70 GE b) Teilergebnisse: x Opt = 500 PE ; p lu = S(500) GE c) Teilergebnisse: x Opt = 16,45 PE ; p lu = S(16,45) GE d) Teilergebnisse: x Opt = PE ; p lu = S( x Opt ) GE Seite 3

4 ÜW4.2.0 Der Funktionsterm der Gewinnkostenfunktion G(x) lautet: a) G(x) = x x x 324 b) G(x) = 0,01 x 3 + 9x 2 150x c) G(x) = x x x 228 d) 0, G(x) = x + 10x 4900x ÜW4.2.1 Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Näherungverfahrens das gewinnbringende Absatzintervall, d.h. die Gewinnzone GZ und die gewinnmaximierende Absatzmenge x gma. a) Teilergebnisse: GZ [3; 18] ; x gma = 12 ME b) Teilergebnisse: GZ = [200 ; 847] ; x gma = 592 PE c) Teilergebnisse: GZ [2; 17] ; x gma = 11 ME ÜW4.3.0 Die Fixkosten bei der Herstellung eines neun Produktes betragen 380 GE. Folgende Produktionsausgaben sind bekannt: a) 6 ME kosten 2882 GE, 12 ME kosten 4232 GE und 14 ME kosten 4650 GE. b) 5 ME kosten 1709 GE, 7 ME kosten 1927 GE und 14 ME kosten 2060 GE. ÜW4.3.1 Ermitteln Sie den Funktionsterm K(x) einer Polynomfunktion 3. Grades, die eine geeignete Kostenfunktion für die angegebene Produktion modelliert. a) Modell mit ganzzahligen Koeffizienten: K(x) = x 3 34x x +380 b) Modell mit ganzzahligen Koeffizienten: K(x) = x 3 36x x +324 ÜW4.3.2 Bestimmen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze a) Teilergebnisse: x Min = 17 ME ; p ku = 296,00 GE b) Teilergebnisse: x Min = 18 ME ; p ku =108,00 GE ÜW4.3.3 Ermitteln Sie den Funktionsterm der Stückkosten S(x) und berechnen Sie mit Hilfe eines geeigneten Näherungverfahrens das Betriebsoptimum x Opt und die langfristige Preisuntergrenze p lu. a) Teilergebnisse: x Opt =17,61 ME ; p lu = 317,95 GE b) Teilergebnisse: x Opt =18,67 ME ; p lu = 127,76 GE ÜW4.3.4 Das Produkt wird kurzfristig und unter vollständiger Konkurenz vermarktet. Der Anbieter muss den Marktpreis akzeptieren; der Preis ist in diesem Fall somit eine Konstante p. a) p = 300 GE ; b) p = 120 GE ÜW4.3.5 Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G(x), die Gewinnzone GZ und die gewinnmaximierende Absatzmenge x gma. Seite 4

5 ÜW4.4.0 Im Folgenden werden vereinfachte mathematische Modelle für die in der BWL als Ertragsfunktionen (Produktionsfunktionen) von Typ A bezeichneten Funktionen bearbeitet. Es werden folgende Notationen verwendet: - E(x) it der Funktionsterm der Ertragsfunktion. - E (x) ist der Funktionsterm für den Ertragszuwachs (Grezertragsfunktion). - D(x) E(x) = ist der Funktionsterm der Durchschnittertragsfunktion.. x ÜW4.5.0 Gegeben ist folgendes Modell E(x) für eine Ertragsfunktion: a) 1 E(x) x 100x = +, x [0;300] b) E(x) = 0,25x ,5x 2, x [0;270] ÜW4.5.1 Bestimmen Sie den Extrempunkt und Wendepunkt des Graphen von E(x) und zeichnen Sie diesen in ein geeignet geeichtes KKS. a) Teilergebnisse: x H = 200 EPF; x W = 100 EPF b) Teilergebnisse: x H = 180 EPF; x W = 90 EPF ÜW4.5.2 Bestimmen Sie die jeweiligen Extrempunkte der Ertragzusatzfunktion E und Durchschnittsertragsfunktion D und zeichnen Sie die entsprechenden Graphen in das KKS von Deuten Sie mathematisch und eventuell im Rahmen der BWL das Gesamtbild. ÜW4.5.3 Ermitteln Sie den Funktionsterm einer Ertragsfunktion E mit dem allgemeinen Modellansatz E(x) = ax 3 + bx 2, wenn folgende Bestimmungsbedingungen vorgegeben sind: E(100) = und E (100) = 15. Ergebnis: E(x) = 0,25x ,5x 2 ÜW4.6.0 Der Funktionsterm für die Gewinnfunktion lautet: a) G(x) = x x x 238 mit x Kap = 28,00 ME b) G(x) = x x x 128 mit x Kap = 24,00 ME c) G(x) = x x x 238 mit x Kap = 32,00 ME d) G(x) = x x 2 40 x 128 mit x Kap = 22,00 ME ÜW4.6.1a Bestimmen Sie die Produktionsmenge x Gmax, die den maximalen Gewinn garantiert. Seite 5

6 ÜW4.6.2a Bestimmen Sie Kostenfunktion und die langfristige Preisuntergrenze, wenn der Marktpreis bei 190 liegt und die Erlösfunktion linear ist. Teilergebnisse: x Gmax = 12,9 ME ; p lu = 172,23 ÜW4.6.3a Bestimmen Sie die Produktionsmenge x Gmax, die den maximalen Gewinn garantiert. ÜW4.6.2.bBestimmen Sie Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion, wenn der Marktpreis bei 550 liegt und die Erlösfunktion linear ist, und berechnen Sie die Stückkosten bei einer Produktion von x Gmax. Teilergebnisse: x Gmax = 16,58 ME ÜW4.6.2.cBestimmen Sie die Produktionsmenge x Gmax, die den maximalen Gewinn garantiert und zeichnen Sie ihren Graph. ÜW4.6.3.cBestimmen Sie Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion, wenn der Marktpreis bei 500 liegt und die Erlösfunktion linear ist, und berechnen Sie die Stückkosten bei einer Produktion von x Gmax und kommentieren Sie das Ergebnis. Teilergebnisse: x Gmax = 17,42 ME ÜW4.6.1dBestimmen Sie die Produktionsmenge x Gmax, die den maximalen Gewinn garantiert und zeichnen Sie ihren Graph. ÜW4.6.2.dBestimmen Sie Kostenfunktion und die Stückkostenfunktion, wenn der Marktpreis bei 120 liegt und die Erlösfunktion linear ist, und berechnen Sie die Stückkosten bei einer Produktion von x Gmax.und kommentieren Sie das Ergebnis. Teilergebnisse: x Gmax = 10,81 ME ÜW4.6.3.dDer Markt pries sinkt jedes Quartal um 3,5 %. Berechnen Sie den voraussichtlichen Marktpreis in einem Jahr und kommentieren Sie das Ergebnis, wenn die langfristige Preisuntergrenze bei plu = 102,78 liegt. Seite 6