Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau

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1 Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 5 Erhöhtes Niveau Zitronenpresse Eine Zitronenpresse besteht aus der eigentlichen Presse als Deckel und einem Auffanggefäß. Beides ist in der nebenstehenden Abbildung gezeigt. Die Zitronenpresse ist insgesamt 9 cm hoch; Deckel und Auffanggefäß haben einen Durchmesser von cm. Als Modellgrundlage für die Form des Deckels wird im Folgenden von der Rotation des Graphen einer Funktion f a; b mit f a; b (x) = ax 4 + bx + 4 (mit a, b 0) um die y-achse ausgegangen. Die Einheit im Koordinatensystem entspricht cm. Punkte a) Bestätigen Sie zunächst, dass jeder Funktionsgraph dieser Funktionenschar einen Extrempunkt auf der y-achse besitzt, und geben Sie die Koordinaten dieses Punktes an. 5 b) Bestimmen Sie nunmehr im Hinblick auf eine brauchbare Modellierung der Zitronenpresse Bedingungen für a und b, sodass der Extrempunkt auf der y-achse ein Hochpunkt ist und außerdem genau zwei Tiefpunkte vorliegen. 5 c) Berechnen Sie nun a und b so, dass x = 3 und x = 6 Nullstellen von f a; b sind; damit soll der Durchmesser der Zitronenpresse sinnvoll berücksichtigt werden. (Zur Kontrolle: 4 5 f(x) = x x+ 4) by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 38

2 d) Ermitteln Sie für diese Funktion f die Extrempunkte und berechnen Sie die Wendepunkte jeweils im Intervall [ 6; 6]. 5 e) Das Auffanggefäß hat die Form eines Kegelstumpfes mit der Wandstärke 0, cm. Seine innere Mantelfläche wird durch die Rotation der Geraden t um die y-achse gebildet; t ist dabei die Tangente an den Graphen von f im Punkt (6 0). Seine äußere Mantelfläche entsteht durch die Rotation einer entsprechenden Parallelen p zu t um die y-achse. Der obere Rand des Auffanggefäßes liegt bei y = 0, der innere Boden bei y = 5. () Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente t und ihrer Parallelen p. (Zur Kontrolle: t(x) = 4 x 4) 5 () Bestimmen Sie den inneren Radius r i der Bodenfläche des Auffanggefäßes. (Zur Kontrolle: r i = 4,75 LE) 0 (3) Berechnen Sie den Materialbedarf für die Herstellung des Auffanggefäßes. 0 f) Im Folgenden wird ein anderes Auffanggefäß betrachtet, dessen innere Form durch die Rotation einer einfach gebrochen-rationale Funktion g(x) = mit x 0. (x 6) um die y-achse modelliert werden kann. Bestimmen Sie einen sinnvollen Definitionsbereich für die Modellierung, wenn die Höhe des Auffanggefäßes den y-wert gleich besitzt und skizzieren Sie im Koordinatensystem der Anlage maßstäblich den Querschnitt eines solchen Gefäßes. Modifizierte Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 39

3 Anlage Hinweise und Tipps Teilaufgabe a r Beachten Sie, dass alle Graphen der Funktionenschar achsensymmetrisch bezüglich der y-achse sind. Teilaufgabe b r Zum Berechnen der Extremstellen benötigen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion in allgemeiner Form. r An der Stelle x = 0 liegt der Hochpunkt. r Hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt ist, dass f '' a; b(x E) < 0 ist. r Setzen Sie x E = 0 in die zweite Ableitung ein und bestimmen so die Bedingung für den Parameter b. r Berechnen Sie weitere Extremstellen. Der Skizze nach gibt es noch zwei Tiefpunkte. r Beachten Sie, dass das Produkt (der Quotient) zweier Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen stets negativ ist. Teilaufgabe c r Hier liegt eine sogenannte Steckbriefaufgabe vor. r x = 3 und x = 6 sollen Nullstellen der Funktion sein. r An den Stellen x = 3 und x = 6 gilt also: f a; b (x) = 0. Lösen Sie das Gleichungssystem. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 40

4 Teilaufgabe d r Notwendige Bedingung für die Existenz möglicher Hoch- bzw. Tiefpunkte ist, dass die erste Ableitung an dieser Stelle x E den Wert null hat. r Setzen Sie also f '(x) = 0 und ermitteln mögliche Extremstellen x E. r Die hinreichende Bedingung besagt, wenn f ''(x E ) > 0 dann existiert an der Stelle x E ein Tiefpunkt; wenn f ''(x E ) < 0 dann existiert an der Stelle x E ein Hochpunkt. r Nutzen Sie Symmetrien aus, das erleichtert die Lösungsfindung. r Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle x w den Wert null hat und hinreichend, dass f '''(x w ) 0. Teilaufgabe e r Es ist die Tangentengleichung im Punkt P(6 0) aufzustellen. r Die Tangente ist eine Gerade und ihre Gleichung hat die Form t(x) = mx + b. r Der Anstieg m einer Funktion an einer Stelle des Graphen ist stets m = f '(x). r Zur Bestimmung von b setzen Sie die Koordinaten in die Tangentengleichung ein. r Die zur Tangente parallele Gerade hat denselben Anstieg wie t(x). r Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Verschiebung x von t in x-richtung, sodass t mit p zur Deckung kommt. r Der Punkt Q auf p hat dann die Koordinaten Q(6 + x, 0). r Für die zur Tangente parallelen Geraden p gilt p(x) = 4x + b. Setzen Sie die Koordinaten von Q ein und bestimmen b. Damit erhalten Sie die Gleichung der Geraden p. Innerer Radius und Materialbedarf r Für den inneren Radius gilt dann: t(r i ) = 5. Bestimmen Sie r i. r Das Volumen V M des Auffanggefäßes erhält man als Differenz aus Volumen des äußeren und inneren Kegelstumpfes. r Für die Berechnung des Volumens des äußeren Kegelstumpfes müssen Sie noch den äußeren Radius r a der Bodenfläche berechnen. r Nun ist p(r a ) = 5,. Bestimmen Sie mithilfe p(x) den äußeren Radius r a. r Für das Volumen eines Kegelstumpfes gilt: V= π h(r + r r + r ) a a i i Teilaufgabe f r Das Schaubild einer einfach gebrochen-rationalen Funktion ist eine Hyperbel. r Überlegen Sie, welchen Teil der Hyperbel Sie für diese Modellierung benötigen. r Da Sie die Polstelle ablesen können, können Sie den Graphen bzw. den Teil des Graphen skizzieren. Alternativ stellen Sie eine Wertetabelle für x D auf. r Berechnen Sie die Fläche unter der Kurve mithilfe der Integralrechnung. Die obere Grenze ist der x-wert zum Funktionswert g(x) =. Denken Sie an die Symmetrie. r Die innere Querschnittfläche ergibt sich mithilfe eines Rechtecks. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 4 3

5 Lösung a) Alle Funktionsgraphen dieser Funktionenschar sind achsensymmetrisch bezüglich der y-achse. Also hat jeder Funktionsgraph dieser Funktionenschar einen Extrempunkt auf der y-achse. Mit x = 0 gilt: f a; b (0) = 4 Der Extrempunkt hat die Koordinaten (0 4). Dieser Extrempunkt ist ein Hochpunkt (Nachweis siehe Teilaufgabe b). b) Berechnung der Extremstellen: f 4 a; b(x) = ax + bx + 4 f ' 3 a; b(x) = 4ax + bx f '' (x) = ax + b a; b Notwendige Bedingung für Extremstelle: 4ax3 + bx = 0 Ausklammern x x (ax + b) = 0 x = 0 x = 0 (siehe Teilaufgabe a) f ' a; b (x) = 0 Es soll bei x = 0 ein Hochpunkt vorhanden sein. Hinreichende Bedingung für einen Hochpunkt ist, dass f '' a; b(x) < 0, also f '' a; b(0) = a 0 + b b < 0 Ein Hochpunkt liegt genau dann vor, wenn b < 0. Berechnung weiterer Extremstellen: ax + b = 0; a, b 0 ax = b : a b x = a b I x, 3 =± a Damit zwei weitere Extremstellen existieren, muss die Gleichung I zwei reelle Lösungen besitzen. Dies ist jedoch nur dann möglich, wenn die Variablen a und b entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. Weil b < 0, folgt a > 0. Berechnung der Art Extremstellen: '' b b fa; b = a + b a a b = a + b = 4b > 0, da b < 0 a Die Bedingungen für zwei Tiefpunkte lauten a > 0 b < 0. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 4

6 c) Mit f a; b (3) = 0 f a; b (6) = 0 erhält man folgendes Gleichungssystem: I 8a+ 9b= 4 II 96a + 36b = 4 I ( 4) + II = III 97a = : 97 a = 97 a = 8 Wert von a in I eingesetzt 8 + 9b = b= 4 9b = 5 :9 5 b = 9 Damit lautet die Funktionsgleichung für die Modellierung der Zitronenpresse: 4 5 f(x) = x x d) Extrempunkte und Wendepunkte im Intervall [ 6; 6] 4 5 f(x) = x x f'(x) = x x f''(x) = x f '''(x) = x 7 Notwendige Bedingung für Extrema: f '(x) = x x = x x = x = 0 (siehe auch Teilaufgabe a und b) Der Klammerausdruck kann auch gleich null sein, es muss also gelten: 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 43

7 4 0 x = x 90 = 0 4x = x = : x, 3 =± =± =± Für mögliche Extrema gilt also: x= 0 x= 0 x3= 0 Prüfen der Existenz und Art der Extrema Hinreichende Bedingung: f ''(x E ) f''(x) = x f''(0) = < 0 Hochpunkt H(0 4) (bereits bekannt) 9 Wegen der Symmetrie gilt: f'' 0 0 ± = ± f'' 0 ± = f'' 0 0 T 0 f 0 ± = > T 0 f Mit f ± = ± ± + 4= lauten die Koordinaten der beiden Tiefpunkte: 3 9 T 0 4 und 3 9 T 0 4 Alternative Lösung zur Bestimmung der Extrema: b In Teilaufgabe b wurde für weitere Extrema ermittelt: x, 3 =± I a 5 Setzt man die ermittelten Werte a = und b = in Gleichung I ein, so gilt: x, 3 =± =± by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 44

8 x, 3 =± =± =± 0 4 Durch Einsetzen dieser Werte in f(x) erhält man ebenfalls die beiden Tiefpunkte: 3 9 T T 0 Wendepunkte Notwendige Bedingung: f ''(x) = x = x = x = 4 x, =± 30 =± 4 30 Prüfen, ob ein Wendepunkt vorliegt: Hinreichende Bedingung f '''(x W ) Mit f'''(x) = x ist f ''' 30 ± =± Es existieren zwei Wendepunkte Mit f ± = gilt: W 30 9 und W e) () Tangentengleichung in Punkt P(6 0) t(x) = mx + b I 4 Mit 3 0 f'(x) = x x ist 3 0 m= f'(6) = m = 3 3 m= 4 t(x) = 4 x+ b II Parameter b bestimmen: Koordinaten von P in Gleichung II einsetzen 0 = b b = 4 Also lautet die Gleichung für die Tangente t(x) = 4x 4 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 45

9 Für die parallele Gerade zur Tangente t gilt: Skizze: Der Steigungswinkel α von t bzw. p ist gleich (da t p). Es ist m = tan α tan α = 4 und somit α = arctan 4 bzw. α = 75, Für die Verschiebung d zwischen t und p in x-richtung gilt: 0, 0, = sin α d =, d sinα 0, also d = = 0,066 sin 75,9640 Der Punkt Q hat dann die Koordinaten Q(6,06 0) Da p t gilt m t = m p (Anstieg gleich) p(x) = 4x + b Koordinaten von Q einsetzen 0 = 4 6,06 + b b = 4,84 Somit lautet die Gleichung für die Parallele p zu t: p(x) = 4x 4,84 () Bestimmen des Radius r i der Bodenfläche Der Radius der Bodenfläche kann mithilfe der Gleichung t(r) = 4r 4 mit t(r) = 5 bestimmt werden: 4r 4 = r = 9 : 4 9 r = = 4,75 4 Der innere Radius der Bodenfläche beträgt also 4,75 cm. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 46

10 (3) Materialbedarf für die Herstellung des Auffanggefäßes Das Volumen V M für den Materialbedarf erhält man elementar als Differenz aus dem äußeren Kegelstumpfvolumen V a und dem inneren Kegelstumpfvolumen V i : V M = V a V i Zur Berechnung des äußeren Kegelstumpfvolumens V a benötigt man den äußeren Radius r a der Bodenfläche, es ist: p(r a) = 4ra 4,84 = 5, + 4,84 4ra = 9,64 ra = 4,906 Für das Volumen eines Kegelstumpfes gilt: π V = h (r a + ra ri+ r i ) 3 Mit h i = 5 und h a = 5, ist π Va = 5,(4, ,906 6,06 + 6,06 ) cm 506,5876 cm 3 π V 3 3 i = 5(4,75 + 4, ) cm 455,8588 cm 3 VM= Va Vi V M 506,5876 cm 455,8588 cm 50,794 cm Der Materialbedarf beträgt etwa 5 cm 3. Alternative Lösung mithilfe der Integralrechnung Skizze: 3 3 Durch Rotation der Geraden t und p in den entsprechenden Intervallen um die y-achse entsteht als Rotationskörper das Auffanggefäß als Kegelstumpf. Für das Volumen bei Rotation um die y-achse gilt allgemein: b V y =π x dy a 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 47

11 y Aus t(x) = 4x 4 x = y Aus p(x) = 4x 4,84 x = + 6, 06 4 Somit gilt für das Volumen des äußeren Kegelstumpfes 0 y Va =π + 6,06 dy 4 5, und für das Volumen des inneren Kegelstumpfes 0 y Vi =π + 6 dy. 4 5 Durch Anwendung der Substitutionsregel kann die jeweilige Stammfunktion gefunden werden: f[u(x)] u'(x)dx = f(z) dz Damit die Substitutionsregel angewendet werden kann, wird y t(y) = + 6,06 so umgeformt, dass ein Produkt aus einer Funktion und 4 ihrer ersten Ableitung entsteht: y t(y) = 4 + 6, Dann ist 0 0 y y Va =π 4 + 6,06 dy = 4π + 6,06 dy , 5, y Mit der Substitution u(x) = + 6,06 ist u'(x) =. 4 4 y Setzt man z = + 6,06, dann ist V 3 a = 4 π z dz 4 z. 4 = π 3 a a Zurücksubstituieren ergibt: 3 0 4π y Va = + 6, , Va = 00, ,69 V = 506,588 cm3 a b b 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 48

12 Analog gilt für 3 0 4π y Vi = Vi = 904, ,905 V 3 i = 455,858 cm Somit ist VM = Va Vi V M 506,588 cm 455,858 cm 50,73 cm Der Materialbedarf für das Auffanggefäß beträgt etwa 5 cm 3. Alternative Bestimmung der Stammfunktionen Da beide Funktionen als Polynom. Grades vorkommen, kann eine Vereinfachung mithilfe der binomischen Formel erfolgen und danach dann die Summenregel der Integration angewendet werden: y y by Es ist b b + = + +, also y 6,06 Va =π + y + 6,06 dy 6 5, 3 0 y 3,03 V a =π + y + 6,06 y 48 5, V a =π [0 ( 6,584)] = 6,584 π V 3 a 506,5876 cm 0 0 y 6 y Vi =π + y+ 6 dy=π 3y 36 dy y 3 V i =π + y + 36y 48 5 V i =π [0 ( 45,047)] = 45,047 π V 3 i 455,8588cm VM = Va Vi VM = 506, ,858 V 3 M = 50,794 cm Der Materialbedarf für das Auffanggefäß beträgt etwa 5 cm 3. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 49

13 f) g(x) = ; (x 6) Skizze: Graph der Funktion g(x) ist eine Hyperbel mit Polstelle bei x = 6. Anhand der Skizze erkennt man, dass der Defintionsbereich für die Modellierung eines Auffanggefäßes mit 0 x < 6 zu wählen ist. Also D = [0; 6[. Da die Höhe der Schale cm sein soll, ergibt sich für g(x) = : = (x 6) (x 6) = x = 6± Da x = 6 + D, ist x = 6 5,9 die einzige Lösung. Berechnung der Fläche unter der Kurve mit x = 5,9 als obere Grenze: 5,9 5,9 A= dx (x 6) = dx (x 6) 0 0 5,9 A= ( x 6),4cm 0 Die Fläche eines Rechtecks mit h = cm und b = 5,9 cm ist A = bh 0,58 cm. Die halbe Querschnittfläche ist damit 0,58 cm,4 cm = 9,34 cm. Die Querschnittfläche des gesamten Auffanggefäßes beträgt also ca. 8,7 cm. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 50

14 Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 6 Erhöhtes Niveau Hängebrücke Eine Hängebrücke soll eine horizontale Spannweite von 00 m haben. Zwischen den beiden Aufhängepunkten A ( 00 3,5) und A (00 3,5) wird ein Tragseil gespannt, das in der Mitte der Brücke seinen tiefsten Punkt in einer Höhe von 5 m haben soll. Die Linie des Seils folgt dem Graphen einer Kettenlinie k mit: b k(x) = (eax + e ax ), a > 0 und b > 0. a Die Fahrbahn ist gerade und eben und wird durch die x-achse beschrieben. Punkte a) Berechnen Sie die Parameter a und b und geben Sie die Gleichung der Funktion k an. (Zur Kontrolle: k(x) =,5(e 0,05x + e 0,05x )) 0 b) Bestätigen Sie, dass das Gefälle des Tragseils in den beiden Aufhängepunkten 75,6 % beträgt, und berechnen Sie die entsprechenden Neigungswinkel. 5 Die Funktion k lässt sich durch eine ganzrationale Funktion f vierten Grades annähern, für die gelten soll: An den Aufhängepunkten und am tiefsten Punkt stimmen die Funktionswerte überein. An den Aufhängepunkten stimmen k und f in ihren Steigungen (Neigungswinkeln) überein. c) Ermitteln Sie aus diesen Bedingungen die Funktionsgleichung von f. 0 Berechnen Sie die Differenz der Funktionswerte von k und f bei x = d) Die Brücke soll durch Laserstrahlen interessant beleuchtet werden. Dazu soll eine Laser-Lichtquelle so am Tragseil angebracht werden, dass der Laserstrahl (ein Lichtbündel aus parallelen Lichtstrahlen ) genau senkrecht zum Tragseil ausgesendet wird und genau den Fußpunkt (00 0) des einen Stützpfeilers trifft. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 5

15 Mithilfe der Näherungsfunktion f wurde errechnet, dass die Laser-Lichtquelle dann bei x = 87,4 am Tragseil angebracht werden müsste. Da das Tragseil aber in Wirklichkeit der Funktion k folgt, trifft der Laserstrahl in x-richtung die Fahrbahn etwas neben dem geplanten Punkt (00 0). Bestimmen Sie diesen Unterschied x. 0 Der Laser müsste auf dem Seil also etwas verschoben werden. Geben Sie an, in welche Richtung und ob der Unterschied in horizontaler Richtung dem Betrage nach gleich, größer oder kleiner x sein müsste. Begründen Sie Ihre Antwort. 5 Man könnte auch den Winkel des Laserstrahls um einen Winkel δ korrigieren. Bestimmen Sie die Winkelgröße von δ Modifizierte Aufgabe aus der Abiturprüfung 007 Hinweise und Tipps Teilaufgabe a r Hier liegt eine sogenannte Steckbriefaufgabe vor. r Zu bestimmen sind die Parameter a und b. r Da zwei Größen gesucht sind, benötigen Sie ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. r Setzen Sie die Koordinaten der beiden Punkte (0 5) und (00 3,5) in die Gleichung k(x) = b (eax + e ax ) ein und lösen das Gleichungssystem. a r Wenn Sie das Gleichungssystem vereinfachen, entsteht eine biquadratische Gleichung, die Sie durch Substitution lösen. r Geben Sie die Gleichung für die Funktion k(x) an. Teilaufgabe b r Fertigen Sie eine Skizze an. r Für den Anstieg müssen Sie die erste Ableitung der Funktion k(x) bilden. r Wegen der Symmetrie reicht es aus, nur einen Haltepunkt zu betrachten. r Ermitteln Sie k'(00). Damit erhalten Sie das Gefälle bzw. den Neigungswinkel. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 5

16 Teilaufgabe c Funktionsgleichung r Es liegt wieder eine Steckbriefaufgabe vor. r Wegen der Achsensymmetrie gilt für den Ansatz: f(x) = ax 4 + bx + c r Da f(0) = 5 ist, können Sie den Parameter c ablesen. r Mit f(00) = 3,5 erhalten Sie die erste Gleichung des Gleichungssystems. r Bilden Sie die erste Ableitung f '(x), dann erhalten Sie mit f '(00) = 0,756 die zweite Gleichung des Gleichungssystems und lösen das Gleichungssystem. r Geben Sie mit den erhaltenen Parametern die Funktionsgleichung an. Differenz r Berechnen Sie die Differenz aus k(50) und f(50). Teilaufgabe d Unterschied r Den Anstieg der Lasergeraden m erhalten Sie, indem Sie x = 87,4 in k'(x) einsetzen. r Zwei Geraden g und g sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn ihr Produkt aus den Anstiegsfaktoren bzw. Steigungen gleich ist. r Die Lasergerade g hat die Form g(x) = m x + b. r Setzen Sie m sowie die Koordinaten von P(87,4 k(87,4)) in g(x) = m x + b ein. Sie erhalten das absolute Glied b. r Berechnen Sie die Nullstelle von g(x). Jetzt können Sie die Abweichung bestimmen, indem Sie die Differenz aus x = 00 und der Nullstelle bilden. Begründung r Zur Begründung fertigen Sie eine Skizze an. Winkelgröße r Mithilfe der vorher angefertigten Skizze können Sie die beiden Winkel und damit die Winkeldifferenz δ ermitteln. r Verwenden Sie hierfür die Winkelbeziehungen im rechtwinkligen Dreieck. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 53

17 Lösung b a) k(x) = (eax + e ax ) mit a, b > 0 I a b k(0) = 5 (ea 0+ e a 0) = 5 a b ( + ) = 5 a b=,5a b in Gleichung I einsetzen ergibt:,5a k(x) = (eax + e ax ) a k(x) =,5(eax + e ax ) 00a 00a 00a k(00) = 3,5,5(e + e ) = 3,5 :,5 00a e + e =,6,6 00a 00a 00a e + e,6= 0 e 00a 0 00a (e ) + e,6 e = 0 00a 00a (e ),6 e + = 0 Das ist eine biquadratische Gleichung, die durch eine Substitution gelöst werden kann: z = e00a und z = (e 00a ) Dann gilt z,6z+ = 0 z, = 6,3 ± 6,3 = 6,3 ± 38,69 z = 6,3 ± 6, = 0,08 z =,5 Zurücksubstituieren ergibt: 00a e = 0,08 ln 00a ln e = ln 0,08 00a ln e = ln 0,08 ln e = 00a = ln 0,08 :00 ln 0,08 a = = 0,056 D, da a > 0 vorausgesetzt by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 54

18 Analog erhält man: e00a =,5 ln,5 a = = 0,057 0,05 00 Die Funktionsgleichung für das Hauptseil lautet k(x) =,5 (e0,05x + e 0,05x ). b) Skizze: Anstieg m = k'(x) k'(x) =,5 (0,05 e0,05x 0,05 e 0,05x ) k'(x) =,5 0,05(e0,05x e 0,05x ) k'(x) = 0,065(e0,05x e 0,05x ) k'( 00) = 0,065 (e,5 e,5) k'( 00) = 0,7568 Wegen der Symmetrie ist k'(00) = 0,7568 Das Gefälle des Tragseils in den Aufhängepunkten beträgt 75,6 % w. z. z. w. Neigungswinkel tanα = 0,7568 α = arctan( 0,7568) α = 37, tanα = 0,7568 α = arctan(0,7568) α = 37, c) Ermitteln der Funktionsgleichung von f Die Funktion ist eine Polynomfunktion vierten Grades, wegen der Achsensymmetrie bezüglich der y-achse gilt der Ansatz f(x) = ax 4 + bx + c Da f(0) = 5 c = 5 Für die erste Ableitung gilt: f'(x) = 4ax3 + bx Mit f(00) = 3,5 f '(00) = k'(00) = 0,756 erhält man folgendes Gleichungssystem: 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 55

19 f (00) = 3,5 004 a + 00 b + 5 = 3,5 I 08a+ 04b= 6,5 f '(00) = 0,756 II 4 003a + 00b = 0,756 III= II a+ 0 4b= 75,6 IV = III : 08a + 04b = 37,8 V= IV I 08 a =,3 VI a =,3 0 7 VI in I = VII 08, b = 6, 5, b = 6,5,3 04b = 5, :04 b=,5 0 3 Damit lautet die Funktionsgleichung f(x) =,3 0 7 x 4 +,5 0 3 x + 5 Differenz der Funktionswerte an der Stelle x = 50 k(50) =,5 (e0, e 0,05 50 ) = 9,44 f (50) =, , = 9,5065 = f (50) k(50) = 0,0643 Die Differenz an der Stelle x = 50 beträgt etwa 6 cm. d) Steigung k(x) an der Stelle x = 87,4 k'(x) = 0,065 (e0,05x e 0,05x ) k'(87, 4) = 0,54864 = m Der Laserstrahl verläuft zu dieser Geraden orthogonal. Mit m m = m = für den Anstieg der Lasergeraden. m Geradengleichung des Laserstrahls und Nullstelle g(x) = mx + b g(x) = x + b 0,54864 g geht durch P(87,4 k(87,4)). k(87,4) =,5 (e0,05 87,4 + e 0,05 87,4 ) k(87,4) =,5078 Eingesetzt in die Gleichung für g(x): g(x) =,5078 = 87,4 + b 0, ,4 b =, ,8 0, by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 56

20 Damit ist die Geradengleichung: g(x) = x + 8,8 0,54864 Nullstelle von g(x): 0 = x + 8,8 0,54864 x0 = 8,8 0,54864 = 99,7484 Die Abweichung vom Punkt (00 0) beträgt 00 m 99,75 m = 0,5 m. Wie aus Teilaufgabe e hervorgeht, trifft der Laserstrahl die Fahrbahn nicht im Fußpunkt des Pfeilers, sondern etwas links vom gewünschten Fußpunkt. Damit er den Fußpunkt trifft, muss der Laser in positiver x-richtung verschoben werden. Bewegt man den Laser auf dem Tragseil in x-richtung (also nach rechts ), wird er wegen der Krümmung des Tragseils auch etwas gegen den Uhrzeigersinn gedreht und damit wird der Auftreffpunkt zusätzlich in x-richtung verschoben. Der Laser muss in x-richtung ( nach rechts ) verschoben werden, wegen der zusätzlichen Drehung aufgrund der Seilkrümmung um weniger als 5 cm. In unkorrigierter Lage trifft der Laserstrahl die Fahrbahn unter dem Winkel α. Es gilt: α = arc tan 0,54864 α = arctan(,869) 6,5 Der korrigierte Laserstrahl muss mit der x-achse den Winkel α bilden. Für diesen Winkel gilt (siehe Skizze): k(87,4) = tan α,6,5078 tan α = =,7863,6 α = arc tan(,7863) 60,76 Damit gilt für die Winkelkorrektur (siehe Skizze): δ=α α = 60,76 6, 5 = 0, 49 Zur Korrektur müsste der Laser um einen Winkel von etwa 0,5 gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 57

21 Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 7 Erhöhtes Niveau Wachstumsverhalten von Bakterien Fototrophe Bakterien brauchen Licht für ihren Stoffwechsel; wenn sie im Wasser leben, bevölkern sie also oberflächennahe Wasserschichten, die natürlich auch die sonstigen benötigten Nährstoffe enthalten müssen. Wenn man wenige solcher Bakterien in ein entsprechend belichtetes Wasserbecken einsetzt, so ist die Wachstumsrate zunächst annähernd linear. Mit steigendem Bestand allerdings machen die Bakterien selbst das Wasser weniger durchsichtig, sodass schließlich die Wachstumsrate mit dem Bestand zurückgeht. Die Wachstumsrate in Abhängigkeit von der Zeit wird durch die Funktionenschar f a, k mit f a, k (t) = a t e k t, a, k, t > 0 beschrieben; t bezeichnet dabei die Zeit in beliebigen, aber festen Einheiten. Punkte a) Beschreiben Sie die Wirkung der beiden Parameter a und k auf den Verlauf der Graphen. 5 b) Berechnen Sie zunächst von der Funktionenschar f a, k den Zeitpunkt des stärksten Wachstums und die Wachstumsrate (in Abhängigkeit von a und k) zu diesem Zeitpunkt und geben Sie diese Ergebnisse für die Funktion f, k an. 5 Begründen Sie, warum der Parameter a keinen Einfluss auf den Zeitpunkt hat. 5 Für die Untersuchung weiterer Eigenschaften der Funktionenschar wird die Funktion f, k (t) = t e k t gewählt. c) Man kann sagen, dass die Wirkung der Wassertrübung etwa ab der Wendestelle der Funktion überhandnimmt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunktes in Abhängigkeit von k. 0 Beschreiben Sie die Bedeutung dieser Stelle zusammen mit der Stelle stärksten Wachstums im Sachkontext der Aufgabe. 0 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 58

22 d) Zeigen Sie, dass zur Funktionenschar f, k die Funktionenschar F, k (+ k t) e k t mit F (t) = gehört, bei der jeweils F, k eine, k k Stammfunktion von f, k ist und für alle F, k gilt: lim F, k (t) = 0 0 t 0 Beschreiben Sie die Bedeutung der Funktionenschar F, k im Sachkontext. Zeigen Sie, dass für jedes k die Funktion F, k für t gegen eine endliche Zahl geht, und bestimmen Sie diesen Grenzwert in Abhängigkeit von k. 5 Beschreiben Sie die Bedeutung des Grenzwerts im Kontext der Aufgabe. 5 e) Zeichnen Sie f ; 0,5 und F ; 0,5 im Intervall [0; 0] in ein Koordinatensystem ein (Einheiten: x-achse LE = cm, y-achse LE =,5 cm). Siehe Muster in der Anlage. 0 Nun geht es wieder um Bakterien. Wir lösen uns von dem Sonderfall a =. Bei einem solchen Wachstums-Experiment im Rahmen eines Forschungsauftrags ergab sich ein Endbestand von 0 Bakterien (pro cm 3 ), die Zeitkonstante k wurde zu k = 0,7/ h bestimmt. Die Zeit t wird in Stunden gemessen. f) Um dieses Experiment zu modellieren, muss jetzt der Parameter a in der Funktionenschar F a, k mit a a (+ k t) e k t F (t) = a, k k angepasst werden. Ermitteln Sie aus den obigen Angaben den Wert des Parameters a für die beschreibende Funktion F a; 0,7. 5 Hinweis: Bestimmen Sie zunächst den Grenzwert von F a, k für t. Zeigen Sie, dass die Wachstumsrate der Bakterien nach sechs Minuten noch nicht wesentlich von einer rein linearen Wachstumsrate abgewichen ist. 5 Bestimmen Sie mit einem Näherungsverfahren Ihrer Wahl auf eine Nachkommastelle genau, nach welcher Zeit die Bakterienzahl auf 90 % des Endbestands angestiegen ist Modifizierte Aufgabe aus der Abiturprüfung by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 59

23 Anlage 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 60

24 Hinweise und Tipps Teilaufgabe a r Überlegen Sie, was ein Parameter a bei einer Funktion a f(x) bewirkt (Streckung bzw. Stauchung des Graphen). r Der Parameter k kommt im Exponenten vor. Er hat also Einfluss auf das exponentielle Wachstum. Teilaufgabe b Funktionenschar r Bilden Sie die erste und zweite Ableitung. r Verwenden Sie die Produktregel, um die Ableitungen zu berechnen. r Setzen Sie dann f ' a, k(t) = 0 und bestimmen den Zeitpunkt des stärksten Wachstums. r Setzen Sie diesen Wert t in f a, k (t) ein, so erhalten Sie den Wert des stärksten Wachstums. Parameter a r Wie geht der Parameter a in die Berechnung des Zeitpunkts t ein? Schauen Sie die Berechnung bei der ersten Frage von Teilaufgabe b nochmals genau an. r Betrachten Sie auch die Skizzen bei Teilaufgabe a. Teilaufgabe c r Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle x w den Wert null hat. r Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass f '''(x w ) 0. r An der Stelle des Wendepunktes ändert sich der Anstieg des Graphen, danach kann der Graph steiler oder flacher verlaufen. Bedeutung der Stelle r Vergleichen Sie die Zeit, die bis zum Erreichen des Maximums und bis zum Erreichen des Wendepunktes verstreicht. r Treffen Sie eine Aussage über das Verhalten an dieser Wendestelle (größeres/ kleineres Wachstum bzw. größere/ kleinere Abnahme). Teilaufgabe d r Für stetige und differenzierbare Funktionen gilt stets: F'(x) = f(x) r Leiten Sie F, k (t) ab. r Wenden Sie die Produktregel an. r Zur Grenzwertbestimmung kann der Wert der Grenzwertbetrachtung in die Funktionsgleichung eingesetzt werden, wenn es bezüglich der Ausführung der Rechenoperationen keine Einschränkungen gibt. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 6

25 Deutung r Das bestimmte Integral über die Zeit stellt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt dar. Dies ist diejenige Stammfunktion aus der Schar der Stammfunktionen, für die der Anfangswert null ist. r Unter Beachtung der Kriterien zur Grenzwertbestimmung ermitteln Sie den Grenzwert lim F, k (t). t r Der Grenzwert stellt einen endlichen Wert dar, den die Funktion an der Stelle x besitzt. Teilaufgabe e r Zur grafischen Darstellung stellen Sie für jede Funktion eine Wertetabelle auf. r Stellen Sie diese Funktionen in einem Koordinatensystem dar. Teilaufgabe f r Bestimmen Sie den Grenzwert g von a a(+ k t)e kt F a, k k = für t. r Für den Endbestand 0 Bakterien gilt: k = 0,7 r Setzen Sie k = 0,7 in den Grenzwert g ein und ermitteln den Wert für den Parameter a. Wachstumsrate nach 6 Minuten r Beachten Sie zunächst, dass die 6 Minuten in Stunden umgerechnet werden müssen. r Für das exponentielle Wachstum setzen Sie t in die oben berechnete Gleichung ein. r Für die Ermittlung des linearen Wachstums verwenden Sie den Wert von a und die Zeit t. r Vergleichen Sie die Werte. Näherungsverfahren r Schreiben Sie die Gleichung für F a; 0,7 auf. r Beachten Sie, dass F a; 0,7 (x) nur 90 % vom Endbestand betragen soll. r Setzen Sie den Wert für k unter der Beachtung von 90 % ein. r Diese so erhaltene Gleichung ist nach t aufzulösen, was jedoch nicht mit elementaren Mitteln möglich ist. r Wählen Sie zur Bestimmung von t ein Näherungsverfahren Ihrer Wahl. r Mögliche Verfahren sind: Halbierungsverfahren Newton-Verfahren Regula Falsi r Da nur eine Nachkommastelle gefordert wird, führt das Halbierungsverfahren sehr schnell zu einem Ergebnis. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 6

26 a) f a, k (t) = a t e k t Der Parameter a bewirkt bei konstantem k wie bei jeder anderen Funktion eine Streckung (a > ) bzw. Stauchung (a < ) in Richtung der y-achse. Der Parameter k beeinflusst bei konstantem a das Wachstumsverhalten: Je größer k, umso schneller wird das Maximum erreicht und die Kurve klingt schneller ab (sie nähert sich also schneller der t-achse). Lösung b) Die Ableitungen werden durch Anwenden der Produktregel gebildet: u = a t u' = a v = e kt v' = k e kt ' kt kt a, k ' kt a, k = f (t) = a e a t k e Ausklammern f (t) e (a a k t) u = a a k t u' = a k v = e kt v' = k e k t f (t) = a k e + (a a k t) ( k) e '' k t k t a, k = a k e k t (a k a k t) e k t = e k t ( a k a k+ a k t) f '' k t a, k(t) = (a k t a k) e 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 63

27 Maximum Bedingungen: f ' (t) = 0 f '' (t) < 0 a, k a, k ' k t k t a, k f (t) = 0 e (a a k t) = 0 :e ( 0) a a k t = 0 + a k t a = a k t :a = k t t = k Prüfen, ob ein Maximum vorliegt '' k f k a, k a k a k = e k k '' f a, k (a k a k) e = k '' a k f a, k = < 0 k e Bei t = liegt ein Maximum vor. Dies ist der Zeitpunkt des stärksten Wachstums. k Wert des stärksten Wachstums k f k a, k a = e k k a e a f a, k = = k k k e a Zum Zeitpunkt t = beträgt das stärkste Wachstum. k k e Für f, k (t) = t e k t beträgt bei t = dann das stärkste Wachstum k k e. Wie bei Teilaufgabe a festgestellt wurde, bewirkt der Parameter a lediglich eine Streckung bzw. Stauchung des Graphen. Der Zeitpunkt des maximalen Wachstums ist jedoch vom Parameter a unabhängig; bei der Berechnung fällt er weg. (Siehe Skizze Teilaufgabe a) c) Bedingung für eine Wendestelle: f '' (t) = 0 f ''' (t ) 0, k, k w '' k t a, k = f (t) (a k t ak) e Also gilt für a = : f '' k t, k (t) = (k t k) e Mit der Produktregel berechnet man die dritte Ableitung: 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 64

28 u = k t k u' = k v = e k t v' = k e kt f, k (t) = k e (k t k) k e = k e (k t k ) e f ''' (t) = e k t (3k k3t) ''' kt kt k t 3 kt, k f '', k (t) = 0 (kt k) e k t = 0 :e k t kt k = 0 + k k t = k :k k t = k t = k ''' k k 3 f, k e 3k k = k k ''' k f, k e k = = 0 k e Bei t = liegt eine Wendestelle vor, die Koordinaten dieses k Wendepunktes lauten W f, k =. k k k k e Zeitpunkt Wendestelle: t = (a) k Zeitpunkt maximalen Wachstums: t = (b) k Aus den Teilaufgaben a und b folgt, dass die Zeit bis zum Erreichen des Wendepunktes doppelt so groß ist wie die zum Zeitpunkt des maximalen Wachstums (Zeit bis zum Erreichen des maximalen Wachstums ist gleich der Zeit vom Maximum bis zur stärksten Abnahme, also dem Wendepunkt). Nach der Wendestelle erfolgt eine schwächere Abnahme als zuvor. d) Bedingung: F ', k (t) = f, k (t) f (t) = t e k t, k k t (+ k t) e + k t F k t, k (t) = = e k k k Mithilfe der Produktregel und mit ( + k t) u =, u' = sowie v = e k t, v' = k e kt erhält man: k k 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 65

29 ' k t k t ( k t) F, k (t) e k e + = k k k t k t k( k t) e e + = + k k k t k t k t e e + = + k k k t k t k t k t) e + e + + = + = k k k F ' k t, k (t) = t e = f, k (t) w. z. z. w. (+ k t) e k t lim F, k (t) = lim t 0 t 0 k (+ k 0) e k 0 e0 0 = = = = = 0 k k k k Also lim F, k (t) = 0 w. z. z. w. t 0 Bedeutung von F, k f, k (t) ist eine Wachstumsfunktion, die die Bestandsänderung pro Zeit beschreibt. Das bestimmte Integral über die Zeit stellt den Bestand zum jeweiligen Zeitpunkt dar. Dazu ist diejenige Stammfunktion aus der Schar der Stammfunktionen auszuwählen, die den Anfangswert 0 besitzt ( lim F a, k(t)). t 0 (+ k t) e k t lim F, k (t) = lim t t k Da k t lim e = lim 0 t t ek t = ist, ist lim F t, k (t) =. k Der Grenzwert hat also den Wert k. Durch den Grenzwert lim F, k (t) wird der Endbestand der Bakterienpopulation beschrieben. t e) Wertetabellen aufstellen f ; 0,5 (t) = t e 0,5 t t f ; 0,5 (t) 0 0,6 0,74 0,67 0,54 0,4 0,30 0, 0,5 0,0 0,07,5 f ; 0,5 (t) 0,5,8,7,4,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0, 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 66

30 0,5 t (+ 0,5 t) e F ; 0,5 (t) = = 4 (4+ t) e 0,5 0,5 t t F ; 0,5 (t) 0 0,36,06,77,38,85 3,0 3,46 3,63 3,76 3,84,5 F ; 0,5 (t) 0 0,9,6 4,4 5,9 7, 8,0 8,6 9, 9,4 9,6 t-achse: LE = cm f, F-Achse: LE =,5 cm 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 67

31 f) a a(+ k t)e k t F a, k(t) = k F a; 0,7 (t) ist zu bestimmen. a lim F a, k(t) = t k Mit k = 0,7 gilt für den vorgegebenen Endbestand von 0 Bakterien: a = 0 0,7 a = 58,8 Damit gilt: 58,8 58,8 ( + 0,7 t) e 0,7 t F 58,8; 0,7 (t) = 0,49 Umrechnen von 6 Minuten: 6 Minuten = h = 0,h 0 Exponentielles Wachstum f 0,7 t 58,8; 0,7 (t) = 58,8 t e f 0,7 0, 58,8; 0,7 (0,) = 58,8 0, e f 58,8; 0,7 (0,) = 5,48475 Lineares Wachstum 58,8 0, = 5,88 Vergleich der beiden Werte: 5,48 p % = 00 % = 93, % 5,88 Das exponentielle Wachstum ist etwa gleich groß wie das lineare Wachstum (Abweichung 7 %). Der Einfluss des Exponentialterms ist also in den ersten 6 Minuten gering. Zeit für das Anwachsen auf 90 % des Endbestandes a a 0,7t 0,49 0,9 = ( ( + 0,7t) e ) 0,7 0,7 a 0,9 = ( + 0,7t) e 0,7t 0,9 0= 0, (+ 0,7t) e 0,7t Lösung mithilfe Halbierungsverfahren Probieren mit t = 5 0,03589 t = 6 0,0 t = 5,5 0,003 t = 5,6 0,0038 also gilt t 0 (5,5; 5,6) 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 68

32 5,5 + 5,6 t = = 5,55 0, ,55 + 5,6 t = = 5,575 0,000 5,55 + 5,575 t3 = = 5,565 0,0003 Also gilt: t0 5,6 5h36min Nach 5 Stunden und 36 Minuten ist der Bestand auf 90 % des Endbestandes angewachsen. Alternative Lösung mithilfe Regula Falsi b a x0 = a f(a) f(b) f(a) Probieren mit t = 5 0, t = 6 0,00 t = 5,5 0, t = 5,6 0,00388 Die Nullstelle liegt im Intervall (5,5; 5,6) 5,6 5,5 t0 = 5,5 + 0, , , t0 = 5,55738 t 5,6 5h36min 0 Nach 5 Stunden und 36 Minuten ist der Bestand auf 90 % des Endbestandes angewachsen. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 69

33 Hamburg Mathematik Analysis Übungsaufgabe 8 Erhöhtes Niveau Ölfilter Die Firma TAROBALD Motorentechnik GmbH besitzt seit einigen Jahren das Patent auf einen speziellen Ölfilter, der die Anzahl der von den Herstellern geforderten Ölwechsel bei Motoren erheblich verringert und der bei jedem Motor problemlos nachgerüstet werden kann. So ist ein Ölwechsel nicht mehr nach einer Laufleistung von km, sondern erst nach km erforderlich. Das Unternehmen vermarktet diesen Filter als Alleinanbieter (Monopolist) und sieht aufgrund der Ölpreisentwicklung einen großen Nachrüstungsbedarf bei Motoren mit hoher Laufleistung sowohl im gewerblichen Bereich Schiffs- und Lkw-Motoren als auch im privaten Bereich. Einige für die Unternehmensführung wichtige Zusammenhänge sollen durch mathematische Funktionen dargestellt werden. Punkte a) Der erzielbare Marktpreis in Geldeinheiten (GE) ist von der angebotenen Menge x in Mengeneinheiten (ME) abhängig. Je weniger Einheiten angeboten werden, desto höher ist der Preis. Der Marktpreis folgt, so sagen die Experten aus langer Erfahrung, einer linearen Funktion p. Aus den Daten einer Marktanalyse lässt sich die auch als Preis-/Absatzfunktion bezeichnete Funktion p mit hinreichender Genauigkeit angeben durch: p(x) = 3x Bestimmen Sie die Erlösfunktion E mit E(x) = x p(x) 5 Geben Sie einen maximalen, ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich an. 5 b) Die Gesamtkosten in GE für die Herstellung des Ölfilters hängen im Wesentlichen von der zu produzierenden Menge x in ME ab und werden beschrieben durch die folgende Kostenfunktion K: 3 9 K(x) = x x + 70x () Zeigen Sie, dass die angegebene Kostenfunktion K keine Extrempunkte, aber einen Wendepunkt besitzt. 5 () Beschreiben Sie die Auswirkung dieser Aussage auf den Verlauf des Graphen von K und interpretieren Sie Ihre Ergebnisse aus ökonomischer Sicht im Sachkontext dieser Aufgabe. 0 c) Der Gewinn G in Abhängigkeit von der abgesetzten Menge x ist die Differenz aus den Erlösen E und den entstandenen Gesamtkosten K. Es gilt also: G(x) = E(x) K(x). Die möglichen Absatzmengen, bei denen das Unternehmen keinen Verlust macht, für die der Gewinn also nicht negativ ist, bilden die sogenannte Gewinnzone, die von der Gewinnschwelle bis zur Gewinngrenze reicht. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 70

34 () Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Gewinnfunktion G. (Zur Kontrolle: 3 3 G(x) = x + x + 80x 6 000) 5 30 () Berechnen Sie die gewinnmaximale Absatzmenge den dazugehörigen Verkaufserlös und Maximalgewinn die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze (Gewinnzone) 5 d) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen p, E, K und G in ein rechtwinkliges Koordinatensystem. (x-achse: cm A 0 ME, y-achse: cm A 000 GE) 0 e) In den letzten Monaten stellte das Unternehmen eine ständig steigende Nachfrage nach den Ölfiltern fest, obwohl weder der Preis noch die Produktionsmenge verändert wurde. Die Geschäftsführung sieht eine mögliche Ursache in den Preisturbulenzen auf dem Rohölmarkt und ihren Auswirkungen auf den Preis für Motorenöl. Eine sofort eingeleitete Marktuntersuchung bestätigt die Annahme. Die Daten der Untersuchung lassen erkennen, dass der Veränderungsfaktor des Rohölpreises sich unmittelbar auf das konstante Glied der Preis-/Absatzfunktion, den sogenannten Prohibitivpreis (auch fiktiver Höchstpreis genannt) auswirkt. So würde eine Vervielfachung des Rohölpreises um den Faktor t dieselbe Vervielfachung des Prohibitivpreises nach sich ziehen. Dieser Zusammenhang lässt sich aber nur bis höchstens zur Verdoppelung des ursprünglichen Rohölpreises feststellen. Es gilt also für p neu : p neu (x) = 3x t mit t [; ] Beschreiben Sie, wie sich der Faktor t auf den Verlauf der ursprünglichen Preis-/Absatzfunktion p und auf den in Teilaufgabe a ermittelten Definitionsbereich auswirkt. 0 f) Parallel zu den Ergebnissen der Marktuntersuchung erhält die Geschäftsführung aus der Abteilung,,Betriebliches Rechnungswesen die Information, dass die steigenden Rohölpreise zu steigenden Energiepreisen und damit auch zu einer Erhöhung der Gesamtkosten geführt haben. Die Erhöhung betrifft sowohl die von der Produktionsmenge unabhängigen Kosten, die Fixkosten, als auch die von der Produktionsmenge abhängigen Kosten, die variablen Kosten. Mit hinreichender Genauigkeit lässt sich auch hier eine neue Kostenfunktion K neu in Abhängigkeit vom Veränderungsfaktor des Rohölpreises, dem oben genannten Faktor t, angeben: K neu (x) = x x + t(70x ) = x x + 70tx t In der Geschäftsführung wird diskutiert, ob und in welcher Bandbreite sich der Faktor t auf die optimale Produktionsmenge auswirkt. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 7

35 Zeigen Sie, dass die optimale Produktionsmenge in Abhängigkeit von t steigen muss, und bestimmen Sie den Bereich (die Bandbreite), in dem sich die optimalen Produktionsmengen bewegen Modifizierte Aufgabe aus der Abiturprüfung 007 Anlage 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 7

36 Teilaufgabe a Erlösfunktion r Erlös = Produkt aus Preis und Menge. Hinweise und Tipps r Setzen Sie in die Gleichung E(x) = x p(x) die Funktion p(x) ein und lösen die Klammer auf, indem Sie ausmultiplizieren. Definitionsbereich r Zum Ermitteln des ökonomisch sinnvollen Definitionsbereiches müssen die Nullstellen der Erlösfunktion bestimmt werden. r Die Nullstellen können Sie auf verschiedene Arten bestimmen: r () Bestimmen des Maximums (Hochpunktes, Scheitelpunktes) über die quadratische Ergänzung oder durch Anwendung der Differenzialrechnung (E'(x) = 0). Der Scheitel einer Parabel liegt immer in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen, er ist das arithmetische Mittel der Nullstellen. Da E(x) eine nach unten geöffnete Parabel ist, kann man umgekehrt über den Scheitel die Nullstellen bestimmen. r () Notwendige Bedingung für die Nullstellenberechnung ist: E(x) = 0 r Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion E(x). Teilaufgabe b Extrema und Wendestelle r Notwendige Bedingung für die Existenz möglicher Extrema (Hoch- bzw. Tiefpunkte) ist, dass die erste Ableitung an der Stelle x E den Wert null hat. r Setzen Sie also K '(x) = 0 und ermitteln mögliche Extremstellen x E. r Hinreichende Bedingung für einen Hoch- bzw. Tiefpunkt ist: Wenn K ''(x E ) > 0 an der Stelle x E existiert ein Tiefpunkt. Wenn K ''(x E ) < 0 an der Stelle x E existiert ein Hochpunkt. r Die erste Ableitung ist eine quadratische Gleichung. Da K(x) keine Extrema besitzen soll, darf die quadratische Gleichung keine Lösung besitzen. Können Sie das zeigen? r Notwendige Bedingung für die Existenz eines Wendepunktes ist, dass die zweite Ableitung an dieser Stelle x w den Wert null hat. r Hinreichende Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass K '''(x w ) 0. r An der Stelle des Wendepunktes ändert sich der Anstieg des Graphen, danach kann der Graph steiler oder flacher verlaufen. Verlauf der Kostenfunktion r Betrachten Sie den Verlauf des Graphen der Kostenfunktion und interpretieren Sie die vorhandenen Ergebnisse (keine Extrema, aber einen Wendepunkt, Monotonie). 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 73

37 Teilaufgabe c Gewinnfunktion r Es gilt: G(x) = E(x) K(x) Gewinnmaximale Absatzmenge r Setzen Sie G'(x) = 0, um mögliche Extrema x E zu erhalten. Prüfen Sie, ob G''(x E ) < 0 ist. r Berechnen Sie G(x E ) und E(x E ). Gewinnzone (Gewinnschwelle und Gewinngrenze): r Zum Ermitteln der Gewinnzone müssen Sie die Nullstellen von G(x) näherungsweise bestimmen. r Die Erlösfunktion hat die Nullstellen x = 0 und x = 50. Das bedeutet, dass eine Nullstelle, die Gewinnschwelle, im Intervall [0; x E ] und die andere Nullstelle, die Gewinngrenze, im Intervall [x E ; 50] liegen muss. r Wählen Sie zur Bestimmung der Nullstellen von G(x) ein Näherungsverfahren. r Mögliche Näherungsverfahren sind: Halbierungsverfahren Newton-Verfahren Horner Schema Regula Falsi Teilaufgabe d Grafische Darstellung: r Stellen Sie die vier Graphen p, E, K und G in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dar. Als Einheiten wählen Sie LE = 0 ME auf der waagerechten Achse und LE = 000 GE auf der senkrechten Achse. r Sie können zum Zeichnen für jede Funktion jeweils eine Wertetabelle aufstellen. Da Sie aber nur die Graphen skizzieren sollen, reicht es aus, markante Punkte (Hochund Tiefpunkte, Wendepunkte, Nullstellen und Schnittpunkt mit der y-achse) der Funktionen und Symmetrien zu verwenden. r Der Graph der Preisfunktion p(x) ist eine Gerade. Zeichnen Sie die Gerade mithilfe des Anstiegs und des absoluten Gliedes 450. r Der Graph der Erlösfunktion E(x) ist eine nach unten geöffnete Parabel. Zum Skizzieren verwenden Sie den Scheitelpunkt sowie die beiden Nullstellen. r Der Graph der Kostenfunktion ist eine streng monoton steigende Kurve mit einem Wendepunkt. Der Graph beginnt beim Punkt ( ). r Der Graph der Gewinnfunktion G(x) hat ein Maximum und zwei Nullstellen im positiven Bereich der ME-Achse. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 74

38 Teilaufgabe e r Der Parameter t hat nur einen Einfluss auf das absolute Glied der Geradenfunktion. r Wählen Sie beispielsweise t = und zeichnen den Graphen dieser Funktion. Sie werden dann die Antwort finden. r Vergessen Sie nicht, Aussagen zur Veränderung des Definitionsbereiches zu machen. Teilaufgabe f r Bilden Sie die neuen Funktionen E neu (x), K neu (x) und G neu (x) = E neu (x) K neu (x). r Ermitteln Sie das neue Gewinnmaximum. Dazu setzen Sie G ' neu (x) = 0. r Die optimale Bandbreite erhalten Sie durch das Einsetzen von t = bzw. t = in das von t abhängige neue Gewinnmaximum. a) Erlösfunktion p(x) = 3x E(x) = x p(x) E(x) = x ( 3x + 450) E(x) = 3x + 450x Lösung Ökonomisch sinnvolle Definitionsmenge Zum Ermitteln der ökonomisch sinnvollen Definitionsmenge müssen die Nullstellen von E(x) berechnet werden: E(x) = 0 3x + 450x = 0 Ausklammern x( 3x + 450) = 0 x = 0 3x = 0 x = 50 Der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich liegt im Intervall [0; 50]. Alternative Lösung (): Scheitelpunkt der nach unten geöffneten Parabel bestimmen. Dies kann über die quadratische Ergänzung erfolgen oder Anwendung der Differenzialrechnung. E(x) = 3x + 450x : ( 3) E(x) = x 50x 3 E(x) = (x 50x + 75) by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 75

39 E(x) = (x 75) 5 65 ( 3) 3 E(x) = 3(x 75) Damit liegt das Maximum (der Hochpunkt) bei x = 75. Dass die Funktion eine Nullstelle bei x = 0 hat, kann man unmittelbar ablesen. Da der Scheitel einer Parabel symmetrisch zu den Nullstellen liegt, gilt für die Nullstellen der Funktion E(x): x = 0 = und x = = 50 Also liegt der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich im Intervall [0; 50]. Alternative Lösung (): E(x) = 3x + 450x E'(x) = 6x E''(x) = 6 Bedingungen für Maximum: E'(x) = 0 E''(x) < 0 6x = 0 + 6x 6x = 450 :6 x = 75 E''(75) = 6 < 0 Maximum bei x = 75 für die Nullstellen gilt: x = 75 75= 0 x = = 50 Also liegt der ökonomisch sinnvolle Definitionsbereich im Intervall [0; 50]. b) 3 9 K(x) = x x + 70x () Extremwert: Notwendige Bedingung K'(x) = 0 K'(x) = x 9x K'(x) = 0 x 9x + 70 = x 90x+ 700= 0 p, q-formel anwenden: x, = 45 ± x, = 45 ± 675 Da der Radikand negativ ist, existiert keine reelle Lösung. Somit hat K(x) keine Extremstellen. w. z. z. w. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 76

40 Nachweis, dass K(x) einen Wendepunkt besitzt. Notwendige Bedingung K''(x) = 0 hinreichende Bedingung K'''(x) 0 K''(x) = x 9 5 K'''(x) = 5 K''(x) = 0 x 9 = 0 5 xw = 45 Wendestelle mit Rechts-/ Linkskrümmung K'''(45) = 0 Es gibt einen Wendepunkt bei x 5 W = 45. Mit K(45) = 075 W(45 075) () K(x) ist eine ganzrationale Funktion, die streng monoton steigt (K'(x) als Steigungsfunktion ist für alle x positiv). Diese strenge Monotonie bedeutet ökonomisch: Mit steigender Produktion werden die Produktionskosten auch größer, was ökonomisch sinnvoll und notwendig ist. Am Wendepunkt mit seinem Krümmungsverhalten folgt: Mit zunehmender Produktion nimmt der Kostenzuwachs im Intervall [0; 45] ab, danach wird die Steigung von K (= Kostenzuwachs) wieder ständig größer. c) () Gewinnfunktion E(x) = 3x + 450x (siehe Teilaufgabe a ()) 3 9 K(x) = x x + 70x G(x) = E(x) K(x) 3 9 G(x) = 3x + 450x x x 70x G(x) = x + x + 80x () Gewinnmaximale Absatzmenge notwendige Bedingung G'(x) = 0 hinreichende Bedingung G''(x) < 0 G'(x) = x + 3x G''(x) = x by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 77

41 G'(x) = 0 x + 3x + 80 = 0 0 ( 0) x 30x 800= 0 x, = 5 ± x, = 5± 05 x, = 5± 45 x = 60 x = 30 unbrauchbar Prüfen, ob x = 60 ein Maximum ist. G''(60) = 60+ 3= 9< 0 Maximum 5 Die gewinnmaximale Absatzmenge beträgt 60 ME. Maximalgewinn und Verkaufserlös 3 3 G(60) = = Der Maximalgewinn beträgt GE. E(60) = = 6 00 Der maximale Verkaufserlös beträgt für 60 ME 6 00 GE. Gewinnzone (Gewinnschwelle und Gewinngrenze) Bedingung: E(x) = K(x) E(x) K(x) = 0 Mit E(x) K(x) = G(x) G(x) = 0, d. h.: Zum Ermitteln der Gewinnzone sind die Nullstellen von G(x) zu bestimmen. G(x) = x + x + 80x = 0 30 Die Nullstellen von E(x) sind x = 0 und x = 50 (Teilaufgabe a). Die gewinnmaximale Absatzmenge liegt bei x = 60. Damit muss eine Nullstelle von G(x) im Intervall [0; 60] und die andere im Intervall [60; 50] liegen. Näherungsweise Nullstellenberechnung mit Halbierungsverfahren 3 3 x + x + 80x = 0 ( 30) 30 x3 45x 5 400x = 0 a) x 0 [0; 60] Probieren mit x 0 = x 0 = by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 78

42 Die erste Nullstelle muss also im Intervall (30; 3) liegen. Mittelwert x m x 0 x 3 45x 5 400x x = 30,5 8,38 30,5 + 3 x = 30,75 475,73 30, x 3 = 30,875 89,877 30, ,875 x 4 = 30,85 4, , ,85 x 5 = 30,8438 3, , ,8438 x 6 = 30,88 59,543 30, ,88 x 7 = 30,8360 7,6346 x 30,8 b) x 0 [60; 50] Probieren mit x 0 = x 0 = x 0 = x 0 = x 0 = Die zweite Nullstelle muss also im Intervall (83; 84) liegen. Mittelwert x m x 0 x 3 45x 5 400x x = 83,5 468,375 83, x = 83,75 455,078 83, x 3 = 83,875 56,3 83, ,875 x 4 = 83,85 5,70 83, ,85 x 5 = 83,78 03,63 83, ,78 x 6 = 83, ,73 83, ,797 x 7 = 83,8048 0,3 83, ,8 x 8 = 83,805 8,696 x 83,8 Für die Praxis bedeutet dieses Ergebnis: Die Gewinnzone liegt im Intervall (30; 84) bzw. [3; 83]. Somit liegt die Gewinnschwelle bei 3 ME und die Gewinngrenze bei 83 ME. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 79

43 Alternative Lösung: Näherungsweise Nullstellenberechnung mit dem Newton-Verfahren a) x 0 [0; 60] Probieren mit G(30) 50 G(3) 8,46667 Die erste Nullstelle muss also im Intervall (30; 3) liegen Startwert x 0 = G(x) = x + x + 80x G'(x) = x + 3x G(x n ) xn + = xn G'(x ) n G(x n ) n x n G(x n ) G'(x n ) G'(x ) n x n ,833 30,833 30,833,0 77,43 0, ,839 30,839 0, ,43 0, ,839 x 30,8 b) x 0 [60; 50] Probieren mit G(75) 875 G(80) 933,33 G(85) 333,33 Die zweite Nullstelle muss also im Intervall (80; 85) liegen. G(x n ) n x n G(x n ) G'(x n ) G'(x ) n x n , ,44 84,4 84,4 9, , ,43 83,8 83,8, ,9954 0, , ,806 0, ,9656 0, ,806 x 83,8 Für die Praxis bedeutet dieses Ergebnis: Die Gewinnzone liegt im Intervall (30; 84) bzw. [3; 83]. Damit liegt die Gewinnschwelle bei 3 ME und die Gewinngrenze bei 83 ME. 0 by Stark Verlagsgesellschaft mbh & Co. KG 80