Übungsserie 7: Anwendung der Differentialrechnung

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1 HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik II Differentialrechnung Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 7: Anwendung der Differentialrechnung 1. Zu den folgenden Funktionen gebe man das Differential dy und die Differenz der Funktionswerte y = f(x+dx) f(x) an, die an der Stelle x = x 0 zum angegebenen Zuwachs dx der unabhängigen Variablen x gehören! (Erklären Sie die unterschiedlichen Abweichungen!) (a) y = f(x) = 3(x 1) 2, x 0 = 1; dx = 1, dx = 2 (b) y = f(x) = 2 x 7, x 0 = 25; dx = 1, dx = 2 (c) y = f(x) = 2 x 7, x 0 = 0.25; dx = 1, dx = 2 2. Die Länge eines zwischen zwei gleich hohen Masten gespannten Starkstromkabels beträgt ) l = d (1 + 8h2, 3d 2 wobei d der Abstand zwischen den Masten und h die maximale Durchhängung des Kabels (maximaler Abstand des Kabels von der Verbindungsgeraden zwischen den Befestigungspunkten des Kabels) sind. Es sei d = 100m und h = 3m. Bestimmen Sie mit Hilfe des Differentials näherungsweise, um wie viel sich die Durchhängung vergrößert, wenn sich die Länge des Kabels durch Wärmeausdehnung um 1% vergrößert! 3. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte: x 2 8x + 12 (a) lim x 2 x x 1 (b) lim x 0 2x (c) lim (d) lim x m 2x n 3x m, m, n N, a > 0, m N eax (ln x) 2 (e) lim x 3 x 1 (f) lim x 1 5 x 1 a x 2 b x 2 (g) lim x 2 x 2 (h) lim x +0 xx (i) lim x 1 1 x x 1 (j) ( lim x ) x 2 x + 1 (k) lim x 0 ( 1 ln(1 + x) 1 x (l) lim x 2 x 2 x 12 (x 2) 2 )

2 4. Die Ausgaben für Wohnungsmiete W [GE] in Abhängigkeit vom Haushaltseinkommen Y [GE] seien gegeben durch die Funktion W (Y ) = , 05Y, wobei Y > 500. (a) Ermitteln Sie die Einkommenselastizität der Mietausgaben! (b) Um wie viel werden die Mietausgaben statistisch steigen (in %), wenn sich das Einkommen, von einem Einkommensniveau Y 0 = 5000 (Y 0 = 2000) ausgehend, um 5% erhöht? 5. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach der Kostenfunktion K(x) = 0, 08x 3 2x x + 300, x 0, wobei der Output x in ME x und die Kosten K in GE angegeben sind. (a) Ermitteln Sie mit Hilfe des Differentials, wie sich, ausgehend von einem Outputniveau x 0 = 10 eine Erhöhung des Outputs um 2 ME x (eine Senkung des Outputs um 3 ME x ) auf die Kosten auswirkt! (b) Wie hoch ist die Elastizität der Kosten bzgl. des Outputs an der Stelle x 0 = 10? (c) Wie hoch ist die Elastizität des Outputs bzgl. der Kosten an der Stelle x 0 = 10? (d) Bei welchem Output würde eine Output-Erhöhung um 1% eine Kostensteigerung von 3% bewirken? (e) Bei welchem Output sind die Stückkosten minimal? Vergleichen Sie die minimalen Stückkosten mit dem Wert der Grenzkostenfunktion an dieser Stelle! Wie ist dieser Wert der minimalen Stückkosten interpretierbar? 6. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion [Kosten in e ] K(x) = 2 x 3 30 x x , x 0 und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ] die in der Absatz-Preis-Funktion angegebene Menge x(p) = p 2 in ME x absetzen. (a) Bestimmen Sie für den Fall, dass das Unternehmen seine Monopolstellung verliert, das Betriebsoptimum, d.h. die minimalen stückbezogenen Kosten. Was gibt dieser Wert an?

3 (b) Bestimmen Sie, welchen Preis das monopolistische Unternehmen fordern muss, um den maximalen Gewinn zu erzielen? (c) Wie groß ist die Elastizität des Gewinns bezüglich des Outputs bei einem Output von x = 20 ME? Interpretieren Sie diese Größe ökonomisch! 7. Ein monopolistisches 1-Produkt-Unternehmen arbeite nach der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion Die Preis-Absatz-Funktion sei K(x) = 0.05x 5 x x 3 180x x p(x) = x und der ökonomische Definitionsbereich beider Funktionen sei Dök = [0; 12] (a) Bestimmen Sie die Fixkosten und die Funktionen für die Stückkosten und für die variablen Stückkosten! (b) Von welchem Output x S an sind die Kosten progressiv steigend? (Verwenden Sie gegebenenfalls das NEWTON-Verfahren.) (c) Bestimmen Sie die Elastizität der Stückkosten bzgl. des Preises bei einem Preis von p = 300! Was sagt dieser Wert aus? 8. Ein 1-Produkt-Unternehmen produziert nach einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion [Kosten in e ] K(x) = 2x 3 90x x (a) Das Unternehmen muss sich eine Marktstrategie erarbeiten und auf die Entwicklung des Marktpreises entsprechend reagieren. Dafür sind die folgenden Größen zu berechnen: (a1) Bestimmen Sie, von welchem Output x 0 an die Kosten als Funktion des Outputs progressiv steigen! (a2) Bestimmen Sie das Betriebsoptimum, d.h. die minimalen Stückkosten! Welchen Preis muss das Unternehmen fordern, um die gesamten Produktionskosten decken zu können? (a3) Bestimmen Sie das Betriebsminimum, d.h. die minimalen stückbezogenen variablen Kosten! Welchen Preis muss das Unternehmen fordern, um wenigstens die laufenden Kosten decken zu können?

4 (b) Das Unternehmen hat alle Konkurrenten vom Markt verdrängt, sei nun ein monopolistisches Unternehmen und kann in Abhängigkeit vom Preis p [in e ] die in der Absatz-Preis-Funktion angegebene Menge in ME x absetzen. x(p) = 25 0, 0125 p (b1) Bestimmen Sie den erzielbaren Preis p als Funktion des Absatzes x sowie die ökonomischen Definitionsbereiche dieser Funktion und der Absatz- Preis-Funktion! (b2) Bei welchem Preis und welchem zugehörigen Output erzielt das Unternehmen den maximalen Gewinn bzw. max. Deckungsbeitrag und wie groß sind diese? (b3) Bestimmen Sie näherungsweise, welchen Preis das Unternehmen mindestens fordern muss, um mit Gewinn arbeiten zu können? Lösungen

5 1. (a) für dx = 1 gilt dy = 0, y = 3; für dx = 2 gilt dy = 0, y = 12 (b) für dx = 1 gilt dy = 21875, y = ; für dx = 2 gilt dy = 43750, y = (c) für dx = 1 gilt dy = , y = ; für dx = 2 gilt dy = , y = dh = 3d 16h dl = 6, 25 m 3. (a) 4 (b) 5 6 (c) 0, n < m 2 3, n = m, n > m (e) 0 (f) 5 3 (g) ln a ln b (h) 1 (i) 1 e (j) 1 2 (k) 1 2 (l) (d) 0 4. (a) ε W,Y = Y Y +8000, (b) 1.923% (1%) 5. (a) dk = K (10) dx = +68 bei dx = 2; bzw. dk = K (10) dx = 102 bei dx = 3 (b) ε K,x = 0.5;, (c) ε x,k = 2, (d) x = (e) k(x) = 0.08x 2 2x x, minimale Stückkosten bei x min = Es gilt k(x min ) = K (x min ) = (a) x = k min = (langfristiger Mindestpreis) (b) p = ; G max = (c) ε G,x = ; Um den Gewinn um 1% zu steigern, müsste der Output um 0.2% reduziert werden. 7. (a) K f = 300; k(x) = 1 20 x4 x x 2 180x x ; k v (x) = 1 20 x4 x x 2 180x (b) x s = (c) ε k,p = 2.289; Bei Preisanstieg von 1% wachsen Stückkosten um ca. 2.3%. 8. (a1) x 0 = 15 ME (b1) p = x, D x(p) = [0; 2000], D p(x) = [0; 25] (a2) x = ME, p e/me (a3) x = 22.5 ME, p e/me (b2) p = e/me, G max = e (b3) mindestens e/me (aber höchstens e/me)