Mathematik II. Kapitel III: Funktionen mit mehreren Variablen. 13. Mai 2015
|
|
- Maria Weiss
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 13. Mai 2015
2 f(x,y) = sin(x 2 +y 2 )
3 f(x,y) = sin x 2 +y 2 x2 +y 2 +1
4 f(x,y) = x y x 2 +y 2
5 f(x,y) = x 2 y
6 Niveaulinien von f(x,y) = 4 x 2 y 2
7 f(x,y) = 1 x2 y 2 x
8 f(x,y) = x 2 +y 2
9 f(x,y) = x 2 +y 2
10 f(x,y) = x y x 2 +y 2
11 f(x,y) = x y x 2 +y 2
12 f(x,y) = x 2 y,a = ( 2,4)
13 Der Gradient, AB 10 Gradient von f an der Stelle x = a: f(a) = grad f(a) := ( f x 1 (a),..., f x n (a)) T Eigenschaften grad f(a) zeigt in Richtung des größten Anstiegs der Funktion f im Punkt x = a. Sei K eine Höhenlinie von f und a ein beliebiger Punkt auf K. Dann gilt: grad f(a) steht senkrecht auf dem Tangentenrichtungsvektor an K im Punkt a.
14 f(x,y) = 4 x 2 y 2, a = (1, 1)
15 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Sei x = (x 1,...,x n ),dx = (dx 1,...,dx n ),a = (a 1,...,a n ) Fehlerrechnung exakte Werte: x = (x 1,...,x n ),f(x) = f(x 1,...,x n ) Näherungswerte: a = (a 1,...,a n ),f(a) Abweichungen: x = dx = x a, f(a,dx) = f(x) f(a) f(a,dx) df(a,dx) = n f x (a)dx i für x nahe a i=1 Lineare Approximation von f(x) für x nahe a bekannt: f(a), f x i (a) gesucht: f(x) mit x = a+dx f(x) = f(a)+ f(a,dx) f(a)+df(a,dx) = f(a)+ n f x (a)(x i a i ) i=1
16 Tangentialebene: f(x,y) = 4 x 2 y 2,(x,y) = (1, 1 2 )
17 Differential, Fehlerrechnung, Approximation, AB 11 Tangentialebene (n = 2,a = (x 0,y 0 )) z = f(x 0,y 0 )+f x (x 0,y 0 )(x x 0 )+f y (x 0,y 0 )(y y 0 )
18 Tangentialebene: f(x,y) = 4 x 2 y 2,(x,y) = (1, 1 2 )
19 partielle Elastizität, AB 8 partielle Elastizität von y(x 1,...,x n ) bzgl x i : ε y,xi = analog zum vollständigen Differential gilt die Beziehung y x i y x i Für Cobb-Douglas-Funktionen dy y = ε y,x 1 dx 1 x ε y,xn dx n x n, y = f(x) = C x α 1 1 x α xn αn gilt ε y,xi = α i i = 1,...,n
20 Kreuzpreiselastizität, AB 8 Gegeben: n konkurrierende Produkte: P 1,...,P n Absatz des Produktes P j in Abhängigkeit von den Preisen p 1,...,p n : x j (p 1,...,p n ),j = 1,...,n Kreuzpreislastizität: ε xj,p k = x j p k x j p k - Elastizität des Absatzes x j des Produktes P j bzgl. des Preises p k des Produktes P k
21 Beispiel Ein Unternehmen bietet zwei ähnliche Produkte auf dem Markt an. Bei beiden Produkten ist das Unternehmen der einzige Anbieter, so daß die Absatzmengen x 1 und x 2 (in ME) im wesentlichen von den beiden eigenen konkurrierenden Preisen p 1 und p 2 (ine) abhängen. Dabei gilt: x 1 (p 1,p 2 ) = 110 7p 1 +p 2 x 2 (p 1,p 2 ) = 150+2p 1 9p 2.
22 Extremwerte, AB 12 Ein Punkt a D heißt lokale Maximalstelle (bzw. lokale Minimalstelle) von f auf D, falls es eine ǫ-umgebung U ǫ (a) := {x R n x a < ǫ} gibt, so daß gilt: f(x) f(a) (bzw. f(x) f(a)) ( ) für alle D U ǫ (a). Gilt die Ungleichung ( ) für alle x D, so heißt a eine globale Maximalstelle (bzw. globale Minimalstelle) von f auf D f(a) heißt lokales bzw. globales Maximum bzw. Minimum von f auf D, falls a D eine lokale bzw. globale Maximalstelle bzw Minimalstelle ist. Extremwertstellen:=Maximal- oder Minimalstellen
23 Lokale Extremwertstellen, AB 12 (1) Notwendige Bedingung a lokale Extremwertstelle von f auf D grad f(a) = 0 (2) Hinreichende Bedingung, Spezialfall n = 2: (a) det(h f (a)) > 0 und f xx (a) > 0 a ist lokale Minimalstelle. (b) det(h f (a)) > 0 und f xx (a) < 0 a ist lokale Maximalstelle. (c) det(h f (a)) < 0 a ist Sattelpunkt von f (d) det(h f (a)) = 0 keine Aussage möglich
24 Beispiel: Serie 10, Aufgabe 2 In einem 2-Produkt-Unternehmen gelte die folgende Kostenfunktion K(x 1,x 2 ) = x 2 1 +x 1x 2 +x mit x i > 0 für i = 1,2, sowie die Preis-Absatz-Funktionen p 1 = 460 2x 1, p 2 = 1150 x 2. Ermitteln Sie die gewinnmaximalen Marktpreise und Absatzmengen!
25 f(x,y) = x +y
26 f(x,y) = x +y, xy = 9
27 f(x,y) = x 2 y 2
28 f(x,y) = x 2 y 2, x 2 +y 2 = 1
29 Beispiel Milly Vanilly hat eine Eisdiele eröffnet und bietet unter anderem Schokoeis und Vanilleeis in Kugeln an. Da sie weit und breit der einzige Eisverkäufer ist, agiert sie hier als Monopolist, wobei sie die Erfahrung macht, daß für die Mengen x 1 (Schokoeis in Kugeln pro Tag) und x 2 (Vanilleeis in Kugeln pro Tag) und die dazugehörigen Preise p 1 und p 2 in Cent pro Kugel die folgenden Preis-Absatz-Funktionen gelten: x 1 (p 1,p 2 ) = 460 8p 1 +2p 2 x 2 (p 1,p 2 ) = 520+3p 1 10p 2 (c) Milly Vanilly erfährt, daß der Durchschnittspreis pro Kugel Eis in anderen Gegenden 50 Cent pro Kugel beträgt, d.h. für sie p 1 +p 2 2 = 50. Für welche Preise p 1 und p 2 (gerundet auf Cent) würde Milly Vanilly unter dieser Bedingung den maximalen Erlös erzielen? Lösen Sie das Problem mit Hilfe der Lagrange-Methode.
30
31
32 Serie 11, Aufgabe 3 Ein Pharmaunternehmen stellt ein Schlafmittel her, dessen Wirkung auf der Kombination zweier Wirkstoffe A und B beruht, die in je einem Dragee in den Mengen a und b [in mg] enthalten sind. Die Kosten für die Wirkstoffe, die in unterschiedlichen Rohsubstanzen vorkommen, sind mit p a = 20e/mg und p b = 10 e/mg angegeben. Die Wirksamkeit des Schlafmittels, gemessen in durchschnittlich bewirkten Stunden Schlaf je Dragee wird durch die Funktion W(a,b) = a3 b beschrieben. (a) In welchen Dosierungen sind die beiden Wirkstoffe je Dragee einzusetzen, um minimale Materialkosten zu erhalten, wenn eine Wirksamkeit von 8 Stunden je Dragee angestrebt wird?
33 Serie 11, Aufgabe 3 (b) Wie hoch sind die unter (a) berechneten minimalen Materialkosten je Dragee? Um wie viel könnten diese näherungsweise gesenkt werden, wenn nur eine Wirksamkeit von 6 Stunden angestrebt würde? (c) Um wie viel könnte die Wirksamkeit des Medikaments maximal gesteigert werden, wenn man gegenüber dem Kostenminimum den Materialeinsatz je Dragee um 1 e erhöht?
34 Serie 11, Aufgabe 3
35 implizite Ableitung f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3 +xy 7y +3x+4 = 0,(x,y) = (3, 1)
36 implizite Ableitung f(x,y) = x 3 +x 2 y 2 y 3 +xy 7y +3x+4 = 0,(x,y) = (3, 1)
37 Beispiel: Regression x y
38 Beispiel: lineare Regression x y y = 0.857x Fehlerquadratsumme:
39 Beispiel: x-ln y Regression x y ln y lny = x y = e x, Fehlerquadratsumme:
Mathematik II. Kapitel III: Funktionen mit mehreren Variablen. 13. Mai 2015
13. Mai 2015 f(x,y) = sin(x 2 +y 2 ) f(x,y) = sin x 2 +y 2 x2 +y 2 +1 f(x,y) = x y x 2 +y 2 f(x,y) = x 2 y Niveaulinien von f(x,y) = 4 x 2 y 2 f(x,y) = 1 x2 y 2 x f(x,y) = x 2 +y 2 f(x,y) = x 2 +y 2 f(x,y)
MehrÜbungsserie 11: bedingte Extremwerte
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik II Funktionen mit mehreren Variablen Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie 11: bedingte Extremwerte
Mehr2 Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation
Satz 2. (Richtungsableitung) Für jede auf der offenen Menge D R n total differenzierbaren Funktion f (insbesondere für f C 1 (D, R) und für jeden Vektor v R n, v 0, gilt: n v f(x) = f(x) v = f xi (x)v
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Lösungen zum Hausaufgabenblatt Lösungshinweise ohne Garnatie auf Fehlerfreiheit c 5. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale: a x 4
MehrTechnische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel
Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel. 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de Übungen QM I (Wirtschaftsmathematik) Extremwerte ohne Nebenbedingungen
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 3 Anwendungen der Differentialrechnung 3.1 Lokale Maxima und Minima Definition 16: Sei f : D R eine Funktion von n Veränderlichen. Ein Punkt x heißt lokale oder relative Maximalstelle bzw. Minimalstelle
Mehra n := 5n4 + 2n 2 2n n + 1. a n := n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n c n := ( 1) n+1 6n2 + 13n 5n 3 + 7
Folgen und Reihen. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 2. Untersuchen Sie folgende Folgen auf Monotonie, Beschränktheit, Häufungspunkte und Konvergenz,
MehrKapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen
Kapitel 6 Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen Inhaltsverzeichnis FUNKTIONEN IN MEHREREN VARIABLEN... 3 BEISPIELE UND DARSTELLUNGEN... 3 GRENZWERT UND STETIGKEIT (ABSTANDSBEGRIFF)...
MehrExtrema multivariater Funktionen
Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater
Mehr3.2 Implizite Funktionen
3.2 Implizite Funktionen Funktionen können explizit als y = f(x 1, x 2,..., x n ) oder implizit als F(x 1, x 2,..., x n ;y) = 0 gegeben sein. Offensichtlich kann man die explizite Form immer in die implizite
MehrFunktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen
Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Herbstsemester 8 Funktionen in zwei (und mehreren) Veränderlichen Inhalt: 1. Definition und Beispiele.
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 10 Funktionen mit mehreren Variablen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
10 Funktionen mit mehreren Variablen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Funktionen mehrerer Variabler Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Funktionen mehrerer Variabler Übersicht Funktionsbegriff 1 Funktionsbegriff Beispiele Darstellung Schnitte 2 Partielle Ableitungen
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
MehrDifferenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x
MehrVorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Niveaumengen und Gradient
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Niveaumengen und Gradient Wir betrachten differenzierbare reellwertige Funktionen f : R n G R, G offen Zur Vereinfachung
Mehr2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0!
Klausur 25.02.2004 Aufgabe 5 Gegeben ist die Funktion f(x) = 2004, x 0 (e 2x + x) x 1, x > 0. Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit an der Stelle x 0 = 0! Klausur 06.08.2003 Aufgabe 5 Gegeben ist
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 9
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x
MehrKapitel 7. Differentialrechnung. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 56 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f x = f (x 0 + x) f (x 0 ) x = f (x)
MehrFunktionen in mehreren Variablen Lösungen
Funktionen in mehreren Variablen en Jonas Funke 5.08.008 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation 1 Stetigkeit und partielle Dierentiation 1.1 Aufgabe Gegeben ist die Funktion: { (x + y 1 ) sin( ) (x,
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Maxima und Minima einer Funktion................. 141 7.2 Mittelwertsatz............................ 144 7.3 Kurvendiskussion..........................
MehrHTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt. Mathematik II für Bauingenieure. (f) 4 sin x cos 5 x dx. 3 x e x2 dx (i) e 2x 1 dx.
HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Mathematik II Mathematik II für Bauingenieure Wiederholungsaufgaben zur Prüfungsklausur im Juli 2007 1 Integralrechnung Aufgabe 1 : Berechnen Sie die folgenden
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, 15.7.2014 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 gesamt erreichbare P. 10
MehrDie Tangentialebene. {(x, y, z) z = f(x 0, y 0 )+ f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+ f. y (x 0, y 0 )(y y 0 )}
Die Tangentialebene Der Graph der linearen Approximation ist Tangentialebene an den Graph der Funktion. In Symbolen: Es sei D R 2. Es sei f : D R, (x, y) f(x, y) differenzierbar. Dann ist {(x, y, z) z
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y = f(x). Eine Funktion f 1 :
MehrMathematik 3 für Informatik
Gunter Ochs Wintersemester 5/6 Mathematik 3 für Informatik Präsenzaufgaen zum 8und 9 Lösungshinweise (onhe Garantie auf Fehlerfreiheit Sei f : D R mit D {(x, y R : x, y > } und f(x, y x sin(x y + xy (a
MehrInhaltsverzeichnis. Universität Basel 7 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden. Mathematik 1
Universität Basel 7 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Produktionsfunktionen Inhaltsverzeichnis 1 Homogene Funktionen 2 1.1 Definition und
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Bauingenieure am 20.07.2017 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 gesamt erreichbare P.
MehrExtrema von Funktionen mit zwei Variablen
Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser
MehrKlausur Mathematik II
Technische Universität Dresden. Juli 8 Institut für Numerische Mathematik Prof. Dr. G. Matthies, Dr. M. Herrich Klausur Mathematik II Modul Dierentialgleichungen und Dierentialrechnung für Funktionen mehrerer
Mehr8 Blockbild und Hohenlinien
Mathematik fur Ingenieure Institut fur Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik Dr. Dirk Windelberg Universitat Hannover Stand: 18. August 008 http://www.iazd.uni-hannover.de/windelberg/teach/ing
MehrExtremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
MehrKonvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 13. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, 2.7.2013 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 5 6 gesamt erreichbare P. 17 7
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2016): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2015, Thema 1, Aufgabe 4) Gegeben sei das Dreieck und die Funktion f : R mit Bestimmen Sie f(
MehrDer metrische Raum (X, d) ist gegeben. Zeigen Sie, dass auch
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 07 Institut für Mathematik Stand: 3. Juli 007 Ferus / Garcke Lösungsskizzen zur Klausur vom 6.07.07 Analysis II. Aufgabe (5 Punkte Der metrische Raum (X, d ist gegeben.
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure,
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure, 06.07.2015 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare
MehrTeil 6. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 95 96 6.1 Topologie von Mengen Umgebung ε-umgebung eines Punktes x R n : B ε (x) = {y : y x < ε} Umgebung U von x: Menge, die eine ε-umgebung von x enthält
Mehr1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Übungsaufgaben zu Kapitel. Übungsaufgaben zu Abschnitt... Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen ( a k ) k und ( b k ) k auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert:
MehrSerie 3. z = f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 z 2 = 9 (x 2) 2 (y 3) 2, z 0 9 = (x 2) 2 + (y 3) 2 + z 2, z 0.
Analysis D-BAUG Dr Cornelia Busch FS 2016 Serie 3 1 a) Zeigen Sie, dass der Graph von f(x, y) = 9 (x 2) 2 (y 3) 2 eine Halbkugel beschreibt und bestimmen Sie ihren Radius und ihr Zentrum z = f(x, y) =
MehrÜbersicht. 1. Motivation. 2. Grundlagen
Übersicht 1. Motivation 2. Grundlagen 3. Analysis 3.1 Folgen, Reihen, Zinsen 3.2 Funktionen 3.3 Differentialrechnung 3.4 Extremwertbestimmung 3.5 Nichtlineare Gleichungen 3.6 Funktionen mehrerer Variabler
MehrMathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen
N.Mahnke Mathematik II: Übungsblatt 03 : Lösungen Verständnisfragen 1. Was bestimmt die erste Ableitung einer Funktion f : D R R im Punkt x 0 D? Die erste Ableitung einer Funktion bestimmt deren Steigung
MehrMultivariate Analysis
Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle
MehrFunktionen mehrerer Veränderlicher
Funktionen mehrerer Veränderlicher Betrachtet werden Funktionen f : D R mit Denitionsbereich D R n und Wertebereich R, d. h. man hat die Funktionsgleichung y = f (x) = f (x, x 2,..., x n ) Beispiele: f
MehrSerie 4: Gradient und Linearisierung
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 5 Dr. Ana Cannas Serie 4: Gradient und Linearisierung Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 4 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 7./9. März.. Wir betrachten die
MehrMusterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II. am , Zeit: 120 Minuten
Musterlösung zur Klausur zur Vorlesung Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler II am 5.8.25, Zeit: 2 Minuten Aufgabe (3 Punkte Eine Bakterienkultur hat eine stetige Wachstumsrate von % pro Stunde. Wie
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrHöhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung
TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen
Mehr10 Extremwerte mit Nebenbedingungen
10 Extremwerte mit Nebenbedingungen 49 10 Extremwerte mit Nebenbedingungen Wir betrachten nun Extremwertaufgaben, bei denen nach dem Extremwert einer fx 1,, x n gesucht wird, aber die Menge der zulässigen
MehrKapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen
Kapitel 6. Differenzialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen 6.1 Funktionen von mehreren Variablen Eine Abbildung f : D R, D R n, ordnet jedem n-tupel x = (x 1, x 2,...,x n ) D (eindeutig) eine
MehrAufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung
Aufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung Mehrdimensionale Analysis Stetigkeit. Man bestimme den natürlichen Definitionsbereich D f der folgenden Funktionen f: a) f(x, y) = ln(x y ) b) f(x, y)
MehrWirtschaftsmathematik Formelsammlung
Wirtschaftsmathematik Formelsammlung Binomische Formeln Stand März 2019 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) (a b) = a 2 b 2 Fakultät (Faktorielle) n! = 1 2 3 4 (n 1) n Intervalle
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 8. Funktionen von mehreren Variablen Kapitel 8.3 Anwendungen der partiellen Differentiation (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
MehrInverse und implizite Funktionen
Kapitel 8 Inverse und implizite Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 8 Inverse und implizite Funktionen 1 / 21 Inverse Funktion Sei f : D f R n W f R m, x y f(x). Eine Funktion f 1 : W
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Übungsaufgaben Serie 5: Folgen Funktionen Dierentialrechnung Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 206/207 Bestimmen Sie die Grenzwerte der nachstehenden
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
MehrAnwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
MehrWirtschaftsmathematik II
WMS: Wirtschaftsmathematik 2 :: WS 2009/10 Wirtschaftsmathematik II Reinhard Ullrich http://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich Basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic October 11, 2009 1 Funktionen
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.3 Anwendungen (Teil 1): Kettenregel und Linearisierung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2
MehrDifferentialrechnung
Kapitel 7 Differentialrechnung Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 7 Differentialrechnung 1 / 75 Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient f = f ( 0 + ) f ( 0 ) = f
MehrDifferentialrechnung. Kapitel 7. Differenzenquotient. Graphische Interpretation des Differentialquotienten. Differentialquotient
Differenzenquotient Sei f : R R eine Funktion. Der Quotient Kapitel 7 Differentialrechnung f = f 0 + f 0 = f 0 0 heißt Differenzenquotient an der Stelle 0., Sekante 0, f 0 f 0 Josef Leydold Auffrischungskurs
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Differential und Integralrechnung 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2013): Differential und Integralrechnung 7 7.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 4) Sei f : R 2 R definiert durch Untersuchen Sie f auf lokale Extrema.
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrMehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht
Mehrdimensionale Differentialrechnung Übersicht Partielle und Totale Differenzierbarkeit Man kann sich mehrdimensionale Funktionen am Besten für den Fall f : R 2 M R vorstellen Dann lässt sich der Graph
MehrKlausur Mathematik I
Klausur Mathematik I E-Techniker/Mechatroniker/Informatiker/W-Ingenieure). März 007 Hans-Georg Rück) Aufgabe 6 Punkte): a) Berechnen Sie alle komplexen Zahlen z mit der Eigenschaft z z = und z ) z ) =.
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am 17.07.2017 B Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare
MehrMathematik II Lösung 6. Lösung zu Serie 6
Lösung zu Serie 6. a) In einem kritischen Punkt (x, ) von f gelten f x (x, ) x + und f (x, ) x, also x. Ferner gelten f xx (x, ) f (x, ) und f x (x, ), insbesondere also f xx (, ) < und f xx (, )f (, )
MehrOutline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Michael Karow Thema: Satz von Taylor Die Taylor-Entwicklung I Satz von Taylor. Sei f : R D R an der Stelle x n-mal differenzierbar. Dann gilt für x D, n f (k) (x )
MehrGottwald, Künzer, Ritter Wintersemester 2018/19 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Test 2
Name: Gottwald, Künzer, Ritter Wintersemester 28/9 Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Test 2 Bearbeitungszeit: 6 Minuten. Erlaubte Hilfsmittel: 4 eigenhändig handgeschriebene Seiten DIN A4. Bewertung:
MehrKlausur Mathematik 2
Mathematik für Ökonomen WS 2009/10 Campus Duisburg U. Herkenrath/H. Hoch, Fachbereich Mathematik Klausur Mathematik 2 09. Febr. 2010, 16:00 18:00 Uhr (120 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib-
MehrÜbungen zur Vorlesung Mathematik im Querschnitt Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 06/7 Blatt 4 5..06 Übungen zur Vorlesung Mathematik im Querschnitt Lösungsvorschlag 3. Die gegebene Polynomfunktion f : R R, f(x, y) =
Mehr3 Anwendungen der Differentialrechnung. (x 1, x 2,..., x n 1, x n ) f xn (x 1, x 2,..., x n 1, x n ), 1 i n 1. y + cos z
R Es sei f : R n D R eine einmal stetig differenzierbare Funktion, für die in einer Umgebung eines Punkte a = a 1, a,, a n D gilt: fa 1, a,, a n = 0, f xn a 1, a,, a n 0 Dann gibt es eines Umgebung U des
MehrMathematik 2 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar
MehrLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN. 12. Übung/Lösung Mathematik für Studierende der Biologie
LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITÄT MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR BIOLOGIE Prof. Andreas Herz, Dr. Stefan Häusler email: haeusler@biologie.uni-muenchen.de Department Biologie II Telefon: 89-8-748 Großhadernerstr. Fax:
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 5. x 1 2x 3 = lim 6x
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 07 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 5. MC-Aufgaben Online-Abgabe. Durch zweifache Anwendung der Regel von Bernoulli-de l Hôpital folgt Stimmt diese Überlegung? lim x x 3 +
MehrFunktionen mehrerer Variabler
Inhaltsverzeichnis 8 Funktionen mehrerer Variabler 8. Einführende Definitionen und Bemerkungen....................... 8. Graphische Darstellungsmöglichkeiten.......................... 8. Grenzwert und
Mehr16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN
16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN 1 Reelle Funktionen auf dem R 2 Wir betrachten Funktionen f(x 1, x 2 ) von zwei reellen Variablen x 1, x 2, z.b. f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2, g(x 1, x 2 ) = x 2 1
Mehr3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n
3. Approximation von Funktionen und Extremwertprobleme im R n Wie in D ist es wichtig Funktionen mit mehreren Variablen durch Polynome lokal approximieren zu können. Polynome lassen sich im Gegensatz zu
Mehr3. Funktionen mehrerer Veränderlicher
3. Funktionen mehrerer Veränderlicher 3.1 Definition Nov 5 16:37 Nov 9 14:27 Prof. Dr. B. Grabowski 1 Nov 9 14:30 3 D Plotter https://netmath.vcrp.de/downloads/systeme/sage/funktionsplotter3d.html Nov
MehrKlausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A
Klausur, Mathematik, Oktober 2012, Lösungen, A 1 Klausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A Die Klausureinsicht ist Do, 8.11.2012 um 18:00 in MZG 8.136. Die Klausur ist mit 30 Punkten bestanden. Falls Sie
MehrWirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2014/15 Hochschule Augsburg : Gliederung 1 Grundlegende 2 Grundlegende 3 Aussagenlogik 4 Lineare Algebra
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Übungsblatt 2 Wichtige Formeln aus der Vorlesung: Basisaufgaben Beispiel 1: 1 () grad () = 2 (). () () = ( 0 ) + grad ( 0 ) ( 0 )+
MehrMathematik für Betriebswirte II (Analysis) 1. Klausur Sommersemester
Mathematik für Betriebswirte II (Analysis). Klausur Sommersemester 04 5.07.04 BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN Nachname:................................................................... Vorname:....................................................................
MehrKarlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang. Sommersemester
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Andreas Müller-Rettkowski Dr. Vu Hoang Sommersemester 03 6.06.03 Höhere Mathematik II für die Fachrichtungen Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrPrüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am
HTWD, Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Prüfungsklausur Mathematik II für Wirtschaftsingenieure am 17.07.2017 A Name, Vorname Matr. Nr. Sem. gr. Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 gesamt erreichbare
MehrWirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = 2 3... n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische
MehrTechnische Universität Berlin
Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS /5 G. Bärwol, A. Gündel-vom-Hofe..5 Februar Klausur Analysis II für Ingenieurswissenschaften Lösungsskizze. Aufgabe 6Punkte Bestimmen
MehrStatistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik
Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017 Gliederung 1 : Einführung 2 Differenzieren 2 3 Deskriptive 4 Wahrscheinlichkeitstheorie
Mehra n := ( 1) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 10n + 1. a n := 1 3 + 1 2n 5n 2 n 2 + 7n + 8 b n := ( 1) n
Folgen und Reihen. Beweisen Sie die Beschränktheit der Folge (a n ) n N mit 2. Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (a n ) n N mit a n := ( ) n 3n2 + 5 2n 2. a n := 5n4 + 2n 2 2n 3 + 3 n +. 4 3. Untersuchen
MehrKlausur Mathematik 2
Mathematik für Ökonomen WS 215/16 Campus Duisburg PD Dr. V. Krätschmer, Fakultät für Mathematik Klausur Mathematik 2 16.2.216, 13:3-15:3 Uhr (12 Minuten) Erlaubte Hilfsmittel: Nur reine Schreib- und Zeichengeräte.
Mehr