Betriebswirtschaftslehre > Betrieblicher Absatz, betriebliche Preispolitik > Polypol

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1 Michael Buhlmann Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Betrieblicher Absatz, betriebliche Preispolitik > Polpol An der Schnittstelle zwischen Wirtschaftsunternehmen und Markt (im wirtschaftswissenschaftlichen Sinn) stehen betrieblicher Absatz und betriebliche Preispolitik unter den Bedingungen von Marktformen und Verhaltensweisen der Marktteilnehmer (Anbieter, Nachfrager). Im Folgenden wird die Absatzpolitik eines Unternehmens bei vollkommener Konkurrenz (Angebots- und Nachfragepolpol) betrachtet. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 1

2 Theorie I. Einführung I.1 Im Rahmen der betrieblichen Organisation eines (Produktions-) Unternehmens spielt der Absatz als Endpunkt des betrieblichen Prozesses, als Verwertung des im Betrieb Erstellten (Produkt) eine wichtige Rolle. Absatz ist damit Leistungsverwertung, d.h. Bereitstellung der betrieblichen Leistung für den Markt als Kontaktzone von Angebot und Nachfrage. Von Seiten des Betriebs gehören zum Absatz: Absatzplanung und -vorbereitung mit den Mitteln der Marktanalse und Marktbeobachtung; Absatzpolitik mit Preis- und Mengenpolitik sowie dem (Produkt-) Marketing. I.2 Beim Markt treffen Angebot (der Unternehmungen) und Nachfrage (der Haushalte) aufeinander. Menge und Preis eines Produktes bestimmen die Nachfragefunktion (Absatzkurve), die Anzahl der Anbieter und Nachfrager die Marktform. Als (eher theoretische) Marktformen betrachten die Wirtschaftswissenschaften: Vollkommene Konkurrenz (als Polpol auf der Anbieter- und Nachfragerseite) Angebotsoligopol (als Oligopol auf der Anbieter-, Polpol auf der Nachfragerseite) Angebotsmonopol (als Monopol auf der Anbieter-, Polpol auf der Nachfragerseite) Nachfrageoligopol (als Polpol auf der Anbieter-, Oligopol auf der Nachfragerseite) Bilaterales Oligopol (als Oligopol auf der Anbieter- und Nachfragerseite) Beschränktes Angebotsmonopol (als Monopol auf der Anbieter-, Oligopol auf der Nachfragerseite) Nachfragemonopol (als Polpol auf der Anbieter-, Monopol auf der Nachfragerseite) Beschränktes Nachfragemonopol (als Oligopol auf der Anbieter-, Monopol auf der Nachfragerseite) Bilaterales Monopol (als Monopol auf der Anbieter- und Nachfragerseite) Relativ einfach erschließbar sind dann die Marktformen des Angebotsmonopols, bei dem der Anbieter Preispolitik betreibt, und der vollkommenen Konkurrenz, bei der ein Unternehmen wegen des festen Marktpreises Mengenpolitik verfolgen muss. Im Folgenden wird die Mengenpolitik eines Unternehmens unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz, des polpolistischen Marktes betrachtet. II. Kosten, Erlöse, Gewinne II.1 Gesamtkosten: Ein Unternehmen produziert ein Produkt mit einer Ausbringungsmenge pro Zeiteinheit. Dabei entstehen fie Gesamtkosten K fi und iable Stückkosten k. Als Gesamtkosten K = K ges ergeben sich für eine Ausbringungsmenge : K() = K ges () = K fi + K () = K fi + k () Variable Gesamtkosten K sind dabei: K () = k (). Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 2

3 ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Gesamtkosten K ges, Fikosten K fi, Variable Kosten K II.2 Als Stückkosten (= Kosten pro produziertes Stück) ergeben sich die fien Stückkosten k fi, die iablen Stückkosten k und die Gesamtstückkosten k ges als: K k = fi fi K k = K fi K k ges = k fi + k = + = K ges Bei konstanten iablen Stückkosten k ist die Gesamtkostenfunktion K ges () = K ges () = K fi + k () eine Gerade mit -Achsenabschnitt K fi und Steigung k. Die Gesamtstückkostenkurve k K fi ges = k ges ( ) = + k ist eine hperbelähnliche Funktion, die für wachsende Ausbringungsmengen sich der Kurve der iablen Stückkosten k annähert. Die Grenzkosten K = K ges sind dann die Ableitung der Gesamtkosten K = K ges. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 3

4 ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Gesamtkosten K ges, Durchschnittskosten K ges /, Grenzkosten K ges II.3 Erlöse: Der Verkauf eines Produktes durch ein Unternehmen bringt diesem Erlöse pro Zeiteinheit ein, die abhängig von der Ausbringungsmenge des Produkts sind. Der vom Markt (bei vollständiger Konkurrenz) vorgegebene Verkaufspreis p als Stückerlös gibt den Erlös pro Stück beim Verkauf des Produkts an, der Gesamterlös E ergibt sich dann als: E() = p und stellt damit im Koordinatensstem von Ausbringungsmenge und Erlös eine Gerade durch den Ursprung dar mit dem Stückerlös p als Steigung: Die Ableitung der Erlösfunktion E heißt Grenzerlös E mit: E () = p und ist identisch mit dem Marktpreis p. Wegen E() = p ist der Grenzerlös auch Stückerlös e(), da: E( ) p e ( ) = = = p = E'( ) II.4 Gewinn: Stellt man nun die Kostenfunktion der Gesamtkosten K ges und die Funktion des Erlöses E gegenüber, so ergibt sich für jede Ausbringungsmenge eine besondere Höhe der Kosten K() = K ges () und des Erlöses E(). Der Gewinn G ist dann die Differenz von Erlös und Kosten: Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 4

5 G() = E() K() und als Gewinn für positive Werte, als Verlust für negative interpretierbar ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Erlös E, Gesamtkosten K ges II.5 Nutzenschwelle, Nutzengrenze, Gewinnzone: Die Ausbringungsmenge s mit G( s ) = 0, also Gewinn = 0, heißt Nutzenschwelle. Für die Nutzenschwelle s gilt: E( s ) = K( s ) Bei der Nutzenschwelle (break even point) wird damit die Gewinnzone des Unternehmens erreicht. Eine eventuell eistierende zweite Stelle G mit G( G ) = 0 und s < g heißt Gewinngrenze mit: E( g ) = K( g ) Im Koordinatensstem von Ausbringungsmenge und Erlös bzw. Kosten werden Nutzenschwelle s und Nutzengrenze g also durch den Schnittpunkt von Erlösgeraden und Kostenfunktion repräsentiert, die Gewinnzone, dargestellt durch die Ausbringungsmengen mit G() > 0, ist damit zu umschreiben mit: s < < g. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 5

6 ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57, Erlös E, Gesamtkosten K ges, Gewinn G II.6 Gewinnmaimum: Gemäß den Regeln der Differenzialrechnung erhält man das Gewinnmaimum der Gewinnfunktion G() = E() K(), indem man die Ableitung G () = 0 setzt. Für das Gewinnmaimum m gilt damit: E ( m ) = K ( m ), p = K ( m ) Also sind hier Grenzerlös gleich Grenzkosten bzw. Grenzkosten gleich Stückerlös (Verkaufspreis). Auf Grund von G ( m ) < 0 liegt dann in der Tat ein Maimum vor. G ma = G( m ) ist dann der maimale Gewinn. II.7 Stückgewinn: Für eine Ausbringungsmenge ergibt sich der Stückgewinn g() als: G( ) E( ) K( ) g( ) = = = e( ) k( ) = p k( ) Der Stückgewinn ist also die Differenz aus Preis und Stückkosten. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 6

7 II.8 Betriebsminimum, kurzfristige Preisuntergrenze: Dem Betriebsminimum entspricht die Ausbringungsmenge min, bei der die iablen Stückkosten k minimal sind. Mit K ' k = gilt im Betriebsminimum: ( ) 0 min = k und damit: ' K ( min ) K '( min ) = K ( min ) = = k '' mit: k ( min ) > 0. D.h.: Im Betriebsminimum min stimmen die (iablen) Grenzkosten K = K mit den iablen Stückkosten k überein, die Grenzkosten schneiden die Funktion der iablen Stückkosten in deren Minimum: min ( min ) ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 (Variable) Grenzkosten K ges = K, iable Stückkosten k Die kurzfristige Preisuntergrenze ist dann: p kf = k ( min ) Sie stellt daher den Marktpreis k ( min ) < p dar, zu dem im Betriebsminimum das Unternehmen die Warenmenge min absetzen kann, wenn es bereit ist, dabei einen Verlust in Höhe der fien Kosten K fi zu machen, also: G( min ) = K fi. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 7

8 II.9 Betriebsoptimum, langfristige Preisuntergrenze: Dem Betriebsoptimum entspricht die Ausbringungsmenge opt, bei der die gesamten Stückkosten minimal sind. Mit K = K ges und K ' k = gilt im Betriebsoptimum ( ) = 0 opt k und damit: K( opt ) K '( opt ) = = k( opt '' mit: k ( ) > 0. D.h.: Im Betriebsoptimum opt stimmen die Grenzkosten K mit den gesamten Stückkosten k überein, die Grenzkosten schneiden die Funktion der Stückkosten in deren Minimum: opt opt ) ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Als langfristige Preisuntergrenze ergibt sich: Grenzkosten K ges, Stückkosten k p lf = k( opt ) Sie stellt daher den Marktpreis k( opt ) < p dar, zu dem im Betriebsoptimum das Unternehmen die Warenmenge opt absetzen kann, bei der die fien Kosten K fi und die iablen Kosten K ( opt ) gerade gedeckt sind, also: G( opt ) = 0. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 8

9 Wegen k () < k() ist bei K () > 0: min < opt, p kf < p lf. Ein anderer Zugang zur langfristigen Preisuntergrenze ergibt sich, wenn wir uns vorstellen, die Erlöskurve E() um den Koordinatenursprung so zu drehen, dass sie zu einer Tangente an die Gesamtkostenfunktion K() wird. Wir erhalten dann mit E lf () = p lf die Erlöskurve, die in opt die Kostenkurve berührt, so dass also ebenfalls gilt: K( opt ) K '( opt ) = = k( opt opt ) ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Erlös E, E lf, Gesamtkosten K ges Durch Drehung der Erlösfunktion erhalten wir entsprechend eine Tangente an die Kurve der iablen Gesamtkosten und somit das Betriebsminimum. Es bleibt noch (zusammenfassend) zu erwähnen, dass bei der Ausbringungsmenge des Betriebsoptimums die Stückkosten minimal sind, d.h. der Stückgewinn g() = p k() maimal wird. II.10 Minimum der Grenzkosten: Für die Gesamtkosten K() = K ges () und deren Ableitung, die Grenzkosten K (), ergibt sich das Minimum der Grenzkosten mit: K ( mg ) = 0 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 9

10 und mit: K ( mg ) > 0. Das Minimum gibt damit an, bei welcher Ausbringungsmenge mg die Gesamtkosten am geringsten steigen (minimaler Kostenzuwachs), und kennzeichnet damit den Wendepunkt der Gesamtkostenfunktion K() ,75 5,50 8,25 11,00 13,75 16,50 19,25 22,00 24,75 27,50 30,25 33,00 35,75 38,50 41,25 44,00 46,75 49,50 52,25 55,00 57,75 Gesamtkosten K ges, Grenzkosten K ges, Ableitung der Grenzkosten K ges II.11 Minimale iable Stückkosten, minimale Grenzkosten: Im Betriebsminimum sind wie gesehen die iablen Stückkosten minimal, d.h. für die entsprechende Ausbringungsmenge min gilt: k ' ( min ) = 0. Das Minimum der Grenzkosten wird erreicht bei mg mit: K ( mg ) = 0. Dann gilt (mit einer kubischen Kostenfunktion) hinsichtlich des Verhältnisses der Ausbringungsmengen von minimalen Grenzkosten und Betriebsminimum: mg : min = 2 : 3 III. Ermittlung der Erlös- und Kostenfunktion III.1 Problemstellung: Zu ermitteln ist die Erlös- und Gesamtkostenfunktion E() und K() eines Unternehmens am Markt ( als Unternehmensoutput in ME (Mengeneinheiten) E(), K() in GE (Geldeinheiten)). Die Erlösfunktion E() ist dabei linear, die Kostenfunktion K() Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 10

11 ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Es liegt damit eine (Funktions-) Bestimmungsaufgabe vor, für die folgende Voraussetzungen gelten: III.2 Erlösfunktion: III.3 Gesamtkostenfunktion: E() = p (p Marktpreis) E () = p (Grenzerlös) e() = p (Stückerlös) K() = a 3 + b 2 + c + d K fi = d (Fikosten) K () = a 3 + b 2 + c (iable Kosten) K () = K () = 3a 2 + 2b + c (Grenzkosten) k() = a 2 + b + c + d/ (Durchschnittskosten = Stückkosten) k fi () = d/ (fie Durchschnittskosten = fie Stückkosten) k () = a 2 + b + c (iable Durchschnittskosten = iable Stückkosten) k () = 2a + b d/ 2 (Grenzdurchschnittskosten = Grenzstückkosten) k () = 2a + b (iable Grenzdurchschnittskosten = iable Grenzstückkosten) III.4 Gewinnfunktion: G() = E() K() = p a 3 b 2 c d (Gewinn) G () = p 3a 2 2b c (Grenzgewinn) g() = G()/ = e() k() = p a 2 b c d/ (Stückgewinn) III.5 Die für die Bestimmungsaufgabe wichtigen Eigenschaften der Erlös- und Kostenfunktion können dann wie folgt ausgewertet werden: Marktpreis p: E() = p Fikosten fi : K fi = d = fi Gesamtkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : K( 0 ) = a b c 0 + d = 0 Stückkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : k( 0 ) = a b 0 + c + d/ 0 = 0 Variable Stückkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = a b 0 + c = 0 Grenzkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : K ( 0 ) = 3a b 0 + c = 0 Gewinn G 0 bei Ausbringungsmenge 0 : G( 0 ) = p 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = G 0 Stückgewinn g 0 bei Ausbringungsmenge 0 : g( 0 ) = p a 0 2 b 0 c d/ 0 = g 0 Nutzenschwelle, Nutzengrenze bei Menge 0 : G( 0 ) = p 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = 0 Gewinnmaimum bei Ausbringungsmenge 0 : G ( 0 ) = p 3a 0 2 2b 0 c = 0 Betriebsminimum bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = 2a 0 + b = 0 bzw.: K ( 0 ) = 3a b 0 + c = a b 0 + c = k ( 0 ) Kurzfristige Preisuntergrenze p kf bei Menge 0 : k ( 0 ) = a b 0 + c = p kf bzw. G( 0 ) = p kf 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = -d = -K fi Betriebsoptimum bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = 2a 0 + b d/ 0 2 = 0 bzw.: K ( 0 ) = 3a b 0 + c = a b 0 + c + d/ 0 = k( 0 ) Langfristige Preisuntergrenze p lf bei Menge 0 : k( 0 ) = a b 0 + c + d/ 0 = p lf bzw. G( 0 ) = p lf 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = 0 III.6 Das aus der Auswertung resultierende lineare Gleichungssstem ist dann z.b. mit dem Gauß-Algorithmus lösbar. Die Lösungen des linearen Gleichungssstems lauten dann: a, b, c, d, p. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 11

12 Beispiele IV.1 Beispiel: Ein Unternehmen in einem Polpol eines vollkommenen Marktes hat als von einer Ausbringungsmenge abhängige Erlös- und Gesamtkostenfunktion: 3 2 E( ) = 41, K ( ) = I. Die Erlösfunktion ist vom Tp E ( ) = p, wobei p>0 der Marktpreis des polpolistischvollkommenen Marktes für eine produzierte Einheit der Ausbringungsmenge bedeutet. Die Gesamtkostenfunktion ist ein kubische Parabel mit: K() = K ges () = K fi + K () = K fi + k () = ( ) = 32 + ( ), also mit: K fi = 32 als fien Kosten, wobei K () = die iablen Kosten, 2 k () = die iablen Stückkosten sind ,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 3,60 4,00 4,40 4,80 5,20 5,60 6,00 6,40 6,80 7,20 7,60 8,00 Erlös E(), Gesamtkosten K() Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 12

13 II. Als Stückkosten (= Kosten pro produzierte Mengeneinheit) ergeben sich die fien Stückkosten k fi, die iablen Stückkosten k und die Gesamtstückkosten k ges als: k ges K fi 32 k fi = = K 2 k = = K fi K K ges 32 2 = k fi + k = + = = ,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 3,60 4,00 4,40 4,80 5,20 5,60 6,00 6,40 6,80 7,20 7,60 8,00 Gesamtkosten K(), Durchschnittskosten k(), iable Durchschnittskosten k (), Grenzkosten K () Die Grenzkosten K = K ges = K sind dann die Ableitung der Gesamtkosten K = K ges, also: 2 K '( ) = III. Bzgl. der Kostenfunktion K() können wir jetzt das Betriebsminimum oder die kurzfristige Preisuntergrenze k ( min ) bestimmen. Im Betriebsminimum min stimmen die (iab- Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 13

14 len) Grenzkosten K = K mit den iablen Stückkosten k überein, die Grenzkosten schneiden die Funktion der iablen Stückkosten in deren Minimum. Es gilt also: 3 2 K '( ) = k ( ) = = 0 2 ( 2) = 0 = 2 mit: min = 2 und: k (2) = = 8 = p kf als kurzfristige Preisuntergrenze. Damit werden bei min = 2 und p kf = 8 nur die iablen Kosten gedeckt wegen: 3 2 E ( 2) = 8 2 = 16, K (2) = = 48, E kf ( 2) K (2) = 32 = - K fi. kf ,35 0,70 1,05 1,40 1,75 2,10 2,45 2,80 3,15 3,50 3,85 4,20 4,55 4,90 5,25 5,60 5,95 6,30 6,65 7,00 7,35 7,70 0 0,35 0,70 1,05 1,40 1,75 2,10 2,45 2,80 3,15 3,50 3,85 4,20 4,55 4,90 5,25 5,60 5,95 6,30 6,65 7,00 7,35 7,70 Grenzkosten K () = iable Stückkosten k () Grenzkosten K () = Stückkosten k() IV. Bzgl. der Kostenfunktion K() können wir nun das Betriebsoptimum oder die langfristige Preisuntergrenze k( ma ) bestimmen. Dem Betriebsoptimum entspricht die Ausbringungsmenge opt, bei der die gesamten Stückkosten minimal sind. Es gilt also: K '( ) = k( ) = = = = 0 3,4 mit: opt = 3,4 und: k(3,4) = 19,37 = p lf als langfristige Preisuntergrenze sowie: E ( 2) = 19,37 3,4 = 65,86, K ( 3,4) = 65, 86, E lf ( 3,4) K(3,4) = 0. lf V. Die Ausbringungsmenge mit minimalem Kostenzuwachs ist die Menge mg mit: K ( mg ) = 0, also dort, wo die Kostenfunktion K() ihren Wendepunkt besitzt. Damit gilt hinsichtlich dieses Minimums der Grenzkosten: K ''( ) = 6 8 = 0 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 14

15 6 = 8 4 = 3 4 Das Minimum gibt damit an, dass bei der Ausbringungsmenge mg = die Gesamtkosten 3 am geringsten steigen ,55 1,10 1,65 2,20 2,75 3,30 3,85 4,40 4,95 5,50 6,05 6,60 7,15 7,70 8,25 8,80 9,35 9,90 10,45 11,00 11, Gesamtkosten K(), Grenzkosten K (), Grenzkostenzuwachs K () VI. Der Gewinn G ist die Differenz von Erlös und Kosten, also: 3 2 G ( ) = E( ) K( ) = 41 ( ) = = Es ist G() = 0 an der Nutzenschwelle s (break even point) und an der Nutzengrenze g. Zwischen s und g liegt die Gewinnzone mit: G() > 0. Es gilt mit E '( ) = 41 : ( 1)( G ( ) = = ) = 0 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 15

16 =1, 2 1 = 0, = 0 3 ± 9 4 ( 1) 32 3 ± = = 2 ( 1) =1, = 7, Gewinnschwelle ist: s = 1, Gewinngrenze g = 7,4 mit: G(1) = G(7,4) = ,40 0,80 1,20 1,60 2,00 2,40 2,80 3,20 3,60 4,00 4,40 4,80 5,20 5,60 6,00 6,40 6,80 7,20 7,60 8, Erlös E() = Gesamtkosten K(), Gewinn G(), Grenzgewinn G () VI. Man erhält das Gewinnmaimum m über den Grenzgewinn G () mit: G () = 0. Damit gilt: G '( ) = 0 E '( ) K'( ) = 0 E '( ) = K '( ) 2 41 = = 0 8 ± ( 29) 8 ± = = Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 16

17 = 4,7 3 2 G ma = G( m ) = G(4,7) = 4, , ,7 32 = 88, 84 ist dann der maimale Gewinn. IV.2 Beispiel: Ein Unternehmen in einem Polpol eines vollkommenen Marktes hat als von einer Ausbringungsmenge abhängige Erlös- und Gesamtkostenfunktion: für E( ) = 360, K ( ) = I. Hinsichtlich der Kostenfunktion gilt dann: K fi ( ) = 2000, K ( ) = ( ) = k( ) = K '( ) = , K ''( ) = k, ,50 9,00 13,50 18,00 22,50 27,00 31,50 36,00 40,50 45,00 49,50 54,00 58,50 63,00 67,50 72,00 76,50 81,00 85, ,50 99,00 4,50 9,00 13,50 18,00 22,50 27,00 31,50 36,00 40,50 45,00 49,50 54,00 58,50 63,00 67,50 72,00 76,50 81,00 85, ,50 99,00 Betriebsminimum: K () = k () Betriebsoptimum: K () = k() 3 3 II. Minimaler Kostenzuwachs liegt vor bei: K () = 0 30 = 0 = = 40. III. Auf Grund von: K () = k () = = = 0 ( 60) = 0 = 0, = 60 ist min = 60 das Betriebsminimum mit k (60) = 150 = p kf als kurzfristiger Preisuntergrenze. IV. Wegen: K () = k() = = = 62,2 ist opt 62,2 Betriebsoptimum mit k(62,2) = 182,76 = p lf als langfristiger Preisuntergrenze. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 17

18 V. Break even point als Nutzenschwelle und Nutzengrenze ergeben sich aus: E() = K() = = = 0 27, 98,9. Nutzenschwelle ist also: s 27, Nutzengrenze ist: g 98,9 mit G( s ) = G( g ) = VI. Die Gewinnfunktion ist: G ( ) = E( ) K( ) = 360 ( ) = Die Ableitung der Gewinnfunktion ist: G '( ) = E '( ) K'( ) = Mit G '( ) = = ± ± ± 185, = 0 = = = [ 9], 71 ergibt sich die gewinnmaimale Ausbringungsmenge ma 71 mit maimalem Gewinn G( ma ) = 11836, , , , , , , , , , , Nutzenschwelle/-grenze: E() = K(), Gewinnmaimum: G() Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 18

19 IV.3 Beispiel: Zu bestimmen sind die Kostenfunktion als ganz rationale Funktion 3. Grades und die linear-proportionale Erlösfunktion einer Unternehmung zu folgenden Bedingungen: (1) Die Fikosten haben eine Höhe von 8 GE (Geldeinheiten). (2) Als Stückkosten ergeben sich bei einer Produktionsmenge von 4 ME (Mengeneinheiten) 6 GE. (3) Bei einer Produktionsmenge von 3 ME befindet sich das Betriebsminimum. (4) Der Verkaufspreis pro ME beträgt 8 GE. (5) Der Gewinn bei einer Produktionsmenge von 5 ME beträgt 4,5 GE. I. Zur Bestimmung von Kosten- und Erlösfunktion ist mit als ME der folgende Ansatz gültig: K() = a 3 + b 2 + c +d (Kostenfunktion) K fi = d (Fikosten) K () = a 3 + b 2 + c (iable Kosten) K () = K () = 3a 2 + 2b + c (Grenzkosten) k() = a 2 + b + c + d/ (Durchschnittskosten = Stückkosten) k fi () = d/ (fie Durchschnittskosten = fie Stückkosten) k () = a 2 + b + c (iable Durchschnittskosten = iable Stückkosten) k () = 2a + b d/ 2 (Grenzdurchschnittskosten = Grenzstückkosten) k () = 2a + b (iable Grenzdurchschnittskosten = iable Grenzstückkosten) E() = p (Erlösfunktion, p als Markt-/Verkaufspreis) E () = p (Grenzerlös) G() = E() K() = p a 3 b 2 c d (Gewinnfunktion) G () = p 3a 2 2b c (Grenzgewinn) II. Die Eigenschaften der Erlös- und Kostenfunktion können dann wie folgt ausgewertet werden: Gesamtkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : K( 0 ) = a b c 0 + d = 0 Stückkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : k( 0 ) = a b 0 + c + d/ 0 = 0 Variable Stückkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = a b 0 + c = 0 Grenzkosten 0 bei Ausbringungsmenge 0 : K ( 0 ) = 3a b 0 + c = 0 Gewinn g 0 bei Ausbringungsmenge 0 : G( 0 ) = p 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = g 0 Nutzenschwelle, Nutzengrenze bei Menge 0 : G( 0 ) = p 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = 0 Gewinnmaimum bei Ausbringungsmenge 0 : G ( 0 ) = p 3a 0 2 2b 0 c = 0 Betriebsminimum bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = 2a 0 + b = 0 bzw.: K ( 0 ) = 3a b 0 + c = a b 0 + c = k ( 0 ) Kurzfristige Preisuntergrenze p kf bei Menge 0 : k ( 0 ) = a b 0 + c = p kf bzw. G( 0 ) = p kf 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = -d = -K fi Betriebsoptimum bei Ausbringungsmenge 0 : k ( 0 ) = 2a 0 + b d/ 0 2 = 0 bzw.: K ( 0 ) = 3a b 0 + c = a b 0 + c + d/ 0 = k( 0 ) Langfristige Preisuntergrenze p lf bei Menge 0 : k( 0 ) = a b 0 + c + d/ 0 = p lf bzw. G( 0 ) = p lf 0 a 0 3 b 0 2 c 0 d = 0 III. Es sind damit im Folgenden die Unbekannten a, b, c, d und p zu bestimmen, wobei die vorgenannten Bedingungen (1) bis (5) Verwendung finden (Bestimmungsaufgabe für Polnome). Und zwar gilt: (1) K(0) = K fi = d = 8. (2) k(4) = a b 4 + c + d/4 = 16a +4b + c +2 = 6 => 16a + 4b + c = 4. (3) k (3) = 2a 3 + b = 0 => 6a + b = 0. (4) p = 8 => E() = 8. (5) G(5) = p 5 a 5 3 b 5 2 c 5 d = a 25b 5c 8 = 4,5 => 125a + 25b + 5c = 27,5. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 19

20 IV. Es ergibt sich also aus der Auswertung der Bedingungen (1) bis (5) ein lineares Gleichungssstem, das mit dem Gauß-Algorithmus lösbar ist. Die Lösungen (a, b, c) lauten neben d = 8 und p = 8 auf Grund der folgenden Umformungen: Lineares Gleichungssstem: + 16a + 4b + 1c = 4 + 6a + 1b = a + 25b + 5c = 27,5 Anfangstableau: Schritt: 8*(2) - 3*(1) / 16*(3) - 125*(1) Schritt: -1*(3) + 25*(2) Dreiecksgestalt des linearen Gleichungssstems: + 16a + 4b + 1c = 4-4b - 3c = c = -240 Lösungen des linearen Gleichungssstems: c = 8, b = -3, a = 0.5. Insgesamt lauten die gesuchten Funktionen: K() = 0, (Kostenfunktion [GE]) E() = 8 (Erlösfunktion [GE]) G() = -0, (Gewinnfunktion [GE]; Gewinnfunktion als Differenz von Erlös- und Kostenfunktion). V. Die Zeichnung der Schaubilder von Kosten- und Erlösfunktion K() und E() ergibt die nachstehenden Kurven im Koordinatensstem: Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 20

21 Erlös E(), Gesamtkosten K() VI. Bei Nutzenschwelle und Nutzengrenze gilt: also wegen E() K() = 0: E() = K(), G() = 0. Zur Bestimmung von Nutzenschwelle (break even point) und Nutzengrenze ist also die Gleichung: zu lösen. Damit ergibt sich: -0, = 0 0, = 0 und aus der obigen Zeichnung eine Lösung = 2 ME, so dass eine Polnomdivision zu: (0, ):( 2) = 0, (0,5 2 2 ) ( ) (-4+8) 0 führt. Die quadratische Gleichung: Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 21

22 hat dann die weiteren Lösungen: 0, = 0 [ = -3,46], = 5,46, wobei die negative Lösung wegfällt. Nutzenschwelle ist also: = 2 ME mit G(2) = 0 GE, Nutzengrenze = 5,46 ME mit G(5,46) = 0 GE. Die Gewinnzone des Unternehmens liegt zwischen Nutzenschwelle und Nutzengrenze. VII. Die Gewinnfunktion G() = -0, besitzt den Graphen: Gewinnfunktion G() VIII. Die Produktionsmenge mit dem maimalen Gewinn errechnet sich aus dem Nullsetzen der Ableitung, mithin des Grenzgewinns: Also ergibt sich mit G () = = -1, : G () = 0-1, = 0 (-1,5+6) = 0 = 0, -1,5+6 = 0 = 0, 6 = 1,5 [=0], = 4 Wegen G () = und G (4) = = -6 < 0 liegt bei der Produktionsmenge = 4 ME das Gewinnmaimum vor. Der maimale Gewinn beträgt: Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 22

23 G(4) = 8 GE. IX. Die Stückkostenfunktion k() = K()/, > 0, lautet: k() = 0, / und hat das Aussehen: Durchschnittskosten k() Das Minimum der Stückkosten k() errechnet sich mit: also mit k () = 3 8/ 2 aus: k () = 0, 3 8/ 2 = = 0 U.a. aus der Zeichnung der Durchschnittskostenfunktion kann man das Minimum = 3,6 ME entnehmen mit k(3,6) = 5,9 GE als minimalen Durchschnittskosten. Die Ausbringungsmenge der minimalen Stückkosten ist identisch mit dem Betriebsoptimum. X. Bzgl. der Kostenfunktion K() kann jetzt das Betriebsminimum oder die kurzfristige Preisuntergrenze k ( min ) bestimmt werden. Im Betriebsminimum min stimmen die (iablen) Grenzkosten K = K mit den iablen Stückkosten k überein, die Grenzkosten schneiden die Funktion der iablen Stückkosten in deren Minimum. Die kurzfristige Preisuntergrenze stellt den Marktpreis k ( min ) < p dar, zu dem im Betriebsminimum das Unternehmen die Warenmenge min absetzen kann, wenn es bereit ist, dabei einen Verlust in Höhe der fien Kosten K fi zu machen, also: G( min ) = K fi. Grafisch stellt sich das Be- Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 23

24 triebsminimum als die Stelle dar, wo die Tangente vom Koordinatenursprung die Funktion der iablen Gesamtkosten K () berührt. Hier ist: K () = 0, Variable Gesamtkosten K (), Ursprungstangente an K () Rechnerisch gilt auf Grund der Tatsache, dass an der Stelle die Tangentensteigung K () identisch mit der Steigung der Gerade durch den Ursprung O(0 0) und den Punkt P( K ()) sein muss: und damit: k () = K ()/ = K () (0, )/ = 1, , = 1, = 0 ( 3) = 0 [ = 0], = 3 gemäß der Bedingung (3) in 1). Die kurzfristige Preisuntergrenze k (3) = 3,5 GE liegt beträchtlich unter dem hier angenommenen Marktpreis p = 8 GE. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 24

25 Grenzkosten K (), iable Stückkosten k () Da sich das Betriebsminimum nur auf die iablen Stückkosten bezieht, haben Änderungen bei den Fikosten K fi (etwa Senkung um 2 GE) hierauf keine Auswirkung. Entsprechendes gilt auch für die Ausbringungsmenge im Gewinnmaimum, da die Grenzkosten dieselben bleiben und G () = 0, also E () = K () gilt. Hingegen erhöht sich im (gleich bleibenden) Gewinnmaimum der maimale Gewinn um 2 GE, wenn die Fikosten um 2 GE sinken. XI. Eine weitere Vorgehensweise ergibt sich für die Ermittlung des Betriebsoptimums wie folgt. Bzgl. der Kostenfunktion K() entspricht das Betriebsoptimum der Ausbringungsmenge opt, bei der die gesamten Stückkosten minimal sind. Die langfristige Preisuntergrenze kann als k( opt ) bestimmt werden. Des Weiteren lässt sich das Betriebsoptimum grafisch als die Ausbringungsmenge bestimmen, wo die Tangente vom Koordinatenursprung die Funktion der Gesamtkosten K() berührt mit: K() = 0, Rechnerisch gilt: k() = K()/ = K () (0, )/ = 1, , / = 1, / = = 0 = 3,6 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 25

26 Das Betriebsoptimum liegt bei = 3,6 ME (siehe auch weiter oben), die langfristige Preisuntergrenze ist k(3,6) = 5,9 GE. Gesamtkosten K(), Ursprungstangente an K() XII. Die Ausbringungsmenge mit minimalem Kostenzuwachs ist die Menge mg mit: K ( mg ) = 0, also dort, wo die Kostenfunktion K() ihren Wendepunkt besitzt. Damit gilt hinsichtlich dieses Minimums der Grenzkosten bei: die folgende Gleichung: K() = 0, K () = 1, K () = 3 6 K () = = 0 3 = 6 = 2 Das Minimum gibt damit an, dass bei der Ausbringungsmenge mg = 2 ME die Gesamtkosten am geringsten steigen. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 26

27 Grenzkosten K (), Stückkosten k() XIII. Während wir bisher die Situation eines Unternehmens in einem Polpol eines vollkommenen Marktes beschrieben haben, soll nun die Unternehmung die Stellung eines Monopolisten am Markt einnehmen (Angebotsmonopol). Die Erlösfunktion (als Parabel) ist nun: bei unveränderten Gesamtkosten: E*() = K() = 0, Nutzenschwelle = 3,3 ME und Nutzengrenze = 6,75 ME sind aus der Gleichung E*() = K() zu bestimmen, die Gewinnfunktion G() ist: G() = E*() K(), also: mit: als Ableitungen. G() = -0, G () = -1, G () = -3 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 27

28 Erlös E(), Gesamtkosten K() Zur Ermittlung des Gewinnmaimums ist wieder die 1. Ableitung gleich 0 zu setzen, also: G () = 0-1, = 0 24 = 1,5 2 2 = 16 = ±4 Hier ist = 4 ME die Lösung wegen G (4) = -12 < 0 (Maimum) und mit G(4) = 56 GE. Der Erlös des Unternehmens beträgt bei der gewinnmaimalen Ausbringungsmenge = 4 ME: E*(4) = 80 GE. Der Verkaufspreis p* ergibt sich als: p* = E*()/ und mithin als: p* = 80/4 = 20 GE. Der Verkaufspreis liegt also beträchtlich höher als p = 8 GE in der weiter oben dargestellten Polpolsituation des Unternehmens. Abschließend sei noch die Gewinnfunktion G() = -0, skizziert mit dem Gewinnmaimum bei der Ausbringungsmenge = 4 ME. Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 28

29 Gewinnfunktion G() IV.4 Beispiel: Durch die nachfolgenden theoretischen Überlegungen wollen wir folgenden, schon oben angesprochen Sachverhalt nachweisen: Es gilt unter den Voraussetzungen einer kubischen Kostenfunktion hinsichtlich des Verhältnisses der Ausbringungsmengen bei minimalen Grenzkosten ( mg ) und beim Betriebsminimum ( min ): mg : min = 2 : 3. Die Kostenfunktion sei: K() = a 3 + b 2 + c +d, die iablen Kosten sind daher: K () = a 3 + b 2 + c, die iablen Stückkosten: k () = a 2 + b + c. Im Betriebsminimum sind die iablen Stückkosten minimal, d.h. für die entsprechende Ausbringungsmenge min gilt: k ) 0. Also ergibt sich mit k () = 2a +b die ' Gleichung: ( min = k () = 0 2a + b = 0 2a = -b = -b/2a Damit ist min = -b/2a. Die Grenzkosten sind: K () = 3a 2 + 2b + c. Das Minimum der Grenzkosten wird erreicht bei mg mit: K ( mg ) = 0. Wegen K () = 6a + 2b rechnen wir: K () = 0 6a + 2b = 0 6a = -2b = -2b/6a = -b/3a Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 29

30 Es ist also: mg = -b/3a. Wir bilden nun das Verhältnis der beiden Ausbringungsmengen und erhalten: mq min Damit gilt in der Tat: mg : min = 2 : 3. b = 3a b 2a b a = 3 2a = b 2 3 Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 30

31 Literatur WÖHE, GÜNTER, Einführung in die Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, München WOLL, ARTUR, Allgemeine Volkswirtschaftslehre, München Essen 2010f Michael Buhlmann, Schülerkurs Betriebswirtschaftslehre > Absatz, Preispolitik > Polpol 31