Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik

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1 Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Analysis Leistungskurs Aufgabe 1 Produktionsumstellung Aufgabe aus der schriftlichen Abiturprüfung Hamburg 005. Hinweis: Für die zu zeichnenden Funktionsgraphen kann es sinnvoll sein, eine Wertetabelle zu erstellen. Alle Funktionsgraphen sind in einem gemeinsamen Koordinatensystem darzustellen. Für einen Betrieb soll eine Kostenfunktion ermittelt werden. Die zugehörigen Fikosten belaufen sich auf 1 GE. Weiterhin ist bekannt, dass die Kosten für die Produktion von ME 8 GE betragen. Bei einer Produktion von 3 ME betragen die Kosten 30 GE und der Graph der Funktion ändert dort seine Krümmungsrichtung. a) Bestimmen Sie aus obigen Angaben eine Kostenfunktion K und zeichnen Sie ihren Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem. b) Interpretieren Sie die wirtschaftliche Bedeutung des Ordinatenschnittpunktes und des Wendepunktes. c) Eine Marktanalyse hat ergeben, dass die Produkte unabhängig von der Absatzmenge zu einem Stückpreis von 10 GE an den Markt abgegeben werden können. Bestimmen Sie die Gleichungen der Preisabsatzfunktion p, der Erlösfunktion E und der Gewinnfunktion G. Ermitteln Sie die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze. Bestimmen Sie die gewinnmaimale Absatzmenge und den dazugehörigen maimalen Gewinn. Zeichnen Sie die Graphen der Erlösfunktion E und der Gewinnfunktion G. Die Betriebsleitung beabsichtigt, die Produktion zum Zwecke einer Gewinnmaimierung auf ein anderes Produkt umzustellen. Für die Herstellung des en Produktes wird von einem linearen Kostenverlauf ausgegangen. Eine Marktanalyse hat weiterhin ergeben, dass der Preis, der für die Produkte zu erzielen ist, sich eponentiell zur Absatzmenge verhält. Die e Kostenfunktion und die e Preisabsatzfunktion lassen sich näherungsweise wie folgt beschreiben: K : K( ) = 5+ 0 p : p( ) = 30 e d) Bestimmen Sie die e Erlösfunktion E und untersuchen Sie, wie sich die Erlöse bei sehr hohen Absatzmengen verhalten. Fortsetzung nächste Seite 13

2 Analysis Leistungskurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Gegeben seien im Folgenden die Graphen der en Kosten- und der en Erlösfunktion: e) Stellen Sie im obigen Koordinatensystem die e Gewinnfunktion G als Differenz der gegebenen Graphen dar. f) Ermitteln Sie für die e Gewinnfunktion G die gewinnmaimale Absatzmenge mit Hilfe eines geeigneten Näherungsverfahrens auf eine Nachkommastelle gerundet. Bestimmen Sie den dazugehörigen maimalen Gewinn und interpretieren Sie die Ergebnisse hinsichtlich der angestrebten Gewinnmaimierung. 1

3 Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Analysis Leistungskurs Erwartungshorizont a) K( ) = a3 + a + a1+ a0 K ( ) = 3a + a + a 1 K ( ) = 6a + a K(0) = 1 a = 1 K() = 8 8a + a + a + a = K(3) = 30 7a + 9a + 3a + a = K (3) = 0 18a + a = 0 0 (a 0 einsetzen) Durch Einsetzen ergibt sich: a 3 = 0,5 ; a =,5 ; a 1 = 15. Damit gilt: K( ) = 0,5, Funktionsgraph der Kostenfunktion K: siehe Aufgabenteil c) b) Wirtschaftliche Bedeutung des Ordinatenschnittpunktes (0 1): Die fien Kosten der Produktion betragen 1 GE. Das sind Kosten, die unabhängig von der Produktion entstehen und die man Fikosten nennt. Wirtschaftliche Bedeutung des Wendepunktes von K: Im Wendepunkt der Kostenkurve sind die Grenzkosten am geringsten, d.h. die Zunahme der Kosten bei Ausweitung der Produktionsmenge ist am geringsten. 10 c) Preisabsatzfunktion p: p ( ) = 10 Erlösfunktion E: E( ) = p( ) = 10 Gewinnfunktion G: G ( ) = E ( ) K ( ) = 0,5 +,5 5 1 Gewinnschwelle und Gewinngrenze: Grafische Lösung siehe unten 0,5 +,5 5 1 = = 0 Horner-Schema: 1 = ( ) = ( 3)

4 Analysis Leistungskurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik 6 8= 0 = ,1 3 = ,1 D Gewinnschwelle: 1 = 3 Gewinngrenze: 7,1 Gewinnmaimum: G ( ) = 0 G ( ) < 0 G ( ) = 1, G ( ) = , = = 0 1, 1 G (5,38) = 7,1 < 0 G (0,63) = 7,1 > 0 G (5,38) = 13,9 = 3± 9 5, 38 0, Die gewinnmaimale Menge beträgt 5,38 ME, das Gewinnmaimum 13,9 GE. Grafische Lösung siehe unten. Grafische Darstellungen:

5 Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Analysis Leistungskurs d) Kostenfunktion K: K( ) = 5+ 0 Erlösfunktion E : E ( ) = p( ) = 30 e Verhalten bei sehr hohen Ausbringungsmengen: lim (30 e ) 0 =. Zähler- und Nennerterm gehen zwar beide mit wachsendem gegen 0, der Nennerterm aber deutlich schneller, d.h. der Erlös geht bei hohen Ausbringungsmengen gegen 0. oder: Nachweis über L Hospital lim(30 e 30 ) = lim e H = lim 1 30 e = 0 Der Erlös strebt gegen Null. 5 5 e) Grafische Ermittlung der Gewinnfunktion: 10 f) Gewinnmaimum: Bedingung: ' '' G ( ) = 0 G ( ) < 0 ( ) = G e ( ) = (30 7,5 ) 5 G e G ( ) = ( 15) e

6 Analysis Leistungskurs Zentrale schriftliche Abiturprüfungen im Fach Mathematik Das Newtonsche Näherungsverfahren liefert:,7 G (,7) = 5,06 < 0,Ma. G(,7) 7,7 Die gewinnmaimale Absatzmenge bei dem en Produkt liegt bei,7 ME und der maimale Gewinn beträgt 7,7 GE. Die Umstellung der Produktion ist unter dem Gesichtspunkt der Gewinnmaimierung nicht sinnvoll, da mit dem en Produkt nur ein geringerer maimaler Gewinn erzielt werden kann. Alternativ könnte bei diesem Aufgabenteil die gewinnmaimale Absatzmenge durch geschicktes Einsetzen in die e Gewinnfunktion gefunden werden. Die graphische Lösung liefert dafür einen guten Näherungswert. 10 Insgesamt 100 BWE