Abschlussprûfung Berufskolleg. Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg. Ökonomie: Produktion- Kosten - Gewinn. Jahrgänge 2002 bis Text Nr.

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1 Abschlussprûfung Berufskolleg (Fachhochschulreife) Prüfungsaufgaben aus Baden-Württemberg Ökonomie: Produktion- Kosten - Gewinn Jahrgänge 2002 bis 2015 Text Nr Stand 16. März 2015 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 74351 Produktion Kosten - Gewinn 2 Vorwort!!! Dieser Text gehört zu einer Sammlung von Aufgaben, die in Baden-Württemberg für die Abschlussprüfung des Berufkollegs gestellt worden sind. Sie umfasst die Jahre 2002 bis Diese Prüfung führt zur Fachhochschulreife. Die Formulierung der Aufgaben wurde teilweise etwas verändert. Die Lösungen stammen nur von mir. Folgende Texte gibt es bzw. sind in Planung Analysis 1 ganzrationale Funktionen In Planung Analysis 2 Exponentialfunktionen - In Planung (Dieser Text) ACHTUNG: Analysis 3 Trigonometrische Funktionen Vektorgeometrie In Planung Matrizenrechnung: wirtschaftliche Anwendungen Stochastik Wirtschaftsrechnen: Kosten- und Gewinnfunktionen Die Ausführung der Lösung hängt natürlich stets davon, welche Hilfsmittel zur Verfügung stehen. Wenn es heißt bestimme, dann gehe ich davon aus, dass eine Lösung mit einem Grafikrechner (GTR) erlaubt ist, was Arbeit spart. Wess es heißt berechne, dann ist eine manuelle Ausarbeitung verlangt. Vielleicht steht dann ein GTR oder ein CAS-Rechner zur Verfügung. Oftmals ist aber die ausführliche manuelle Berechnung verlangt, und nur das Ergebnis darf mittels Rechner ermittelt werden. Daher stelle ich oftmals mehrere Lösungsmethoden dar, sowohl mit GTR, selten mit CAS, oft auch ausführlich manuell. Dabei verwende ich auch Polynomdivision zur Lösung von Gleichungen 3. Grades. Wenn nur eine Methode angegeben ist, kann man ja in den vielen ähnlichen Aufgaben woanders nachsehen, wie andere Methoden aussehen könnten.

3 74351 Produktion Kosten - Gewinn 3 Inhalt Jahrgang Aufgabe Lösung

4 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Kosten eines Betriebs lassen sich durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades berechnen. Der Verkaufspreis je Mengeneinheit (ME) ist durch den Markt vorgegeben und beträgt 15 Geldeinheiten (GE). Bei diesem Preis liegt die Nutzenschwelle bei 2 ME und das Betriebsminimum bei 3 ME. Die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 5 GE. Der Fixkostenanteil an den Gesamtkosten ist 18 GE. Ermitteln Sie den Funktionsterm für die Kostenfunktion. 7.2 Die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E sind für 0 x 6 gegeben durch 3 2 und Ex K x x 6x 14x 18 15x (8 VP) Zeichnen Sie die Schaubilder von K und E. (1 ME = 1cm; 10 GE = 1cm). (3 VP) Ermitteln Sie aus dem Schaubild die Nutzenschwelle und überprüfen Sie ihr Ergebnis durch Rechnung. Berechnen Sie die Nutzengrenze. 7.3 Berechnen Sie die Produktionsmenge, die zum maximalen Gewinn führt. Wie groß ist der maximale Gewinn? (5 VP) 7.4 Berechnen Sie näherungsweise (auf zwei Nachkommastellen gerundet) die Produktionsmenge, bei welcher der Gewinn je ME am größten ist. Wie groß ist der maximale Gewinn je ME und der Gesamtgewinn bei dieser Produktionsmenge? (8 VP)

5 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Gesamtkosten für die Produktion einer Ware werden durch eine ganzrationale Funktion3.Grades bestimmt. Die Erlösfunktion ist linear. Die Nutzenschwelle liegt bei 2 ME (Mengeneinheiten). Die Gesamtkosten bei dieser Produktionsmenge betragen 150 GE (Geldeinheiten). 2 Die Grenzkosten sind durch die Gleichung K ' x 24x 98x 100 gegeben. Berechnen Sie die Funktionsterme für die Erlös- und die Gesamtkostenfunktion. 7.2 Die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E sind gegeben durch 3 2 K x 8x 49x 100x 82 und E x 75x Die Kapazitätsgrenze wird bei einer Produktionsmenge von 6 ME erreicht. (3 VP) Berechnen Sie die Nutzengrenze. (3 VP) Berechnen Sie den maximalen Gewinn Zeichnen Sie die Schaubilder der Gesamtkostenfunktion K und der Erlösfunktion E in ein Koordinatensystem und bestimmen Sie grafisch das Betriebsoptimum Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze. (3 VP) 7.4 Berechnen Sie das Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze Beschreiben Sie die Auswirkungen einer Preissenkung auf die Gewinnzone und den maximalen Gewinn, wenn der Kostenverlauf gleich bleibt. (3 VP) Wie weit müssten die Fixkosten gesenkt werden, um bei einem Verkaufspreis von 65 GE je ME die Nutzenschwelle weiter bei 2 ME halten zu können? (3 VP)

6 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Gesamtkosten eines Produktionsbetriebes sind von der Ausbringungsmenge x abhängig und lassen sich durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades beschreiben. Bei einer Produktion von 6 ME (Mengeneinheiten) entstehen Gesamtkosten von 32 GE (Geldeinheiten) und Differenzialkosten (Grenzkosten) von 5 GE. Die fixen Kosten betragen 20 GE. Das Minimum der variablen Stückkosten liegt bei einer Ausbringungsmenge von 4 ME. Ermitteln Sie die Gleichung dieser Kostenfunktion. 7.2 Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K durch K x x x x Die Kapazitätsgrenze wird bei einer Produktion von 14 ME erreicht Zu welchem konstanten Stückpreis wird das Produkt verkauft, wenn die Nutzenschwelle bei 2 ME liegt? (3 VP) Die Erlösfunktion E ist nun gegeben durch E(x) = 12x. Berechnen Sie die Nutzengrenze und den maximalen Gewinn Zeichnen Sie das Schaubild von K für 0 x 14. (2 VP) Bestimmen Sie graphisch und rechnerisch das Betriebsoptimum x opt Berechnen Sie die kurzfristige Preisuntergrenze. (3 VP) 7.3 Die fixen Kosten sind gestiegen, die variablen Kosten und der Marktpreis des Produkts bleiben unverändert. Der maximale Gewinn liegt nun bei 40 GE. Wie lautet die Gleichung der neuen Kostenfunktion? Begründen Sie Ihre Lösung.

7 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Gesamtkostenfunktion eines Unternehmens ist durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades bestimmt. Der Verkaufspreis je ME (Mengeneinheit) beträgt 60 GE (Geldeinheiten). Bei einer Produktionsmenge von 10 ME liegt das Minimum der Grenzkosten. Bei dieser Produktionsmenge gilt außerdem: Die Kosten sind gerade gedeckt, die variablen Stückkosten betragen 30 GE und die Grenzkosten 20 GE. Bestimmen Sie den Funktionsterm dieser Funktion. 7.2 Die Gesamtkostenfunktion K ist gegeben durch 3 2 K x 0,1x 3x 50x 300 (7 VP) Die lineare Funktion E ist durch den Verkaufspreis von 60 GE pro ME bestimmt Zeichnen Sie die Schaubilder von K und E in ein geeignetes Koordinatensystem Berechnen Sie Nutzengrenze und Nutzenschwelle Berechnen Sie den maximalen Gewinn Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn pro Stück maximal? Begründen Sie: Im Betriebsoptimum ist der Gewinn pro Stück maximal. (5 VP) In welchem Verhältnis stehen die Produktionsmenge mit minimalen Grenzkosten und die Produktionsmenge, bei der die variablen Stückkosten minimal sind? Berechnen Sie die oben beschriebenen Produktionsmengen für eine beliebige Kostenfunktion K x ax bx cx d K mit 3 2 Welcher Wert ergibt sich nun für das Verhältnis der Produktionsmengen?

8 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Gesamtkosten eines Unternehmens können durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades beschrieben werden. Die Erlösfunktion ist linear. Der Marktpreis für 1 ME (Mengeneinheit) beträgt zur Zeit 30 GE (Geldeinheiten). Das Unternehmen kennt seine fixen Kosten in Höhe von 40 GE. Die bei einer Produktion von 3,5 ME entstehenden minimalen variablen Stückkosten betragen 7,75 GE. Bei einer Ausbringungsmenge von 2 ME besteht Kostendeckung. Bestimmen Sie die Funktionsterme der Gesamtkosten- und der Erlösfunktion. Die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E sind nun gegeben durch 3 2 und E x K x x 7x 20x 40 30x (7 VP) Zeichnen Sie die Schaubilder von K und E in ein geeignetes Koordinatensystem Begründen Sie, warum bei einer Produktion von 1 ME das Unternehmen keinen Gewinn macht. Geben Sie die Gewinnzone an Bestimmen Sie zeichnerisch das Betriebsoptimum. (2 VP) Berechnen Sie die Stückkosten im Betriebsoptimum. Welche Bedeutung hat diese Größe hinsichtlich der Festlegung des Marktpreises. (5 VP) Durch eine Veränderung am Markt muss das Unternehmen den Marktpreis auf 25 GE senken. Gleichzeitig steigen die Fixkosten um 5 GE Bestimmen Sie den maximalen Gewinn, der jetzt erzielt werden kann, mit Hilfe der Ableitung der Gewinnfunktion. (5 VP) Wie groß ist dann die Gewinnzone. (3 VP)

9 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Um die Erlös- und Kostenfunktion zu ermitteln, macht ein Unternehmen folgende Angaben: Je Mengeneinheit (ME) wird ein Preis von 44 Geldeinheiten (GE) erzielt. Die Fixkosten betragen 280 GE. Werden 2 ME produziert, so entstehen Gesamtkosten in Höhe von 358 GE. Bei 12 ME betragen die variablen Stückkosten 14 GE je ME. Einen Gewinn von 10 GE erzielt das Unternehmen bei einer Ausbringungsmenge von 10 ME. Bestimmen Sie die Gleichungen der Gesamtkosten- und der Erlösfunktion unter der Voraussetzung, dass die Gesamtkostenfunktion eine ganzrationale Funktion 3.Grades ist und die Erlösfunktion eine lineare Funktion ist. (7 VP) 7.2 Gegeben sind die Kostenfunktionen K und die Erlösfunktion E mit und Ex K x x 6x 50x x Prüfen Sie, ob das Unternehmen bei einer Produktion von 6 ME einen Gewinn erzielt. Bei welchen Produktionsmengen produziert das Unternehmen kostendeckend? Welche Menge muss das Unternehmen produzieren, um maximalen Gewinn zu erzielen? Geben Sie diesen an. (7 VP) Zeichnen Sie das Schaubild von K und E in ein geeignetes Koordinatensystem Bestimmen Sie grafisch und rechnerisch das Betriebsoptimum. Wie hoch muss der Preis für eine Mengeneinheit mindestens sein, damit das Unternehmen verlustfrei produzieren kann? 7.3 Ein anderes Unternehmen berechnet seine Gesamtkosten mit Hilfe der Funktion K*. Ihr Graph ist im Folgenden gegeben. Zeichnen Sie in das Schaubild den Graphen einer linearen Erlösfunktion so ein, dass zwischen Nutzenschwelle und Nutzengrenze ungefähr 3 ME liegen. Lesen Sie Nutzenschwelle und Nutzengrenze aus dem Schaubild ab. Welcher Preis wird dann je Mengeneinheit verlangt?

10 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Gesamtkosten der Produktion eines Unternehmens werden durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades beschrieben. Bei vollständiger Konkurrenz gilt für die Erlösfunktion E x p x mit konstantem Stückpreis p. Dem Unternehmen sind folgende Daten bekannt: Für 9 Mengeneinheiten (ME) beläuft sich der Gesamterlös auf 135 Geldeinheiten (GE). Die Nutzengrenze liegt bei 12 ME. Das Betriebsminimum stellt sich bei einer Produktion von 7 ME ein. Bei 8 ME beträgt der Gewinn 12 GE. Produziert das Unternehmen 4 ME, entstehen Kosten in Höhe von 76 GE. Bestimmen Sie die Terme für die Kosten- und die Erlösfunktion. 7.2 Ein Mitbewerber rechnet bei einem gleichwertigen Produkt für die Kostenfunktion K und die Erlösfunktion E mit K x x x 15x 36 und Ex x Für die Produktionsmenge x gilt: 0 x Bestimmen Sie die Nutzenschwelle und zeichnen Sie die Schaubilder der Kosten- und Erlösfunktion in ein geeignetes Koordinatensystem. (8 VP) Bestimmen Sie zunächst zeichnerisch die Produktionsmenge, bei der minimale Stückkosten anfallen. Überprüfen Sie anschließend ihr Ergebnis durch Rechnung und geben Sie die minimalen Stückkosten an. (5 VP) Die Unternehmensleitung beschließt, dass die variablen Kosten der Produktion einen Betrag von 135 GE nicht überschreiten sollen. Bis zu welcher Produktionsmenge ist diese Vorgabe erfüllt? Bei welcher Produktionsmenge ist der Gewinn maximal? Geben Sie den maximalen Gewinn an Das Unternehmen will seinen maximalen Gewinn steigern, ist sich aber unschlüssig, welche Strategie es verfolgen soll. Es stehen zwei alternative Varianten zur Auswahl: Variante A: Die Fixkosten werden um 10% gesenkt. Variante B: Die variablen Kosten werden um 5% gesenkt. Begründen Sie durch Rechnung, welche Variante für das Unternehmen günstiger ist. (3 VP)

11 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die Firma Schein AG hat sich auf die Herstellung von exklusiven Autoscheinwerfern spezialisiert. Bei der Überprüfung der Kosten- und Gewinnsituation erhält die Geschäftsleitung folgende Angaben: Die Grenzkosten entwickeln sich wie die Funktion f mit f(x) 3x 2 12x 15, wobei x die produzierte Menge in Mengeneinheiten [1 ME = 1000 Stück] bezeichnet. Bei einer Produktionsmenge von 4 ME betragen die Stückkosten 10 Geldeinheiten [1 GE = ] Ermitteln Sie eine Polynomfunktion dritten Grades, die den Zusammenhang zwischen Produktionsmenge und Gesamtkostenfunktion beschreibt. 7.2 Die Gesellschaft rechnet in der nächsten Abrechnungsperiode mit folgender Gesamtkostenfunktion K und Erlösfunktion E: 3 2 und Ex K x x 6x 15x 12 17x wobei 0 x 7 (mit den Einheiten aus 7.1) Bei der Produktion welcher Stückzahlen wird Gewinn gemacht? Ermitteln Sie den maximalen Gewinn in Euro Bei welcher Stückzahl liegt das Betriebsminimum? Welcher Preis muss für einen Scheinwerfer mindestens erzielt werden, wenn die variablen Kosten im Betriebsminimum gedeckt werden sollen? 7.3 Vom Großhandel werden Scheinwerfer zu folgenden Preisen (auf volle Euro gerundet) angeboten: Preis Anzahl Zu welchem Durchschnittspreis werden die Scheinwerfer angeboten, wenn man davon ausgeht, dass der Durchschnittspreis jedes Preissegments einen Euro unter dem Höchstpreis liegt? Stellen Sie die Werte aus der Tabelle in einem Säulendiagramm dar Inwiefern weicht die Verteilung der Preise in der Tabelle von einer Normalverteilung ab? Nennen Sie einen möglichen Grund für die Abweichung. Ändern Sie die Klassenbreiten so, dass dann eine bessere Annäherung an eine Normalverteilung vorliegt.

12 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe 7 Die Firma Holz KG stellt Fertigparkettquadrate her. Die Gesamtkosten hängen von der Produktionsmenge ab und werden durch eine Polynomfunktion 3.Grades beschrieben. Die Produktionsmengen werden in Mengeneinheiten (ME), die Gesamtkosten in Geldeinheiten (GE) angegeben. 7.1 Ermitteln Sie mit nachfolgenden Informationen die Kostenfunktion: Bei einer Produktionsmenge von 4 ME betragen die Gesamtkosten 24,5 GE und die Grenzkosten 3 GE pro ME. Die variablen Stückkosten sind bei dieser Ausbringungsmenge minimal. Bei einer Produktion von 10 ME entstehen Stückkosten in Höhe von 13,25 GE je ME. (7 VP) Nach geänderten Produktionsverfahren sind die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E gegeben durch 3 2 und K x 0,25x 2x 6x 12,5 Ex 9,25x 7.2 Berechnen Sie die Nutzenschwelle und die Nutzengrenze. 7.3 Bei welcher Produktionsmenge ist der Stückgewinn maximal? Geben sie den maximalen Stückgewinn an. 7.4 Nach einer Senkung der Fixkosten liegt die Nutzengrenze bei 9 ME. Um wie viel GE wurden die Fixkosten gesenkt? Die Fertigparkettquadrate haben eine Soll-Kantenlänge von 200 mm. Die Qualität der Produktion wird laufend überprüft. In der Produktionsperiode 1 ergibt sich folgende Häufigkeitsverteilung: Katenlänge in mm Anzahl Teile mit Kantenlängen von genau 199, 200, 201, 202 mm gehören jeweils zur linken Spalte der Tabelle. In der Produktionsperiode 2 wird die Sägemaschine nach Kundenreklamationen neu eingestellt. Es ergibt sich eine durchschnittliche Kantenlänge von 200,2mm bei einer Standardabweichung von 0,45 mm. 7.5 Bestimmen Sie unter Verwendung der Klassenmitten die durchschnittliche Kantenlänge und die Standardabweichung für die Produktionsperiode 1. Kann die Neueinstellung in Produktionsperiode 2 als erfolgreich bezeichnet werden? Begründen Sie Ihre Antwort. (7 VP) 7.6 Wie viel Prozent der Fertigparkettquadrate in Produktionsperiode 2 haben eine Kantenlänge zwischen 199,5 mm und 201 mm, wenn die Kantenlänge normalverteilt ist?

13 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Der Schuhhersteller Treter legt für seine Kostenfunktion eine ganzrationale Funktion 3.Grades zu Grunde, die Erlösfunktion ist linear. Die Fixkosten betragen 34 Geldeinheiten (GE). In der folgenden Tabelle sind die bekannten Werte festgehalten: Ergänzen Sie die fehlenden Werte. Produktionsmenge in ME Erlös in GE 175 Kosten in GE Gewinn in GE 5 Variable Stückkosten in GE Die Gesamtkostenfunktion K und die Erlösfunktion E (jeweils in GE) des Schuhfabrikanten Gecko sind für die Produktionsmenge x (in ME) gegeben durch K x 0,2x 8x 120x 20 Ex 50x mit x und Zeichnen Sie die Schaubilder der Kosten- und Erlösfunktion in ein geeignetes Koordinatensystem. (7 VP) Welcher Mindestpreis muss gefordert werden, damit der Betrieb seine variablen Kosten für wenigstens eine Produktionsmenge decken kann? (3 VP) Aktuell werden 20 ME produziert und verkauft. Überprüfen Sie, ob durch Änderung der Produktionsmenge der Gewinn des Unternehmens gesteigert werden kann Eine Werbekampagne, die die Verkaufszahlen voraussichtlich um 2 ME von 20 ME auf 22 ME erhöhen würde, kostet ca. 5 GE. Untersuchen Sie, ob sich diese Maßnahme für den Betrieb lohnen würde. 7.3 Die Befragung von Personen in einer Fußgängerzone nach ihrer Schuhgröße ergab an zwei verschiedenen Tagen Häufigkeiten, die jeweils in einem Diagramm wiedergegeben wurden. Dabei ist das arithmetische Mittel, die Standardabweichung und M der Median. Tag 1: Tag 2: , 2 1, Erläutern Sie, weshalb gilt: 2 1 und M Für eine der beiden Verteilungen lässt sich mit Hilfe der Gaußschen Normalverteilung näherungsweise bestimmen, wie viel Prozent der Befragten eine Schuhgröße zwischen 39 und 43 hatten. Berechnen Sie diesen Prozentsatz.

14 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Der Gewinn G (in Geldeinheiten GE) eines Unternehmens für die Herstellung von Holzspielzeug hängt von der Ausbringungsmenge x (in Mengeneinheiten ME) wie folgt ab: 3 2 Gx x bx cx d Weiterhin ist bekannt, dass das Gewinnmaximum von 368 GE bei der Produktionsmenge 11 ME erzielt wird. Die Nutzengrenze liegt bei 15 ME. Diesem Gewinn liegt ein konstanter Stückpreis von 125 GE zugrunde. Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G sowie die Erlös- und Kostenfunktion. 7.2 Durch Umstrukturierung im Produktionsablauf ändert sich die Kostenfunktion und hat jetzt die Form K x x 14x 100x 600 mit 0 x 20 3 (8 VP) Zeichnen Sie das Schaubild der Kostenfunktion in ein geeignetes Koordinatensystem. (3 VP) Zeigen Sie, dass die Kostenfunktion monoton wachsend ist Berechnen Sie die langfristige Preisuntergrenze. (3 VP) Bei welchem konstanten Stückpreis ist x = 13 die gewinnmaximale Produktionsmenge? 7.3 Das Unternehmen stellt unter anderem Holzkugeln her. In einer langfristigen Untersuchung wurde der Durchmesser der Kugeln erfasst. Man stellte fest, dass der Durchmesser normalverteilt ist mit einem Mittelwert von 5 und einer Standardabweichung 0,8. Die folgende Abbildung zeigt das Schaubild der zugehörigen Dichtefunktion Welche Bedeutung hat der Inhalt der markierten Fläche? x f(x) e Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig herausgegriffene Kugel einen Durchmesser von mehr als 6,5 hat Durch eine Justierung der Herstellungsmaschine soll die Standardabweichung verringert werden. Welche Bedeutung hat die Verringerung der Standardabweichung? Beschreiben Sie, wie sich diese Veränderung auf das Schaubild der Dichtefunktion auswirkt. (8 VP)

15 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe Die AutoSystem GmbH hat eine neue Traktionskontrolle entwickelt. Dieses neue System soll den Beschleunigungsvorgang beim Anfahren verbessern. Zum Zeitpunkt der Markteinführung ist das Unternehmen der einzige Anbieter Die Marktforschung ergibt, dass bei einem Preis von Systeme und bei einem Preis von Systeme verkauft werden können. Bestimmen Sie einen geeigneten Funktionsterm, der die Abhängigkeit des Preises von der Menge der verkauften Systeme beschreibt. Geben Sie die Erlösfunktion E an und zeichnen Sie das Schaubild von E in ein. Koordinatensystem für 0 x Das Rechnungswesen liefert folgende Daten für die Kostenkalkulation: Fixe Kosten: Kostenzuwachs pro System bei 120 produzierten Systemen: 60 Gesamtkosten von 250 produzierten Systemen: Variable Stückkosten bei 80 produzierten Systemen: 420 Die Gesamtkostenfunktion soll durch eine ganzrationale Funktion 3.Grades beschrieben werden. Bestimmen Sie die Gesamtkostenfunktion K. Zeichnen Sie das Schaubild von K in das Koordinatensystem aus Die AutoSystem GmbH kalkuliert mit der Gesamtkostenfunktion K mit K x x 8x 900x und der 40 E x 5x 1600x für 0 x 250. Erlösfunktion E mit Berechnen Sie, für welche Produktionsmenge der Kostenzuwachs am geringsten ist. (2 VP) Ermitteln Sie den Preis pro System, so dass das Unternehmen einen maximalen Gewinn erzielt Zeichnen Sie in das Schaubild von vom Punkt P( ) aus eine Tangente an K ein. Berechnen Sie die Steigung dieser Tangente und erläutern Sie die wirtschaftliche Bedeutung der Steigung.

16 74351 Produktion Kosten - Gewinn Die AutoSystem GmbH führt zwei Testreihen durch, um die Funktionsfähigkeit des neuen Systems zu prüfen. Dabei wird in jeweils fünf Versuchen die Zeit in Sekunden gemessen, die es dauert, um aus dem Stand heraus auf eine Geschwindigkeit von 100 km/h zu beschleunigen. Die erste Testreihe wird von einem erfahrenen Autofahrer ohne das neue System durchgeführt. Anschließend wird das neue System eingebaut und die Messung in einer zweiten Testreihe wiederholt. In der folgenden Tabelle sind die Messergebnisse festgehalten: Messung Zeit in Sekunden (ohne neues System) 7,31 7,42 6,99 7,25 7,13 Zeit in Sekunden (mit neuem System) 7,11 7,10 7,13 7,12 7, Berechnen Sie den Mittelwert und Standardabweichung der beiden Versuchsreihen. Welche Schlüsse lassen sich aus diesen Ergebnissen über die Funktionsfähigkeit des neuen Systems ziehen? Begründen Sie, weshalb ein mit dem neuen System ausgestattetes Fahrzeug einem Fahrzeug ohne das neue System nicht immer überlegen ist Angenommen die Zeit, die ein Fahranfänger ohne das neue System für die Beschleunigung von 0 auf 100 km/h benötigt, ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von 10,2 Sekunden und einer Standardabweichung von 1,9 Sekunden. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Autofahrer die schlechteste Zeit aus der obigen Testreihe unterbietet?

17 74351 Produktion Kosten - Gewinn Aufgabe 7 Die Konrad Freudemann GmbH verkauft als alleinige Anbieterin einen multifunktionalen Rasenmäher. Dieser kann mit neuer, patentierter Technik nicht nur das Gras kurz halten, sondern auch die Straßen von Schmutz und Schnee befreien. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens hängen von der Produktionsmenge x (in ME) ab und werden beschrieben durch die Funktion K mit K x x x 440x 4000 (K in Geldeinheiten) Die Preis-Absatz-Funktion ist gegeben durch p x 339,05 0,2x 7.1 Geben Sie den Funktionsterm für den monatlichen Gesamterlös in Abhängigkeit von der Produktionsmenge x an. Zeichnen Sie die Schaubilder der Kosten- und Erlösfunktion für 0 x 1200 in ein gemeinsames Koordinatensystem. 7.2 Berechnen Sie, wie viele Rasenmäher die GmbH mindestens verkaufen muss, um einen Gewinn zu erzielen. Ermitteln Sie den maximalen Gewinn des Unternehmens. Veranschaulichen Sie beide Ergebnisse im Schaubild aus Aufgabe 7.1 Wie hoch ist der gewinnmaximale Preis in GE (Geldeinheiten)? (7 VP) Das Patent der Konrad Freudemann GmbH ist ausgelaufen und das Unternehmen muss sich den Markt für multifunktionale Rasenmäher mit vielen Anbietern aus Osteuropa und Asien teilen. 7.3 Berechnen Sie den Marktpreis (Preis pro ME), wenn im Gewinnmaximum genau 1025 ME verkauft werden. (3 VP) 7.4 Der Geschäftsführer meint: "Bei einem Marktpreis von 142 GE erreichen wir unseren maximalen Gewinn pro ME, wenn wir 1000 ME produzieren." Überprüfen Sie diese Aussage auf ihren Wahrheitsgehalt. 7.5 Berechnen Sie das Betriebsminimum. Geben Sie den Preis an, zu dem das Produkt mindestens verkauft werden muss, um die variablen Kosten zu decken. (Fortsetzung)

18 74351 Produktion Kosten - Gewinn 18 Die für die Rasenmäher benötigten Schrauben werden firmenintern auf einer alten und auf einer neuen Maschine hergestellt. Durch Stichprobenkontrollen ergeben sich für die Verteilung der Schraubendurchmesser folgende Daten: Mittelwert Standardabweichung Maschine A 10,0 mm 0,05 mm Maschine B 10,0 mm 0,065 mm Eine Schraube zählt als Ausschussware, wenn ihr Durchmesser um mehr als 1% vom Sollwert 10,0 mm abweicht. Sie wird dann entsorgt. 7.6 Es wird angenommen, dass die Verteilungen der Schraubendurchmesser normalverteilt sind. Berechnen Sie die Ausschussquoten der beiden Maschinen in Prozent. 7.7 Auf einer dritten Maschine C werden 1000 Schrauben als Stichprobe entnommen. Die Messwerte werden in einer Tabelle aufgenommen. Vergleichen Sie diese Maschine mit den Maschinen A und B. Ist es sinnvoll, die Produktion auf Maschine C weiter zu betreiben? Durchmesser in mm 9,5-9,6 Anzahl ,6-9,7 9,7-9,8 9,8-9,9 9,9-10,0 10,0-10,1 10,1-10,2 10,2-10,3 10,3-10,4 10,4-10,5