Abitur 2018 Grundkurs

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Manuela Lorenz
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1 Ott Lengersdorf Abitur 8 Grundkurs Aufgabensammlung zur zentralen Abiturprüfung Mathematik am Berufskolleg Berufliches Gymnasium Fachbereich Wirtschaft und Verwaltung Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Praxis Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Der Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Norbert Lengersdorf Oberstudienrat am Berufskolleg für Wirtschaft und Verwaltung in Herzogenrath Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Umschlag: Kreis links: www. adpic.de Kreis rechts: Robert Kneschke Fotolia.com * * * * * 9. Auflage 7 9 by RKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: RKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, 7 Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 Aufgaben Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung I Hilfsmittelfreier Teil der Zentralen Abiturprüfung ab 7 Dieser Teil der Abiturprüfung enthält Aufgaben entsprechend den Abiturvorgaben, davon mindestens zwei mit Anwendungsbezug. Analysis Lösungen Seite Aufgabe Zur ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K(x) = a x + b x + cx + d; a, c, d >, b <, x in, K(x) in GE, sind in der nebenstehenden Abbildung die Graphen der Grenzkostenfunktion, GE/ f f f der Stückkostenfunktion und der variablen Stückkostenfunktion dargestellt.. Ordnen Sie dem jeweiligen Graphen die entsprechende ökonomische Funktion begründet zu.. Beweisen Sie, dass die betriebsminimale Ausbringungsmenge bei x = b a liegt. Aufgabe Die monatlichen Absatzzahlen eines Produkts pro Monat werden mit f(t) = ( t) e,t, f(t) = ( t) e,t ( t in Monaten, f(t) in /Monat) modelliert. Der nebenstehende Graph verdeutlicht die Situation.. Berechnen Sie den Zeitpunkt, bis zu dem das Produkt auf dem Markt Monat abgesetzt werden kann.. Zeigen Sie, dass der Zeitpunkt des maximalen monatlichen Absatzes bei t = liegt. (f (t) = t e,t kann verwendet werden.)

4 Hilfsmittelfreier Teil Analysis Lösungen Seite Aufgabe Die monatlichen Absatzzahlen eines neuartigen Produkts werden mit f(t) = t + t (t in Monaten, f(t) in /Monat) modelliert. Der nebenstehende Graph verdeutlicht die Situation.. Bestimmen Sie die in den ersten Monaten insgesamt abgesetzte Menge.. Skizzieren Sie in das nebenstehende Koordinatensystem den Graphen der Funktion, die den Gesamtabsatz in Abhängigkeit von der Zeit angibt. 8 8 f(t) =,t + t Monate Monate Aufgabe a) Bestimmen Sie den Funktionsterm GE H für die Erlösfunktion unter der Voraussetzung, dass es sich um eine ganzrationale Funktion. Grades handelt. b) Ergänzen Sie den Graphen der. Ableitung in das Koordinatensystem. Beschreiben Sie den Verlauf des Ableitungsgraphen mathematisch und ökonomisch.

5 Aufgaben Analysis Lösungen Seite 7 Aufgabe Die folgende Tabelle gibt die Stückkosten k, die variablen Stückkosten k v und die Grenzkosten K zur ertragsgesetzlichen Kostenfunktion K an ( x in ; K(x) in GE): x 7 8 k(x),, 97, 8, 77,8 7, 77, 8, k v (x) 7,, 9, 8, 9,, 7,, K (x),,, 8, 9, 7, 99, 8, Beurteilen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussagen allein unter Zuhilfenahme der Tabellenwerte:. Das Betriebsminimum liegt bei.. Die Kosten steigen zwischen und degressiv.. Die Fixkosten belaufen sich auf GE. Aufgabe Die Absatzentwicklung eines Produktes wird durch die folgende Funktion beschrieben: f(t) = 9t e,t + dabei steht t > für die Monate und f(t) für den Absatz in pro Monat f 8 8. Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die monatlichen Absatzzahlen maximal werden (notwendiges Kriterium genügt).. Nehmen Sie mit Hilfe des Graphen Stellung zu der folgenden Aussage: In der zweiten Hälfte des ersten Jahres liegt der Zeitpunkt des maximalen Absatzrückganges.

6 Hilfsmittelfreier Teil Analysis Lösungen Seite 8 Aufgabe 7 Gegeben sind folgende Angebotsfunktion p A und Nachfragefunktion p N : p A (x) = x + p N (x) = x + x in, p(x) in GE/ GE/ p N 8 8 p A Berechnen Sie das Marktgleichgewicht. 7. Begründen Sie anhand der Graphen, dass die Konsumentenrente geringer ist als die Produzentenrente. Aufgabe 8 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x + x x. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f. f(x) 8. Berechnen Sie alle Nullstellen der Funktion f. 8. Entscheiden Sie begründet mit Hilfe einer Zeichnung in der Abbildung, ob die Gerade g Abbildung x mit y = x + eine Tangente am Graphen von f im Punkt P ( ) ist.

7 Aufgaben Analysis Lösungen Seite 9 Aufgabe 9 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x + x. Die Koordinaten des lokalen f(x) Hochpunktes und des lokalen Tiefpunktes sind ganzzahlig. Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f. () Entscheiden Sie begründet, ob der Graph x der Ableitungsfunktion f eine nach oben oder nach unten geöffnete Parabel ist. () Geben Sie alle Werte für den Parameter c an, so dass die Funktion g c mit der Gleichung g c (x) = f(x) + c genau zwei Nullstellen besitzt. Abbildung Begründen Sie Ihre Angabe. Aufgabe Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f(x) = x x. Der Graph ist in der Abbildung dargestellt. () Weisen Sie rechnerisch nach, dass die in der Zeichnung erkennbare Nullstelle tatsächlich eine Nullstelle ist. f(x) x () Gegeben ist die Funktion g a mit der Gleichung g a (x) = f(x + a); a. Geben Sie an, wie sich der Graph von g a verändert, wenn man für a immer größere Zahlen einsetzt. Abbildung Geben Sie außerdem einen Wert für a an, so dass die Funktion g a die Nullstelle x = besitzt.

8 Hilfsmittelfreier Teil Analysis Aufgabe Lösungen Seite Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der f(x) Funktion f mit der Gleichung f(x) = x x +. () Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P( ). () Skizzieren Sie den Graphen von f in die Abbildung. ( ) Aufgabe Abbildung x Gegeben ist eine Funktion f. Die Abbildung zeigt die Parabel ihrer Ableitungsfunktion f mit der Gleichung f (x) = x + x +. f (x) Abbildung () Die Parabel von f besitzt die beiden x Nullstellen x = und x =. Ermitteln Sie unter Verwendung dieser Nullstellen rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunktes S der Parabel. () Begründen Sie, dass keine der beiden Abbildungen und den Graphen der Funktion f zeigt. Führen Sie jeweils mindestens ein Gegenargument auf. y 7 8 x g y h 7 8 x Abbildung Abbildung

9 Aufgaben 7 Analysis Lösungen Seite - Aufgabe Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. Ermitteln Sie einen möglichen Funktionsterm. y K f x Aufgabe Das Schaubild der Funktion f mit f(x) = x + x x besitzt einen Wendepunkt. Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt. Aufgabe Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-achse im Ursprung. Der Punkt H( ) ist der Hochpunkt des Schaubilds. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung. Aufgabe K ist der Graph der Funktion f mit f(x) = e x. Die Tangente an K an der Stelle x = schneidet die Asymptote von K in S. y Bestimmen Sie die Koordinaten von S. Aufgabe 7 Berechnen Sie das Integral ( x, x x)dx. Interpretieren Sie den Integralwert mit Hilfe geeigneter Flächenstücke. x Aufgabe 8 Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = x + und g(x) = x. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. Aufgabe 9 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = e x. Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion F von f mit F(,) =.

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