Abitur Mathematik für berufliche Gymnasien Analysis, Stochastik Wahlgebiet: Matrizen, Prozesse. Pflichtteil und Wahlteil. Merkur.

Transkript

1 Pflichtteil und Wahlteil Ott Rosner Mathematik für berufliche Gmnasien Analsis, Stochastik Wahlgebiet: Matrizen, Prozesse Abitur 2018 Merkur Verlag Rinteln

2 Wirtschaftswissenschaftliche Bücherei für Schule und Prais Begründet von Handelsschul-Direktor Dipl.-Hdl. Friedrich Hutkap Verfasser: Roland Ott Studium der Mathematik an der Universität Tübingen Stefan Rosner Lehrauftrag Mathematik an der Kaufmännischen Schule Schwäbisch Hall Studium der Mathematik an der Universität Mannheim Fast alle in diesem Buch erwähnten Hard- und Softwarebezeichnungen sind eingetragene Warenzeichen. Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. * * * * * Umschlag Hintergrundbild: Beatrice Chatot Fotolia.com Kreis links: Africa Studio Fotolia.com, Kreis rechts: Picture-Factor Fotolia.com 14. Auflage b MERKUR VERLAG RINTELN Gesamtherstellung: MERKUR VERLAG RINTELN Hutkap GmbH & Co. KG, Rinteln info@merkur-verlag.de lehrer-service@merkur-verlag.de Internet: ISBN

3 4 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Ablauf der Abiturprüfung in Mathematik...5 I Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung Übungsaufgaben Analsis Übungsaufgaben Stochastik Übungsaufgaben Matrizen und Prozesse Aufgabensätze Pflichtteil...22 II Teile der Abiturprüfung mit Hilfsmittel Übungsaufgaben Analsis Übungsaufgaben mit Hilfsmittel Anwendungsorientierte Analsis Stochastik Übungsaufgaben mit Hilfsmittel Matrizen und Prozesse...59 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz Aufgabensatz IV Hauptprüfung 2016/ V Lösungen Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung Lösungen Übungsaufgaben Lösungen Pflichtteilsätze Teile der Abiturprüfung mit Hilfsmittel Lösungen Übungsaufgaben Lösungen Musteraufgabensätze zum Abitur Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Aufgabensatz Lösungen Abiturprüfung 2016/

4 5 Ablauf der Abiturprüfung in Mathematik Zu Beginn: SchülerIn erhält alle Aufgabenteile (1 bis 4), jedoch keine Hilfsmittel Phase 1: Bearbeitung des hilfsmittelfreien Teils Teil Thema Auswahl Richtzeit Punkte 1 Analsis (50%) Stochastik (25%) Vektorgeometrie oder Matrizen (25%) keine ca. 90 min 30 Nach endgültiger Abgabe von Teil 1 erhält SchülerIn die Hilfsmittel Phase 2: Bearbeitung der Teile mit Hilfsmitteln (Taschenrechner + Merkhilfe) Teil Thema Auswahl Richtzeit Punkte Analsis (ca. 67%) keine 2 Anwendungsorientierte Analsis (ca. 33 %) 3 Stochastik Vektorgeometrie oder 4 Matrizen SchülerIn wählt ca. 90 min 30 eine aus drei Aufgaben SchülerIn wählt eine aus zwei ca. 45 min ca. 15 Aufgaben keine ca. 45 min ca. 15 Hinweise Die Prüfung dauert insgesamt maimal 270 Minuten. Die maimal erreichbare Punktzahl beträgt 90 Punkte. Die Gesamtpunktzahl für die Teile 3 und 4 beträgt 30 Punkte. SchülerIn erhält nur Aufgaben zu dem Wahlgebiet (Vektorgeometrie oder Mathematische Beschreibung von Prozessen durch Matrizen) vorgelegt, welches zuvor im Unterricht behandelt wurde.

5 22 I Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung 2 Aufgabensätze Pflichtteil Aufgabensatz A Pflichtteil Lösungen Seite 142/143 Ohne Hilfsmittel (30 Punkte) Analsis Punkte π 1.1 Erläutern Sie anhand einer Skizze, ob das Integral sin()d 3 größer, kleiner oder gleich Null ist. π Für eine Funktion f gilt: 4 (1) f'() = 0 für 1 = 2 und 2 = 1 (2) f''( 2) = 3 (3) f''(1) = 3 (4) f( 2) = 19 3 (5) f(1) = 11 6 Welche Aussagen lassen sich daraus für das Schaubild von f treffen? 1.3 Gegeben ist die Funktion f mit f() = cos(2),. 4 Geben Sie die Periode von f an. Bestimmen Sie eine Lösung der Gleichung cos(2) = Die Abbildungen zeigen Schaubilder von drei Funktionen sowie deren 5 zugehörigen ersten und zweiten Ableitungen. Ordnen Sie jeweils dem Schaubild der Funktion das Schaubild ihrer ersten und zweiten Ableitung zu: A B C D E F G H I

6 2 Aufgabensätze Pflichtteil 23 Aufgabensatz A Stochastik Pflichtteil Punkte 2.1 Eine Laplace-Münze wird dreimal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlich- 2 keit erzielt man zweimal Zahl und einmal Bild? 2.2 Ein Würfel wird 20-mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlich- 2 keit erzielt man zweimal die Augenzahl 3? Geben Sie eine Term an. 2.3 Bei einer Blutspendenaktion werden die Blutgruppen der Spender 2 bestimmt. Ein Ereignis ist: In einer Gruppe von fünf Freunden hat niemand die Blutgruppe Null. Beschreiben Sie das Gegenereignis in Worten. 2.4 Die Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: 2 i P(X = i ) 0,2 u w 0,2 Der Erwartungswert von X beträgt 0,2. Berechnen Sie u und w. Matrizen und Prozesse 3.1 Die Kunden eines Getränkemarktes kaufen wöchentlich eine der beiden 3 Fruchtsaftspezialitäten Apfelsaft (A) oder Orangensaft (O). Das Übergangsdiagramm beschreibt das Kaufverhalten der Kunden von einer Woche zur folgenden Woche. Man nimmt an, dass sich das Kaufverhalten auf Dauer nicht verändert. A 0 0,8 Geben Sie die vollständige Übergangsmatri M = (... 0, ) an. Erläutern Sie die Bedeutung der Elemente der Hauptdiagonale von M Gegeben ist die Matri A = ( 0,8 0,2 0,6 0,4 ). 3 Lösen Sie die Matrizengleichung (E A) = 0 ; E ist hierbei die zugehörige Einheitsmatri. 0,3 30

7 70 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz 1 Lösungen Seite Teil 1 ohne Hilfsmittel 1 Analsis Punkte 1.1 Gegeben ist das folgende Schaubild einer Funktion: Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründen Sie Ihre Entscheidung. a) Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle = 0 ist negativ. b) Der Funktionswert an der Stelle = 2 ist positiv. c) Der Wert der ersten Ableitung an der Stelle = 3 ist null. d) Der Wert der zweiten Ableitung an der Stelle = 3 ist positiv. 1.2 Gegeben ist die Funktion f mit f( ) = ;. 4 Berechnen Sie, an welchen Stellen das zugehörige Schaubild K eine waagerechte Tangente aufweist. 1.3 Die Funktion g hat die Eigenschaften: g(3 ) = 0 und g()d = Skizzieren Sie ein mögliches Schaubild von g und begründen Sie Ihre Vorgehensweise. 1.4 Das Schaubild einer trigonometrischen Funktion ist smmetrisch zur 3 -Achse, verläuft durch den Punkt S(0 3) und hat in T (3 0) einen Tiefpunkt. Geben Sie einen möglichen Funktionsterm an. 6

8 72 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz 1 Teil 2 mit Hilfsmittel Analsis 1 Gegeben ist die Funktion f mit f( ) = e 1 ;. Punkte Das Schaubild der Funktion f heißt K. 1.1 Zeichnen Sie das Schaubild K in ein Koordinatensstem ein. 5 Geben Sie die Gleichung der Asmptote von K an und zeichnen Sie diese ebenfalls ein. 1.2 Untersuchen Sie K auf Etrempunkte Das Schaubild K und die 2. Winkelhalbierende schließen mit der -Achse 4 und der Geraden mit der Gleichung = a für a < 0 eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in Abhängigkeit von a. Gegen welchen Wert strebt dieser Flächeninhalt für a? 2.1 Das zur -Achse smmetrische Schaubild einer Polnomfunktion 4 4. Grades schneidet die -Achse im Punkt S(0 2 ), es hat an der Stelle = 1 die Steigung 4 und einen Etrempunkt an der Stelle = 2. Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm. 2.2 Zeigen Sie: Die Wendestelle einer Polnomfunktion 3. Grades liegt bei 3 = 2, wenn die Koeffizienten von 3 und 2 das Verhältnis 1 : 6 haben.

9 78 III Musteraufgabensätze zur Abiturprüfung Aufgabensatz 1 Teil 4 mit Hilfsmittel Matrizen Aufgabe 1 Punkte Der AW-Konzern produziert Personenkraftwagen seiner Marke an drei Standorten A, B und C. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen, möchte das Unternehmen einen Teil der Mitarbeiter, die in der Produktion am Standort A arbeiten, langfristig in die zwei anderen Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten für den Wechsel der Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil bleiben. Nach A B C von A B C M = ( 0,7 0,2 0,1 0,1 0,8 0,1 0,1 0 0,9 ) 1.1 Stellen Sie die Entwicklung der Mitarbeiterzahlen in einem 7 Übergangsdiagramm dar. Berechnen Sie die Verteilung auf die Standorte A, B und C nach zwei Jahren. 1.2 Untersuchen Sie, ob es eine Verteilung mit insgesamt Mitarbeitern 5 gibt, die im nächsten Jahr gleich bleibt. Falls ja, geben Sie diese Verteilung an. 1.3 Es gilt: M 20 = ( 0,250 0,256 0,494 0,250 0,256 0,494 0,250 0,244 0,506 ). 2 Interpretieren Sie die Einträge der mittleren Zeile dieser Matri. Nehmen Sie an, dass der Prozess eine stabile Grenzmatri aufweist. Geben Sie gegebenenfalls Prognosen bezüglich der zukünftigen Verteilung der Mitarbeiter auf die Standorte ab. 15

10 142 IV Lösungen 1.2 Lösungen Pflichtteilsätze Aufgabensatz A Teil 1: Keine Hilfsmittel zugelassen. Analsis 1.1 Skizze: π π 2 sin()d > 0 1 π π/2 0 π/2 π Die Fläche oberhalb der -Achse ist größer als die Fläche unterhalb der -Achse. Daher ist der Integralwert positiv. 1.2 Bedingungen: (1) f'() = 0 für 1 = 2 und 2 = 1 waagrechte Tangente in 1 = 2 und 2 = 1 (2) f''( 2) = 3 1 = 2 ist Maimalstelle (3) f''(1) = 3 2 = 1 ist Minimalstelle (4) f( 2) = Kurvenpunkt H( 2 3 ) (5) f(1) = Kurvenpunkt T(1 6 ) Aussagen über das Schaubild von f: Das Schaubild besitzt den Hochpunkt H( ) und den Tiefpunkt T(1 6 ). 1.3 f() = cos(2), Periode von f: p = 2π 2 = π Lösung der Gleichung cos(2) = 1: Mit der Substitution 2 = z erhält man die Gleichung cos(z)= 1 Eine Lösung dieser Gleichung ist z = π. Mit 2 = π ergibt sich = π Funktion Schaubild von f Schaubild von f Schaubild von f 1. A E I 2. D C H 3. G B F Hinweis: Etremstellen von f sind Nullstellen von f mit VZW Wendestellen von f sind Etremstellen von f. 1

11 Hilfsmittelfreier Teil der Abiturprüfung 143 Aufgabensatz A Stochastik 2.1 B: Bild, Z: Zahl. Ereignis A: Zweimal Z und einmal B. P(A) = P(BZZ) + P(ZBZ) + P(ZZB) = 3 ( 1 2 ) 3 = X: Anzahl der Würfe mit AZ = 3 bei n = 20 Würfen P(X = 2) = ( 20 2 ) ( 1 6 ) 2 ( 5 6 ) Gegenereignis in Worten: In einer Gruppe von fünf Freunden hat mindestens eine Person die Blutgruppe null. 2.4 Wahrscheinlichkeitsverteilung: i P(X = i ) 0,2 u w 0,2 E(X) = 0,2 3 0,2 + ( 1) u + 0 w + 5 0,2 = 0,2 für u = 0,2 Ferner gilt: 0,2 + 0,2 + w + 0,2 = 1. Somit ist w = 0,4. Matrizen 3.1 Übergangsmatri M = ( 0,7 0,3 0,2 0,8 ) Erläuterung: Die Elemente in der Hauptdiagonalen von M 2 geben die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Kunde zwei Wochen später wieder den gleichen Saft kauft. 3.2 A = ( 0,8 0,6 0,2 0,4 ) Matrizengleichung (E A) = 0 ( ) ( 0,8 0,6 0,2 0,4 ) = 0,2 0,6 ( 0,2 0,6 ) 0,2 ( 0,6 0,2 0,6 ) = 0 ergibt 0,2 1 0,6 2 = 0 0, ,6 2 = 0 Folglich gilt: 1 = 3 2 Eine Variable ist frei wählbar: 2 = r; r. Somit ergibt sich: = ( 3r r ) ; r.