Aufgabensammlung zum Üben - Blatt 2

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1 Seite 1 Aufgabensammlung zum Üben - Blatt 2 Quadratische Funktionen ohne Parameter: 1. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen a) f(x) = 2,5x² + 5x + 2,5 b) f(x) = x² - 3x + 4 c) f(x) = x² + 3x Berechnen Sie die Nullstellen und die Scheitelkoordinaten folgenden Funktionen. a) f(x) = x² b) f(x) = 3x² + 2x - 5 c) f(x) = -0,5(x-1)² + 1 Quadratische Funktionen mit Parameter: 3. Gegeben ist die Funktionenschar f k (x) = x² - x + k Bestimmen Sie die Lage, Vielfachheit und Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit von k. 4. Gegeben ist die Funktion f t (x) = -x² + tx - x. Ermitteln Sie die Lage, Vielfachheit und Anzahl der Nullstellen in Abhängigkeit vom Parameter t. Skizzieren Sie die Funktionenschar für t = {-3 ; -1; 1; 3;5}.

2 Seite 2 Anwendungsaufgaben: 5. Ein Theater hat durchschnittlich 300 Besucher. Als Eintritt werden 15 pro Besucher verlangt, das Theater nimmt also durchschnittlich E = 300 * 15 = 4500 Euro an einem Theaterabend ein. Die Theaterleitung überlegt, wie die Einnahmen zu steigern sind. Eine Befragung ergibt, dass bei einer Preiserhöhung um 1 die Besucherzahl um 10 Personen abnimmt, bei 2 Euro sind es 20 Personen weniger usw. Umgekehrt erhöht sich die Besucherzahl um je 10 Personen pro 1 Preisnachlass. a) Mit x werde die Änderung des Eintrittspreises in bezeichnet. Ermitteln Sie die Funktion der Einnahmen E(x) in Abhängigkeit der Preisänderung x. b) Finden Sie einen passenden Definitionsbereich der Erlösfunktion E(x). c) Für welche Preisänderung x ergeben sich die maximalen Einnahmen? Wie hoch sind in diesem Fall die Eintrittspreise und die Besucherzahl? d) Um wie viel Prozent steigen die Einnahmen gegenüber der jetzigen Preisgestaltung an? 6. Ein Transistorenhersteller hat ermittelt, dass seine Fertigungskosten k in quadratischer Form von der produzierten Stückzahl x (in tausend Stück) abhängen: k(x) = 0,8x² + 20, wobei x E [0;10]. Ferner erzielt er einen Erlös beim Verkauf der Transistoren nach folgender Gesetzmäßigkeit: e(x) = 8,9x. Die Gewinn-/Verlust Funktion (Verlust ist negativer Gewinn) ist g(x) = e(x) - k(x). a) Mit welchen Stückzahlen wird ein Gewinn erwirtschaftet? b) Bei welcher Stückzahl ist der Gewinn am größten? c) Zeichnen Sie die drei Graphen in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

3 Seite 3 Lösungen 1. durch die Mitternachtsformel erhält man: a) x 1 = -1 x 2 = -1 (doppelte Nullstelle) b) da D < 0 => keine Lösung c) x 1 = -0,38 x 2 =-2,61 (gerundete Werte) 2. a) keine Nullstellen Scheitel über Formel: x S = S ( 0 1 ) b) x 1 = 1 x 2 = - S ( ) c) x 1 = 2,41 x 2 = -0,41 S ( 1 1 ) 3. Ansatz: Nullstellen => f(x) = 0 x² - x + k = 0 geht nur über Diskriminante: D = b² - 4 * a * c = (-1)² - 4*1*k = 1-4k Fall 1: D > 0 Fall 2: D = 0 Fall 3: D < 0 1-4k > 0 1-4k = 0 1-4k < 0 k < für k < hat f k zwei einfache Nullstellen. x 1/2 = ± k = für k = hat f k eine doppelte Nullstelle. x 1/2 = k > für k = hat f k keine Nullstellen 4. Ansatz: Nullstellen => f(x) = 0 -x² + (t-1)x = 0 x (-x + t -1) = 0 x 1 = 0 x 2 = t - 1 Damit hat man eine feste Nullstelle bei x = 0 und eine "bewegliche", d.h. von t abhängige, bei x = t - 1 => Fallunterscheidung

4 Seite 4 für t = 1 ist die 2. Nullstelle ebenfalls 0. Dann fallen beide Nullstellen zusammen und man hat für t = 1 eine doppelte Nullstelle bei x 1/2 = 0. für t 1 gibt es stets 2 einfache Nullstellen. Der Fall "keine Nullstelle" kommt hier nicht vor. Zeichnung: 5. a) E = Eintrittspreis * Besucherzahl Eintrittspreis = 15 + x; Besucherzahl = x Wenn sich der Eintrittspreis um x erhöht, geht die Besucherzahl um 10x zurück. E(x) = (15 + x)(300-10x) = 10x² + 150x b) Da nur positive Einnahmen sinnvoll sind, lautet der Ansatz: E(x) = 0 (15 + x)(300-10x) = 0 => x 1 = -15, x 2 = 30 => D = [-15; 30] c) Die Nullstellen sind bekannt, daher hat der Scheitel die x - Koordinate: x S = ( x 1 + x 2 ) = 0,5 ( ) = 7,5 => Eintrittspreis: ,5 = 22,5 Besucherzahl: * 7,5 = 225 d) E max = 22,5 ** 225 = 5062,50 E bisher = * 7,5 = 4500,00

5 Seite 5 Berechnung der Mehreinnahmen:, = 0,125 = 12,5 % 6. a) Die Gewinnfunktion g(x) = e(x) - k(x) = 8,9x - (0,8x² + 20 ) = -0,8x² + 8,9x - 20 stellt eine nach unten geöffnete Parabel dar. Verläuft diese im positiven Bereich, so wird ein Gewinn erzielt, ansonsten wird Verlust gemacht. Die Nullstellen sind gerade die Übergänge von Verlust zu Gewinn oder umgekehrt. g(x) = 0-0,8x² + 8,9x - 20 = 0 => Lösungsformel: x 1 = 3,125, x 2 = 8 Zwischen diesen Stückzahlen wird ein Gewinn erzielt (Gewinnzone) außerhalb ein Verlust (Verlustzone). b) Der größere Gewinn wird dort erzielt, wo g(x) den größten Funktionswert besitzt. Das ist im Scheitel der Parabel, also in der Mitte von x 1 und x 2 : x S = ( x 1' + x 2 ) = ( 3, ) = 5,5625 Graphisch veranschaulicht: