Wegen fehlender Extremstellen von und positiver Steigung im Intervall ( &0; 11' ist eine größere Produktionsmenge stets mit höheren Gesamtkosten

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1 Aufgabe 1 Die Gesamtkosten eines Unternehmens bei der Herstellung eines Produktes werden durch die Funktion mit = ; [0;11] beschrieben. Dabei bezeichnen die Produktionsmenge in Mengeneinheiten () und die Gesamtkosten in Geldeinheiten (). Der Verkaufspreis beträgt 50. Der Erlös ist das Produkt aus Verkaufspreis und Verkaufsmenge. Das Schaubild der Funktion ist. 1.1 Zeichnen Sie das Schaubild. Prüfen Sie ob eine größere Produktionsmenge stets auch mit höheren Gesamtkosten verbunden ist. 1.2 Der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Gesamtkosten. Die Gewinnzone ist der Bereich in dem die Produktionsmenge liegen muss damit das Unternehmen keinen Verlust macht. Berechnen Sie die Gewinnzone und den maximalen Gewinn. Prüfen Sie ob der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50 % des maximalen Gewinns übersteigt. 1.3 Die langfristige Preisuntergrenze entspricht der Steigung der Tangente an die durch den Ursprung verläuft. Zeichnen Sie die Tangente ein. Ermitteln Sie rechnerisch die langfristige Preisuntergrenze.

2 Aufgabe 2 In einem chemischen Experiment wird die Reaktionsgeschwindigkeit bei der Reaktion von Zink mit Salzsäure betrachtet. Man gibt Zink in verdünnte Salzsäure. Dabei entsteht unter anderem Zinkionen und Wasserstoff. 2.1 Die Konzentration der Zinkionen in in Abhängigkeit von der Zeit wird näherungsweise durch die Funktion beschrieben: = 05 1 ; 0. ist hierbei die Zeit in Minuten ist die Konzentration der Zinkionen in Mol pro Liter. Die Reaktionsgeschwindigkeit (gemessen in "$ ) ist die momentane $ "%& Änderungsrate von Zeichnen Sie das Schaubild von für die ersten 12 Minuten. Welchem Wert nähert sich die Konzentration im Laufe der Zeit an? Geben Sie die maximale Reaktionsgeschwindigkeit an. Die Messung wird abgebrochen wenn die Reaktionsgeschwindigkeit unter 0002 "$ gefallen ist. $ "%& Nach wie vielen Minuten ist das der Fall? 2.2 Bei dem Experiment wird der entstehende Wasserstoff in einem Standzylinder aufgefangen. Bei einer ersten Messung ergeben sich die folgenden Daten für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens. Zeit in ()* Zuwachsrate in "$ "%& Stellen Sie die Daten in einem Koordinatensystem dar. Bestimmen Sie eine geeignete Näherungsfunktion für die Zuwachsrate des Wasserstoffvolumens in Abhängigkeit von der Zeit und bewerten Sie deren Güte Die momentane Änderungsrate des Wasserstoffvolumens (in "$ "%& ) wird durch die Funktion beschrieben: - = 19 ; 0. Wie viele Minuten dauert es bis 50 (/ Wasserstoff entstanden sind?

3 Aufgabe 1 Lösungslogik 1.1 Schaubild: Es heißt Zeichnen Sie das bedeutet eine genaue Zeichnung keine Skizze. Wir erstellen eine Wertetabelle mit dem GTR/WTR. Grafik siehe Klausuraufschrieb. Prüfung der Produktionsmenge: Höhere Gesamtkosten bei größerer Produktionsmenge bedeutet dass keine Extrempunkte im vorgegebenen Intervall haben darf d.h. ist streng monoton steigend. 1.2 Gewinnzone und maximaler Gewinn: Wir stellen die Erlösfunktion auf mit 50 wegen 50 /. Wir bestimmen die Schnittpunkte von und. Die sich ergebenden -Werte sind die Grenzen der Gewinnzone. Der maximale Gewinn ist die Differenzfunktion der maximale Gewinn ist in deren Hochpunkt. Mittlerer Gewinn in der Gewinnzone: Der mittlere Gewinn in der Gewinnzone berechnet sich über das Integral mit als unterer und oberer Grenze der Gewinnzone. 1.3 langfristige Preisuntergrenze : Wie bestimmen die Funktionsgleichung einer Tangente an die durch den Ursprung verläuft. Die gesuchte Grenze entspricht dann der Steigung der Tangente. Klausuraufschrieb 1.1 Schaubild: Siehe Grafik rechts. Prüfung der Produktionsmenge: Prüfung auf Extremstellen : 3 0! "! " % &' 0 40 Wegen fehlender Extremstellen von und positiver Steigung im Intervall ( &0; 11' ist eine größere Produktionsmenge stets mit höheren Gesamtkosten verbunden.

4 1.2 Gewinnzone: Erlösfunktion: 50 : ; 10 Die Gewinnzone liegt zwischen 4 und 10. Maximaler Gewinn: Berechnung des Maximums : 3! "! " 713 3; //-Formel Der maximale Gewinn wird erzielt bei ca. 7 und beträgt 117. Mittlerer Gewinn in der Gewinnzone: : 585 Wegen 7592 > 585 übersteigt der mittlere Gewinn im Bereich der Gewinnzone 50 % des maximalen Gewinns. 1.3 langfristige Preisuntergrenze : Funktionsgleichung der Tangente an im Punkt >?? die durch den Ursprung verläuft: A??? 0??? Punktprobe mit B0 0 3? 20? 40?? 10? 40? ? 20? 40?? 10? 40? ? 10? 100 0? Die langfristige Preisuntergrenze liegt bei etwa 3254 /.

5 Aufgabe 2 Lösungslogik Schaubild: Es heißt Zeichnen Sie das bedeutet eine genaue Zeichnung keine Skizze. Wir erstellen eine Wertetabelle mit dem GTR/WTR. Grafik siehe Klausuraufschrieb. Näherungswert der Konzentration im Laufe der Zeit: Wir bestimmen den Grenzwert von DA für A Maximale Reaktionsgeschwindigkeit: Wir untersuchen D A auf Extremwerte. Da D A keine Extremwerte besitzt ist die stärkste Reaktionsgeschwindigkeit ein Randmaximum. Aus der Grafik erkennen wir dass dieses Maximum zum Zeitpunkt A 0 vorliegt. Zeitpunkt des Abbruchs der Messung: Wir bilden D A 0002 und lösen die Gleichung dann nach A auf Schaubild: Wir übertragen die Messpunkte in ein Koordinatensystem und verbinden sie durch eine Näherungskurve. Grafik siehe Klausuraufschrieb. Bestimmung der Näherungsfunktion: An Hand der Grafik erkennen wir dass drei Funktionsarten in Frage kämen nämlich eine quadratische Funktion eine ganzrationale Funktion 4. Grades sowie eine Exponentialfunktion. Da DA eine Exponentialfunktion beschränkten Wachstums ist wird die Zuwachsrate des durch das Experiment entstehende Wasserstoffvolumen gegen 0 laufen. Somit bleibt als mögliche Funktion nur eine Exponentialfunktion relevant. Wir erstellen diese über eine Regression mithilfe des GTR. Bewertung der Güte: Die Güte einer Regressionskurve wird durch das Bestimmtheitsmaß ausgedrückt. Je näher dieses bei dem Wert 1 liegt umso größer ist die Güte der Regression. Im vorliegenden Fall liefert der GTR den Wert siehe Klausuraufschrieb Zeit für Entstehung von 50 JK Wasserstoff: Dies ist die Fläche unter LA im Intervall von 0 bis A. Wir bilden also: N 50 M L und lösen die entstandene Gleichung nach A auf. Klausuraufschrieb Schaubild: Siehe Grafik rechts. Näherungswert der Konzentration im Laufe der Zeit: Wegen lim S N 0 ist N R lim N R DA 05 Die Konzentration nähert sich im Laufe der Zeit dem Wert 05 5TU U

6 2.1.2 Maximale Reaktionsgeschwindigkeit: D A S N D A für A 0 Die maximale Reaktionsgeschwindigkeit beträgt etwa 017 5TU U 5VW Zeitpunkt A 0. Zeitpunkt des Abbruchs der Messung: D A S N : S N :X 0343A KY Z A UWZ \\\] \^_^`[ KY :X [ : Nach etwa 13 Minuten wird die Messung abgebrochen Schaubild: Siehe Grafik rechts. Wegen DA aus wird eine exponentielle Regression gewählt. Eingabe der Messtabelle in die Listen 1 und 2 des GTR: zum Anwahl exponentielle Regression: GTR-Ergebnis: a mit L Bewertung der Güte: Das Bestimmtheitsmaß L liegt sehr nahe dem Wert 1 was auf eine hohe Güte der Regression verweist Zeit für Entstehung von 50 JK Wasserstoff: N S 6 19 b cd\efeg h N SN S N 1 50 : ; 1 S N KY 0343A KY : 0343 A 679 Es dauert etwa 6 Minuten und 48 Sekunden bis 50 JK Wasserstoff entstanden sind.