12.4 Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen

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1 . Berechnung und Darstellung betriebswirtschaftlicher Funktionen.. Kostenfunktion a) Vorgaben und Fragestellung Die Materialkosten für die Herstellung eines Stücks belaufen sich auf CHF.--. Die anteilmässigen Fikosten für die Räumlichkeiten, die Maschinen etc. belaufen sich auf CHF.--. Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, und stellen Sie diese grafisch dar. Definitionen : Menge in Stück : Gesamtkosten in CHF Funktionsgleichung Kostenfunktion: = + Grafische Darstellung der Funktion / CHF Kosten 9 7 Kostenfunktion q (= ) m (= ) Abstand + auf X-Achse 7 9 Menge / Stk Interpretation Funktionsgleichung: = m + q m m q sind die Kosten pro Mengeneinheit sind die Stückzahlen sind die variablen Kosten sind die fien Kosten sind die Gesamtkosten Lineare Funktionsgleichungen 77

2 b) Vorgaben und Fragestellung Die Gesamtkosten eines Produktionsunternehmens entwickeln sich nach dem Gesetz = m + q, wobei die Anzahl Stück und die Gesamtkosten bedeuten. Wenn Stück hergestellt werden, belaufen sich die Gesamtkosten auf CHF.--, bei 7 Stück auf CHF.--. Ermitteln Sie die Gleichung der Kostenfunktion, und stellen Sie diese grafisch dar. Definitionen : Menge in Stück : Gesamtkosten in CHF Funktionsgleichung Basisdaten (Stück und Kosten) in Normalform einsetzen ( = m + q) () = m + q q = - m () = 7m + q q = - 7m Mit Gleichsetzungsverfahren (q gleichsetzen) die Steigung m ausrechnen - m = - 7m + 7m + m = - m = : m = m in eine der beiden Normalformen einsetzen und q ausrechnen = m + q = + q = + q q = m und q zur Funktionsgleichung zusammensetzen = + Grafische Darstellung der Funktion / CHF Gesamtkosten Kostenfunktion 7 9 Menge / Stk 7 Lineare Funktionsgleichungen

3 b) = - - I) Berechnung der Nullstellen Für den Wert einsetzen - - = berechnen Variante : Faktorzerlegung ( + ) ( - ) = beide Faktoren können je sein = -, = Nullstellen Variante : mit Formeln berechnen (pq-formel), = ± ( ), = ± 9, = ± = -, = N ( - / ), N ( / ) II) Berechnung des Scheitelpunkts Über die Nullstellen: Nullstellen bestimmen (vgl. Punkt I) N ( - / ), N ( / ) X-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: ( + ) / ( - + ) / = Y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: einsetzen = - - = -9 Scheitelpunkt S ( / 9) Mit Hilfe von Formeln: Werte der Normalform in Formel einsetzen = - - p = -, q = - S ( ) / ( ) ( ) Scheitelpunkt berechnen S / ( ) S ( / 9) III) Diagramm Nullstellen/Scheitelpunkt eintragen Wertetabelle für weitere Punkte Grafik N N S Die quadratische Funktion

4 c) = + I) Berechnung der Nullstellen Für den Wert einsetzen + = + = berechnen Variante : Faktorzerlegung ( + ) ( - ) = beide Faktoren können je sein = -, = Nullstellen N ( - / ), N ( / ) Variante : mit Formeln berechnen (pq-formel), = ± ( ), = ±, = ± = -, = II) Berechnung des Scheitelpunkts Nullstellen bestimmen (vgl. Punkt I) N ( - / ), N ( / ) X-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: ( + ) / ( - + ) / = - Y-Koordinate des Scheitelpunkts berechnen: einsetzen = ( -. ) ( - ) - ( - ) + = = Scheitelpunkt S ( - / ) III) Diagramm N S N Die quadratische Funktion 7

5 .. Der Gleichgewichtspreis a) Lesen Sie den Gleichgewichtspreis aus dem Diagramm ab, der sich aus den beiden vorhergehenden Angebots- und Nachfragefunktionen ergibt. / GE Angebot Preis pro ME ( / ) Gleichgewichtspreis Nachfrage / ME Menge Der Gleichgewichtspreis beträgt Geldeinheiten bei einer Menge von Mengeneinheiten. a) Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis rechnerisch. Angebots- und Nachfragefunktion einander gleichsetzen: + = + + = 7 + ' -, +, - + ' = : + 7 = p = -, q = 7, = ± 7, = ± ' 7, = ±, = ± =, = ( fällt als Lösung weg, da nicht in Definitionsmenge enthalten) berechnen (den Wert von in einer der beiden Funktionen einsetzen, hier: Angebotsfunktion): = + = + = = Der Gleichgewichtspreis beträgt Geldeinheiten bei einer Menge von Mengeneinheiten. 7 Preistheorie

6 .. Anwendungsbeispiele a) Das Marktverhalten lässt sich im Bereich zwischen und Mengeneinheiten mit folgenden Funktionen beschreiben: Angebot: 7 = Nachfrage: = Zeichnen Sie die Funktionen auf. Wie hoch ist der Gleichgewichtspreis? Lesen Sie ihn aus der Grafik ab. Definitionen D = { } D = + = Menge in Mengeneinheiten (ME) = Preis in Geldeinheiten (GE) Grafische Darstellung Wertetabelle für die Angebotsfunktion: Wertetabelle für die Nachfragefunktion: / GE Preis pro ME 9 7 ( / ) Angebot Gleichgewichtspreis Nachfrage / ME Menge Gleichgewichtspreis Der Gleichgewichtspreis beträgt Geldeinheiten bei einer Menge von Mengeneinheiten. Preistheorie 7

7 7. Spezielle Anwendungsbeispiele 7.. Absolute Abhängigkeit ) Ein EDV-Fachgeschäft bietet unter anderem Monitore mit einer Bilddiagonalen von 7 sowie mit einer von Zoll an. Gemäss Vorgaben sollen von den Zoll-Modellen höchstens Stück mehr als von den 7 Zoll-Modellen angeschafft werden. Von den 7 Zoll-Modellen sollen höchstens Stück, von beiden Modellen zusammen höchstens Stück gekauft werden. Der Gewinn für ein 7 Zoll-Modell beträgt CHF.--, für ein Zoll-Modell CHF.--. Bestimmen Sie die Bedingungen und die Zielfunktion, und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Bei welchen Stückzahlen ist der Gewinn am grössten und wie gross ist er? a) Definitionen D = o o = Anzahl 7 Zoll Monitore = Anzahl Zoll Monitore b) Bedingungen ) + = + und ) = und ) + = - + und c) Zielfunktion z = + = d) Diagramm / Stück Zoll Monitore ) 7 Zoll Monitore ) S ma ( / ) z ma ) / Stück Lineare Optimierung

8 e) Bestimmen des Maimums Berechnen des Maimums als Schnittpunkt von Gerade ) und ) = + und = - + Gleichsetzungsverfahren (die beiden Gleichungen d.h. einander gleichsetzen) + = - + = = Berechnung von : in Gleichung ) einsetzen = + = + = S ma ( / ) f) Stückzahlen für maimalen Gewinn Der maimale Gewinn entsteht bei Stück der 7 Zoll-Monitore und Stück der Zoll-Monitore. g) Maimaler Gewinn Zielfunktion: z = + Maimaler Gewinn = + = ' Der maimale Gewinn beträgt CHF '.--. Lineare Optimierung 9

9 .9 Anwendungsbeispiele III: Kapitalbewegungen und Zinssatzänderungen In den vorherigen Anwendungsbeispielen wurde immer davon ausgegangen, dass das Basiskapital weder durch Einzahlungen zunimmt noch durch abgehobene Beträge kleiner wird. Solche Kapitalbewegungen sind in der Prais aber weit verbreitet, da ein grösserer Betrag oftmals nicht mit einer einmaligen Investition, sondern in mehreren unterschiedlich hohen Teilraten bezahlt wird. Beispiele aus der Prais: Ein Grundstück wird in mehreren Schritten finanziert. Eine Schuld wird in mehreren Raten in unterschiedlichen Zeitperioden zurückbezahlt. Ein Kapital wird durch Einlagen erhöht oder Auszahlungen vermindert. Während der Laufzeit ändert der Zinssatz. Die Berechnungsformeln entsprechen den zuvor behandelten Zinseszinsformeln. Wir müssen lediglich noch die Kapitalbewegungen korrekt berücksichtigen. Allgemeines Lösungsvorgehen: Aufgabenstellung: Auf welchen Betrag ist ein Kapital von CHF '.-- nach Jahren angewachsen, wenn nach Jahren CHF '.-- einbezahlt und nach 7 Jahren CHF '.-- abgehoben werden (bei einem Zinssatz von %)? ) Variante I Für jede Kapitalbewegung (Anfangskapital, Einzahlung, Abhebung) wird das Endkapital bis zum Ende (hier: bis in Jahren) berechnet. Analse % 7 9 Jahre + - Jahre Jahre Jahre? Formel festlegen n Kn = K q Ausrechnung. Kapital (CHF '.--) für Jahre: K = '. K = '.9... K '9.9. Kapital (Einzahlung von CHF '.--) für Jahre: K = '. K = '.9... K + '7.7. Kapital (Abhebung von CHF '.--) für Jahre: K = '. K = '.7 K - '7. Kapital nach Jahren K '. Lösung Nach Jahren beträgt das Kapital CHF '.. 9 Zinseszinsrechnungen

10 a) Astrid hat folgende Einzahlungen auf ihr Konto vorgenommen: Einzahlung von CHF '.--, vor Jahren Einzahlung von CHF '.--, vor 7 Jahren Einzahlung von CHF '.--, vor Jahren Auf welchen Betrag ist das Kapital heute angewachsen, wenn der Zinssatz immer % betragen hat? Analse % 7 9 Jahre + + +? 7 Jahre Jahre Jahre Formel festlegen K n = K q n Ausrechnung Variante: Berechnung der einzelnen Kapitalien. Kapital (Einzahlung von CHF '.--) für Jahre: = ' K = '... K ' K.. Kapital (Einzahlung von CHF '.--) für 7 Jahre: 7 = ' K 7 = '.7... K 7 + 7'... K 7.. Kapital (Einzahlung von CHF '.--) für Jahre: K = '. = '. K + '. K K '.9... Lösung Das Kapital ist heute auf einen Betrag von CHF '. angewachsen. 9 Zinseszinsrechnungen

11 Aufgabe. Vermischte Aufgaben g) Eine Gerade g 7 hat die Normalform =. Eine zweite Gerade h 7 steht senkrecht zur Geraden g 7 und schneidet die X-Achse bei. Wie lautet die Normalform der Geraden h 7? Analse: h 7 ( / ) g 7 h 7 : = + h) Eine Gerade g schneidet die Y-Achse im Punkt - und geht auch durch den Punkt P ( - / - ). Wie lautet die Normalform der Geraden h, die senkrecht zur Geraden g verläuft und die X-Achse im selben Punkt schneidet wie die Gerade g? Analse: g P ( - / - ) ( / - ) h h : = + g : = i) Die Gerade g 9 verläuft durch den Punkt P 9 ( - / - ) und hat die Steigung -. Wie lautet die Normalform der Geraden h 9, welche die Y-Achse im selben Punkt wie die Gerade g 9 und die X-Achse im Punkt schneidet? Analse: g 9 h 9 P 9 ( - / - ) ( / ) h 9 : = g 9 : = 7 b Funktionen

12 Aufgabe.9 Ermitteln Sie die Schnittpunkte der Kurve (Parabel) mit der Geraden, und zeichnen Sie beide Funktionen in ein Koordinatensstem ein. c) f : = g : = + d) f : = + g : = + S ( - / ), S ( / ) S ( / ), S / f g 7 S S f 7 g S S e) f : = + g : = + f) f : = + g : = S ( - / - ), S ( / 7 ) S ( - / - ), S / f g 7 S S - - f S - - S g -7 e Die quadratische Funktion

13 Aufgabe 7.7 b) Ein Möbelhaus plant neue Tische in sein Sortiment aufzunehmen. Zur Auswahl stehen ein rechteckiges und ein ovales Modell. Vom rechteckigen Modell sollen mindestens, vom ovalen Modell mindestens Stück eingekauft werden. Aufgrund der Lagerkapazitäten können entweder vom rechteckigen Modell höchstens oder vom ovalen Modell höchstens Stück oder eine beliebige Kombination im selben Verhältnis eingekauft werden. Der Bruttogewinn beträgt bei einem viereckigen CHF.--, bei einem ovalen Tisch CHF.--. Bestimmen Sie die Einkaufsbedingungen und die Zielfunktion, und stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar. Bei welchen Stückzahlen kann der grösste Bruttogewinn erwartet werden und wie hoch kann er maimal sein? b) Definitionen D = o o = Rechteckige Tische in Stück = Ovale Tische in Stück b) Bedingungen ) = und ) = und ) + + und ) z = + = b) Grafische Darstellung / Stk ) Ovale Tische z ma ) S ma ( / ) ) Rechteckige Tische / Stk b) Maimum rechteckige Tische / ovale Tische b) Maimaler Bruttogewinn CHF a Lineare Optimierung

14 Aufgabe. Gemischte Aufgaben a) Berechnen Sie die fehlenden Angaben: Anfangskapital Zinssatz Anlagedauer Endkapital a) '. % Jahre '.7 a) '..% Jahre '7. a) '. ½%. Jahre '7. a) '7..% Jahre '. a) '. ¼% Jahre '7.7 a) '..% Jahre '7. a7) '7. % 7 Jahre 7'. a) '9.7 7% Jahre '79. b) In welchem Zeitraum vervierfacht sich ein investiertes Kapital bei einem Zinssatz von %? %? Jahre Das Kapital vervierfacht sich in Jahren. c) Ein Bild, das vor Jahren zu CHF '.-- gekauft wurde, wird jetzt für CHF 7'.-- verkauft. Welchem durchschnittlichen Zinssatz entspricht dieser Wertzuwachs?? % Jahre Der Wertzuwachs entspricht einem durchschnittlichen Zinssatz von.79 %. d) Welchem durchschnittlichen Zinssatz entspricht es, wenn ein Gegenstand in Jahren seinen Wert verzehnfacht?? % 7 9 Jahre Der Wertzuwachs entspricht einem durchschnittlichen Zinssatz von.9 %. Zinseszinsrechnungen 9