Lösungshilfe. Bei der Produktion von 15 entstehen Gesamtkosten von $, 2,5 % &6, '/)-Formel $ 15; 20
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- Frank Kaufman
- vor 5 Jahren
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1 Lösung A1 In nebenstehender Grafik sind die blauen Kreuzchen die eingetragenen Messpunkte und die rote Linie der Graph der über die Regression mithilfe des WTR sich ergebenden Funktionsgleichung 2,3 2 24,68 84,2. Diese Funktion ist nicht geeignet den Vorgang zu beschreiben, da die Werte des Graphen ab etwa 5 wieder ansteigen. Die Vorgehensweise zur Erstellung einer Regression kannst du im WIKI quadratische Funktionen (Parabel) nachlesen. Lösung A2 Aufstellen der Kostenfunktion als quadratische Funktion feststellen. Dies sind vor allem: Die Parabel verläuft durch den Punkt 0 00 (resultierend aus den Fixkosten) Die Parabel verläuft durch den Punkt (Gesamtkosten für 10 ) Die Parabel verläuft durch den Punkt (Gesamtkosten für 20 ) a) Funktionsgleichung (I) Punktprobe mit 0 00 (II) Punktprobe mit (III) Punktprobe mit (II) (III) (II) (III) (II)-(III) "" b) Produktionsmenge für Gesamtkosten von 1200 : , 2,5 % &6, '/)-Formel 15; 20 Bei der Produktion von 15 entstehen Gesamtkosten von 1200.
2 c) Gewinnzone und größter Gewinn: Ein Gewinn errechnet sich aus Erlöse Kosten, also Bei Verkäufen von 85 pro ME lautet die Erlösfunktion: ist eine nach unten geöffnete Parabel. Die Gewinnzone befindet sich zwischen den beiden Nullstellen, denn dort verläuft der Graph der Funktion oberhalb der -Achse. Der größte Gewinn wird durch den Scheitelpunkt dargestellt , 40 % '/)-Formel 66,46; 13,54 Die Gewinnzone befindet sich zwischen 14 und 66 verkauften ME. Scheitel: Symmetrieachse bei. / Der größte Gewinn in Höhe von 700 wird bei Verkauf und Produktion von 40 erzielt. d) Mittlere Kostenzuwachs: Gesucht ist die mittlere Änderungsrate der Kostenfunktion im Intervall [10; 30] :83 3/ 0; 30<33:3 / 0; 30<33 <;3:3;3 < : Der mittlere Kostenzuwachs im Intervall [10; 30] beträgt 45 /Stück. Lösung A3 Aufstellen der Parabelfunktion des Brückenbogens feststellen. Dabei müssen wir zunächst die Lage des Koordinatensystems bestimmen. Wir wählen die =-Achse als Symmetrieachse, sodass wir wegen der Gesamtbreite von zwei Nullstellen erhalten, nämlich > 85 0 und > Im Abstand von 2,5? zur Nullstelle ist der Brückenbogen 6,28? hoch. Dies führt uns zu einem weiteren Punkt, nämlich 82,5 6,28. Aufstellung der Funktionsgleichung des Parabelbogens über zwei Nullstellen und einen weiteren Nullstellen einsetzen ,28 82, Punktprobe mit 82,5 6,28 6,28 418,75 0, Symmetrieachse bei 0, ,375 Der Brückenbogen hat eine Höhe von etwa 108?.
3 Lösung A4 a) A BCDEFCDG = mit als Länge und = als Breite. Laut Aufgabenstellung ist = 30. Die maximale Fläche ist gegeben mit Somit ist A BCDEFCDG b) , 15 % '/)-Formel 120; 0 entfällt, da hier keine Lösung. Laut Aufgabenstellung soll mindestens 0? lang sein. Daraus folgt: Länge: Breite: 60 0 Lösung A5 Für die Fixkosten muss gelten Für 10 muss gelten und für 20 muss gelten Die Gesamtkosten werden durch richtig dargestellt. Gewinnfunktion = Erlösfunktion minus Kostenfunktion ' J 3 ² 2 330L 3 ' Nutzenschwelle 30 bedeutet ' ' ' 16 Bei einem Verkaufserlös von 16 pro ME liegt die Nutzenschwelle bei 30. Gewinnfunktion für 16 GE pro ME: , 70 % '/)-Formel 30; 110 Im Bereich zwischen 30 und 110 wird bei 16 pro mit Gewinn gearbeitet.
4 Lösung A6 Aufstellen der Parabelfunktion der Gewinnfunktion feststellen. Wir stellen fest, dass maximaler Gewinn bei 300 mit Gewinn ist, also ist der Scheitel Des Weiteren haben wir die Gewinnschwelle (=Nullstelle der Funktionsgleichung) mit > und damit wegen der Symmetrieachse bei 300 die zweite Nullstelle mit > Lösung A7 Aufstellen der Parabelfunktion der Erlösfunktion feststellen. Es ist einleuchtend, dass bei null Verkäufen der Erlös ebenfalls null ist, also haben wir eine Nullstelle > 0 0. Weiterhin ist die zweite Nullstelle gegeben mit > Der Größte Erlös liegt im Scheitel mit 320. Die Symmetrieachse liegt bei 8 und damit der Scheitel bei Scheitelform Punktprobe mit > Lösung A8 Zur Aufstellung der Parabelfunktion des Benzinverbrauchs haben wir drei Punkte gegeben (siehe Tabelle). Wir bilden über diese drei Punkte eine quadratische Regression. O P Q Punkte 30 6,25, 40 6,2 und 80 7 Funktionsgleichung über Regression: O 0,0005O 0,04O 7 Die Vorgehensweise zur Erstellung einer Regression kannst du im WIKI quadratische Funktionen (Parabel) nachlesen. Durchschnittlicher Verbrauch bei 120 R?/h: 120 0, , ,4 Hinweis: Der Scheitel der Parabel befindet sich bei 40 6,2. Man kann bei einer Geschwindigkeit von 40 R?/h mit dem geringsten Verbrauch von 6,2 Liter auf 100 R? rechnen.
5 Lösung A Nullstelle für T 0: 0,0135 0, : 0, ,52 148,15 0, 5,26 % &27, ,15 '/)-Formel 18,52 Wegen T 0 ist hier nicht relevant. Die Nullstelle bei 18,52 entspricht der Wurfweite des Kugelstoßers in Metern. Größte Höhe der Kugel: Größte Höhe wird im Scheitelpunkt 0,0135 0,142 2 : 0, ,52 148,15 V. 3,3; 5,26 27, ,15 quadratische Ergänzung V. 3,3; 5,26 172,8176 0,0135 5,26 2,373 5,26 2,37 Die Kugel erreicht ein maximale Höhe von 2,37?. Lösung A10 Die rechte Grafik verdeutlicht die Situation: Aufstellung der Funktionsgleichung der Parabel: > 2 0; > 2 0; 0 6 ' ' 6 Wenn das Fahrzeug in der Mitte fährt, ist sein rechter Rand bei 1,5 0, die obere rechte Ecke bei 1,5 2,2. Ist '1,5 T 2,20, kann das Fahrzeug unter der Brücke durchfahren. '1,5 1,5 6 '1,5 2,625 Das Fahrzeug kann unter der Brücke durchfahren.
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Gegeben ist die Funktionsgleichung einer Parabel mit: f ( x) = x + 2x + 1
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Merksatz Begriff der Funktion
Der Begriff Funktion Um uns klar zu machen, was eine Funktion (lateinisch functio) ist, betrachten wir uns die Gegenüberstellung nachfolgender Situationen. Die Temperatur eines Gewässers wird in verschiedenen
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