Einführung in die Quadratischen Funktionen

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1 Einführung in die Quadratischen Funktionen Problemstellung: In einer Fabrikhalle soll ein Pausenraum neu eingerichtet werden. Die dazu bestellten flexiblen Trennwände sind zusammen 15 m lang. Das Aufstellen der Trennwände in den Ecken der Halle ist wegen der dort befindlichen fest installierten Maschen nicht möglich. Wie sind die Wände zu stellen, damit der Pausenraum möglichst groß wird? Allgemeine Klärung des Problems: Was soll hier bestimmt werden? Mögliche Diskussionspunkte: Mathematisierung der Aufgabenstellung: Die max. Fläche des Pausenraumes Welche Form sollte der Raum haben? (Rechteck oder Kreis) Wo sollte sich der Raum befinden? ( Mitte oder, hier eine Wand gespart und somit größere Fläche) 1. Skizze des Problems: Fabrikhalle x y Pausenraum 2. Aufstellen der Gleichungen: Für die Fläche gilt: A ( x,y ) = x y Gl. 1 Nebenbedingung für die x + 2 y = 15 Gl. 2 Länge der Trennwand: Es hat sich ein Gleichungssystem ergeben mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten. 3. Lösung durch Eliminierung einer Unbekannten mit Hilfe des Einsetzverfahrens. aus Gl. 2 y = 7,5-0,5 x einsetzen in Gl. 1 A ( x ) = 7,5 x - 0,5 x² Die zu untersuchende Flächenfunktion lautet demnach: A ( x ) = 7,5 x - 0,5 x² 4. Es ist nach der maximalen Fläche gefragt, d. h. von dieser Funktion soll der Wert x gesucht werden, für den die Funktion A ( x ) ihr Maximum annimmt. 5. Untersuchung des Verlaufes der Funktion zur Bestimmung des Maximums durch: Erstellen einer Wertetabelle (Frage nach sinnvollen x-werten, da nur positive Längen und Länge begrenzt, d. h. 0 < x < 15)

2 Zeichnung der Funktionsgraphen A ( x) 6. Darstellung im Koordinatensystem: Maximum bzw. Minimum = Scheitelpunkt Symmetrielinie 7. Aus der Symmetriebetrachtung der Kurve für die Fläche folgt für die maximale Fläche des Pausen raumes für die Wand x: 8. Bestimmung der Wandlänge y aus: x = 7,5 m aus Gl. 2 y = 7,5-0,5 (7,5 m) y = 3,75 m 9. Berechnung der max. Fläche A (x,y) : A (7,5m; 3,75m) = 7,5m 3,73m = 28,125m² 10. Frage: Wie könnte man die Richtigkeit des gefundenen Ergebnisses überprüfen? (Einsetzen der gefundenen Werte für x und y in die Nebenbedingung Gl. 2) Übergang zur Betrachtung allg. quadratischer Funktionen: Eine solche Funktion 2-tem Grades, quadratische Funktion, bezeichnet man als Parabel. Allgemeine Darstellung einer quadratischen Funktion: f ( x ) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 allg. Form Was könnte bei solchen Funktionen allgemein von Bedeutung sein? Schnittpunkt mit der y-achse Schnittpunkte mit der x-achse

3 Maximum bzw. Minimum der Funktion, hier der Scheitelpunkt Öffnungsrichtung der Parabel Streckumg bzw. Stauchung der Parabel Bestimmung der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion Beispiel: Es soll das Maximum bzw. Minimum der folgenden Funktion bestimmt werden: f (x) = x² + 6 x + 5 Gl. Überlegungen: Allgemeine Darstellung einer quadratischen Funktion in Normalform in Scheitelpunktform f (x) = a 2 x² + a 1 x + a 0 f (x) = m (x + a)² + b quadratische Ergänzung Vorgehensweise: Man addiert dazu die Null, indem man einmal ein geeignetes Quadrat addiert und dieses dann wieder subtrahiert, um in der Funktionsgleichung die zu x und x² gehörigen Summanden in einem Binom zusammenfassen zu können! zum Beispiel: 1. Binomische Formel: (a + b)² = a² + 2a b + b² hier: (x+a)² = x² + 2a x + a² Die Scheitelpunktform lautet: f (x) = x² + 6x + 4 = x² + 2 (3)x + (3)² - (3)² + 5 = (x + (3))² - (3)² + 5 = (x + 3)² = (x + 3)² - 4 f (x) = (x+3)² - 4 ; S : ( -3 / -4 ) Es handelt sich hier um eine nach oben geöffnete, um -3 auf der x-achse und -4 auf der y-achse verschobene Normalparabel. Frage: Welche Punkte der Parabel könnten noch von Bedeutung sein? der Schnittpunkt mit der y-achse, hier ist x = 0 der oder die Schnittpunkte mit der x-achse. hier ist y = f(x) = 0 Bestimmung des Schnittpunktes mit der y-achse: aus Gl. f (0) = (0)² = 5 S y : ( 0 / 5 ) kann aus der Normalform ablesen werden! Bestimmung des Schnittpunktes mit der x-achse: aus Gl 0 = x² + 6 x + 5 dies ist eine quadratische Gleichung

4 Die p,q-formel zur Lösung quadratischer Gleichungen lautet: 2 p p 2 0 = x + p x + q ; x1, 2 = ± ( ) q 6 6, = ± ( ) 5 = 3 ± 3 5 = 3 ± 9 5 = 3 ± 4 = 3 ± 2 x 1 2 x 1 = = -1 ; S x1 = ( -1 / 0 ) x 2 = -3-2 = -5 ; S x2 = ( -5 / 0 ) Darstellung der Funktion im Koordinatensystem: Übungsaufgabe: Ermittle für die Funktion f ( x ) = x² + 6 x + 5 die zuvor bestimmten Größen. f(x)=(x+3)²-4 S : (-3/-4) S y : (0/5) S x1 : (-1/0) S x2 : (-5/0)

5 Weiter Aufgabe: Gegeben ist die quadratische Funktion f ( x ) = x² + 16 x Bestimme dazu a.) den Schnittpunkt mit der y-achse b.) die Scheitelpunktform der Funktion c.) die Koordinaten des Scheitelpunktes d.) die Schnittpunkte mit der x-achse e.) den Graph der Funktion