Lösungen zu den Übungsbeispielen aus Einheit

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1 Lösungen zu den Übungsbeispielen aus Einheit Haushaltstheorie Haushaltstheorie IK Ökonomische Entscheidungen & Märkte ( ) Sommerssemester 2010 Übung 1: Die Budgetbeschränkung Gegeben sind das Einkommen eines Konsumenten und die Preise der Güter x und y: I = 60 p x = 4... Preis von Gut x p y = 6... Preis von Gut y Gesucht: Neue Budgetbeschränkung rechnerisch und graphisch wenn I = 60 und I = Für I = 60: Die Budgetbeschränkung gibt an, welche Menge Gut x und welche Menge Gut y sich ein/e KonsumentIn leisten kann, wenn nur ein begrenztes Einkommen zur Verfügung steht, die beiden Güter bestimmte Preise haben und der/die KonsumentIn bestimmte Präferenzen hat. Wir verwenden die allgemeine Formel der Budgetbeschränkung: p x x + p y y = I. Die Werte für p x, p y und I sind bekannt, also setzen wir p x = 4, p y = 6 und I = 60 und erhalten die Budgetbeschränkung des/der KonsumentIn: 4x + 6y = 60. Um diese Gleichung graphisch darstellen zu können, müssen wir nach y umformen: y = x = x. 1

2 2. Für I = 72: Wir verwenden erneut die allgemeine Formel der Budgetbeschränkung und setzen p x = 4, p y = 6 (die Preise der beiden Güter sind gleich geblieben) ein. Das Einkommen des/r KonsumentIn ist allerdings gestiegen auf I = 72, d.h. der/die KonsumentIn kann nun mehr von Gut x und Gut y konsumieren. Die neue Budgetbeschränkung lautut: 4x + 6y = 72. Die Umformung nach y ergibt y = x = x. 3. Graphik: Gut y Gut x I=60 I'=72 Abbildung 1: Budgetbeschränkung Begründung: Das höhere Einkommen hat die Budgetgerade nach oben verschoben und der/die KonsumentIn kann sich nun mehr von beiden Gütern leisten. Würde der/die KonsumentIn sein/ihr gesamtes Einkommen ausschließlich für Gut x ausgeben, so kann er/sie nun 18 Einheiten Gut x konsumieren (im Vergleich zu 15 Einheiten als I = 60) bzw. 12 statt 10 Einheiten von Gut y. 2

3 Übung 2: Die Nutzenfunktion - Teil 1 Die Nutzenfunktion U(x, y) für die Güter x und y lautet: U(x, y) = 3x + 5y. Gesucht: Wie viel Nutzen stiftet das Güterbündel A(x, y) = (5, 3) im Vergleich zum Güterbündel B(x, y) = (10, 7)? 1. Eine Nutzenfunktion ordnet jedem Güterbündel ein bestimmtes Nutzenniveau (=eine Zahl) zu. Für das Güterbündel A(5, 3) setzen wir x = 5 und y = 3 in die Nutzenfunktion U(x, y) = 3x + 5y ein und erhalten U(5, 3) = = = 30. Somit stiftet das Güterbündel A einen Nutzen von Für das Güterbündel B(10, 7) setzen wir x = 10 und y = 7 in die Nutzenfunktion ein und erhalten U(10, 7) = = Das Güterbündel B stiftet demnach einen höheren Nutzen als das Güterbündel A. Die Größe der Differenz zweier Nutzenniveaus hat allerdings keine Bedeutung. Die Nutzenfunktion ist bloß eine Methode zur Bestimmung der Rangordnung verschiedener Güterbündel (ordinale Nutzenfunktion). Übung 3: Die Nutzenfunktion - Teil 2 Die Nutzenfunktion U(x, y) für die Güter x und y lautet: U(x, y) = x 0,3 y 0,7. Gesucht: Wie viel Nutzen stiftet das Güterbündel A(x, y) = (5, 3)? 3

4 Wie viel Nutzen stiftet das Güterbündel B(x, y) = (4, 4)? Welches Güterbündel wird bevorzugt? 1. Güterbündel A: Wir setzen x = 5 und y = 3 in U(x, y) = x 0,3 y 0,7 ein und erhalten U(5, 3) = 5 0,3 3 0,7 = 3, 49. Das Güterbündel A stiftet also einen Nutzen von 3, Güterbündel B: Wir setzen x = 4 und y = 4 in U(x, y) = x 0,3 y 0,7 ein und erhalten U(4, 4) = 4 0,3 4 0,7 = 4. Das Güterbündel B stiftet also einen Nutzen von Der Vergleich der beiden Nutzen zeigt, dass das Güterbündel B bevorzugt wird gegenüber Güterbündel A, da B einen höheren Nutzen stiftet. Übung 4: Indifferenzkurven und Nutzenfunktionen Gegeben sind die Nutzenfunktion einer Konsumentin U(x, y) = x 0,4 y 0,6 und die Güterbündel A(2, 4), B(5, 1) und C(4, 4). Gesucht: Berechnen Sie die Nutzen in A, B und C. Stellen Sie die Präferenzordnung der Konsumentin auf. Zeichnen Sie zwei Indifferenzkurven, eine durch A und eine durch B. 1. Den Nutzen des Güterbündels A erhalten wir, indem wir x = 2 und y = 4 in die Nutzenfunktion einsetzen U(2, 4) = 2 0,4 4 0,6 = 3, 03. Für das Güterbündel B setzen wir x = 5 und y = 1 ein U(5, 1) = 1, 9 und für das Güterbündel C x = 4 und y = 4 4

5 U(4, 4) = Der Vergleich der berechneten Nutzen der einzelnen Güterbündel zeigt, dass das Güterbündel C den höchsten Nutzen stifet. A wird gegenüber B und C gegenüber A bevorzugt. 3. Um die Indifferenzkurve durch A zeichnen zu können, müssen wir: U(2, 4) = 3, 03 setzen, sodass wir 3, 03 = x 0,4 y 0,6 erhalten, Die Nutzenfunktion nach y umformen In y = 5, 89 x 0,64 y = 0,6 1 3, 030, 6 = 0,4 0, 4 x0, 6 3, 03 x = 5, 89 x 0,64 setzen wir für x = {1, 2, 3, 4,...} und berechnen die sich daraus ergebenden y-werte. x = 1 y = 5, 89 x = 2 y = 3, 77 x = 3 y = 2, 9 x = 4 y = 2, 4 Für x = {1, 2, 3, 4...} werden die entsprechenden y-werte in die Graphik eingetragen. 5

6 4. Grafik: Gut y Gut x I (U=3.03) I (U=1.9) Abbildung 2: Indifferenzkurven für Güterbündel A und B Übung 5/6 - Teil 1: Die Grenzrate der Substitution Gegeben sei die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: U(x, y) = x α y 1 α, wobei α = 0, 5. Gesucht: Für das Güterbündel (3, 3) berechnen Sie die Grenzrate der Substitution GRS x,y und interpretieren Sie diese. 1. Die Grenzrate der Substitution entspricht dem Verhältnis der zwei Grenznutzen: 6

7 GRS x,y = GU x = GU y δu( ) δx δu( ) δy 2. Um GU x zu erhalten, leiten wir die Nutzenfunktion U(x, y) = x 0,5 y 0,5 nach x ab δu δx = 0, 5 x 0,5 y 0,5. 3. Um GU y zu erhalten, leiten wir die Nutzenfunktion U(x, y) = x 0,5 y 0,5 nach y ab δu δy = 0, 5 x0,5 y 0,5. 4. GRS x,y = GU x = 0, 5 x 0,5 y 0,5 GU y 0, 5 x 0,5 y 0,5 Für x und y setzen wir das Bündel (3, 3) ein und erhalten 0, 5 3 0,5 3 0,5 5 = 0, 0, 5 3 0,5 3 0,5 0, 5 = Interpretation: Die Grenzrate der Substitution beträgt 1, d.h. bei konstantem Nutzenniveau (also wenn wir uns entlang einer Indifferenzkurve bewegen) ist der/die KonsumentIn bereit, für eine zusätzliche Einheit von Gut x auf eine Einheit von Gut y zu verzichten. Übung 5/6 - Teil 2: Die Grenzrate der Substitution: Fortsetzung Teil 1 Gegeben sei die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion: U(x, y) = x α y 1 α, wobei α = 0, 5. 7

8 Gesucht: Für das Güterbündel (9, 1) berechnen Sie die Grenzrate der Substitution GRS x,y und interpretieren Sie diese. 1. Die Grenzrate der Substitution entspricht dem Verhältnis der zwei Grenznutzen: GRS x,y = GU x = GU y δu( ) δx δu( ) δy 2. Um GU x zu erhalten, leiten wir die Nutzenfunktion U(x, y) = x 0,5 y 0,5 nach x ab δu δx = 0, 5 x 0,5 y 0,5. 3. Um GU y zu erhalten, leiten wir die Nutzenfunktion U(x, y) = x 0,5 y 0,5 nach y ab δu δy = 0, 5 x0,5 y 0,5. 4. GRS x,y = GU x = 0, 5 x 0,5 y 0,5 GU y 0, 5 x 0,5 y 0,5 Für x und y setzen wir das Bündel (9, 1) ein und erhalten ( 1 9) 0,5 0, 5 9 0,5 1 0,5 0, 5 0, 5 9 0,5 1 = 0,5 ( 9 0,5 = 0, 11. 0, 5 1) 5. Interpretation: Die Grenzrate der Substitution beträgt 0, 11, d.h. bei konstantem Nutzenniveau (also wenn wir uns entlang einer Indifferenzkurve bewegen) ist der/die KonsumentIn bereit, für eine zusätzliche Einheit von Gut x auf 0, 11 Einheiten von Gut y zu verzichten. Da der/die KonsumentIn im Bündel (9, 1) bereits 9 Einheiten Gut x und nur 1 Einheit gut y bestitzt, ist die Bereitschaft, noch mehr y aufzugeben um mehr x zu erhalten, gering (abnehmende Grenzrate der Substitution). 8

9 Übung 7: Die Optimierung Gegeben sind die Nutzenfunktion U(x, y) = 6x 3 y 2 und die Budgetgerade eines Haushaltes 3x + 8y = 100. Gesucht: Welche Mengen von Gut x und y werden im Optimum konsumiert? Stellen Sie die optimale entscheidung des Haushaltes graphisch dar. 1. Um die optimale Konsumentscheidung des Haushaltes zu ermitteln, müssen wir GRS x,y = p x p y setzen. 2. Die GRS x,y erhalten wir, indem wir die einzelnen Grenznutzen be- δu( ) δx rechnen, da GRS x,y = GU x = GU y δu( ) δy Der Grenznutzen des Gutes x beträgt: GU x = δu δx = 18x2 y 2. Der Grenznutzen des Gutes y beträgt: GU y = δu δy = 12x3 y. Daraus ergibt sich:. GU x GU y = 18x2 y 2 12x 3 y = 3y 2x 9

10 3. p x p y ist die Steigung der Budgetgerade. Diese erhalten wir, indem wir uns an die allgemeine Formel der Budgetgerade erinnern I = p x x + p y y. Aus 3x+8y = 100 können wir demnach p x = 3 und p y = 8 ablesen. 4. Wir setzen in die Optimalitätsbedingung GRS x,y = p x p y ein: 3y 2x = 3 8 und formen nach y um: y = 6x 24 = x Um x zu ermitteln, setzen wir y = x 4 in die Budgetgerade ein: 3x + 8y = 100 3x + 8 x 4 = 100 3x + 2x = 100 Wir erhalten: x = 20 und y = 5, d.h. Im Optimum konsumiert der Haushalt 20 Einheiten Gut x und 5 Einheiten Gut y. 6. Graphische Darstellung: Wir tragen die Budgetgerade ein. Dafür formen wir 3x + 8y = 100 nach y um und zeichnen die Gerade: y = x = 12, x. Für die Indifferenzkurve berechnen wir als erstes das Nutzenniveau für das optimale Bündel (20, 5): U(20, 5) =

11 Für die graphische Darstelung setzen wir = 6x 3 y 2 und formen nach y um. Wir erhalten y = = x 3 x 3 Wir setzen x = {1, 2, 3, 4,...} und berechnen die entsprechenden y-werte. Bei genauerem Hinsehen, merken wir, dass wir erst ab x = {11, 12, 13, 14...} brauchbare y-werte erhalten. x = 11 y = 12, 25 x = 12 y = 10, 75 x = 13 y = 9, 54 x = 14 y = 8, 5 x = 20 y = 5 Interpretation: Das optimale Konsumbündel befindet sich graphisch in dem Punkt, wo die höchst mögliche Indifferenzkurve des Haushaltes dessen Budgetgerade berührt. 11

12 Grafik: , Indifferenzkurve Budgetbeschränkung Abbildung 3: Das optimale Konsumbündel 12