Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung. 17. März 2017

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1 Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung 17. März 2017 Die Budgetbeschränkung, die Nutzenmaximierung

2 Budgetbeschränkung: p x = p 1 x p n x n y y > 0... nominales Einkommen (Einkommen in Währungseinheiten); Vektor der Marktpreise: p = p 1. p n R n p 0, i.e. p i > 0 für i = 1,..., n. 2 / 1

3 Marktformen: Qualitative Beschaffenheit A) Vollkommener vs. Unvollkommener Markt B) Märkte mit unbeschränktem vs. beschränktem Zugang Ad A) VOLLKOMMENER MARKT: Nichtvorhandensein sachlicher, persönlicher, räumlicher und zeitlicher Differenzierungen und das Vorhandensein vollständiger Markttransparenz Ad B) BESCHRÄNKTER ZUGANG: Zugangsbeschränkungen können rechtlicher, institutioneller oder auch wirtschaftlicher Natur sein. Quantitative Besetzung der einzelnen Marktseiten (Angebot- und NFseite) 3 / 1

4 Zahl der Marktteilnehmer und Marktform (Ott, Tabelle 4, S. 39) Monopol... Alleinverkauf Oligopol... Verkauf durch wenige Polypol... Verkauf durch viele Monopson... Alleinkauf Oligopson... Kauf durch wenige Polypson... Kauf durch viele 4 / 1

5 intertemporale Budgetbeschränkung (z.b. 2 Perioden): c 1 t + s t = y 1 t c 2 t+1 = (1 + r)s t + y 2 t+1 c 1 t + c2 t r = y 1 t + y 2 t r Gegenwartswert der Ausgaben = Gegenwartswert des Einkommen (Lebenseinkommen) 5 / 1

6 Budgetmenge (set of feasible consumption bundles, Walrasian budget set, competitive budget set) Bp,y = {x X : p x y } Mas-Colell et al. (Figure 2.D.1) Budgetgerade: {x R2 : p x = y } 6/1

7 Aus p 1 x 1 + p 2 x 2 = y folgt: x 2 = y p 2 p 1 p 2 x 1 relativer Preis des Gutes x 1 : p 1 /p 2 gibt an umwieviel der Konsum von x 2 reduziert werden muss, wenn man eine Einheit mehr von x 1 konsumieren möchte, d.h. der relative Preis misst die Opportunitätskosten des ersten Gutes. reales Einkommen in Einheiten von x 1 : y/p 1, gibt die Menge an x 1 an, welche gekauft werden kann, wenn kein x 2 gekauft wird. Der Anstieg der Budgetgerade gibt das vom Markt festgelegte Tauschverhältnis an! 7 / 1

8 ceteris paribus Preisa nderung: Mas-Colell et al. (Figure 2.D.2) Eine A nderung des Nominaleinkommen y ceteris paribus fu hrt zu einer Parallelverschiebung der Budgetgerade. 8/1

9 Werden die Preise und das Einkommen mit demselben Faktor λ > 0 multipliziert, so bleibt die Budgetgerade unverändert. λy λp 1 = y p 1, λy λp 2 = y p 2 Wenn X eine konvexe Menge ist, dann ist die Budgetmenge B p,y = {x X : p x y} eine konvexe Menge. 9 / 1

10 Annahmen: X = R n + ist rational und stetig und erfüllt die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung. u(x) ist eine stetige Nutzenfunktion, welche diese Präferenzrelation repräsentiert. Eine rationale Konsumentin wird ein Konsumgüterbündel x B p,y wählen, welches die Eigenschaft aufweist, dass x x für alle x B p,y. Bei streng konvexen Präferenzen gibt es ein eindeutiges bestes Bündel, das allen anderen strikt vorgezogen wird: x B p,y mit der Eigenschaft, dass x x für alle x B p,y. 10 / 1

11 Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen: max u (x) s.t. p x y. x 0 Satz (ohne Beweis): Wenn u( ) stetig ist und p 0 gilt, dann hat das Nutzenmaximierungsproblem (NMP) eine Lösung. optimales Konsumgüterbündel x(p, y): Gewöhnliche bzw. Marshall sche Nachfragekorrespondenz, Marktnachfragekorrespondenz. indirekte Nutzenfunkion: maximierte Nutzenfunktion 11 / 1

12 Mas-Colell et al. (Figure 3.D.1) 12 / 1

13 Satz (ohne Beweis): u(x) sei eine stetige Nutzenfunktion, die eine Präferenzrelation auf X = R n + repräsentiert, welche die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung aufweist. Dann hat die gewöhnliche Nachfragekorrespondenz x(p, y) die folgenden Eigenschaften: (i) Homogenität vom Grad Null in (p, y): x(αp, αy) = x(p, y) für alle p 0, y > 0 und α > 0. (ii) p x = y für alle x x(p, y). (iii) Konvexität/Eindeutigkeit: 1 Wenn konvex ist (sodass u(x) quasikonkav ist), dann ist x(p, y) eine konvexe Menge. 2 Wenn streng konvex ist (sodass u(x) strikt quasikonkav ist), dann besteht x(p, y) aus einem einzigen Element. Wenn die Nutzenfunktion u(x) stetig differenzierbar ist, dann kann ein optimales Konsumgüterbündel x x(p, y) durch die Bedingungen erster Ordnung charakterisiert werden. 13 / 1

14 Kuhn-Tucker Bedingungen: wenn x x(p, y) eine Lösung des NMP ist, dann existiert ein Lagrange Multiplikator λ 0, sodass für alle i = 1,..., n die folgenden (Un)gleichungen gelten: u (x ) x i λ p i, mit Gleichheit, wenn x i > 0. u/ x i... Grenznutzen des i-ten Gutes inneres Optimum (x 0): u (x ) = λ p. 14 / 1

15 Herleitung der KT-Bedingung: mit p 0 und y > 0. max u (x) s.t. p x y. x 0 Lagrange-Funktion: n L (x 1,..., x n, λ) = u (x 1,..., x n) + λ y p i x i i=1 Wenn x ein nutzenmaximierendes Konsumgüterbündel ist, dann existiert ein λ, sodass die folgenden Bedingungen erfüllt sind: L ( x, λ ) = u ( x ) λ p i 0, i = 1,..., n, x i x i x L ( x, λ ) [ ( i = x u x ) ] i λ p i = 0, i = 1,..., n, x i x i x i 0, i = 1,..., n, L ( x, λ ) n = y p i x i 0, λ i=1 λ L ( x, λ ) n = λ y p i x i = 0, λ i=1 λ / 1

16 notwendige Bedingungen sind hinreichend wenn u (x) quasikonkav und monoton ist und u (x) 0 für alle x R n + gilt. für ein inneres Optimum gilt: u (x ) = λ p, d.h. wenn u (x ) 0, dann ist dies äquivalent dazu, dass u (x ) x 1 u (x ) x 2 = p 1 p 2. das Verhältnis der Grenznutzen für x = x ist gleich dem Verhältnis der Güterpreise! 16 / 1

17 Mas-Colell et al. (Figure 3.D.4) 17 / 1

18 an der Stelle x = x ist das Verhältnis der Grenznutzen = Absolutbetrag des Anstiegs der durch den Punkt x verlaufenden Indifferenzkurve: u (x) 0: u (x 1, x 2 ) = u ( x ) implizite Form der durch den Punkt x verlaufende Indifferenzkurve: x 2 = x 2 ( x1, u ( x )) Totales differenzieren nach x 1 von u ( x 1, x 2 ( x1, u ( x ))) = u ( x ) ergibt: u ( x 1, x 2 ( x1, u ( x ))) x 1 + u ( ( x1, x 2 x1, u ( x ))) ( x 2 x1, u ( x )) = 0 x 2 x 1 Einsetzen von x 1 = x 1 : ( x 2 x 1, u ( x )) x 1 = u ( x ) x 1 u ( x ). x 2 18 / 1

19 Absolutbetrag des Anstiegs der durch den Punkt x verlaufenden Indifferenzkurve an der Stelle x = x entspricht der Grenzrate der Substitution (marginal rate of substitution) des Gutes 1 für Gut 2 (MRS 12 (x )): totale Differential der Nutzenfunktion: du = 0: du = u ( x ) x 1 dx 1 + u ( x ) dx 2 x 2 u ( x ) x dx 2 du=0 = 1 u ( x ) dx 1 x 2 u ( x ) MRS 12 ( x ) = x 1 u ( x ) x 2 19 / 1

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21 Gilt: u (x ) x 1 u (x ) x 2 > p 1 p 2 so kann durch eine Erhöhung des Konsums des Gutes 1 im Ausmaß dx 1 > 0, und eine Reduktion des Konsums des Gutes 2 gemäß eine Nutzenerhöhung erzielt werden: dx 2 = (p 1 /p 2 ) dx 1 < 0, u ( x ) x 1 dx 1 + u ( x ) dx 2 = x 2 = u ( x ) x 1 dx 1 + u ( x ) [ (p 1 /p 2 ) dx 1 ] x 2 u ( u ( x ) x ) x 1 x 2 u ( x ) p 1 p 2 dx 1 > 0 x 2 21 / 1

22 Bedingungen erster Ordnung fu r n = 2, fu r eine Randlo sung (x2 = 0) (Mas Colell et al. Abbildung 3.D.4b): Gradientenvektor ist nicht proportional zum Preisvektor es gilt: u (x ) / xi λ pi fu r alle i mit xi = 0 u (x ) / xi = λ pi fu r alle i mit xi > 0 22 / 1

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24 Nachtrag: Nutzengebirge 24 / 1