Kuhn-Tucker-Bedingung
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1 Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ein lokales Minimum einer skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) 0 und sind die Gradienten der aktiven Gleichungen g i (x ) = 0, i I, linear unabhängig, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i 0, so dass grad f (x ) = i I λ i grad g i (x ). Für ein lokales Maximum ist entsprechend λ i 0. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-1
2 Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ein lokales Minimum einer skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) 0 und sind die Gradienten der aktiven Gleichungen g i (x ) = 0, i I, linear unabhängig, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i 0, so dass grad f (x ) = i I λ i grad g i (x ). Für ein lokales Maximum ist entsprechend λ i 0. Die Indexmenge I lässt sich auch implizit durch die Bedingungen λ i g i (x ) = 0 festlegen. Ist g i (x ) > 0, so folgt λ i = 0, d.h. die nichttrivialen Multiplikatoren entsprechen den aktiven Nebenbedingungen. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-2
3 grad f g i = 0 grad g i Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-3
4 grad f g i = 0 grad g i Geometrisch bedeutet die Kuhn-Tucker Bedingung für ein Minimum, dass der Gradient der Zielfunktion f in dem durch die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen aufgespannten Kegel (gestrichelt) liegt. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-4
5 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-1
6 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-2
7 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-3
8 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-4
9 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Indirekter Beweis: Annahme λ k < 0 für ein k I Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-5
10 Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Indirekter Beweis: Annahme λ k < 0 für ein k I lineare Unabhängigkeit der Gradienten = v : (grad g k (x )) t v = 1, (grad g i (x )) t v = 0, i I \k, d.h. v liegt in der Tangentialebene der durch g i, i k, definierten Fläche S und hat eine nichttriviale Komponente in Richtung der Normalen der Fläche S k : g k (x) = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-6
11 wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-7
12 wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-8
13 wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-9
14 wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Abnahme von f entlang der Kurve Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-10
15 wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Abnahme von f entlang der Kurve Widerspruch zur Minimalität von f (x ) Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-11
16 Beispiel: Extrema der Funktion auf der durch f (x, y) = y 2 x g 1 (x, y) = y x 2 0, g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 definierten hellgrauen Menge D Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-1
17 Beispiel: Extrema der Funktion auf der durch f (x, y) = y 2 x g 1 (x, y) = y x 2 0, g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 definierten hellgrauen Menge D 2 f = f = 3 4 4/ Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-2
18 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-3
19 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-4
20 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-5
21 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-6
22 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind (i) Keine Nebenbedingung aktiv ( = λ = µ = 0): Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-7
23 Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind (i) Keine Nebenbedingung aktiv ( = λ = µ = 0): ( 1, 2y) = (0, 0) nicht erfüllbar, keine Extrema von f im Inneren von D Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-8
24 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-9
25 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 = λ = 2y = 2x 2 0 und 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-10
26 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 = λ = 2y = 2x 2 0 und 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-11
27 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-12
28 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-13
29 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 = µ = 1 < 0 (y = 0 wegen (± 2, 0) / D nicht möglich) und x = 1/2, y = 7/2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-14
30 (ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 = µ = 1 < 0 (y = 0 wegen (± 2, 0) / D nicht möglich) und x = 1/2, y = 7/2 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Maximum Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-15
31 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-16
32 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-17
33 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-18
34 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-19
35 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Existenz von Extrema auf der kompakten zulässigen Menge = Minimum im Fall (ii) bei (4 1/3, 4 2/3 ), Maximum im Fall (iii) bei ( 1/2, 7/2) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-20
36 (iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Existenz von Extrema auf der kompakten zulässigen Menge = Minimum im Fall (ii) bei (4 1/3, 4 2/3 ), Maximum im Fall (iii) bei ( 1/2, 7/2) alternative Typbestimmung durch Vergleich der Funktionswerte f (4 1/3, 4 2/3 ) = 3 3 2/8 < 9/4 = f ( 1/2, 7/2) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-21
37 Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-1
38 Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i mit e i dem i-ten Einheitsvektor λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-2
39 Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 mit e i dem i-ten Einheitsvektor ± als Intervallgrenzen zugelassen Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-3
40 Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 mit e i dem i-ten Einheitsvektor ± als Intervallgrenzen zugelassen z.b. a i = = λ i = 0 keine Einschränkung in den Kuhn-Tucker-Bedingungen Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-4
41 (i) a i < x,i < b i : Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-5
42 (i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-6
43 (i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) (ii) Eine der Ungleichungen für x i aktiv: Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-7
44 (i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) (ii) Eine der Ungleichungen für x i aktiv: entsprechender Lagrange-Multiplikator bestimmt Vorzeichen von g i : x,i = a i = g i 0, x,i = b i = g i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-8
45 x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-9
46 x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 mögliche Richtungen von grad f (x ) für bivariate Zielfunktionen und Minima auf den Seiten und an den Ecken von [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-10
47 x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 mögliche Richtungen von grad f (x ) für bivariate Zielfunktionen und Minima auf den Seiten und an den Ecken von [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] grad f (x ) = 0 für Minima im Inneren Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-11
48 Beispiel: Lineares Programm: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-1
49 Beispiel: Lineares Programm: Minimierung einer linearen Funktion (c 1,..., c n )x min unter den linearen Nebenbedingungen mit einer m n-matrix A Ax b Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-2
50 Beispiel: Lineares Programm: Minimierung einer linearen Funktion (c 1,..., c n )x min unter den linearen Nebenbedingungen Ax b mit einer m n-matrix A Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein lokales Minimum x R n c t = λ t A, λ t (Ax b) = 0 mit λ i 0 (entsprechend λ i 0 für ein Maximum) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-3
51 z.b. d.h. x + y min, x 2, y 1, x + 2y 8, c = ( ) , A = 0 1, b = Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-4
52 z.b. d.h. x + y min, x 2, y 1, x + 2y 8, c = = Kuhn-Tucker-Bedingungen ( ) , A = 0 1, b = = λ 1 + λ 3, 1 = λ 2 + 2λ 3, λ 1 [x 2] + λ 2 [y 1] + λ 3 [x + 2y 8] = 0 mit λ i, [... ] 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-5
53 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-6
54 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-7
55 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-8
56 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-9
57 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-10
58 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-11
59 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-12
60 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-13
61 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-14
62 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-15
63 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: aktive Nebenbedingungen x = 2, y = 1 Punkt ausserhalb des zulässigen Bereichs Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-16
64 Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: aktive Nebenbedingungen x = 2, y = 1 Punkt ausserhalb des zulässigen Bereichs Beschränkheit von f nach unten auf dem zulässigem Bereich = globales Minimum bei (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-17
65 y (2, 3) x + y = c x geometrische Konstruktion der Lösung: Niveaulinie der Zielfunktion berührt den zulässigen Bereich in (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-18
66 y (2, 3) x + y = c x geometrische Konstruktion der Lösung: Niveaulinie der Zielfunktion berührt den zulässigen Bereich in (2, 3) Zielfunktion steigt (fällt), wenn die Niveaugeraden den zugelassenen Bereich schneiden (nicht schneiden) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-19
Lagrange-Multiplikatoren
Lagrange-Multiplikatoren Ist x eine lokale Extremstelle der skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) = 0, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i, so dass grad f (x ) = λ i grad g i
Rückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Anwendungen des Satzes über implizite Funktionen 2. Stationäre Punkte implizit definierter Funktionen 3. Reguläre Punkte 4. Singuläre Punkte Ausblick auf die heutige
Kritischer Punkt. Kritischer Punkt 1-1
Kritischer Punkt Für eine skalare Funktion f bezeichnet man x als kritischen Punkt, wenn grad f (x) = (0,..., 0)textt. Ist f zweimal stetig differenzierbar, so wird der Typ des kritischen Punktes, d.h.
7.11. Extrema unter Nebenbedingungen
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