Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen

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1 Kurvendiskussion für Funktionen mit einer Variablen Unter der Kurvendiskussion einer Funktionsgleichung versteht man die Zusammenstellung der wichtigsten Eigenschaften ihres Bildes mit anschließender Zeichnung. Zusammenstellung hier ist für eine Variable: I) Definitionsraum Die Funktion f(x) ist als relationale Funktion stetig im Definitionsraum D = R \ {} II) Ableitungen III) Symmetrie Punktsymmetrie: nur ungerade Hochzahlen IV) Untersuchung der Funktion zum Ursprung: f(x) = -f(-x) Achsensymmetrie: nur gerade Hochzahlen zur y-achse: f(x) = f(-x) an den äußeren Rändern An den Polstellen V) Nullstellen des Zählers 1- fache Nullstelle: Schnittstelle VI) Nullstellen des Nenners 2- fache Nullstelle: Berührstelle 3- fache Nullstelle: Sattelpunkt 1- fache Nullstelle: Polstelle mit Vorzeichenwechsel 2- fache Nullstelle: Polstelle ohne Vorzeichenwechsel wie im Zähler: VII) Stellen mit waagerechter Tangente Entscheiden ob Hoch, Tief oder Sattelpunkt Hebbare Definitionslücke Extremwerte: notwendige Bedingung: y = 0 muß unbedingt erfüllt werden hinreichende Bedingung: y < 0 Maximum Rechtskrümmung; Abnahme der Steigung; Kurve ist konkav y > 0 Minimum Linkskrümmung; Zunahme der Steigung; Kurve ist konvex da die hinreichend Bedingung viel verlangt, und oft nicht erfüllt werden kann, muß man in y nach einem Vorzeichenwechsel schauen: bei Max von + nach - VIII) Wendepunkt notwendige Bedingung: y = 0 hinreichende Bedingung: y 0 bei Min von - nach + nur möglich, wenn x Achse in y mit einer Steigung 0 geschnitten wurde, ansonsten Vorzeichenwechsel in y betrachten IX) Monotonieverhalten Intervallweise betrachtung ob (monoton)steigend/fallend Seite 1 von 8

2 Extrema bei Funktionen mit mehreren Variablen Begriffe Lokale (relative) Extrema: werden in einem inneren Punkt des Definitionsbereichs angenommen ( innere Extrema) Globale (absolute) Extrema: sind unter den lokalen Extrema und den Randpunkten (Randextrema) des Definitionsbereiches zu suchen Funktion anzeichnen Bestimmung der relativen Extrema einer Funktion mehrerer Variabler 1) notwendige Bedingung (Überprüfen auf stationäre Stellen) : grad f(x 0 ) = 0 (Vektorschreibweise von f xi (x 0 )= 0 für alle i = 1, 2,...n) f x = 0 und f y = 0 f hat in P (x,y) eine stationäre Stelle wenn diese Bedingung erfüllt ist, oder f hat in P (x,y) keine stationäre Stelle und damit als differenzierbare Funktion in P auch kein relatives Extremum (Antwortsatz) 2) hinreichende Bedingung (Überprüfen auf relative Extrema): Untersuchung des Krümmungsverhaltens. Minimum: Eine Funktion ist konvex, wenn die Hessematrix pos. definit ist Maximum: Eine Funktion ist konkav, wenn die Hessematrix neg. definit ist Zeichnung: Konvexe Mengen (Kuchen) und Konkave Mengen (Kuchen, bei dem ein Stück fehlt) bei 2 Variablen: det D(x,y) =f xx * f yy - ( f xy ) 2 > 0 und f xx > 0 Min oder f xx < 0 Max = 0 unbestimmt < 0 Sattelpunkt Seite 2 von 8

3 Beispiel , S. 50, weitergeführt in Bsp , S. 65 F(x,y) = -2x 3 +9x 2 12x y 2 mit x >0 und y Element R F x = -6x 2 +18x 12 = 0 x 2 3x +2 = 0 x=1 oder x=2 F y = -2y = 0 y=0 Kritische Punkte : P 1 (1/0) und P 2 (2/0) 12x Hesse-Matrix: D = 0 2 P 1 (1/0): D= = -12 indefinit und somit SP P 2 (2/0): D= = 12 f xx =-6< 0; neg definit und somit lokales Max mit mehreren Variablen/ Hesse Determinante F = f f f xx xy xz f f f yx yy yz f f f zx zy zz Bestimmung der Hauptminore und der Definitheit Überprüfen von f(x,y,z) (einsetzen) und schauen ob Aussage möglich ist. positiv definit relatives Minimum Fkt ist konvex positiv (semi)definit SP oder rel. Min negativ definit relatives Maximum Fkt ist konkav negativ (semi) definit indefinit Beispiel , Skript S. 63 SP oder rel Max Sattelpunkt Semidefinit kann beispielsweise vorkommen, wenn die Krümmung eines ganzen Definitionsbereiches betrachtet werden soll, und nicht nur an einem speziellen Wert. Bsp: Übungsaufgabe , S. 61 Skript Ökonomische Anwendungen Kostenminimierung und Regressionsanalyse (Selbststudium Kapitel 14.4, S. 68) Seite 3 von 8

4 Definitheit (Einschub aus Kurs 53) Eine Funktion, die für alle erdenkbaren Werte stets dasselbe VZ besitzt, wird als definit bezeichnet. Beispielsweise ist es für die Bestimmung von Extrema von Interesse, ob, bzw. wo diese Form positiv oder negativ ist. Das kann man über die Definitheit klären. Quadratische Formen Eine quadratische Form ist ein nichtlinearer Ausdruck der Form q(x,y)= ax 2 +2bxy+cy 2, der sich auch als x * A * x schreiben läßt, wobei sich jede Matrix A auch als eine quadratische, symmetrische Matrix schreiben läßt. Quadratische Formen sind positiv definit q > 0 x,y 0 q(x, y) positiv semidefinit q 0 (hier nicht Anhand der Hauptdiagonalen negativ definit falls gilt: q < 0 beide = 0) negativ semidefinti q 0 indefinit in allen anderen Fällen Anhand der Elemente auf der Hauptdiagonalen kann man ihre Definitheit auch schon erkennen. (Notwendige Bedingung) Weist eine quadratische Form sowohl positive, als auch negative Elemente auf der Hauptdiagonalen von A auf, so ist sie indefinit. Anhand der Eigenwerte Auch anhand der Eigenwerte kann man auf Definitheit schließen. (λ anstelle von q) Voraussetzung ist allerdings, daß die Matrix symmetrisch ist. Semidefinit ist möglich, da auch mehrere Eigenwerte vorkommen können. Über die Hauptminoren Um sich Arbeit zu ersparen fängt man mit dem 2. Hauptminor an, denn wenn er negativ ist, dann ist die Matrix indefinit. Eine quadratische Form positiv definit A 1 > 0; A 2 > 0, A n > 0 mit symmetrischer Matrix positiv semidefinit A 1 0; A 2 0, A n 0 ist: negativ definit falls gilt: A 1 < 0; A 2 > 0, A 3 < 0 negativ semidefint A 1 0; A 2 0, A n 0 indefinit in allen anderen Fällen Wenn die Werte auf der Hauptdiagonalen alle 0 sind, ist A höchstens positiv semidefinit. Bei semidefint muß mindestens ein Minor den Wert Null haben. Hier müssen alle n! Möglichkeiten überprüft werden!!!!! Seite 4 von 8

5 Bei negativ definit muß die Reihe alternieren, und mit negativen Werten anfangen (das Vorzeichen der Hauptabschnittsdeterminante k-ter Ordnung ist gleich (-1) k Seite 5 von 8

6 Optimierung unter Nebenbedingungen (Beschränkung der Definitionsmenge Zeichnung) Im Gegensatz zur linearen Optimierung sind als Nebenbedingungen keine Ungleichungen zugelassen, dafür aber beliebige (auch nichtlineare) n-dimensionale Funktionen 1) Reduktionsmethode/Varialensubstitution Die Nebenbedingung nach einer Variablen hin auflösen (abhängig machen) und in die Zielfunktion einsetzen, so dass eine Variable rausgeworfen wird, und man die Funktion nach Möglichkeit auf nur eine unbekannte Variable bringt. Beispiel , S. 73 mit 1 Variablen/ Bsp , S.76 mit 2 NB) Ein Minimierungsproblem mit einer Nebenbedingung lässt sich durch die Reduktionsmethode zu einem Minimierung einer Funktion ohne NB zurückführen Einschränkung: Falls man nicht nach einer Variablen hin auflösen kann, dann kann man die Methode auch nicht anwenden. Ansatz von Lagrange (notwendige Bedingung) z = f(x,y) Min, Max udn: g(x,y) = 0 Wichtig: um Lagrange anwenden zu können, muß die Nebenbedingung so umgeformt sein, dass auf der RS Null steht. L = f(x,y) - λ*g(x,y) = Zielfunktion - λ * (Nebenbedingung) (Achtung: im Skript steht + Lambda, Interpretation fällt aber leichter mit - Lambda) Nach den einzelnen Variablen und nach λ hin ableiten und Null setzen. (notwendige Bedingung für die Existenz von Extrema) [Bei den Ableitungen muß entweder die nach x oder die nach y ungleich Null sein. Dies ist aber immer erfüllt, wenn der Lagrange Multiplikator ungleich Null ist.] Beispiel: Rommel II 6/12 Interpretation von l [Achtung: Wenn die NB nicht subtrahiert sondern addiert wird, dann dreht sich die Interpretation um] Der Wert von Lambda gibt an, um wieviel sich der Funktionswert ändert, wenn sich die Nebenbedingung um eine Einheit ändert. λ ist die marginale Änderungsrate der Funktion f relativ zur NB g, bzw. der Grenznutzenfaktor der NB g in Hinblick auf f. Anders ausgedrückt: Die infinitesimale Änderung des Absolutgliedes der NB hat die λ-fache Wirkung auf die Zielfunktion Zurück zum Beispiel: Sollen in der Keksdose 2001 EH reinpassen und nicht nur 2000, dann erhöht sich der Blechverbrauch um 0,25 EH Seite 6 von 8

7 Wird nicht im Skript behandelt oder verlangt, ab hier also also nur durchlesen, wenn Interesse besteht Geränderte Hesse sche Determinante (hinreichende Bedingung) Hier wird das Lambda nicht abgezogen, sondern hinzuaddiert, damit die Ableitung in die geränderte Matrix eingefügt werden können. 0 NB NB Die symmetrische Matrix A* = NB wird als geränderte Matrix bezeichnet. NB A 0 g x g y positiv definit bei < 0 Minimum H* = g x L xx L yx ist g y L xy L yy negativ definit bei > 0 Maximum L λλ -L λx -L λy -L λλ L λx L λy L λλ L λx L λy = -L xλ L xx L xy = (-1) -L xλ L xx L xy = (-1) 2 L xλ L xx L xy -L yλ L yx L yy -L yλ L yx L yy L yλ L yx L yy Funktionen mit n (2) Variablen unter m (1) Nebenbedingungen (n>m) Der geränderte Minor n-ter Ordnung ist der jeweils ungeränderte Minor + den Randzeilen und Randspalten (1. Abl. der NB). Die geränderten Hauptminoren haben also jeweils m Zeilen und Spalten mehr als ihre Ordnung angibt. Auch in diesem Fall entscheiden die Vorzeichen der geränderten Hauptminoren über den Typ des Extrema, wobei die ersten m geränderten Hauptminoren keine Rolle spielen. Rel Minimum: wenn H* m+1, H* m+2... H n alle dasselbe Vorzeichen (-1) m besitzen. Rel Maximum: falls H* m+1, H* m+2... H n im Vorzeichen (-1) n alternieren Ansonsten hat die Funktion kein relatives Extrema. Seite 7 von 8

8 Definitheit unter NB über die Hauptminoren Bei drei Sonderfällen kann man die Definitheit sehr schnell überprüfen, wenn man sich an folgende Regeln hält: m = NB, n = Variablen Fall A (m =1, n = 2) Fall B (m = 1, n = 3) HAD3 HAD4 > 0 < 0 = 0 >0 < 0 = 0 rel Max rel Min kam kein lok Extrema HAD3 kam Fall C (m = 2, n = 3) >0 < 0 = 0 lok Max lok Min kam HAD5 >0 < 0 = 0 lok Min lok Max kam Seite 8 von 8