Präferenzen und Nutzenfunktionen. 10.März 2017

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1 Präferenzen und Nutzenfunktionen 10.März 2017 Präferenzen und Nutzenfunktionen

2 Darstellung der Präferenzen mittels Nutzenfunktion (utility function) Eine Nutzenfunktion u(x) ordnet jedem Element x aus X eine reelle Zahl zu, und zwar so, dass die Elemente von X gemäß den Präferenzen der Konsumentin geordnet werden. Definition: Die Funktion u: X R ist eine die Präferenzrelation darstellende (repräsentierende) Nutzenfunktion, wenn für alle x 1, x 2 X gilt: x 1 x 2 u(x 1 ) u(x 2 ). Anmerkung: Die Darstellung einer Präferenzrelation durch eine Nutzenfunktion u(x) ist nicht eindeutig. 2 / 14

3 Streng monotone Transformation: Sei f : R R eine streng monoton wachsende Funktion, so ist v(x) = f (u(x)) eine neue Nutzenfunktion, welche die gleichen Präferenzen wie u(x) repräsentiert. ordinales Nutzenmaß: Invarianz gegenüber monotoner Transformation (den Gütern werden keine Zahlen zugeordnet) kardinales Nutzenmaß: Nicht invariant gegenüber monotoner Transformation (den Gütern werden Zahlen zugeordnet - Jevons, Walras, Marshall Wirtschaftswissenschaftler des 19Jhdt. welche den Nutzen als messbar betrachteten.) Existenz einer Nutzenfunktion erfordert eine weitere Annahme: die Stetigkeit (continuity) der Präferenzen 3 / 14

4 lexikographischen Präferenzrelation für den Fall X = R 2 +: x 1 x 2 x1 1 > x1 2 oder ( x1 1 = x1 2 und x2 1 x2 2 ) Präferenzrelation beruht auf dem gleichen Prinzip wie ein Wörterbuch: zunächst vergleicht man nur die jeweils erste Komponente von Konsumgüterkombinationen. Ist die Menge des ersten Gutes gleich, dann wir die zweite Komponente betrachtet. Die lexikographische Präferenzrelation ist vollständig, transitiv, streng monoton und streng konvex, ABER es existiert keine Nutzenfunktion, welche diese Präferenzrelation repräsentiert. Problem: Indifferenzmengen bestehen nur aus einem einzigen Konsumgüterbündel. 4 / 14

5 Definition: Die Präferenzrelation auf X ist stetig, wenn für alle x 0 X gilt, dass die obere Konturmenge ( x 0) = { x X : x x 0} und die untere Konturmenge ( x 0) = { x X : x 0 x } abgeschlossen sind. Alternative Darstellung: Die Präferenzrelation auf X ist stetig, if it is preserved {(( ) under limits. Dies bedeutet: für jede Folge x 1 k, ( x 2) )} k mit ( x 1) k=1 k ( x 2) k für alle k, x ( 1 = lim ) k x 1 k und x 2 = lim k ( x 2 ) k erhält man x 1 x 2. Die lexikographische Präferenzrelation ist nicht stetig. Beweisidee: Man betrachtet die Folge {(( x 1) k, ( x 2) ( k)} ) mit k=1 x 1 = (1/k, 0) und ( x 2) = (0, 1). k k 5 / 14

6 Satz (ohne Beweis): Die rationale Präferenzrelation auf X sei stetig. Dann existiert eine stetige Nutzenfunktion u(x), welche repräsentiert. Anmerkung: Nicht jede Nutzenfunktion, welche eine rationale, stetige Präferenzrelation repräsentiert, ist stetig. Differenzierbarkeit von Nutzenfunktion u(x) wird meist unterstellt. Gegenbeispiel einer rationalen,stetigen Präferenzrelationen, welche nicht durch eine differenzierbare Nutzenfunktion dargestellt werden kann: Leontief Präferenzen x 1 x 2 min { x1 1, x2 1 } { min x 2 1, x2 2 } u(x 1, x 2 ) = min{ax 1, x 2 }, a > 0: Diese Nutzenfunktion beschreibt perfekte Komplemente, d.h. die Güter müssen in einem fixen Verhältnis a konsumiert werden. u(x 1, x 2 ) = ax 1 + x 2, a > 0: Diese Nutzenfunktion beschreibt perfekte Substitute, d.h. die Güter können in einem fixen Verhältnis ausgetauscht werden. 6 / 14

7 Leontief Prferenzen aus Mas-Colell et al. Figure 3.C.3 7 / 14

8 Eigenschaften der Präferenzrelation Eigenschaften der Nutzenfunktion 1 monotone Präferenzrelation u(x 1 ) > u(x 2 ) für x 1 x 2 2 konvexe (strikt konvexe) Präferenzen u( ) (strikt) quasikonkav u( ) ist quasikonkav, wenn die Menge {x R n + : u(x) u(x0 )} für alle x 0 konvex ist äquivalent dazu: u(αx 0 + (1 α)x) min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0, x und alle α [0, 1] (gilt diese Ungleichung für alle x 0 x und α (0, 1) in strikter Form, dann ist u( ) strikt quasikonkav.) 3 stetige Präferenzrelation auf X = R n + ist homothetisch Nutzenfunktion u(x) homogen vom Grad Eins ist: u(αx) = αu(x) für alle α > 0. 8 / 14

9 Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics) u(αx 0 + (1 α)x) min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0, x und alle α [0, 1] 9 / 14

10 Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics) u( ) ist quasikonkav, wenn die Menge {x R n +: u(x) u(x 0 )} für alle x 0 konvex ist u(αx 0 + (1 α)x) min{u(x 0 ), u(x)} für alle x 0, x und alle α [0, 1] 10 / 14

11 Quasikonkavität (Chiang and Wainwright, Fundamental Methods of Mathematical Economics) S {x f (x) k} S {x f (x) k} u( ) ist quasikonkav, wenn die Menge {x R n +: u(x) u(x 0 )} für alle x 0 konvex ist 11 / 14

12 Ist die Nutzenfunktion u (x 1, x 2 ) auf der konvexen Menge A R 2 + zweimal stetig differenzierbar und gilt u (x) 0 für x A, so ist die Funktion u (x 1, x 2 ) auf der konvexen Menge A genau dann strikt quasikonkav, wenn die geränderte Hessesche Matrix für x A die folgende Bedingung erfüllt: 2 u x1 2 (x 1, x 2 ) 2 u x 2 x 1 (x 1, x 2 ) u x 1 (x 1, x 2 ) 2 u x 1 x 2 (x 1, x 2 ) 2 u x2 2 (x 1, x 2 ) u x 1 (x 1, x 2 ) u x 2 (x 1, x 2 ) u x 2 (x 1, x 2 ) 0 2u 1 u 2 u 12 u 2 1u 22 u 2 2u 11 > 0 > 0 12 / 14

13 Verallgemeinerte Cobb Douglas Präferenzen: u (x 1, x 2 ) = Ax1 α x β 2, A > 0, α > 0, β > 0 Spezialfall: β = 1 α mit 0 < α < 1 Annahme A=1 im folgenden. Es gilt: u x 1 = αx α 1 1 x β 2 > 0, u = βx α 1 x xβ 1 2 > 0 2 2u 1 u 2 u 12 u 2 1 u 22 u 2 2 u 11 = αβ (α + β) x 3α 2 1 x 3β 2 2 > 0 Die Nutzenfunktion ist daher streng monoton und strikt quasikonkav. 13 / 14

14 Die Indifferenzkurven x α 1 x β 2 = ū sind negativ geneigt und strikt konvex: wobei gilt: x 2 = (ū) 1/β x α/β 1 x 2 = α x 1 u=ū β (ū)1/β x (α+β)/β 1 < 0 2 x 2 α (α + β) x1 2 = u=ū β 2 (ū) 1/β x (α+2β)/β 1 > 0 14 / 14