Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04

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1 Weiterbildung für Ingenieure Numerische Methoden für Differentialgleichungen Prinzipien und Praxis Taubert, Heitmann Universität Hamburg WS03/04 Linearisierung 1 K. Taubert LINEARISIERUNG und das VERHALTEN VON LÖSUNGEN NICHTLINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Hat ein System von Differentialgleichungen 1.1 Einführung y' = f(y), einen Gleichgewichtspunkt y 0 oder eine stationäre Lösung, dann kann sehr oft das Verhalten weiterer Lösungen der Differentialgleichung durch eine Untersuchung des linearisierten Systems y' = f y (y 0 )(y y 0 ), oder deren erste Variation, festgestellt werden. Ein Beispiel hierfür ist: Ein einfaches Populationsmodell führt auf die nichtlineare Differentialgleichung y' = r(1 - K y )y, mit geeigneten Konstanten r,k > 0. Diese Differentialgleichung besitzt den Gleichgewichtspunkt y 0 = K und damit eine stationäre Lösung y(x) = K. Die Auflösung der Differentialgleichung und das kleine MATLAB-Programm x=(0:.01:8); r=1; K=1; for i = 1:16 y0 = i/8; y = (y0*k)./(y0+(k-y0)*exp(-r*x)) plot(x,y) hold on title('lösungen der logistischen Gleichung') end liefert 1

2 Allgemein gilt, dass für alle Anfangswerte aus (0, ) die Lösungen dieser logistischen Differentialgleichungen gegen y 0 = 1 streben. Für die übrigen Anfangswerte gilt dieses aber nicht. Die erste Variation der logistischen Differentialgleichung (mit r = 1) an der Stelle y 0 = K =1 hat die Form y' = -(y y 0) und deren Lösungen streben, für x gegen unendlich, allesamt gegen y 0. Die Theorie zeigt, dass der im Beispiel vorliegende Sachverhalt kein Zufall ist: Hat das nichtlineare System einen stationären Punkt y 0 und streben alle Lösungen der in y 0 linearisierten Aufgabe gegen diesen Punkt, dann müssen für Anfangsbedingungen, aus einer gewissen Umgebung von y 0, auch die Lösungen des nichtlinearen Problems gegen y 0 streben. Unter Umständen können also nichtlineare Probleme mit Hilfe von zugehörigen linearen Problemen untersucht werden. Dies kann von großem Vorteil sein! Das folgende Beispiel zeigt, dass sich die Lösungen von Differentialgleichungen bei geringen Veränderungen der Einträge aber auch erheblich ändern können Gegeben sei die Differentialgleichung y = µ y y 3 mit µ R. Das folgende Bild zeigt die stationären Lösungen in Abhängigkeit von µ. Für nichtpositive µ hat die Aufgabe nur eine stationäre Lösung y(x) = 0. Wird µ positiv, dann hat die Aufgabe drei stationäre Lösungen. Die übrigen Bilder zeigen das Verhalten der Lösungen in Bezug zu den stationären Lösungen. 2

3 Z Es wird sich später zeigen, dass durch Veränderung von Parametern und zugehörigen linearisierten Aufgaben auch weitergehende Aussagen über die Art der Lösungen von Differentialgleichungen gemacht werden können. 1.2 Systeme von Differentialgleichungen In der Einführung wurde angedeutet, dass bei der Behandlung von nichtlinearen Problemen die zugehörigen linearisierten Aufgaben von Bedeutung sein können Es soll deshalb das Verhalten von Lösungen von 2x2 linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten untersucht werden. Gegeben sei also ein System u' = au + bv v' = cu + dv oder kurz y' =Ay mit det(a) 0. Wegen det(a) 0 besitzt das Gleichungssystem au + bv = 0 cu + dv = 0 nur die eine Lösung u = v = 0 und damit die Differentialgleichung den (isolierten) Gleichgewichtspunkt u = v = 0. Dieser Gleichgewichtspunkt liefert gleichzeitig auch die (stationäre) Lösung u(x) = 0 v(x) = 0 3

4 der Differentialgleichung. Das Verhalten anderer Lösungen der Differentialgleichung, im Bezug zur stationären Lösung u(x) = v(x) = 0, hängt von den Eigenwerten und Eigenräumen der Matrix A ab. Die Matrix A kann durch eine Ähnlichkeitstransformation in eine der folgenden kanonischen Formen überführt werden: (I) (III) (V) λ 0 0 λ λ 0 γ λ α β β α A TAT -1 ( λ 0 ) (II) λ 0 0 µ ( λ 0, γ > 0) (IV) λ 0 0 µ ( α 0, β 0) (VI) 0 β β 0 ( µ < λ < 0 oder 0 < µ < λ) ( λ < 0 < µ ) ( β 0) Durch I-IV werden alle möglichen Fälle mit reellen Eigenwerten λ und µ erfasst. Die Fälle V-VI erfassen den Fall komplexer Eigenwerte α + i β mit reellen α und β. Zu den einzelnen Fällen gehören die folgenden Bilder oder Phasendiagramme. Sie zeigen das Verhalten der allgemeinen Lösungen (x 1 =u, x 2 = v) relativ zur stationären Lösung an. Die Richtung der Pfeile gibt den Bewegungsablauf für zunehmendes x an. (I) Zwei gleiche reelle Eigenwerte mit vollständigen Eigenraum (II) Zwei verschiedene reelle Eigenwerte mit gleichen Vorzeichen 4

5 (III) Zwei gleiche reelle Eigenwerte jedoch kein vollständiger Eigenraum (IV) Zwei reelle Eigenwerte mit verschiedenen Vorzeichen (V) Zwei komplexe Eigenwerte mit nicht verschwindenden Realteil 5

6 (VI) Zwei rein komplexe Eigenwerte Wir betrachten ein weiteres Beispiel: Gegeben sei die Differentialgleichung (Konkurrierende Spezies) u' = u(12-2u-3v) v' = v(12-2v-4u). Diese Differentialgleichung ist ein System nichtlinearer Differentialgleichungen u' = f(u,v) v' = g(u,v) mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f und g : R*R R. Es ist u = v = 0 ein Gleichgewichtspunkt oder eine (isolierte) Lösung von f(u,v) = g(u,v) = 0. In einer Umgebung dieses Gleichgewichtspunktes (Taylorentwicklung) gilt u' = f(0,0) + f u (0,0)*u + f v (0,0)*v + η 1 (u,v) v' = g(0,0) + g u (0,0)*u + g v (0,0)*v + η 2 (u,v). Am Gleichgewichtspunkt (hier (0,0)) wird dem nichtlinearen System dann das linearisierte System oder die erste Variation u' = f u (0,0)u + f v (0,0)v v' = g u (0,0)u + g v (0,0)v. zugeordnet *. Das Modell mit den konkurrierenden Spezies hat vier Gleichgewichtspunkte (0,0), (0,6), (6,0) und (1.5,3) Die Gestalt der zugehörigen linearisierten Aufgaben * Liegt ein nichttrivialer Gleichgewichtspunkt vor, dann wird an dieser Stelle linearisiert oder eine Variablentransformation durchgeführt 6

7 u u = A v v an diesen Stellen kann aus der folgende Tabelle entnommen werden: (0,0) (0,6) (6,0) (1.5,3) A = A = A = A = Fall I (rechts) Fall II (links) Fall I (links) Fall IV Das folgende Bild veranschaulicht das globale Verhalten der Lösungen der nichtlinearen Differentialgleichung und zeigt, dass das Verhalten in der Umgebung der Gleichgewichtspunkte dem der linearisierten Systeme entspricht *. Die folgende Definition und der anschließende Satz zeigen, dass dieses Verhalten kein Zufall sein muss. Definition (Stabilität, Asymptotische Stabilität) ** Gegeben sei eine (nichtlineare) Differentialgleichung y' = F(y) * Ein zugehöriges MATLAB-Programm befindet sich am Ende des Kapitels. ** Die Definition und der anschließende Satz bleiben unter geringfügigen Änderungen auch für nichtautonome Differentialgleichungen richtig 7

8 mit einer stetigen Funktion F : R n R n Eine für alle x 0 definierte Lösung y(.) der Differentialgleichung heißt stabil, wenn es für alle ε >0 ein δ >0 gibt, so dass für alle Lösungen z(.) mit y(0) z(0) < δ gilt y(x) z(x) < ε für alle x 0. Gilt außerdem noch y(x) z(x) x 0 dann heißt die Lösung asymptotisch stabil. Satz 1.1 Gegeben sei die Differentialgleichung y' = Ay + F(y) mit einer reellen und konstanten n*n Matrix A und einer stetigen Funktion F : R n R n. Haben alle Eigenwerte von A einen negativen Realteil und erfüllt F die Eigenschaft lim F(z) / z = 0 dann ist die triviale Lösung y(x) = 0 asymptotisch stabil. Beweis: Wegen der Stetigkeit von F hat jede Anfangswertaufgabe eine Lösung y(.) für hinreichend kleine x. Solange diese Lösung existiert (x 0) gilt z 0 y' = Ay + F(y) y(0) = y 0. y(x) = e xa y(0) + x e 0 (x s)a F(y(s)) ds. Da alle Eigenwerte von A einen negativen Realteil haben, existieren positive Konstanten K und a mit e xa Ke -ax, dabei sei die Matrixnorm zur Vektornorm zugeordnet. Damit ist aber y(x) K y(0) e -ax + K 0 x e a(x s) F(y(s)) ds. Für alle ε >0 existiert aber auch ein δ >0 mit Solange also y(x) δ ist, gilt F(z) ε z /K für alle z mit z δ. 8

9 e ax y(x) K y(0) + ε x as e y(s) ds. 0 Damit ist aber oder e ax y(x) K y(0) e ε x. y(x) K y(0) e ( a ε)x für alle x 0. Wird ε < a gewählt, dann ist y(x) K y(0) solange y(x) δ. Für y(0) = y 0 < δ /K folgt damit auch die Existenz von y(.) für alle positiven x und der Beweis ist erbracht. Die Untersuchung der allgemeinen nichtlinearen Differentialgleichung u' = f(u,v) v' = g(u,v) mit zweimal stetig differenzierbaren Funktionen f und g : R*R R wurde bereits im 1.2 angedeutet und kann auf die bereits bekannte Situation zurückgeführt werden: Ist u = v = 0 eine (isolierte) Lösung von f(u,v) = g(u,v) = 0, dann gilt in einer Umgebung dieses Gleichgewichtspunktes (Taylorentwicklung) u' = f(0,0) + f u (0,0)*u + f v (0,0)*v + η 1 (u,v) v' = g(0,0) + g u (0,0)*u + g v (0,0)*v + η 2 (u,v) oder y' = Ay + F(y) mit A = f u (0,0) g u (0,0) f v (0,0). g v (0,0) Da die Störung (η 1 (u,v),η 2 (u,v)) die im Satz 1.1 geforderten Bedingung erfüllt, sind die Bedingungen aus dem Satz 1.1 erfüllt. Etwas salopp kann also gesagt werden: Für Anfangsbedingungen in einer hinreichend kleinen Umgebung des Gleichgewichtspunktes verhalten sich die Lösungen des nichtlinearen Systems wie die Lösungen des zugeordneten linearen Systems oder der ersten Variation. Alles Gesagte gilt natürlich auch für jeden anderen möglichen (isolierten) Gleichgewichtspunkt (u 1, v 1 ), d.h. f(u 1, v 1 ) = g(u 1, v 1 ) = 0 des nichtlinearen Systems. Wir betrachten jetzt erneut das lineare Aufgabe (L) ( a,b,c,d R) u' = au + bv v' = cu + dv und die nichtlinear gestörte Aufgabe (NL) 9

10 u' = au + bv + g(u,v) v' = cu + dv + h(u,v) In der Sprache der dynamischen Systeme liegt in den Fällen I, II, III und V ein Attraktor vor. Im Falle IV liegt ein Sattelpunkt und im Falle VI ein Zentrum vor. Ist ad-bc ungleich Null und hat die Nichtlinearität die Eigenschaften aus dem Satz 1.1, dann ergibt sich in der Sprache der dynamischen Systeme das folgende Resultat: Satz 1.2 Ist der Ursprung (0,0) ein Attraktor von (L) dann auch von (NL). Welche Störungen noch weitergehende Eigenschaften der Attraktoren invariant lassen, Zentren erhalten oder welche Übergänge möglich sind, muss der umfangreichen Literatur entnommen werden. Gegeben sei jetzt die parameterabhängige (µ ) Differentialgleichung y' = f(y,µ ) f : R 2 *R R 2 mit hinreichend oft differenzierbarem f. Im Kontext dieser Aufgaben kann der Satz 1.1 wie folgt umformuliert werden: Satz 1.3 Ist y 0 ein Gleichgewichtspunkt zu µ 0, d.h. f(y 0,µ 0 ) = 0 und haben alle Eigenwerte von A = f y (y 0,µ 0 ) negativen Realteil, so ist y 0 asymptotisch stabil. Ohne Beweis soll noch ein weiterer Satz angegeben werden. Satz 1.4 (Hopf) Hat die Differentialgleichung y' = f(y,µ ) einen Zweig asymptotisch stabiler Lösungen an dessen Rand (y 0,µ 0 ) die Beziehung f(y 0,µ 0 ) = 0 gilt und hat f y (y 0,µ 0 ) nur rein imaginäre Eigenwerte, dann besitzt die Aufgabe eine periodische Lösung. Die Sätze zeigen also, dass durch lokale Eigenschaften oder durch Linearisierungen ( f f y ) an Gleichgewichtspunkten, Aussagen über die asymptotische Stabilität von Lösungen und der Existenz von periodischen Lösungen nichtlinearer Differentialgleichungen gemacht werden können. Für weitergehende Aussagen muss auf die umfangreiche Literatur hingewiesen werden. 10

11 Anhang function ydot = popupha_f(y) u1 = y(1)*(12-2*y(1)-3*y(2)); v1 = y(2)*(12-2*y(2)-4*y(1)); ydot= [u1;v1]; %Gradientenfeld für das Populationsmodell h =0.01; x1 = 0:0.25:6; x2 = 0:0.25:6; [nr,nc] = size(x1); x1m = zeros(nc,nc); for nx1 = 1:nc for nx2 = 1:nc x = [x1(nx1);x2(nx2)] + h*popupha_f([x1(nx1);x2(nx2)]); dx1 = x(1)-x1(nx1); dx2 = x(2)-x2(nx2); l = sqrt(dx1^2+dx2^2)*7.5; if l > 1.e-10 x1m(nx2,nx1)=dx1/l; x2m(nx2,nx1)=dx2/l; end end end quiver(x1,x2,x1m,x2m,0); axis([0,6,0,6]); xlabel('u'); ylabel('v'); grid; 11

12 ÜBUNGEN Prinzipien und Praxis bei ODE s ( ) Aufgabe 1.1 Geben Sie das Gradientenfeld für den nichtlinearen Schwinger y = -y +y 3 im Bereich -2.5 < y < 2.5, -2.5 < y < 2.5 an. Die Aufgabe wird dafür in ein System von 2 Differentialgleichungen umgeschrieben: y = z z = -y+y 3 Eine leichte Abwandlung des Programmes im Anhang liefert das gewünschte Ergebnis. Welches sind die stationären Lösungen? Welche dieser Lösungen ist asymptotisch stabil? Aufgabe 1.2 Wir haben gesehen, dass das Verhalten der Lösungen von Systemen von Differentialgleichungen y' = f(y), in einer Umgebung von Gleichgewichtspunkten y 0, über das linearisierte System oder die erste Variation y' = f y (y 0 )(y-y 0 ) untersucht werden kann. Gegeben sei das Lorenz-System (chaotisch) y 1 ' = f 1 (y 1,y 2,y 3 ) = σ(y 2 - y 1 ) β = 8/3 y 2 ' = f 2 (y 1,y 2,y3) = ρy 1 - y 1 y 3 - y 2 σ = 10 y 3 ' = f 3 (y 1,y 2,y3) = y 1 y 2 -βy 3 ρ = 28 mit den Anfangsbedingungen y 1 (0) = 5, y 2 (0) = 10 und y 3 (0) = 19. Verifizieren Sie, dass das nichtlineare System die drei stationären Lösungen (0,0,0), (6* 2, 6* 2, 27) und (-6* 2,-6* 2, 27) hat. Bestimmen Sie (selber Rechnen) die Funktionalmatrix oder Jacobimatrix f i ( ) y j an den stationären Lösungen und bestimmen Sie mit MATLAB die zugehörigen Eigenwerte. Führen Sie mit MATLAB eine Integration mit ODE45 von t gleich 0 bis 400 durch und zeichnen Sie das Ergebnis von y 1 (.) über y 2 (.) auf. Interpretieren Sie das Ergebnis mit Hilfe der berechneten Eigenwerte. (Haben Sie mit dieser Aufgabe Schwierigkeiten? Wenn ja, wenden Sie sich an uns und wir werden Ihnen helfen und ein kommentiertes Programm zur Verfügung stellen) 12

13 Aufgabe 1.3 Zeichnen Sie ein Phasenporträt für den nichtlinearen Schwinger y = -y + y im Bereich -1.5 < y <2.5 und -1.5 < y < 1.5. (Bei Schwierigkeiten gilt ähnliches wie bei Aufgabe 1.2) Aufgabe 1.4 Mit dem Brusselator liegt eine Aufgabe mit einer Hopf-Verzweigung vor! Gegeben sei das System von Differentialgleichung y 1 = 1 + y 2 y 1 2 (y 3 +1)y 1 y 2 = y 1 y 3 - y 2 y 1 2 y 3 = -y 1 y 3 + α Stationäre Lösungen sind (1, α, α ). Berechnen Sie bitte für einige α zwischen 1 und die Funktionalmatrix an den stationären Lösungen und mit MATLAB die zugehörigen Eigenwerte. Was beobachten Sie dabei? Bestimmen Sie nun eine periodische Lösung für α = und geben Sie die ungefähre Periode T der periodischen Lösung an! (Natürlich gilt auch hier die Bemerkung von Aufgabe 1.2!) 13

14 LÖSUNGEN Aufgabe 1.1 %Aufgabe1.1 %Gradientenfeld für Aufgabe1.1 h =0.01; x1 = -2.5:0.25:2.5; x2 = -2.5:0.25:2.5; [nr,nc] = size(x1); x1m = zeros(nc,nc); for nx1 = 1:nc for nx2 = 1:nc x = [x1(nx1);x2(nx2)] + h*aufgabe1_1f([x1(nx1);x2(nx2)]); dx1 = x(1)-x1(nx1); dx2 = x(2)-x2(nx2); l = sqrt(dx1^2+dx2^2)*7.5; if l > 1.e-10 x1m(nx2,nx1)=dx1/l; x2m(nx2,nx1)=dx2/l; end end end quiver(x1,x2,x1m,x2m,0); axis([-2.5,2.5,-2.5,2.5]); xlabel('u'); ylabel('v'); grid; function ydot = aufgabe1_1f(y) u1 = -y(2); v1 = y(1)+y(2)^3-3*y(2); ydot= [u1;v1]; 14

15 Aufgabe 1.2 %Aufgabe 1.2 %Programm liefert ein animiertes Phasenportraet des Lorenz System %und die Eigenwerte an den stationären Stellen z1 = [0;0;0]; %Stationärer Punkt des Lorenzsystems h = 6*sqrt(2); z2 = [h;h;27]; %Stationärer Punkt des Lorenzsystems z3 = [-h;-h;27]; % " e1= eig(jacobianlorenz_f(z1)) %Eigenwert des linearisierten Systems e2= eig(jacobianlorenz_f(z2)) % " e3= eig(jacobianlorenz_f(z3)) % " tspan = [0 40]; %Integration über das Intervall [0,40] y0 = [5;10;19]; %Anfangsbedingungen [t,y] = ode45('lorenz_f',tspan,y0); %Integration von lorenz_f %mit ODE45 comet(y(:,1),y(:,2),0.01); %Die animierte Phasenkurve xlabel('y1'); ylabel('y2'); % Die rechte Seite der Lorenz-Differentialgleichung function ydot = lorenz_f(t,y); ydot = [10*(y(2)-y(1));28*y(1)-y(1)*y(3)-y(2); y(1)*y(2)-(8/3)*y(3)]; function jac = jacobianlorenz(y) A = [-10, 10, 0; 28-y(3),-1,-y(1);y(2), y(1), -(8/3)]; jac=a; 15

16 Aufgabe 1.3 %Aufgabe 1.3 tspan = [0 20]; % Integration über das Intervall [0,20] for i=1:50 y0 = [-1.8+(i-1)/10;0]; % Die Anfangsbedingungen für die DGL [t,y] = ode45('tintenfisch_f',tspan,y0) % Integration mit ODE45 axis([-1,2.5,-1.5,1.5]);% Bereich der ausgedruckt werden soll plot(y(:,1),y(:,2)); % Die Phasenkurven plot(y(:,1),-y(:,2)); % Warum wohl? hold on % Es werden alle Phasenplots auf ein Bild gebracht end xlabel('y'); ylabel('y '); hold off % Die rechte Seite der Differentialgleichung y'' = -y + y^2 % als System erster Ordnung geschrieben function ydot = tintenfisch_f(t,y) ydot = [y(2);-y(1)+y(1)^2]; 16

17 Aufgabe 1.4 %Aufgabe 1.4 %Programm liefert ein Phasenportraet für den Brusselator %Für alpha >= entsteht eine periodische Lösung %Diese wird berechnet alpha1 = 1.1 ys1 = [1,alpha1,alpha1] %Stationärer Punkt des Brusselators e1= eig(jacobianbrusselator_f(alpha1)) %Eigenwert des linearisierten Systems alpha2 = 1.2 ys2 = [1,alpha2,alpha2] % " e2= eig(jacobianbrusselator_f(alpha2)) % " alpha3 = ys3 = [1,alpha3,alpha3] % " e3= eig(jacobianbrusselator_f(alpha3)) % " tspan = [0 8.45]; %Integration über das Intervall y0 = [1.1947;1.1957;1.1653]; [t,y] = ode45('brusselator_f',tspan,y0);%integration mit ODE45 comet(y(:,1),y(:,2),0.01); %Die animierte Phasenkurve xlabel('y1'); ylabel('y2'); %plot(y(:,1),y(:,2)) %Liefert bei Aktivierung 3 Bilder %subplot(2,2,2) %plot(y(:,1),y(:,3)) %subplot(2,2,4) %plot(y(:,2),y(:,3)) % Die rechte Seite des Brusselators function ydot = brusselator_f(t,y); alpha = 1.23; ydot = [1+(y(1)^2)*y(2)-(y(3)+1)*y(1); y(1)*y(3)-(y(1)^2)*y(2); -y(1)*y(3)+alpha]; function jac = jacobianbrusselator(alpha) A = [alpha-1, 1, -1; -alpha, -1, 1 ; -alpha, 0, -1]; jac=a; Beachte : Hier wurde eine periodische Lösung für alpha = 1.23 berechnet und nicht für Alpha = (!) 17