Übung 3: Unternehmenstheorie

Transkript

1 Übung 3: Unternehmenstheorie Georg Nöldeke Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät, Universität Basel Intermediate Microeconomics HS 11 Unternehmenstheorie 1 / 42

2 Produktion Zur Erinnerung: Grenzprodukt eines Inputs ist die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der Einsatzmenge des Inputs: Abnehmende Grenzprodukte: Komplementäre Inputs: MP i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i >0. MP ii (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) x i < 0 für i = 1,2. MP ij (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) x j 0 für i j. Grenzrate der technisches Substitution ist GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) < 0. 2 / 42

3 3 / 42 Produktion Zur Erinnerung: Durchschnittsprodukt eines Inputs: AP i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i >0. Produktionselastizität eines Inputs: ε i (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) AP i (x 1,x 2 ). Skalenelastizität der Technologie: ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ). Lokale Skalenerträge > 1 lokal steigende Skalenerträge ε S (x 1,x 2 ) = 1 lokal konstante Skalenerträge < 1 lokal fallende Skalenerträge

4 4 / 42 Produktion Zur Erinnerung: Globale Skalenerträge steigend, konstant, bzw. fallend, wenn die lokalen Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal steigend, konstant, bzw. fallend sind. Alternative Charakterisierung globaler Skalenerträge dadurch, dass die folgenden Bedingungen für alle t > 1 und (x 1,x 2 ) > 0 gelten: f (t x 1,t x 2 ) > t f (x 1,x 2 ) global steigende Skalenerträge = t f (x 1,x 2 ) global konstante Skalenerträge < t f (x 1,x 2 ) global fallende Skalenerträge

5 5 / 42 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Worum geht es? Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion kennen und verstehen. Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Konzepten (Grenzprodukte, Produktionselastizitäten, Skalenerträge... ) verstehen. Beachte: Cobb-Douglas-Produktionsfunktion ist das Standardrechenbeispiel für eine artige Produktionsfunktion und wird dementsprechend (auch in Klausuren) oft verwendet.

6 6 / 42 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = x α 1 x β 2. Grenzprodukte: MP 1 (x 1,x 2 ) = α x α 1 1 x β 2 > 0 MP 2 (x 1,x 2 ) = β x α 1 x β 1 2 > 0. Grenzrate der technischen Substitution: GRT (x 1,x 2 ) = α x α 1 1 x β 2 β x1 αx β 1 = α β x2. x 1 2 Beachte: Die Grenzrate der technischen Substitution hängt von den Parametern nur über das Verhältnis α/β ab die absolute Grösse dieser Parameter spielt keine Rolle.

7 7 / 42 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Abnehmende Grenzprodukte gilt für α < 1 und β < 1: MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 =α (α 1)x α 2 1 x β 2 < 0 α < 1. =β (β 1)x α 1 x β 2 2 < 0 β < 1 Inputs sind für alle α,β > 0 streng komplementär: MP 1 (x 1,x 2 ) = MP 2(x 1,x 2 ) = α βx α 1 x 2 x 1 x β 1 2 > 0 1

8 8 / 42 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Durchschnittsprodukte: AP 1 (x 1,x 2 ) = x α 1 1 x β 2 = 1 α MP 1(x 1,x 2 ) > 0 AP 2 (x 1,x 2 ) = x α 1 x β 1 2 = 1 β MP 2(x 1,x 2 ) > 0. Produktionselastizitäten: ε 1 (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) AP 1 (x 1,x 2 ) = α > 0 ε 2 (x 1,x 2 ) = MP 2(x 1,x 2 ) AP 2 (x 1,x 2 ) = β > 0

9 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Skalenelastizität ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ) = α + β hängt nicht von (x 1,x 2 ) ab: > 1 global steigende Skalenerträge α + β = 1 global konstante Skalenerträge < 1 global fallende Skalenerträge Alternativer Weg zum gleichen Ergebnis: f (t x 1,t x 2 ) = (t x 1 ) α (t x 2 ) β = t α x α 1 tβ x β 2 = tα+β f (x 1,x 2 ). 9 / 42

10 Produktion Aufgabe 1: Eigenschaften der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion 10 / 42

11 11 / 42 Produktion Aufgabe 2 Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x ρ 1 + x ρ 2 mit ρ > 0. Das Grenzprodukt eines Inputs hängt nur von der Einsatzmenge des jeweils betrachteten Inputs ab: MP 1 (x 1,x 2 ) =ρx ρ 1 1 > 0 MP 2 (x 1,x 2 ) =ρx ρ 1 2 > 0. Die Grenzprodukte sind für ρ < 1 abnehmend: MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 =(ρ 1)ρx ρ 2 1 < 0 =(ρ 1)ρx ρ 2 1 < 0

12 12 / 42 Produktion Aufgabe 2 Grenzrate der technischen Substitution: GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) ρ 1 1 = x x ρ 1 2 Der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution ist für ρ < 1 fallend, da bei einer Bewegung entlang einer Isoquante MP 1 fällt und MP 2 steigt.

13 13 / 42 Produktion Aufgabe 2 Berechnung der Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten und Skalenelastizität: Siehe Lösungshinweis. Alternative Ansatz, um zu zeigen, dass für ρ < 1 global fallende Skalenerträge vorliegen: f (t x 1,t x 2 ) = t ρ x ρ 1 + tρ x ρ 2 < t x ρ 1 + t x ρ 2 = t f (x 1,x 2 ) gilt für t > 1, da t ρ < t.

14 14 / 42 Produktion Aufgabe 3 Worum geht es? Erkennen, dass die Angaben in der Aufgabenstellung ausreichen, um die Produktionselastizitäten und damit die Skalenelastizität bei den betrachteten Faktoreinsatzmengen zu bestimmen. Mit 3 Einheiten Input 1 werden 12 Einheiten Output produziert AP 1 = 4. Da MP 1 = 3 folgt ε 1 = 3/4. Mit 6 Einheiten Input 2 werden 12 Einheiten Output produziert AP 2 = 2. Da MP 2 = 1 folgt ε 2 = 1/2. Also ist die Skalenelastizität gleich 3/4 + 1/2 = 5/4 > 1 Skalenerträge sind also lokal steigend.

15 15 / 42 Produktion Aufgabe 4 Worum geht es? An Hand eines Beispieles verstehen, dass es von den Faktoreinsatzmengen abhängen kann, ob lokal fallende, konstante oder steigende Skalenerträge vorliegen. Hinweis: Wenn nur zu bestimmen, ob die Skalenerträge steigend, konstant oder fallend sind, ist die Berechnung der Produktionselastizitäten entbehrlich: ε S (x 1,x 2 ) > 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 > f (x 1,x 2 ) ε S (x 1,x 2 ) = 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 = f (x 1,x 2 ) ε S (x 1,x 2 ) < 1 MP 1 (x 1,x 2 ) x 1 + MP 2 (x 1,x 2 ) x 2 > f (x 1,x 2 )

16 16 / 42 Produktion Aufgabe 4 Produktionsfunktion: f (x 1,x 2 ) = x 1 1+x 1 x 2 1+x 2. Grenzprodukte sind: 1 x 2 MP 1 (x 1,x 2 ) = (1 + x 1 ) 2 > x 2 MP 2 (x 1,x 2 ) = x x 1 1 (1 + x 2 ) 2 > 0. Jeweils mit der Einsatzmenge multiplizieren und addieren: x 1 x 2 (1 + x 1 ) 2 + x [ 1 x x x 1 (1 + x 2 ) 2 = ] f (x 1,x 2 ). 1 + x x 2 Also sind die lokalen Skalenerträge dadurch bestimmt, ob der blau markierte Ausdruck grösser, gleich oder kleiner als 1 ist.

17 17 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Worum geht es? Zu einer gegebenen Kostenfunktion die dazugehörigen Grenzkosten, Durchschnittskosten, etc. bestimmen können. Verlauf der Kostenkurven (steigend, fallend, u-förmig) bestimmen können. Zusammenhänge zwischen den Kostenkurven kennen und ausnutzen können.

18 18 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Kostenfunktion: C(y) = y 3 20y y. Dies ist ein Beispiel für eine kubische Kostenfunktion der Form C(y) = ay 3 + by 2 + cy + d. Hinweis: In Rechenaufgaben, in denen Kostenverläufe zu bestimmen sind, werden fast durchweg solche Kostenfunktion betrachtet. Grenzkosten, durchschnittliche variable Kosten und Durchschnittskosten für kubische Kostenfunktionen: MC(y) = 3ay 2 + 2by + c AVC(y) = ay 2 + by + c AC(y) = AVC(y) + d/y.

19 Kostenfunktion Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Die Steigung der Grenzkosten MC(y) = 3ay 2 + 2by + c ist MC (y) = 6ay + 2b. Die Steigung der durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y) = ay 2 + by + c ist AVC (y) = 2ay + b. Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten sind also konstant (gleich c), wenn a = b = 0 gilt. steigend, wenn a 0 und b 0 mit mindestens einer strengen Ungleichung gilt. fallend, wenn a 0 und b 0 mit mindestens einer strengen Ungleichung gilt. u-förmig, wenn a > 0 und b < 0 gilt. Im Beispiel C(y) = y 3 20y y verlaufen Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten also u-förmig, da a = 1 und b = / 42

20 20 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten stimmen immer bei y = 0 überein. Für kubische Kostenfunktionen MC(0) = AVC(0) = c. Bei u-förmigem Verlauf gibt es genau einen weiteren Schnittpunkt, der im Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten liegt. Dieses Minimum ist durch die Bedingung AVC (ŷ) = 0 eindeutig bestimmt. Für kubische Kostenfunktionen mit a > 0 und b < 0 gilt also 2aŷ + b = 0 und somit ŷ = b 2a. Im Beispiel C(y) = y 3 20y y mit a = 1 und b = 20 gilt also ŷ = 10.

21 21 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 5: Kubische Kostenfunktion Abbildung: Grenzkosten- und Durchschnittskostenfunktion der Kostenfunktion C(y) = y 3 20y y.

22 22 / 42 Kostenfunktion Aufgaben 6 und 7: Bestimmung einer kurzfristigen Kostenfunktion Worum geht es? Verstehen, wie man eine kurzfristige Kostenfunktion aus einer kurzfristigen Produktionsfunktion bestimmt. Kochrezept zur Bestimmung kurzfristiger Kostenfunktionen: 1 Kurzfristige Produktionsfunktion als y = f (x 1, x 2 ) aufschreiben und nach x 1 auflösen. Dieses bestimmt die Einsatzmenge x 1 (y, x 2) des variablen Faktors, die zur Produktion von y erforderlich ist. 2 Fixkosten bestimmen: w 2 x 2. 3 Variable Kosten bestimmen: w 1 x 1 (y, x 2). 4 Kostenfunktion = Fixkosten + Variable Kosten. 5 Allenfalls vorgegebene Werte von (w 1,w 2 ) und x 2 einsetzen, um kurzfristige Kosten als Funktion der Outputmenge zu erhalten.

23 23 / 42 Kostenfunktion Aufgaben 6 und 7: Bestimmung einer kurzfristigen Kostenfunktion Kurzfristige Produktionsfunktion: y = x1 0.5 x Nach x 1 auflösen: x 1 (y, x 2) = y 2 / x 2. Kurzfristige Kostenfunktion ist: c(w 1,w 2,y, x 2 ) = w 2 x 2 + w 1 y 2 / x 2 Kurzfristige Kostenfunktion mit w 1 = 200, w 2 = 50 und x 2 = 4 ist: C(y) = y 2. Also: F = 200, VC(y) = 50y 2, MC(y) = 100y, AC(y) = 200/y + 50y, AFC(y) = 200/y, AVC(y) = 50y.

24 24 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 8: Kostenminimierung in der langen Frist Worum geht es? Das langfristige Kostenminimierungsproblem für (einige Beispiele) lösen können. Die dazugehörigen bedingten Faktornachfragefunktionen und die langfristige Kostenfunktion bestimmen können. Zusammenhänge zwischen den Eigenschaften der Produktionsfunktion und Eigenschaften der langfristigen Kostenfunktion verstehen. Beachte: Die hier betrachteten Beispiele von Produktionsfunktionen sind für Rechenaufgaben in der Prüfung relevant.

25 25 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 8(a) Hier wird der Spezialfall α = β = 1/2 der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion aus Aufgabe 1 betrachtet: f (x 1,x 2 ) = x 1/2 1 x 1/2 2 = x 1 x 2. Bedingungen für die Lösung des Kostenminimierungsproblems: x2 x1 = w 1 w 2 und x1 x2 = y

26 26 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 8(a) Nach x1 und x 2 auflösen, ergibt die bedingten Faktornachfragefunktionen: x1 (w w2 1,w 2,y) = y, w 1 und x2 (w w1 1,w 2,y) = y w 2 Einsetzen der bedingten Faktornachfragefunktionen in ergibt die Kostenfunktion, w 1 x 1 (w 1,w 2,y) + w 2 x 2 (w 1,w 2,y) c(w 1,w 2,y) = 2 w 1 w 2 y, die linear in y ist, da konstante Skalenerträge vorliegen.

27 27 / 42 Kostenfunktion Aufgabe 8(a) Grenzkosten sind gleich Verhältnis von Faktorpreis zu Grenzprodukt: Ableiten der Kostenfunktion c(w 1,w 2,y) = 2 w 1 w 2 y nach y ergibt die Grenzkosten MC(y) = 2 w 1 w 2, die mit dem Verhältnis von Faktorpreis geteilt durch Grenzprodukt des jeweiligen Faktors übereinstimmen. w i MP i (x 1 (w 1,w 2,y),x 2 (w 1,w 2,y)) = 2 w 1 w 2 = MC(y).

28 Kostenfunktion Aufgabe 8(b) Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2 Es handelt sich um den Spezialfall ρ = 1/2 der Produktionsfunktion aus Aufgabe 2. Vorgehensweise zur Bestimmung der bedingten Faktornachfragefunktionen und der Kostenfunktion ist analog zu der Vorgehensweise im Cobb-Douglas-Fall. Beachte, dass auch hier wie in den beiden vorhergehenden Aufgaben das kostenminimierende Faktoreinsatzverhältnis unabhängig von y ist. Das Ergebnis, dass die bedingten Faktornachfragefunktionen und die Kostenfunktion quadratisch in der Outputmenge y sind, hat eine einfache Erklärung: f (t 2 x 1,t 2 x 2 ) = t f (x 1,x 2 ), so dass die Faktoreinsatzmengen mit t 2 multipliziert werden müssen, wenn der Output um den Faktor t steigen soll. 28 / 42

29 29 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 9: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Worum geht es? Lösung des Gewinnmaximierungsproblems und dazugehörige Angebotsfunktion für gegebene Kostenfunktion bestimmen können.

30 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 9: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 9 (a) Kostenfunktion C(y) = y 2 Grenzkosten: MC(y) = 4y Angebotsfunktion: s(p) = p/4. 30 / 42

31 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 9: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 9 (b) Kostenfunktion C(y) = 67 + y + 0.1y 2 Grenzkosten: MC(y) = y Angebotsfunktion s(p) = max{0, 5(p 1)}. 31 / 42

32 32 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 9: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion Aufgabe 9 (c) Kostenfunktion: c(y) = y 3 20y y Grenzkosten: MC(y) = 3y 2 40y Angebotsfunktion:?????????? minavc(y) = 120, daher für p < 120: s(p) = 0. Für p > 120: Eindeutige Lösung der Gleichung für die s(p) 10 gilt. p = 3s(p) 2 40s(p) + 220, Also (Auflösen der quadratischen Gleichung): s(p) = 1 3 [ 20 + ] 3p 260.

33 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 9: Gewinnmaximierung und Angebotsfunktion 33 / 42

34 34 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x 1 + x 2. Faktorpreise sind (w 1,w 2 ) = (1,1). Langfristige Kostenfunktion ist C l (y) = y 2 /2 mit Grenzkostenfunktion MC l (y) = y. Langfristige Grenzkosten sind streng steigend mit MC(0) = 0. Langfristige Angebotsfunktion ist durch Bedingung erster Ordnung bestimmt: MC l (s l (p)) = p s l (p) = p.

35 35 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Kurzfristige Angebotsfunktion hängt davon ab, welche Menge x 2 als fix unterstellt wird. Hier ist der Fall x 2 = 4 betrachtet,... welches die bei p = 4 optimale Einsatzmenge zur Produktion der gewinnmaximierenden Outputmenge s l (4) = 4 ist. Kurzfristige Produktionsfunktion: f (x 1,4) = 2 + x 1. Beachte: f (0,4) = 2 > 0, da der variable Input verzichtbar ist.

36 36 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Fixkosten: w 2 x 2 = 4. Variable Kosten sind gleich Null für y 2. Variable Kosten sind (y 2) 2 für y > 2. Kurzfristige Grenzkostenfunktion ist { 0 für y 2 MC k (y) = 2y 4 für y > 2. Bestimmung der kurzfristigen Angebotsfunktion über die Bedingung Grenzkosten gleich Preis y k (p) = p Warum darf man das so machen?

37 37 / 42 Angebot in Wettbewerbsmärkten Aufgabe 10: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion eines Unternehmens Abbildung: Kurzfristige und langfristige Angebotsfunktion.

38 38 / 42 Produzentenrente Aufgabe 11 Worum geht es? Sie wissen, was man unter der Produzentenrente eines Unternehmens versteht. Sie können die Produzentenrente in einem Wettbewerbsmarkt sowohl aus der Angabe der Kostenfunktion als auch aus der Angabe der Angebotsfunktion bestimmen. Produzentenrente ist die Differenz zwischen Erlös und variablen Kosten.

39 39 / 42 Produzentenrente Aufgabe 11 Kochrezept zur Bestimmung der Produzentenrente aus der Kostenfunktion: 1 Gewinnmaximierungsproblem lösen, um aus der Kostenfunktion C(y) das Angebot s(p) zu bestimmen. 2 Erlös aus der Produktion von s(p) Einheiten bestimmen: p s(p). 3 Variable Kosten zur Produktion von s(p) Einheiten bestimmen: VC(s(p)). 4 Differenz bilden: pr(p) = p s(p) VC(s(p)).

40 40 / 42 Produzentenrente Aufgabe 11 Im Beispiel aus Aufgabe 11 (a): C(y) = y + y 2 1 Angebotsmenge bei p = 8 ist s(8) = 2. 2 Erlös ist p s(p) = 8 2 = Variable Kosten sind 4s(p) + s(p) 2 = = Produzentenrente ist = 4.

41 41 / 42 Produzentenrente Aufgabe 11 Kochrezept zur Bestimmung der Produzentenrente aus der Angebotsfunktion: 1 Erlös p s(p) bestimmen. 2 Fläche unterhalb der Angebotsfunktion bis zur Menge s(p) dies entspricht den variablen Kosten VC(s(p)) - bestimmen. 3 Differenz bilden: pr(p) = p s(p) VC(s(p)).

42 42 / 42 Produzentenrente Aufgabe 11 Im Beispiel aus Aufgabe 11(b): s(p) = 4p. 1 Erlös bei Preis p ist p s(p) = 4p 2 2 Fläche unter der Angebotsfunktion bis zur Menge s(p) ist die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks mit Höhe p und Länge 4p, also 2p 2. 3 Also ist die Produzentenrente bei Preis p: Mit p = 12 folgt pr(p) = 288. pr(p) = 4p 2 2p 2 = 2p 2.