Mikroökonomische Theorie: Kostenminimierung

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1 Mikroökonomische Theorie: Dr. Jan Heufer TU Dortmund 28. Juni 2011 Übersicht 1 / 58

2 Wirtschaftskreislauf Motivation Zum Begriff Kosten Konsumgüter Nachfrage Angebot Konsumenten Haushalte Produzenten Firmen Angebot Nachfrage Produktionsfaktoren 2 / 58 Motivation Zum Begriff Kosten Bisher: Theoretische Beschreibung der Produktionsmöglichkeiten eines Unternehmens Offene Frage: Wie begründet sich ökonomisch die Auswahl bestimmter Produktionsprozesse? Die Kosten eines Unternehmens sind nicht einfach vorgegeben, sondern ergeben sich aus Optimierung Daher wenden wir uns hier den Kosten bzw. der sogenannten Kostenfunktion zu 3 / 58

3 Motivation Zum Begriff Kosten Ziel: Beschreibung des Verhaltens eines gewinnmaximierenden Unternehmens Vorgehen: Beschreibung des Prinzips der. Dies ist notwendiger Bestandteil der Gewinnmaximierung als Hypothese. Dabei wir für jeden möglichen Output, den ein Unternehmen wählen kann, die kostenminimierende Produktionsweise bestimmt. Danach wird der Output gewählt, der den höchsten Gewinn erbringt. 4 / 58 Motivation Zum Begriff Kosten Quelle: Butzer et al. (2010): Measures of Fixed Capital in Agriculture, World Bank Policy Research Working Paper / 58

4 Motivation Zum Begriff Kosten Betrachtet werden hier Faktorkosten. Unternehmen überlegen sich ex ante mit welchen Inputmengen ein Output x produziert werden kann. Es gibt regelmäßig viele verschiedene Kombinationen von Input, mit denen ein Output produziert werden kann. Welche Kosten werden bei gegebenen Faktorpreisen für diese Möglichkeiten anfallen? Nicht nur explizite ( tatsächliche ) Ausgaben zählen dabei, sondern auch implizite Ausgaben. 6 / 58 Implizite Kosten: Motivation Zum Begriff Kosten Zwei ansonsten identische Unternehmen erweitern ihre Produktionsstätten durch Ausgaben von 100,000 Euro. Unternehmen A nimmt dafür einen Kredit in dieser Höhe auf. Unternehmen B setzt eigene Mittel ein. Unternehmen A hat dann explizite Kosten in Höhe der Zinslast. Unternehmen B hat keine expliziten Kosten. 7 / 58

5 Implizite Kosten: Motivation Zum Begriff Kosten Hat Unternehmen B nun gar keine Kosten? Doch: Unternehmen B hat implizite Kosten, die A nicht hat. Diese Kosten ergeben sich aus dem Ertrag der alternativen Verwendungsform der 100,000 Euro. B hätte das Geld zum für einen Zinssatz von 5% verleihen können. B verzichtet durch den Einsatz des Geldes im Betrieb auf Zinsen in Höhe von 5,000 Euro. Dies sind sogenannte Opportunitätskosten. 8 / 58 Opportunitätskosten Motivation Zum Begriff Kosten Buchhalterische Kosten erfassen nur wenige dieser Opportunitätskosten, die nur implizit anfallen. Opportunitätskostenprinzip Nach dem Opportunitätskostenprinzip entsprechen die Kosten einer Handlung dem Wert der attraktivsten alternativen Möglichkeit, auf die zugunsten der gewählten Handlung verzichtet wird. Was kostet demnach ein Studium? 9 / 58

6 Zunächst ein einfaches : Produktionsziel (angestrebter Output): x = 10 Einheiten. Produktionsmöglichkeiten: 4 Aktivitäten A1, A 2, A 3, A 4. Dabei gilt: A1 = (1, 6) A 2 = (2, 4) A 3 = (3, 3) A 4 = (5, 2) wobei die erste Zahl den Faktoreinsatz Arbeit (l) und die zweite Zahl den Faktoreinsatz Kapitel (k) angibt. Faktorpreise w = 10 für Arbeit, r = 15 für Kapital 10 / 58 Diese vier Produktionsmöglichkeiten A 1 bis A 4 und die Faktorpreise bestimmen die Kostenstruktur des Unternehmens: Akt. Lohnkosten w l Kapitalkosten r k Kosten A A A A Ergebnis: x = 10 sollte durch Wahl der Aktivität A 3 produziert werden. 11 / 58

7 Definition K( x; w, r) = K(10; 10, 15) = 75 heißen (Produktions-) Kosten der Ausbringungsmenge x = 10. Produktionskosten werden im folgenden immer als Minimalkosten interpretiert. Im werden die Produktionskosten von 75 durch die Faktorkombination ( l, k) = (3, 3) realisiert; sie heißt kostenminimale Faktorkombination. 12 / 58 kostenminimaler Faktorkombinationen Problem: min w l + r k unter der Nebenbedingung F (l, k) = x (l,k) Im mit vier Aktivitäten definieren A 1,..., A 4 eine Isoquante, da sie alle x = 10 produzieren. Diese fasst die technologischen Beschränkungen zusammen. 13 / 58

8 Diagramm: Isoquante k 6 A 1 I q (10) 4 A 2 A 3 2 A l 14 / 58 Dieses Diagramm fasst also die technologischen Beschränkungen zusammen. In dasselbe Diagramm sollen nun die Kostenbeschränkungen eingetragen werden. Dazu betrachten wir nun die Faktorkombinationen, die alle zu denselben Kosten führen. Diese Kombinationen werden als Isokostengeraden bezeichnet. 15 / 58

9 Isokostengeraden Die Isokostengeraden sind durch {(l, k) : w l + r k = c} gegeben. Im ist w = 10 und r = 15. Das heißt bzw. 10 l + 15 k = c k = 2 3 l + c / 58 Diagramm: Isokostengeraden k 6 4 steigende Kosten Steigung: 2 3 = w r l 16 / 58

10 Isokostengeraden Die Isokostengeraden sind durch {(l, k) : w l + r k = c} gegeben. Im ist w = 10 und r = 15. Das heißt 10 l + 15 k = c bzw. k = 2 3 l + c 15. Wie sieht die Isokostengerade für c = 75 aus? k = 2 3 l / 58 Diagramm: Isokostengeraden k 6 I q (10) l 16 / 58

11 Isokostengeraden Die Isokostengerade k = (2/3) l + 5 berührt die Isoquante I q (10) im Produktionspunkt (3, 3), der der Aktivität A 3 entsprecht. Die Isokostengerade, die gerade noch einen Punkt mit der Isoquante gemeinsam hat, entspricht dem niedrigsten Kostenniveau. Alle anderen Punkte der Isoquante liegen auf Isokostengeraden mit höherem Kostenniveau. Also: (3, 3) ist die kostenminimale Faktorkombination bei Preisen (w, r) = (10, 15) zur Produktion von x = / 58 Isokostengeraden Allgemein gilt: k = w r l + c r. Wenn sich die relativen Faktorpreise ändern, ändert sich die Steigung der Isokostengerade und daher möglicherweise auch der Brührungspunkt mit der Isoquante. 18 / 58

12 Allgemeine Sei F (l, k) eine (neoklassische) Produktionsfunktion. min (l,k) w l + r k u.d.nb. F (l, k) = x k In (l, k ) gilt: Isokostengerade = Tangente an Isoquante k Steigung Isokostengerade = Steigung I x in (l, k ) I x l l 19 / 58 Allgemeine Also: w r = F l(l,k ) F k (l,k ). Wir haben also: Faktorpreisverhältnis = Verhältnis der Grenzproduktivitäten der Faktoren. Letzeres entspricht der technischen Grenzrate der Substitution Ergebnis w r = F l(l, k ) F k (l, k ) 20 / 58

13 Allgemeine : Lagrange min (l,k) w l + r k + λ[f (l, k) x]. Ableitung nach l: (1) w + λ F (l,k) l = 0. F (l,k) Ableitung nach k: (2) r + λ = 0. k Aus (1) und (2): w λ F / l = = F l(l,k). r λ F / k F k (l,k) Ableitung nach λ: F (l, k) x = 0 F (l, k) = x. 21 / 58 Allgemeine : Lagrange Parameter des Problems: Outputziel x und Faktorpreise w und r Die Lösung (l, k ) wird von diesen Parametern abhängen: l = l ( x; w, r) k = k ( x; w, r) 22 / 58

14 Allgemeine Definition Sei also (l ( x; w, r), k ( x; w, r)) die Lösung des sproblems (also die kostenmininale Faktorkombination) in Abhängigkeit von Outputziel und Faktorpreisen. Dann heißt C( x, w, r) = w l ( x; w, r) + r k ( x; w, r) Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F ). Kurz: C(x) bei gegebenen Preisen (w, r) ist gleich w l (x) + r k (x). 23 / 58 Allgemeine : Bemerkungen l ( x; w, r) und k ( x; w, r) heißen auch abgeleitete oder bedingte Faktornachfragefunktionen. führt also zur Faktornachfrage 24 / 58

15 Die LK(x) Definition Sei C(x) die Kostenfunktion wie eben. Dann heißt die Funktion LK(x) = C(x) = w l (x) + r k (x) = C(l (x), k (x)) die langfristige Kostenfunktion (zur Produktionsfunktion F bei Preisen (w, r)). LK(x) ist homogen vom Grad 1 in (w, r). Die langfristige Kostenfunktion entspringt also wie jede Kostenfunktion einer technologischen Beschränkung und einer Preisbeschränkung in Form der gegebenen Faktorpreise. 25 / 58 Die LK(x) Warum langfristig? Wir haben bisher unterstellt, dass alle Faktoren für die Unternehmen frei variabel sind. Insbesondere ist damit die Möglichkeit totaler Faktorvariation gegeben wie sie beim Konzept der Skalenerträge zugrunde gelegt werden. Naheliegende Frage: Wie sieht die langfristige Kostenfunktion zu Produktionsfunktionen vom Homogenitätsgrad r aus? 26 / 58

16 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion Wie sieht die langfristige Kostenfunktion zu Produktionsfunktionen vom Homogenitätsgrad r aus? Satz Sei F (l, k) homogen vom Grad r, d.h. F (λ l, λ k) = λ r F (l, k). Dann gilt, dass LK(x) = a x 1/r mit a = konstant. 27 / 58 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion Beweis für r = 1 (konstante Skalenerträge): Damit reduziert sich die Behauptung zu LK(x) = a x 1/r = a x. Sei (l, k ) die kostenminimale Faktorkombination für x, d.h. F (l, k ) = x und LK(x ) = w l + r k. Behauptung: (λ l, λ k ) ist die kostenminimale Faktorkombination für λ x, d.h. LK(λ x ) = λ LK(x ). 28 / 58

17 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion Behauptung: LK(λ x ) = λ LK(x ). Es gilt: λ x = λ F (l, k ) = F (λ l, λ k ), d.h. λ x kann mit (λ l, λ k ) produziert werden. Noch zu zeigen: λ x kann nicht billiger als mit (λ l, λ k ) produziert werden. 29 / 58 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion λ x kann nicht billiger als mit (λ l, λ k ) produziert werden. Angenommen, (λ l, λ k ) ist nicht kostenminimal, d.h. ( l, k) mit F ( l, k) = λ x und w l + r k < w (λ l ) + r (λ k ) = λ (w l + r k ). Dann gilt: w 1 λ (w l + r k) < w l + r k ( ) ( ) l k + r < w l + r k. λ λ 30 / 58

18 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion ( ) ( ) w l + r k < w l + r k. λ λ ( ) Mit Faktoreinsatz l, k kann aber λ λ produziert werden. F ( l λ, k ) λ = 1 F ( l, k) λ = 1 λ (λ x ) = x Dies widerspricht der Annahme, dass (l, k ) die kostenminimale Faktorkombination für x ist. 31 / 58 Homogenitätsgrad der Produktionsfunktion Daraus folgt, dass LK(λ x) = λ LK(x), d.h. LK(x) ist linear. Genauer gesagt: mit a = LK(1). Übung: Beweis für r 1. LK(x) = LK(1 x) = x LK(1) = a x 32 / 58

19 Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten Zur Erinnerung: Für beliebige r gilt LK(x) = a x 1/r Folgerung: LDK(x) = LK(x) = a x 1/r 1 x LGK(x) = LK(x) = 1 x r a x 1/r 1 Für r = 1: LDK(x) = LGK(x) = a 33 / 58 Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten LDK LGK r < 1 r < 1 r > 1 r > 1 x 34 / 58

20 Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten (Cobb-Douglas Produktionsfunktion Sei F (l, k) = l 1/2 k 1/2. Welche Kostenfunktion gehört zu F? führt zu w = F l r F k = (1/2)l 1/2 k 1/2 = k. (1/2)l 1/2 k 1/2 l Umgestellt: k = w l. r Da F (l, k) = x folgt F ( l, w r l) = l 1/2 ( w r l) 1/2 = x. Also: l = ( ) r 1/2 w x (abgeleitete Arbeitsnachfrage l (x; w, r)) Und: k = ( ) w 1/2 r x (abgeleitete Kapitalnachfrage k (x; w, r)) 35 / 58 Langfristige Durchschnittskosten und Grenzkosten (fortgeführt) l = ( ) r 1/2 w x und k = ( w r Dann folgt: LK(x) = w l + r k = w ) 1/2 x ( r w ) 1/2 x + r ( w r ) 1/2 x wobei a = 2 (w r) 1/2. = 2 (w r) 1/2 x = a x Beachte, dass LK(x) linear ist; zum ist a = 40 für w = 16 und r = / 58

21 en Für LK(x) haben wir unterstellt, dass alle Faktoren variabel sind. Kurzfristig ist dies nicht immer der Fall. Der Kapitaleinsatz ist kurzfristig oft fix. Arbeitseinsatz kann unter Umständen auch kurzfristig fix sein (Arbeitsrechtliche Bestimmungen; aber siehe Kurzarbeit). 37 / 58 bei fixem Kapitaleinsatz Sei also k = k 1 als unveränderbar gegeben: min w l + r k (l,k) u.d.nb. F (l, k) = x k = k 1 bzw. min l w l + r k 1 u.d.nb. F (l, k 1 ) = x Eine Restriktion mehr als vorher: nur l ist variabel. 38 / 58

22 bei fixem Kapitaleinsatz Definition Sei l (x) die kostenminimale Arbeitsmenge. Dann heißt KK(x) = KK(x; k 1 ) = w l (x) + r k 1 die kurzfristige Kostenfunktion. Ist die zusätzliche Restriktion wirksam bindend, so erhöht dies die Kosten im Vergleich zu LK. Ist die zusätzliche Restriktion nicht bindend, so sind die Kosten gerade LK(x), d.h. KK(x) LK(x) für alle x. 39 / 58 bei fixem Kapitaleinsatz Fortsetzung des s (Cobb-Douglas) F (l, k) = l 1/2 k 1/2 LK(x) = 2 x (w r) 1/2 Sei nun k = k 1 fix. Da x = l 1/2 k 1/2 1, folgt l = x2 k 1. Und somit: KK(x) = w l + r k 1 = w x 2 k 1 + r k 1 = KK(x; k 1 ) = w k 1 x 2 + r k 1 40 / 58

23 Zusammenhang zwischen LK(x) und KK(x; k 1 ) LK KK Steigung: a = 2 (w r) 1/2 KK(x; k 1 ) Fixkosten LK(x) r k 1 ˆx x 41 / 58 Zusammenhang zwischen LK(x) und KK(x; k 1 ) LK KK KK(x; k 2 ) KK(x; k 1 ) LK(x) r k 1 r k 2 x 42 / 58

24 Zusammenhang zwischen LK(x) und KK(x; k 1 ) LK(x) ergibt sich als Einhüllende der KK(x; k i ). Es ist kein Zufall, dass KK(x, k i ) konvexe Funktionen sind: Satz Ist F (l, k) eine Produktionsfunktion mit konstanten bzw. abnehmenden Skalenerträgen, so ist KK(x; k i ) konvex (für beliebige k i ). Intuition: Bei konstanten bzw. abnehmenden Skalenerträgen gilt das Gesetz des abnehmenden Grenzertrages bei partieller Faktorvariation (d.h. F (l, k i ) ist konkav). 43 / 58 Effizienter Arbeitseinsatz bei fixem Kapitalstock Den effizienten Arbeitseinsatz erhält man, indem man F (l, k 1 ) = x nach l auflöst. x,l l(x) F (l, k 1 ) l,x (l(x), k 1 ) ist die kurzfristig kostenminimale Faktorkombination zur Produktion von x 44 / 58

25 Effizienter Arbeitseinsatz bei fixen Kapitalkosten Es gilt KK(x, k 1 ) = w l(x) + r k 1 : Kosten KK(x, k 1 ) w l(x) r k 1 KK(x, k 1 ) ist konvex. x 45 / 58 Konvexität von KK KK(x, k 1 ) ist konvex KGK(x) = KK(x,k 1 ) x > 0 KGK(x,k 1) x 0 KK(x, k1 ) = w k 1 x 2 + r k 1 KGK(x, k1 ) = 2 w k 1 x > 0 für alle x > 0 KGK(x,k 1) x = 2 w k 1 > 0 Das heißt: Grenzkosten steigen mit der Ausbringungsmenge x 46 / 58

26 Was gilt allgemein für kurzfristige Grenzkosten? Im gilt KGK(x, k 1 ) = 2 w k 1 x = w k 1 2 x Aber auch: k 1 2 x = k 1 2 l 1/2 k 1/2 1 = 1 k 1/2 1 2 l = F l(l, k 1/2 1 ) = Grenzproduktivität des Faktors Arbeit 47 / 58 Was gilt allgemein für kurzfristige Grenzkosten? Satz Es gilt KGK(x, k 1 ) = Beweisskizze: w. F l (l,k 1 ) min l w l + r k 1 + λ[x F (l, k 1 )] Bedingung erster Ordnung: w λ F l (l, k 1 ) = 0 Daraus folgt: λ = w/f l (= Schattenpreis der Restriktion) 48 / 58

27 Grenzkostenpreise Es gilt: LGK = w F l = KGK = w F l = w F l (l, k ) = w F l (l, k 1 ) = w F l (l (x), k (x)) w F l (l (x), k 1 ) Grenzkostenpreise Das Grenzkostenkonzept ist wichtig für die Beschreibung des Verhaltens eines gewinnmaximierenden Unternehmens. Es wird seine Produktion gerade soweit ausdehnen, bis die Grenzkosten der letzten produzierten Einheit gerade dem Marktpreis für ihren Output entsprechen. Aufgrund dieser Eigenschaft gewinnmaximierender Produktion spricht man auch von Grenzkostenpreisen ( marginal cost pricing ). 49 / 58 Kurzfristige Durchschnittskosten KK(x) KK(x) KDK LDK KDK(x) LDK α ˆx x ˆx x tan α = Gegenkathete Ankathete = KK(ˆx) ˆx = KDK(ˆx). 50 / 58

28 Kurzfristig bedeutet hier immer fixer Kapitalstock. Es gibt also je nach Höhe des fixen Kapitals viele kurzfristige Kosten- bzw. Durchschnittskostenfunktionen. Auch für KDK(x) gilt, dass LDK(x) die Einhüllende der kurzfristigen Kostenfunktion KDK(x, k 1 ) ist: KDK LDK KDK(x, k 1 ) KDK(x, k 2 ) KDK(x, k 3 ) k 1 < k 2 < k 3 LDK(x) x x 51 / 58 KDK LDK KDK(x, k 1 ) KDK(x, k 2 ) KDK(x, k 3 ) LDK(x) k 1 < k 2 < k 3 x x Für die Produktion von x: k 1 ist zu gering, k 3 ist zu hoch, k 2 ist kostenminimaler Kapitalstock. Daher KDK( x, k 2 ) = LDK( x). Allgemein gilt: k = k (x) heißt optimale Kapitalausstattung zur Produktion von x, falls KDK(x, k ) = LDK(x) bzw. KK(x, k ) = min k 1 KK(x, k 1 ) = LK(x). 52 / 58

29 Die Charakterisierung der optimalen Kapitalausstattung kann auch mit Hilfe der kurz- und langfristigen Grenzkostenkurven erfolgen. Zusammenhang zwischen KDK(x) und KGK(x)? Bei Ertragsgesetzen : Die Grenzertragskurve schneidet die Durchschnittsertragskurve in deren Minimum. Hier nun: KGK(x, k 1 ) schneidet die Kurve KDK(x, k 1 ) in deren Minimum 53 / 58 Zusammenhang zwischen KDK(x, k 1 ) und KGK(x) Hier nun: KGK(x, k 1 ) schneidet die Kurve KDK(x, k 1 ) in deren Minimum: KDK KGK KGK(x, k 1 ) KDK(x, k 1 ) x x 54 / 58

30 Hier nun: KGK(x, k 1 ) schneidet die Kurve KDK(x, k 1 ) in deren Minimum Das Minimum einer kurzfristigen Durchschnittskostenkurve ist aber gerade auch Berührungspunkt mit LDK. Für konstante Skalenerträge gilt LGK = LDK. Satz k ist genau dann optimale Kapitalausstattung zur Produktion von x, falls KGK(x, k ) = LGK(x) 55 / 58 KDK LDK KGK KGK(x, k 1 ) KGK(x, k 2) KGK(x, k 3 ) k 1 < k 2 < k 3 LDK(x) x x k 2 ist die optimale Kapitalausstattung zur Produktion von x. 56 / 58

31 Es gilt zum KGK( x, k 3 ) < KGK( x, k 2 ), aber k 3 ist nicht optimal. Wäre k frei variabel (und nicht auf k 3 fixiert, so würde eine Kapitalaustattung gewählt mit Grenzkosten LGK( x) > KGK( x, k 3 ) (hier nämlich genau k 2 ). Das heißt aber: Grenzkosten so gering wie möglich ist kein Optimalitätskriterium. 57 / 58 Kurze Zusammenfassung Ziel ist es, das Verhalten eines gewinnmaximierenden Unternehmens zu beschreiben. Erster Schritt für Gewinnmaximierung: Kostenminimierende Produktion für jede Ausbringungsmenge. Dabei werden dann die Kostenfunktion und die Faktornachfrage hergeleitet. Nächster Schritt: Wahl der gewinnmaximierenden Ausbringungsmenge Angebotsentscheidung 58 / 58