Produktionswirtschaft Kostentheorie und Minimalkostenkombination. 9 / 96 Aufgabe 2 (Kostentheorie) 20 Punkte

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1 Produktionswirtschaft 450 Kostentheorie und Minimalkostenkombination 9 / 96 Aufgabe (Kostentheorie) 0 Punkte Entspricht Aufgabe 4. im Übungsbuch, Seite 4ff. Gegeben sei folgende Produktionsfunktion: ( ) ( ) ( ) =. a) Um welche Art von Produktionsfunktion handelt es sich hierbei? Welchen Homogenitätsgrad hat diese Produktionsfunktion? zu a) Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, da positive aber abnehmende Grenzerträge bei partieller Faktorvariation λr λr λr = λ = λ Homogenitätsgrad: ( ) ( ) ( ) t linear hom ogen Für t = heißt die Produktionsfunktion homogen vom Grade oder linearhomogen. die Produktmenge verändert sich linear zur Niveauvariation. Folglich konstante Skalenerträge Erklärung Art der Produktionsfunktion: Wegen der Eponenten /, die hier alle >0 sind und dem Faktor, ebenfalls >0,können sich hier im Falle einer partiellen Faktorvariation nur abnehmende (positive) Ertragszuwächse ergeben. Deshalb ist es eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion, denn o.g. Punkte sind kennzeichnend für diese Art der Produktionsfunktion. Erklärung Prüfung Homogenitätsgrad: um den Homogenitätsgrad zu prüfen wird vor jeden Faktor r ein Lambda gesetzt. Im nächsten Schritt wird Lambda ausgeklammert, übrig bleiben eventuelle Multiplikatoren (hier die ) und die r s. Man darf alles außer Lambda mit zusammenfassen. Bleibt dann, wie hier, Lamba * X übrig ist die Funktion linearhomogen, da Lamba nicht durch einen Eponenten, Bruch o.ä. beeinflusst wird. Stünde am Ende aufgrund der gegebenen Produktionsfunktion Lambda hoch t, wäre sie inhomogen (vergl. Aufg a) im Buch). = Philippa Gerling/ Rolf Baumanns WS 06/07 Seite

2 Produktionswirtschaft 450 Kostentheorie und Minimalkostenkombination b) Bestimmen Sie die Kostenfunktion bei partieller Faktorvariation des Faktors (r = r = 8), wenn die Faktorpreise durch q =8 DM, q =4 DM und q = DM gegeben sind. zu b) Bei partieller Variation des Faktors gilt : = = r = Die Kostenfunktion lautet dann unter Berücksichtigung der Faktorpreise : K= q + q + q = = Erklärung: Man setzt die angegebenen Werte für ri in die gegebene Produktionsfunktion ein (hier 8) und fasst zusammen. Dann wird nach dem r aufgelöst, daß laut Aufgabenbestellung unbekannt ist, hier r, der einzige Faktor der partiell variiert werden darf, da r und r konstant gesetzt wurden. Nun kann man in die allgemeine Kostenfunktion bei partieller Faktorvariation K()= Summe(qi * ri )*() einsetzen und soweit wie möglich zusammenfassen. Noch kürzer: Man nehme Werte aus der Aufgabenstellung und setze einfach ein, auflösen, fertig. c) Bestimmen Sie die Kostenfunktion bei partieller Faktorvariation des Faktors, wenn bei ansonsten gleichen Angaben wie unter b) für Faktor folgende Preisbeschaffungsfunktion gilt: { 4 0 } q ( r ) = ma, -, r ; 5 [DM]. zu c) Hier ist es anders als in b). Denn der Faktorpreis des ersten Faktor ist nicht mehr im gesamten Definitionsbereich konstant, sondern gemäß der Beschaffungspreisfunktion (s.o.) variabel. Wenn man nun von Faktor mehr nimmt, nimmt der Faktorpreis bis zum Erreichen einer bestimmten Faktoreinsatzmenge linear ab und ist erst dann wieder konstant. Um die besagte Faktoreinsatzmenge zu ermitteln setzt man die Argumente aus der Preisbeschaffungsfunktion miteinander gleich: ( ) q r = 4, 0, r = 5 0, r = 64, r = 64 = Wenn man nach r auflöst ergibt sich hier r=64. Um auf zu kommen setzt man r=64 in die Produktionsfunktion ein und erhält so die zugehörige Ausbringungsmenge: Wir nehmen den errechneten Wert aus b) r= (/8)^ mit r=64. Daraus folgt =8*64^/ und daraus =. Nun kann man die gefragte Kostenfunktion angeben: Philippa Gerling/ Rolf Baumanns WS 06/07 Seite

3 Produktionswirtschaft 450 Kostentheorie und Minimalkostenkombination ( r ) r + = 6 für 4, 0, 48 4, 0, K = für 8 Wir erinnern uns an die in b) errechnete Kostenfunktion ^/64, die nun leicht modifiziert wird, durch die Preisbeschaffungsfunktion. Teil der Kostenfunktionen entspricht den Argumenten der Preisbeschaffungsfunktion und es wurde, der in b) ermittelte Wert r=/8^ eingesetzt, die +48 stammen aus der Kostenfunktion von b). Diese Kostenfunktion zeigt auf, daß es einen Knick in dem Verlauf der Kostenfunktion gibt, wenn man sie graphisch veranschaulicht. Der liegt auf der -Achse in dem Punkt =. Erst sähe man die Produktionskosten bei partieller Faktorvariation mit linear sinkendem Faktorpreis q. Ab = ergeben sich Kosten bei partieller Faktorvariation mit konstantem Preis des Faktors. Ab dem Punkt =, dem sogenannten Schwellenwert, werden die Produktionskosten mit jeder Erhöhung der Ausbringungsmenge > stärker ansteigen als im Falle einer weiteren Absenkung des Faktorpreises q. (vergl. Dazu Abb.4.. im Übungsbuch S.7) d) Bestimmen Sie die Kostenfunktion bei totaler Faktorvariation mit den konstanten Preisen q =8 DM, q =4 DM und q = DM. Wie läßt sich der Kostenverlauf ökonomisch begründen? zu d) = 8r ( ) + 4r + r λ r Bei uneingeschränkter Faktorvariation sind die Minimalkostenkombinationen durch die folgenden notwendigen Bedingungen charakterisiert: Notwendige Bedingung: die erste Ableitung von der Produktionsfunktion nach r geteilt durch die erste Ableitung der Produktionsfunktion nach r muß dem Verhältnis von q/q entsprechen! (bzw. r/r und r/r, eben jedes mögliche Verhältnis der Faktoren zueinander) Setzt man dies ein und löst nach r auf ergibt sich: r r q = q r r 8 = = r = r r 4 Philippa Gerling/ Rolf Baumanns WS 06/07 Seite

4 Produktionswirtschaft 450 Kostentheorie und Minimalkostenkombination Hier wird das Verhältnis von r zu r bzw. q zu q ermittelt: r q r 8 = = = r = 4r q r r r r Den nachfolgenden Rechenschritt kann man sich hier sparen, indem man die Lösung r = 4r nach r = /4 r auflöst und in die erste Lösung r = (/4 r ) einsetzt υ r = / r Hier von r zu r bzw. q zu q: r q r 4 = = = q r r r r r = r D.h. für die kostenminimale Produktion ist, nach Einsetzen von den ermittelten Verhältnissen der r s zueinander in die Produktionsfunktion (und auflösen nach ri): = ( ) ( ) r r 4r = 4r r = 4 Der nachfolgende Rechenschritt kann auch durch Verwendung der vorher ermittelten Verhältnisse r =r und r =4r in Verbindung mit r =/4 durchgeführt werden. = r ( r) = r r = = r r r = r r = 4 Die hier angegebenen r-werte geben die kostenminimalen Einsatzmengen der Faktoren in Abhängigkeit von der Ausbringungsmenge an. Nach Einsetzen erhält man die Gesamtkostenfunktion : K = q + q + q = = 6 4 ökonomische Begründung: Die Gesamtkosten nehmen mit wachsender Ausbringungsmenge linear zu. Bei totaler Faktorvariation und konstanten Preisen weist eine linearhomogene Produktionsfunktion einen linearen Kostenverlauf auf. lineare Produktionsfunktion lineare Kostenfunktion Philippa Gerling/ Rolf Baumanns WS 06/07 Seite 4

5 Produktionswirtschaft 450 Kostentheorie und Minimalkostenkombination Erklärung Kostenfunktion linear: a)weil die hier zugrunde liegende Produktionsfunktion (nachgewiesenermaßen) homogen ist, sind auch die zugehörigen Isoklinen (der geometrische Ort aller Punkte in Faktorraum, an denen dieselbe Grenzrate der Substitution vorliegt = Steigung der Tangente an die Isoquante) Halbgeraden durch den Ursprung. b)das Verhältnis der Minimalkostenkombinationen für unterschiedliche Ausbringungsmengen ist konstant, denn bei konstanten Faktorpreisen ist wg. obiger Erklärung auch der Epansionspfad eine Halbgerade durch den Ursprung = konstant. c)außerdem bewirkt die Linearhomogenität der Produktionsfunktion, dass sich die Faktoreinsatzmengen proportional zur Ausbringungsmenge verhalten, d.h. es besteht ein proportionaler Zusammenhang zwischen den Produktionskosten und der Ausbringungsmenge. Deshalb kann man sagen, dass die Kostenfunktion linear ist Philippa Gerling/ Rolf Baumanns WS 06/07 Seite 5