UNIVERSITÄT HOHENHEIM

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1 UIVERSITÄT HOHEHEIM ISTITUT FÜR LADWIRTSCHAFTLICHE BETRIEBSLEHRE FACHGEBIET: PRODUKTIOSTHEORIE UD RESSOURCEÖKOOMIK Prof. Dr. Stephan Dabbert Planung und Entscheidung (B 00202) Lösung Aufgabe 3 (Produktionsfunktion mit 2 Variablen) 1. Im Gewinnmaximum sind die Grenzkosten der Produktion gleich dem Grenzerlös (Produktpreis) 7,50 /dt. Begründung: Der Gewinn erhöht sich nur solange, wie die zusätzlichen Kosten einer weiteren Produktionseinheit niedriger sind als deren Grenzerlös (Preis). Grenzerlös (Produktpreis) Kartoffeln: Handelsware: 10,90 /dt 0,8 dt 8,72 /dt Futterware: 2,18 /dt 0,2 dt 0,436 /dt Sortierkosten -1,656 /dt Grenzerlös 7,50 /dt Bei einem pauschalierenden Betrieb zählt die MwSt. zum Erlös zu den Kosten. 2. Im Gewinnmaximum sind die Grenzerlöse der beiden Produktionsfaktoren gleich den Grenzkosten des Faktoreinsatzes (GE 75 ; GE P 62,50 ) Begründung: Der Gewinn erhöht sich nur solange, wie der Grenzerlös für eine weitere Faktoreinheit größer ist als die Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Faktorpreis). Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Stickstoff): Faktorpreis: Ausbringungskosten: Grenzkosten: Grenzkosten des Faktoreinsatzes (Phosphor): Faktorpreis: Ausbringungskosten: Grenzkosten: 70 /dt 5 /dt 75 /dt 57,50 /dt 5,00 /dt 62,50 /dt 3. Im Umsatzmaximum (Umsatz Erlös) sind bei einer uadratischen Produktionsfunktion die Grenzerlöse der Produktionsfaktoren gleich ull. Der Grenzerlös wird dann ull, wenn der Grenzertrag ull wird. Begründung: Solange der Grenzerlös (-ertrag) der Produktionsfaktoren positiv ist, steigt der Umsatz, ist der Grenzerlös (-ertrag) negativ, sinkt der Umsatz Lösung_ET_Uebung_A3.DOC

2 2 4a) Ermittlung des Gewinnmaximum Optimumbedingung: Die optimale Intensität (das Gewinnmaximum ) ist erreicht, wenn für beide Faktoren gilt: Grenzerlös Grenzkosten des Faktoreinsatzes (1) p (1') dy y d d py (2) py P (2') p P Y 1) Ermittlung der Grenzertragsfunktionen: entspricht der 1. Ableitung der Produktionsfunktion nach und P: (3) 262,4 191,8 10,2 P d + (4) 74,9 85,8 P 10,2 + 2) Gleichsetzung der Grenzertragsfunktionen mit den Preisverhältnissen entsprechend Gleichung (1') und (2'): 75 (5) 262,4 191,8 + 10,2 P 7,5 62,5 (6) 74,9 85,8 P + 10,2 7,5 3) Auflösung des Gleichungssystems mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten nach (oder P): opt 1,3658 dt/ha Einsetzen von in Gleichung (5) oder (6): PPopt 0,9382 dt/ha 4) Ermittlung des optimalen Ertrags durch Einsetzen von und P in die Produktionsfunktion: Y opt 383,00 dt/ha

3 3 4b) Ermittlung des Umsatzmaximums Maximumbedingung (siehe auch Ziffer 3.): Grenzertrag (des Faktoreinsatzes) 0 dy (7) 0 d dy (8) 0 Ermittlung der Grenzertragsfunktionen: Siehe Gl. (3) und (4). Einsetzen der Grenzertragsfunktionen in die Maximumsbedingung (Gl. (7) und (8)): (9) 262,4 191,8 + 10,2 P 0 (10) 74,9 85,8 P + 10,2 0 Auflösung des Gleichungssystems nach und P: max 1,4235 dt/ha PPmax 1,0422 dt/ha Ermittlung des maximalen Ertrags durch Einsetzen von und P in die Produktionsfunktion: Y max 383,73 dt/ha Maximaler Umsatz (Erlös): U max Y max p Y 383,73 dt/ha 7,5 /dt 2877,98 /ha 5. Ökonomische Fragestellung, wenn 370 dt/ha produziert werden sollen: Durch welche Kombination der Einsatzmengen von und P lassen sich 370 dt/ha mit den geringsten Kosten erzeugen (Minimalkostenkombination)? 6a) Ermittlung der Isouante: Die Isouante ist der geometrische Ort aller technisch möglichen Faktorkombinationen zur Erzeugung einer gegebenen Produktmenge. Isouante für 370 dt/ha: 2 2 (11) , ,4 95,9 + 74,9P 42,9P + 10,2P Die Gleichung muss nach oder P aufgelöst werden. 6b) Ableitung der Grenzrate der Substitution Die Grenzrate der Substitution des Faktors durch den Faktor P bezeichnet die Menge, die durch die letzte Mengeneinheit von P noch ersetzt werden kann, ohne dass sich das Produktionsvolumen verändert: d Grenzrate der Substitution

4 4 Sie ergibt sich, wenn Gleichung (11) nach aufgelöst wurde, aus der 1. Ableitung nach P. Dies ist rechentechnisch schwierig, daher: 6c) Ableitung der Grenzrate der Substitution aus den Grenzproduktivitäten Die Veränderung der Produktmenge bei Änderung der Faktoreinsatzmenge ergibt sich aus: (12) d + δp Grenzproduktivität des Faktors ; entsprechend δ δ P Da für die Isouante 0 ist, erhält man: (13) 0 d + δp (13') d δp δ Y Die Grenzrate der Substitution ist gleich dem umgekehrten Verhältnis der Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren. Bedingung für die Minimalkostenkombination: Die Substitution des Faktors durch den Faktor P lohnt sich nicht mehr die Minimalkostenkombination ist erreicht wenn gilt: Die Zunahme der Kosten durch einen weiteren Einsatz des Faktors P () ist gleich der Abnahme der Kosten durch die Verringerung des Faktors (d): d P (14) d P (14 ') Die Grenzrate der Substitution muß bei kostenminimalem Faktoreinsatz gleich dem umgekehrten Preisverhältnis der Produktionsfaktoren sein. Aus den beiden Bedingungen (Gl. (13) und Gl. (14)) folgt die Bedingung für die Minimalkostenkombination. (15) δ P P Bei kostenminimalem Faktoreinsatz verhalten sich die Grenzproduktivitäten der Produktionsfaktoren zueinander wie die Faktorpreise.

5 5 Aus Gleichung (15) folgt: (16) 74,9 85,8P + 10,2 62,5 262,4 191,8 + 10,2P 75 (16') 0, ,55460P (Expansionspfad) Der Expansionspfad (Gleichung (16')) beschreibt alle Faktorkombinationen, die beim gegebenen Preisverhältnis und gegebenen Grenzproduktivitäten Minimalkombinationen sind. Jeder dieser Minimalkostenkombination ist jedoch ein anderes Ertragsniveau zugeordnet. (Kann durch Einsetzen der Faktorkombination in die Produktionsfunktion ermittelt werden.) Die Minimalkostenkombination für ein bestimmtes Ertragsniveau wird durch den Schnittpunkt des Expansionspfads mit der entsprechenden Isouante ermittelt. 6d) Wird die Gleichung (16') in die Produktionsfunktion mit Y 370 (Isouante) eingesetzt, ergibt sich min 1,1720 dt/ha PPmin 0,5877 dt/ha 6e) Die gewinnmaximalen Faktoreinsatzmengen stellen zwar auch eine Minimalkostenkombination dar, jedoch liegen die Minimalkostenkombinationen für unterschiedliche Ertragsniveaus bei dieser Produktionsfunktion nicht auf einer Geraden (Expansionspfad), die durch den Ursprung geht; dies bedeutet: Das Verhältnis der beiden Produktionsfaktoren ist bei jeder Minimalkostenkombination ein anderes. 6f) Bei steigendem Produktpreis ändert sich die Minimalkostenkombination nicht.