3. Angebot. Georg Nöldeke. WWZ, Universität Basel. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 1 / 112

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1 3. Angebot Georg Nöldeke WWZ, Universität Basel Mikroökonomie (FS 10) Angebot 1 / 112

2 1. Einleitung Wir betrachten ein Modell des Angebotsverhaltens von Unternehmen, die Konsumgüter herstellen und verkaufen. Andere Kontexte Arbeitsmärkte, Finanzmärkte... erfordern eine Anpassung des Modellrahmens. Beachte: Unterrnehmen treten zugleich als Nachfrager auf verschiedenen Märkten auf und ihr entsprechendes Nachfrageverhalten auf diesen Märkten ist untrennbar mit dem Angebotsverhalten verknüpft. So dass wir in der Analyse des Angebotsverhaltens auch diese Nachfrageentscheidungen betrachten müssen. Unsere Vorgehensweise entspricht grundsätzlich derjenigen zur Modellierung und Analyse des Konsumentenverhaltens: Die Möglichkeiten eines Unternehmens werden durch die Produktionsfunktion bestimmt. Die Ziele werden durch den Gewinn beschrieben. Möglichkeiten und Ziele bestimmen zusammen den optimalen Produktionsplan. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 2 / 112

3 2. Produktion 2.1 Inputs und Outputs Ein Unternehmen verwendet Inputs, die auch Produktionsfaktoren genannt werden, um Outputs zu erzeugen. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass nur zwei Inputs verwendet werden, um einen Output zu produzieren. Zur Veranschaulichung kann man sich diese beiden Inputs als Arbeit (Input 1) und Kapital (Input 2) vorstellen. Definition (Produktionsplan) Ein Produktionsplan (x 1,x 2,y) besteht aus der Angabe von Mengen der beiden Inputs, x 1 0 und x 2 0, und einer Outputmenge y 0. Die Technologie eines Unternehmens bestimmt, welche Produktionspläne durchführbar sind. Dies wird durch die Angabe einer Produktionsfunktion beschrieben. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 3 / 112

4 2. Produktion 2.2 Produktionsfunktion Definition (Produktionsfunktion) Eine Produktionsfunktion f ordnet jeder Inputkombination (x 1,x 2 ) die maximale Outputmenge y = f (x 1,x 2 ) zu, die mit dieser Inputkombination erzeugt werden kann. Beachte: Hinter der Produktionsfunktion steckt bereits die Lösung eines Maximierungsproblems (Logistik, Scheduling, Aufteilung der Produktion auf verschiedene Anlagen... ), das wir aber nicht weiter diskutieren werden. Formal enthält die zu einer Produktionsfunktion dazugehörige Produktionsmöglichkeitenmenge auch die Produktionspläne mit y < f (x 1,x 2 ), aber solche technologisch ineffizienten Produktionspläne werden wir nicht weiter betrachten. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 4 / 112

5 2. Produktion 2.2 Produktionsfunktion Beispiele des Lehrbuchs für Produktionsfunktionen: Fixe Proportionen: f (x 1,x 2 ) = min{ax 1,bx 2 }, Perfekte Substitute: f (x 1,x 2 ) = ax 1 + bx 2, Cobb-Douglas: f (x 1,x 2 ) = A x a 1 xb 2, wobei für die Parameter a > 0, b > 0 und A > 0 gilt. Ausser in der Betrachtung des Beispiels einer Produktionsfunktion mit fixen Proportionen gehen wir durchwegs davon aus, dass die betrachteten Produktionsfunktionen differenzierbar sind. Zudem unterstellen wir regelmässig, dass beide Inputs unverzichtbar sind, d.h. f (x 1,0) = f (0,x 2 ) = 0 gilt für alle x 1 und x 2. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 5 / 112

6 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Definition (Grenzprodukt) Die partielle Ableitung f (x 1,x 2 ) x i heisst das Grenzprodukt von Input i und wird als MP i (x 1,x 2 ) geschrieben. Ökonomische Interpretation des Grenzprodukt von Input i: Zusätzlicher Output der resultiert, wenn eine zusätzliche Einheit von Input i bei unveränderter Menge des anderen Inputs eingesetzt wird. Dies entspricht dem Konzept des Grenznutzens aus der Konsumententheorie mit dem wesentlichen Unterschied, dass das Grenzprodukt eine messbare Grösse ist. Annahme (Streng positive Grenzprodukte) Für alle (x 1,x 2 ) > 0 sind die Grenzprodukte beider Inputs streng positiv: MP 1 (x 1,x 2 ) > 0 und MP 2 (x 1,x 2 ) > 0. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 6 / 112

7 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Da Grenzprodukte im Gegensatz zu Grenznutzen interpretierbar (und im Prinzip) beobachtbar sind, bietet es sich an, Annahmen an die Grenzprodukte zu verwenden, um gewisse Eigenschaften von Produktionsfunktionen zu beschreiben. Um diese Annahmen darzustellen, ist es hilfreich die Notation MP i j (x 1,x 2 ) für die partielle Ableitung des Grenzprodukts von Input i nach der Menge des Input j einzuführen. Formal: MP i j (x 1,x 2 ) = 2 f (x 1,x 2 ) x i x j = MP i(x 1,x 2 ) x j für i, j = 1,2. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 7 / 112

8 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte MP 11 (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich ausgehend von den Inputmengen (x 1,x 2 ) das Grenzprodukt von Input 1 bei einer Erhöhung der Menge von Input 1 ändert die Menge von Input 2 bleibt dabei auf x 2 fixiert. Die Interpretation von MP 22 (x 1,x 2 ) entspricht der von MP 11 (x 1,x 2 ), nur dass jetzt die Auswirkung auf das Grenzprodukt von Input 2 bei einer Erhöhung der Menge von Input 2 betrachtet wird. MP 12 (x 1,x 2 ) bzw. MP 21 (x 1,x 2 ) beschreibt, wie sich das Grenzprodukt eines Inputs bei einer Erhöhung der Menge des anderen Inputs ändert. Dabei gilt MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ), da die Kreuzableitungen der Produktionsfunktion symmetrisch sind. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 8 / 112

9 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Definition (Abnehmende Grenzprodukte) Eine Produktionfunktion weist abnehmende Grenzprodukte auf, wenn das Grenzprodukt eines jeden Inputs streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs ist: MP 11 (x 1,x 2 ) < 0 und MP 22 (x 1,x 2 ) < 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Ökonomische Interpretation abnehmender Grenzprodukte: Die zusätzliche Outputmenge, die sich aus dem Einsatz einer zusätzlichen Einheit eines Inputs ergibt, ist um so kleiner, je grösser die bereits eingesetzte Menge dieses Inputs ist. Eine plausible Alternative hierzu ist ein ertragsgesetzlichen Verlauf der Grenzprodukte: Für eine gegebene Einsatzmenge des anderen Inputs ist das Grenzprodukt von Input i für kleine Einsatzmengen zunächst steigend in x i und dann für grosse Einsatzmengen fallend in x i. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 9 / 112

10 2. Produktion 2.3 Grenzprodukte Es erscheint in vielen Fällen plausibel, dass mit einer Erhöhung der Einsatzmenge eines Inputs die Grenzproduktivität des anderen Inputs ansteigt. Dieses wird durch die folgenden Definition erfasst. Definition (Komplementäre Inputs) Die Inputs einer Produktionsfunktion sind komplementär, wenn das Grenzprodukt eines Inputs streng steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs ist: MP 12 (x 1,x 2 ) = MP 21 (x 1,x 2 ) > 0 gilt für alle (x 1,x 2 ) > 0. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 10 / 112

11 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Definition (Kurzfristige Produktionsfunktion) Eine kurzfristige Produktionsfunktion ordnet jeder Menge eines der Inputs bei gegebener Menge des anderen Inputs die maximal mögliche Outputmenge zu. Für eine gegebene Menge x 2 von Input 2, ist die dazugehörige kurzfristige Produktionsfunktion also durch f (x 1, x 2 ) gegeben. Der Input, dessen Menge gegeben ist, bezeichnet man als fixen Input oder fixen Faktor. Der Input, dessen Menge als veränderlich betrachtet wird, bezeichnet man als variablen Input oder variablen Faktor. In der Diskussion kurzfristige Produktionsfunktionen gehen wir davon aus, dass Input 1 variabel und Input 2 fix ist. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 11 / 112

12 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Abbildung: Kurzfristige Produktionsfunktionen f (x 1, x 2 ) für unterschiedliche Werte von x 2. Die zu Grunde liegende Produktionsfunktion ist die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x Mikroökonomie (FS 10) Angebot 12 / 112

13 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Eigenschaften kurzfristiger Produktionsfunktionen I: Ist die Einsatzmenge des variablen Faktors gleich Null, so ist der Output gleich Null. Dieses folgt aus der Annahme, dass der variable Faktor unverzichtbar ist: f (0, x 2 ) = 0. Wenn die Einsatzmenge des fixen Faktors streng positiv ist, ist die kurzfristige Produktionsfunktion streng steigend in der Einsatzmenge des variablen Faktors: Dies folgt aus der Annahme, dass das Grenzprodukt des variablen Faktors welches gerade die Steigung der kurzfristigen Produktionsfunktion beschreibt streng positiv ist: MP 1 (x 1, x 2 ) > 0. Eine Vergrösserung der Einsatzmenge des fixen Faktors verschiebt die kurzfristige Produktionsfunktion nach oben. Da MP 2 (x 1, x 2 ) > 0 angenommen wurde. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 13 / 112

14 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Eigenschaften kurzfristiger Produktionsfunktionen II: Liegen abnehmende Grenzprodukte vor, so ist die Steigung der kurzfristigen Produktionsfunktion streng fallend die kurzfristige Produktionsfunktion verläuft streng konkav. Die zweite Ableitung der kurzfristigen Produktionsfunktion ist durch MP 11 (x 1, x 2 ) gegeben. Das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte besagt gerade, dass dieses Ausdruck streng negativ ist. Sind die Inputs komplementär, so verschiebt sich die kurzfristige Produktionsfunktion bei einer Vergrösserung der Einsatzmenge des fixen Faktors nicht nur nach oben, sondern sie wird zudem steiler. Da dann MP 12 (x 1, x 2 ) > 0 gilt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 14 / 112

15 2. Produktion 2.4 Kurzfristige Produktionsfunktionen Abbildung: Für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x x0.4 2 aus der vorhergehenden Abbildung ist das Grenzprodukt des variablen Faktors um so grösser, je grösser die Einsatzmenge des fixen Faktors. Hier wird MP 1 (4, x 2 ) für verschiedene Werte von x 2 durch die Steigung der jeweiligen Tangente an die kurzfristige Produktionsfunktion dargestellt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 15 / 112

16 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Definition (Durchschnittsprodukt) Das Verhältnis f (x 1,x 2 )/x i von Outputmenge zur Einsatzmenge von Input i heisst das Durchschnittsprodukt von Input i und wird als AP i (x 1,x 2 ) geschrieben. Durchschnittsprodukte werden in der Praxis oftmals als Mass für die Produktivität eines Inputs verwendet. Siehe das folgende Beispiel zur Automobilindustrie. Fragen: Wie hängen Durchschnittsprodukte von den verwendeten Inputmengen ab? Welcher Zusammenhang besteht zwischen Durchschnitts- und Grenzprodukten? Mikroökonomie (FS 10) Angebot 16 / 112

17 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: 1/(Durchschnittsprodukt der Arbeit) in verschiedenen Unternehmen der Automobilindustrie (aus Capital 02/2006) Mikroökonomie (FS 10) Angebot 17 / 112

18 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Satz Die Notation AP i j (x 1,x 2 ) bezeichnet im folgenden die partielle Ableitung des Durchschnittsprodukts von Input i nach der Menge des Input j. Für i j beschreibt AP i j (x 1,x 2 ) also, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs j verändert. Der Ausdruck AP ii (x 1,x 2 ) beschreibt hingegen, wie sich das Durchschnittsprodukt des Inputs i bei einer Erhöhung der Menge des gleichen Inputs verändert. Das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist steigend in der Einsatzmenge des anderen Inputs. Für alle x > 0 gilt AP i j (x 1,x 2 ) > 0 für i j. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 18 / 112

19 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Das vorhergehende Ergebnis gilt, da bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des anderen Inputs, der totale Output und somit auch der Output pro Einheit des Inputs, der konstant gehalten wird, ansteigt. Formal gilt für i j: AP i j (x 1,x 2 ) = 1 x i f (x 1,x 2 ) x j = MP j(x 1,x 2 ) x i > 0. Weniger klar ist hingegen, wie das Durchschnittsprodukt eines Inputs auf eine Änderung der Einsatzmenge des gleichen Inputs reagiert. Jedoch gilt (Ketten- und Quotientenregel beachten!): AP ii (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i x i f (x 1,x 2 ) x 2 i = 1 x i [MP i (x 1,x 2 )] AP i (x 1,x 2 )]. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 19 / 112

20 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Satz Das Durchschnittsprodukt eines Inputs ist genau dann steigend (bzw. fallend) in der Einsatzmenge des gleichen Inputs, wenn das Grenzprodukt des Inputs oberhalb (bzw. unterhalb) des Durchschnittsproduktes liegt: AP ii (x 1,x 2 ) > 0 MP i (x 1,x 2 ) > AP i (x 1,x 2 ) AP ii (x 1,x 2 ) = 0 MP i (x 1,x 2 ) = AP i (x 1,x 2 ) AP ii (x 1,x 2 ) < 0 MP i (x 1,x 2 ) < AP i (x 1,x 2 ) Diese Zusammenhänge lassen sich am einfachsten durch die Betrachtung von kurzfristigen Produktionsfunktionen illustrieren. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 20 / 112

21 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: Eine kurzfristige Produktionsfunktion mit fallendem Grenzprodukt des variablen Faktors. Das Durchschnittsprodukt liegt oberhalb des Grenzprodukts und ist ebenfalls fallend. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 21 / 112

22 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Satz Sind die Grenzprodukte abnehmend, muss der Zusammenhang zwischen Grenzprodukten und Durchschnittsprodukten so beschaffen sein, wie in der vorhergehenden Abbildung. Sind die Grenzprodukte abnehmend, so ist das Durchschnittsprodukt eines Inputs stets grösser als sein Grenzprodukt, AP i (x 1,x 2 ) > MP i (x 1,x 2 ) für alle x > 0, so dass das Durchschnittsprodukt eines Inputs streng fallend in der Einsatzmenge des betrachteten Inputs ist. Die folgende Abbildung illustriert den Zusammenhang zwischen Grenzprodukt und Durchschnittsprodukt für einen ertragsgesetzlichen Verlauf. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 22 / 112

23 2. Produktion 2.5 Durchschnittsprodukte Abbildung: Eine kurzfristige Produktionsfunktion mit zunächst steigendem und dann fallendem Grenzprodukt des variablen Faktors. Das Durchschnittsprodukt ist ebenfalls zunächst steigend und dann fallend. Grenzprodukt und Durchschnittsprodukt stimmen im Maximum des Durchschnittsprodukts überein. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 23 / 112

24 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Definition (Produktionselastizität) Die Produktionselastizität eines Inputs i beschreibt das Verhältnis der relativen Änderung der Outputmenge zur relativen Änderung der Einsatzmenge des betrachteten Inputs bei einer Erhöhung der Inputmenge: ε i (x 1,x 2 ) = f (x 1,x 2 ) x i x i f (x 1,x 2 ) = MP i(x 1,x 2 ) AP i (x 1,x 2 ) > 0 Aus ökonomischer Sicht ist die Produktionselastizität von Input i als (approximative) Antwort auf die Frage Um wieviel Prozent steigt der Output, wenn die Einsatzmenge von Input i um 1 Prozent steigt? zu verstehen. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 24 / 112

25 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Beachte: Die Produktionselastizität eines Inputs hängt im allgemeinen von den Einsatzmengen beider Inputs ab. Ausnahme: Für einer Cobb-Douglas-Produktionsfunktion sind die Produktionselastizitäten beider Inputs konstant. Satz (Produktionselastizitäten und abnehmende Grenzprodukte) Bei abnehmenden Grenzprodukten gilt, dass die Produktionselastizitäten beider Inputs stets kleiner als 1 sind: ε i (x 1,x 2 ) < 1 für alle x > 0. Gilt das Gesetz der abnehmenden Grenzprodukte nicht, so kann die Produktionselastizität eines Inputs ohne weiteres den Wert 1 übersteigen. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 25 / 112

26 2. Produktion 2.6 Produktionselastizität Abbildung: Produktionselastizität bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf. Die Produktionselastizität des variablen Faktors ist gleich dem Verhältnis Grenzprodukt/Durchschnittsprodukt. Lesebeispiel: Bei x 1 = 2 lässt eine Erhöhung des variablen Inputs um 1 Prozent den Output um 3 Prozent ansteigen. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 26 / 112

27 2. Produktion 2.7 Isoquanten Definition (Isoquanten) Die Isoquante I(y) einer Technologie gibt alle Kombinationen von Inputmengen an, mit denen maximal die Outputmenge y erzeugt werden kann: I(y) = {(x 1,x 2 ) f (x 1,x 2 ) = y}. Eine Isoquante ist also nichts anderes als eine Niveaulinie der Produktionsfunktion und entspricht damit der Konstruktion einer Indifferenzkurve zu einer gegebenen Nutzenfunktion. In der grafischen Darstellung gilt: Isoquanten für y > 0 verlaufen streng fallend. Wieso? Gilt y > y, so liegt die Isoquante I(y ) rechts oberhalb der Isoquante I(y). Wieso? Mikroökonomie (FS 10) Angebot 27 / 112

28 2. Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 4x 1 + 3x 2, in welcher die Inputs perfekte Substitute sind. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 28 / 112

29 2. Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 2x1 0.7x Mikroökonomie (FS 10) Angebot 29 / 112

30 2. Produktion 2.7 Isoquanten Abbildung: Einige Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = min{2x 1,2x 2 } mit fixen Proportionen. Was würde sich ändern, wenn stattdessen Isoquanten der Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = min{x 1,x 2 } dargestellt würden? Mikroökonomie (FS 10) Angebot 30 / 112

31 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Entsprechend zur Grenzrate der Substitution in der Konsumententheorie definiert man: Definition (Grenzrate der technischen Substitution) Die Steigung einer Isoquante heisst Grenzrate der technischen Substitution. Die Grenzrate der Substitution bei den Inputmengen (x 1,x 2 ) wird als GRT (x 1,x 2 ) geschrieben. Die Grenzrate der technischen Substitution beschreibt, in welchem Verhältnis die Inputs ausgetauscht ( substituiert ) werden können, so dass die Outputmenge unverändert bleibt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 31 / 112

32 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Satz Entsprechend zu dem Zusammenhang zwischen Grenzrate der Substitution und Grenznutzen in der Konsumententheorie gilt: Die Grenzrate der technischen Substitution ist gleich dem Negativen des Verhältnisses der beiden Grenzprodukte: GRT (x 1,x 2 ) = MP 1(x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) < 0. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 32 / 112

33 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Satz (Fallende Grenzrate der technischen Substitution) Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so ist der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution streng fallend entlang einer Isoquante mit y > 0: f (x) = f ( x) und x 1 > x 1 impliziert GRT (x 1,x 2 ) < GRT ( x 1, x 2 ). Grafisch bedeutet dies, dass die Isoquanten einen streng konvexen Verlauf haben. Eine ökonomische Interpretation ist: Je mehr von einem Input zur Erzeugung einer bestimmten Outputmenge verwendet wird, desto leichter ist es, diesen Input durch den anderen Input so zu ersetzen, dass die Outputmenge unverändert bleibt. In Analogie zur Konsumententheorie sprechen wir von einer artigen Produktionsfunktion wenn die Grenzrate der technischen Substitution im eben beschriebenen Sinne fallend ist. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 33 / 112

34 2. Produktion 2.8 Grenzrate der technischen Substitution Abbildung: Typischer Verlauf der Isoquanten einer artigen Produktionsfunktion. Die Isoquanten verlaufen streng fallend und streng konvex. Hier am Beispiel der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = 2x1 0.4x0.4 2 dargestellt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 34 / 112

35 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Grenzprodukte, Durchschnittsprodukte und Produktionselastizitäten beziehen sich auf die Auswirkungen einer Veränderung der Einsatzmenge eines der Inputs bei gegebener Einsatzmenge des anderen Inputs. Bei der Betrachtung von Skaleneigenschaften der Produktionsfunktion wird hingegen eine proportionale Veränderung aller Inputs untersucht. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 35 / 112

36 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Definition (Skalenelastizität) Die Skalenelastizität ist die Summe der Produktionselastizitäten der beiden Inputs: ε S (x 1,x 2 ) = ε 1 (x 1,x 2 ) + ε 2 (x 1,x 2 ). Die ökonomische Interpretation der Skalenelastizität ist, dass sie die prozentuale Veränderung der Outputmenge beschreibt, wenn beide Inputmengen um ein Prozente erhöht werden. Definition (Lokale Skalenerträge) Gilt ε S (x 1,x 2 ) < 1, so sind die Skalenerträge lokal fallend. Gilt ε S (x 1,x 2 ) = 1, so sind die Skalenerträge lokal konstant. Gilt ε S (x 1,x 2 ) > 1, so sind die Skalenerträge lokal steigend. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 36 / 112

37 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Beachte: Bei abnehmenden Grenzprodukten gilt 0 < ε i (x 1,x 2 ) < 1 für beide Inputs, so dass 0 < ε S (x 1,x 2 ) < 2 folgt. Mehr kann nicht gefolgert werden, d.h. die Skalenerträge einer Produktionsfunktion mit abnehmenden Grenzprodukten können lokal fallend, lokal konstant oder lokal steigend sein. Siehe hierzu auch die Berechnungen zur Cobb-Douglas-Produktionsfunktion auf dem Aufgabenblatt. Ob die Skalenerträge lokal fallend, konstant oder steigend sind, kann für eine gegebene Produktionsfunktion davon abhängen, bei welchen Inputmengen man die Skalenelastizität berechnet. Die folgende Definition beschreibt die Fälle, in denen eine solche Abhängigkeit nicht besteht. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 37 / 112

38 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Definition (Globale Skalenerträge) Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal fallend, so weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal konstant, so weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf. Sind die Skalenerträge für alle (x 1,x 2 ) > 0 lokal steigend, so weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf. Die hier definierten Konzepte der globalen Skalenerträge entsprechen der Definition der Skalenerträge aus dem Lehrbuch. Das Lehrbuch diskutiert auch lokale Skalenerträge, definiert sie aber nicht... Mikroökonomie (FS 10) Angebot 38 / 112

39 2. Produktion 2.9 Skalenerträge Satz (Charakterisierung der globalen Skalenerträge) Eine Produktionsfunktion f besitzt genau dann global fallende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) < t f (x 1,x 2 ) global konstante Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) = t f (x 1,x 2 ) global steigende Skalenerträge, wenn f (tx 1,tx 2 ) > t f (x 1,x 2 ) für alle (x 1,x 2 ) > 0 und t > 1 gilt. Welche dieser Fälle sind plausibel? Beachte: Bei global fallenden und global konstanten Skalenerträgen müssen die Grenzprodukte abnehmend sein. Bei global steigenden Skalenerträgen können sie es sein. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 39 / 112

40 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.1 Einleitung Bisher haben wir uns mit der Beschreibung der Möglichkeiten eines Unternehmens befasst, aber noch nichts über die Ziele gesagt. Wir werden als Ziel die Maximierung der Unternehmensgewinne unterstellen und uns dabei vor allem mit dem Problem der Wahl einer in diesem Sinne optimalen Outputmenge befassen. Das Gewinnmaximierungsproblem zur Bestimmung einer solchen optimalen Outputmenge kann in zwei Schritte zerlegt werden: 1 In der Betrachtung des Kostenminimierungsproblem wird die Kostenfunktion bestimmt, welche die minimalen Kosten zur Herstellung jeder möglichen Outputmenge angibt. 2 Für eine gegebene Kostenfunktion reduziert sich das Gewinnmaximierungsproblem darauf, die Outputmenge zu bestimmen, welche die Differenz zwischen Erlös und Kosten maximiert. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 40 / 112

41 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.1 Einleitung Die Vorteile dieser zweistufigen Vorgehensweise sind insbesondere: 1 Die Kostenfunktion enthält alle entscheidungsrelevanten Informationen über die technologischen Möglichkeiten des Unternehmens Ist die Kostenfunktion erst einmal bestimmt, können wir die Produktionsfunktion vergessen. 2 Je nach Marktumfeld, in dem ein Unternehmen tätig ist (Wettbewerbsmarkt, Monopol, Oligopol... ) sind unterschiedliche Gewinnmaximierungsprobleme zu betrachten. Dies betrifft jedoch nur die Erlösseite des Gewinnmaximierungsproblems die separate Betrachtung des Kostenminimierungsproblems erlaubt es, die Aspekte des Gewinnmaximierungsproblems zu isolieren, die unabhängig von dem Marktumfeld sind. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 41 / 112

42 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.1 Einleitung Frage Es geht hier also zunächst um die Beantwortung der folgenden Fragen: Welche Inputmengen (x 1,x 2 ) sind zu wählen, um die Outputmenge y zu möglichst niedrigen Kosten herzustellen? Frage Die Antwort auf diese Frage liefert die sogenannten bedingten Faktornachfragefunktionen. Wie hoch sind die resultierenden Kosten zur Produktion von y, wenn die kostenminimierenden Inputmengen (x 1,x 2 ) gewählt wurden? Die Antwort auf diese Frage liefert die Kostenfunktion. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 42 / 112

43 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.1 Einleitung In der Beantwortung dieser Fragen gehen wir davon aus, dass die Preise der Inputs (w 1,w 2 ) > 0, zumeist Faktorpreise genannt, gegeben sind, so dass bei Verwendung der Inputmengen (x 1,x 2 ) Kosten in Höhe von w 1 x 1 + w 2 x 2 entstehen. dass die betrachtete Produktionsfunktion f artig ist. Man unterscheidet zwischen der kurzen Frist und der langen Frist: In der kurzen Frist wird die Menge einer der Inputs (in unserer Betrachtung: Input 2) als fix betrachtet. Die Menge des anderen Inputs ist variabel. In der langen Frist sind beide Inputs variabel. Wir betrachten zunächst das (einfachere) kurzfristige Kostenminimierungsproblem, welches die kurzfristige Kostenfunktion bestimmt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 43 / 112

44 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.2 Die kurzfristige Kostenfunktion Die Produktionsmöglichkeiten in der kurzen Frist sind durch die kurzfristige Produktionsfunktion f (x 1, x 2 ) beschrieben, wobei x 2 > 0 die als fix betrachtete Einsatzmenge von Input 2 ist. Das kurzfristige Kostenminimierungsproblem ist einfach: Um die Outputmenge y zu produzieren, sollte die geringste Menge von Input 1 verwendet werden, mit der Output y erzeugt werden kann. Diese kostenminimierende Menge des ersten Inputs x 1 (y, x 2) ist also durch die Gleichung y = f (x 1(y, x 2 ), x 2 ) implizit bestimmt sie ist die Inverse der kurzfristigen Produktionsfunktion. Die resultierende kurzfristige Kostenfunktion ist c(w 1,w 2,y, x 2 ) = w 1 x 1(y, x 2 ) + w 2 x 2. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 44 / 112

45 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.2 Die kurzfristige Kostenfunktion Abbildung: In der kurzen Frist ist die kostenminimierende Einsatzmenge von Input 1 durch die Umkehrfunktion der kurzfristigen Produktionsfunktion gegeben. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 45 / 112

46 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.2 Die kurzfristige Kostenfunktion Abbildung: Eine kurzfristige Kostenfunktion zu der kurzfristigen Produktionsfunktion aus der vorhergehenden Abbildung. Die Faktorpreise sind durch (w 1,w 2 ) = (4,2) gegeben. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 46 / 112

47 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.3 Einige Eigenschaften der kurzfristigen Kostenfunktion Die Grenzkosten einer zusätzlichen Outputeinheit sind durch das Verhältnis des Preises des variablen Faktors durch sein Grenzprodukt gegeben: c(w 1,w 2,y, x 2 ) y = w 1 MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) > 0. Ökonomische Intuition: 1/MP 1 gibt gerade an, wieviele zusätzliche Einheiten von Input 1 erforderlich sind, um eine zusätzliche Einheit Output zu produzieren. Multipliziert man diese zusätzliche Inputmenge mit dem Faktorpreis, erhält man die zusätzlichen Kosten. Bei einem Anstieg eines Faktorpreises steigen die Kosten gerade um die Einsatzmenge des betroffenen Faktors an: c(w 1,w 2,y, x 2 ) w 1 = x 1 (y, x 2) > 0, c(w 1,w 2,y, x 2 ) w 2 = x 2 > 0. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 47 / 112

48 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.3 Einige Eigenschaften der kurzfristigen Kostenfunktion Die Frage, wie die kurzfristige Kostenfunktion auf eine Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors um eine Einheit reagiert, ist schwieriger zu beantworten, da es zwei Effekte gibt: c(w 1,w 2,y, x 2 ) x 2 = w 2 w 1 MP 2 (x 1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ). 1 Die Ausgaben für den fixen Faktor steigen um w 2 an. 2 Die Einsatzmenge des variablen Faktors, die erforderlich ist, um den gegebenen Output y zu produzieren, fällt um 1/GRT = MP 2 /MP 1 Einheiten. Multiplikation mit w 1 liefert die Kostenersparnis auf Grund der reduzierten Einsatzmenge von Input 1. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 48 / 112

49 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.3 Einige Eigenschaften der kurzfristigen Kostenfunktion Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so ist streng steigend in y. MP 2 (x 1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) Also gilt für Produktionsfunktionen, die diese Annahmen erfüllen, dass bei einer Erhöhung der Einsatzmenge des fixen Faktors die Kosten für geringe Outputmengen steigen und für grosse Outputmengen fallen. Keine Auswirkung auf die Kosten ergeben sich bei der Outputmenge y für die gilt: w 2 MP 2(x1 (y, x 2), x 2 ) MP 1 (x1 (y, x 2), x 2 ) w 1 = 0 w 1 = MP 1(x1 (y, x 2), x 2 ) w 2 MP 2 (x1 (y, x 2), x 2 ) Mikroökonomie (FS 10) Angebot 49 / 112

50 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.3 Einige Eigenschaften der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Für unterschiedliche Einsatzmengen des fixen Inputs resultieren unterschiedliche kostenminimierende Einsatzmengen des variablen Inputs. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 50 / 112

51 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.3 Einige Eigenschaften der kurzfristigen Kostenfunktion Abbildung: Auswirkung der Einsatzmenge des fixen Inputs auf den Verlauf der kurzfristigen Kostenfunktion. Je grösser x 2, desto grösser ist hier der vertikale Achsenabschnitt der Kostenfunktion und desto flacher ihr anschliessender Verlauf. Die kurzfristigen Produktionsfunktionen sind die aus der vorhergehenden Abbildung; die Faktorpreise sind w 1 = w 2 = 1. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 51 / 112

52 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Wir betrachten nun den Fall, in dem beide Inputs variabel sind die lange First. Definition (Kostenminimierungsproblem) Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem besteht darin, diejenigen Inputmengen (x1,x 2 ) zu bestimmen, welche das Problem lösen. minw 1 x 1 + w 2 x 2 unter der Nebenbedingung f (x 1,x 2 ) = y x 1,x 2 Beachte: Für y = 0 ist (x1,x 2 ) = (0,0) die eindeutige Lösung des Kostenminimierungsproblems. Wir betrachten daher im Folgenden den Fall y > 0 und unterstellen dabei, dass es Inputmengen gibt, die es ermöglichen y zu produzieren. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 52 / 112

53 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Ein wichtiges Hilfsmittel zur grafischen Darstellung des Kostenminimierungsproblems sind die sogenannten Isokostenlinien w 1 x 1 + w 2 x 2 = c, die für vorgegebene Kosten c > 0, die Inputkombinationen (x 1,x 2 ) darstellen, deren Kosten bei den gegebenen Faktorpreisen gerade c entsprechen. Wie man an Hand der Darstellung x 2 = c w 2 w 1 w 2 x 1 erkennen kann, sind die Isokostenlinien parallele Geraden mit Steigung w 1 /w 2. Die komparative Statik der Isokostenlinien ist analog zu derjenigen der Budgetgeraden. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 53 / 112

54 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Einige Isokostenlinien zu w 1 = 2 und w 2 = 1. Die Steigung ist 2. Die Kosten sind um so niedriger, je näher die Isokostenlinie am Ursprung liegt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 54 / 112

55 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem In der grafischen Darstellung besteht das Kostenminimierungsproblem darin, denjenigen Punkt auf der Isoquante I(y) zu finden, der die niedrigste Isokostenlinie erreicht. Ein solcher Punkt ist dort erreicht, wo die Isokostenlinie tangential zu der Isoquante verläuft. Da die Steigung einer Isokostenlinie w 1 /w 2 ist und die Steigung einer Isoquante GRS(x 1,x 2 ) = MP 1 (x 1,x 2 )/MP 2 (x 1,x 2 ) ist, wird so das folgende Ergebnis plausibel: Mikroökonomie (FS 10) Angebot 55 / 112

56 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Satz (Charakterisierung der Lösung des Kostenminimierungsproblems) Für alle (w 1,w 2,y) > 0 ist die eindeutige Lösung (x 1,x 2 ) > 0 des Kostenminimierungsproblems durch die Lösung der folgenden Gleichungen gegeben: MP 1 (x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) = w 1 w 2 und f (x 1,x 2) = y. Wegen der Annahme der Unverzichtbarkeit kann es keine Randlösungen mit x 1 = oder x 2 = 0 geben. Eindeutigkeit folgt aus der Unterstellung einer artigen Produktionsfunktion. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 56 / 112

57 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Abbildung: Die kostenminimierenden Inputmengen (x1,x 2 ) zur Produktion der Outputmenge y. Die dazugehörigen minimalen Kosten c = w 1 x1 + w 2x2 können an den Achsenabschnitten der Isokostenlinie abgelesen werden. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 57 / 112

58 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.4 Das (langfristige) Kostenminimierungsproblem Definition (Bedingte Faktornachfragefunktionen) Die Funktionen x 1 und x 2, die jedem (w 1,w 2,y) die eindeutige Lösung des dazugehörigen Kostenminimierungsproblems zuordnen, heissen bedingte Faktornachfragefunktionen. Definition (Langfristige Kostenfunktion) Die Funktion c, welche jedem (w 1,w 2,y) die aus Verwendung der kostenminimierenden Inputkombination resultierenden Kosten zuordnet, heisst langfristige Kostenfunktion: c(w 1,w 2,y) = w 1 x 1(w 1,w 2,y) + w 2 x 2(w 1,w 2,y) Mikroökonomie (FS 10) Angebot 58 / 112

59 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.5 Einige Eigenschaften der bedingten Faktornachfragen Satz Die bedingten Faktornachfragefunktionen sind streng fallend im Preis des betrachteten Inputs und streng steigend im Preis des anderen Inputs, d.h. für i = 1,2 und i j gilt: x i (w 1,w 2,y) w i < 0 und x i (w 1,w 2,y) w j > 0 Beachte: Auch wenn die Inputs komplementär sind, ist die bedingte Faktornachfrage eines Inputs steigend in dem Preis des anderen Inputs. Dieses liegt daran, dass die Outputmenge als gegeben betrachtet wird. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 59 / 112

60 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.5 Einige Eigenschaften der bedingten Faktornachfragen Abbildung: Steigt der relative Preis von Input 1 an, so fällt die bedingte Faktornachfrage von Input 1, die von Input 2 steigt an. In der Abbldung verläuft die pinke Isokostenlinie steiler und stellt somit eine Situation dar, in welcher der relative Preis von Input 1 hoch ist. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 60 / 112

61 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.5 Einige Eigenschaften der bedingten Faktornachfragen Satz Sind die Grenzprodukte abnehmend und die Inputs komplementär, so sind beide Faktornachfragefunktionen steigend in y: x i (w 1,w 2,y) y > 0, i = 1,2. Unter den genannten Annahmen ist der Absolutwert der Grenzrate der technischen Substitution streng fallend in x 1 und streng steigend in x 2 Ergebnis. Wieso? Sind die Inputs nicht komplementär, so kann es geschehen, dass bei einem Anstieg der Outputmenge, die kostenminimierende Einsatzmenge eines der beiden Inputs fällt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 61 / 112

62 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.6 Eigenschaften der langfristigen Kostenfunktion Satz Die langfristigen Grenzkosten sind gleich dem Verhältnis aus Faktorpreis und Grenzprodukt eines jeden Inputs: c(w 1,w 2,y) y = w i MP i (x (w 1,w 2,y)) > 0 für i = 1,2. Ökonomische Intuition: 1 Die Formel entspricht derjenigen aus der kurzfristigen Betrachtung, wenn man sich Input i als variabel und den jeweils anderen Input j als fix vorstellt. 2 Obgleich sich bei einer Erhöhung der Outputmenge auch die Einsatzmenge des soeben als fix unterstellten Input j ändert, ergibt sich hieraus kein zusätzlicher Effekt auf die langfristigen Kosten, da die Bedingung MP 1 (x 1,x 2 ) MP 2 (x 1,x 2 ) = w 1 w 2 erfüllt ist. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 62 / 112

63 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.6 Eigenschaften der langfristigen Kostenfunktion Satz (Shepards Lemma) Für y > 0 stimmt die partielle Ableitung der langfristigen Kostenfunktion nach dem Preis von Input i mit der kostenminimierenden Einsatzmenge von Input i überein: c(w 1,w 2,y) w i = x i (w 1,w 2,y) > 0 für i = 1,2. Die Ableitung der langfristigen Kostenfunktion nach einem Faktorpreis ist also so bestimmt, als ob bei einer Veränderung des Faktorpreises die bedingte Faktornachfrage unverändert bliebe. Intuition: Da die Inputmengen in der Ausgangssituation kostenminimierend gewählt wurden, verursacht die optimale Anpassung der Inputmengen auf eine Preisänderung nur einen Effekt zweiter Ordnung, der bei der Bestimmung der Ableitung ignoriert werden kann. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 63 / 112

64 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Es wird sich zeigen, dass für die Analyse des Angebotsverhaltens eines Unternehmens weniger die Kostenfunktion als solches, als die dazugehörigen Grenzkosten, Durchschnittskosten und durchschnittlichen variablen Kosten von Bedeutung sind. Wir definieren daher hier die entsprechenden Konzepte und stellen einige wesentliche Zusammenhänge zwischen ihnen und Eigenschaften der Produktionsfunktion her. Zur Vereinfachung der Notation fassen wir dabei die Kostenfunktion lediglich als Funktion der Outputmenge y auf Die minimalen Kosten zur Produktion der Outputmenge y bezeichnen wir mit C(y). Mikroökonomie (FS 10) Angebot 64 / 112

65 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Die Kosten FC = C(0), die selbst dann anfallen, wenn kein Output produziert wird, heissen Fixkosten. Sie entsprechen den Ausgaben für fixe Inputs. Die zusätzlichen Kosten VC(y) = C(y) C(0), die entstehen, wenn statt keinem Output die Menge y produziert wird, heissen variable Kosten. Sie entsprechen den Ausgaben für die kostenminimierenden Einsatzmengen der variablen Inputs. Die Ableitung der Kostenfunktion nach der Outputmenge MC(y) = C (y) heisst Grenzkosten. Dies wird als die zusätzlichen Kosten einer weiteren Outputeinheit interpretiert. Die Durchschnittskosten oder Stückkosten sind die Kosten pro Outputeinheit AC(y) = C(y)/y, welche in die durchschnittlichen Fixkosten AFC(y) = FC/y und durchschnittlichen variablen Kosten AVC(y) = VC(y)/y zerlegt werden können: AC(y) = C(y) y = FC y + VC(y) y = AFC(y) + AVC(y). Mikroökonomie (FS 10) Angebot 65 / 112

66 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Abbildung: Zerlegung einer Kostenfunktion in Fixkosten und variable Kosten. Die Fixkosten entsprechen dem vertikalen Achsenabschnitt der Kostenfunktion. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 66 / 112

67 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Beachte die folgenden Zusammenhänge, die sich unmittelbar aus den Definitionen und den Regeln der Differentialrechnung ergeben: C(y) = FC +VC(y): Gesamtkosten sind die Summe von Fixkosten und variablen Kosten. MC(y) = VC (y): Die Grenzkosten sind auch die Ableitung der variablen Kosten, da die Fixkosten unabhängig von der produzierten Outputmenge sind. AC(y) AVC(y): Die Durchnittskosten liegen stets oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten. AC (y) = AFC (y) + AVC (y) AVC (y). Die Ungleichung folgt, da die durchschnittlichen Fixkosten mit der Outputmenge sinken: AFC (y) 0 MC(0) = AVC(0): Die Grenzkosten der ersten Einheit stimmen mit ihren durchschnittlichen variablen Kosten überein. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 67 / 112

68 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Abbildung: Die Durchschnittskosten liegen oberhalb der durchschnittlichen variablen Kosten und weisen eine niedrigere Steigung auf. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 68 / 112

69 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Die Fläche unter den Grenzkosten entspricht den variablen Kosten: y MC(z)dz = C(y) C(0) = VC(y) = AVC(y)y. 0 Abbildung: Die braun schraffierte Fläche unter den Grenzkosten stimmt mit der Fläche des rot markierten Rechtecks überein. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 69 / 112

70 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Für die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion nach der Outputmenge gilt: AC (y) = ( ) C(y) = y MC(y)y C(y) y 2 = MC(y) AC(y) y Daraus folgt: Die Durchschnittskosten sind also genau dann fallend (bzw. steigend), wenn die Grenzkosten unterhalb (bzw. oberhalb) der Durchschnittskosten liegen: MC(y) > AC(y) AC (y) > 0 MC(y) = AC(y) AC (y) = 0 MC(y) < AC(y) AC (y) < 0 Verlaufen die Durchschnittskosten u-förmig, so folgt: Die Grenzkosten schneiden die Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. u-förmig bedeutet: Zunächst fallend, dann steigend mit einem eindeutigen Minimum. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 70 / 112.

71 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Abbildung: Bei einem u-förmigen Verlauf der Durchschnittskosten schneiden sich Grenzkosten und Durchschnittskosten im Minimum der Durchschnittskosten. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 71 / 112

72 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.7 Kostenterminologie und Kostenkurven Für die Ableitung der durchschnittlichen variablen Kosten gilt: AVC (y) = ( ) C(y) C(0) = y MC(y)y VC(y) y 2 = MC(y) AVC(y) y. Also: MC(y) > AVC(y) AVC (y) > 0 MC(y) = AVC(y) AVC (y) = 0 MC(y) < AVC(y) AVC (y) < 0 Bei einem u-förmigen Verlauf der durchschnittlichen variablen Kosten folgt, dass sich Grenzkosten und durchschnittliche variable Kosten im Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten schneiden. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 72 / 112

73 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.8. Kostenkurven in der kurzen First Eine kurzfristige Kostenfunktion hat die Form C(y) = w 1 x 1 (y, x 2) + w 2 x 2 mit Fixkosten FC = w 2 x 2 und variablen Kosten VC(y) = w 1 x 1 (y, x 2). Da MC(y) = w 1 /MP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) gilt, hängt der Verlauf der Grenzkostenkurve von den Eigenschaften der Produktionsfunktion ab: Abnehmende Grenzprodukte kurzfristige Grenzkosten streng steigend. Ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte kurzfristige Grenzkosten u-förmig. Diese Eigenschaften der kurzfristigen Grenzkosten übertragen sich auf die durchschnittlichen variablen Kosten: Abnehmende Grenzprodukte kurzfristige AVC streng steigend. Ertragsgesetzlicher Verlauf der Grenzprodukte kurzfristigen AVC u-förmig. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 73 / 112

74 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.8. Kostenkurven in der kurzen First Abbildung: Kostenkurven bei einem ertragsgesetzlichen Verlauf. MC, AVC und AC verlaufen allesamt u-förmig. Die Grenzkosten schneiden sowohl die durchschnittlichen variablen Kosten als auch die Durchschnittskosten in derem jeweiligen Minimum. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 74 / 112

75 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.8. Kostenkurven in der kurzen First Aus MC(y) = w 1 /MP 1 (x 1(y, x 2 ), x 2 ) und AVC(y) = w 1x 1 (y, x 2) y = w 1 AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Verlauf der Kostenkurven und der Produktionselastizität des variablen Faktors herstellen. Das Verhältnis von durchschnittlichen variablen Kosten zu Grenzkosten entspricht der Produktionselastizität des variablen Faktors: AVC(y) MC(y) = MP 1(x 1 (y, x 2), x 2 ) AP 1 (x 1 (y, x 2), x 2 ) = ε 1(x 1(y, x 2 ), x 2 ). Mikroökonomie (FS 10) Angebot 75 / 112

76 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Langfristige Kostenfunktion: C(y) = w 1 x 1 (w 1,w 2,y) + w 2 x 2 (w 1,w 2,y) In der langen Frist gibt es keine Fixkosten, da beide Faktoren variabel sind, d.h. für eine langfristige Kostenfunktion gilt FC = 0. Da es in der langen Frist keine Fixkosten gibt, stimmen für langfristige Kostenfunktionen Durchschnittskosten und durchschnittliche variable Kosten überein, so dass wir im folgenden nur die Durchschnittskosten AC(y) und Grenzkosten MC(y) einer langfristigen Kostenfunktion betrachten. Von besonderem Interesse ist der Verlauf der langfristigen Durchschnittskostenfunktion. Dieser wird durch die Skalenelastizität der Produktionsfunktion bestimmt. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 76 / 112

77 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Satz (Langfristige Kosten und Skalenelastizität) Für eine langfristige Kostenfunktion gilt, dass das Verhältnis von Durchschnittskosten zu Grenzkosten gleich der Skalenelastizität ist: AC(y) MC(y) = ε S(x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)). Wieso gilt das? Für beide Inputs entspricht das Verhältnis der Stückausgaben für diesen Input zu den Grenzkosten der Produktionselastizität des Inputs: w i x i (w 1,w 2,y)/y MC(y) = ε i (x 1(w 1,w 2,y),x 2(w 1,w 2,y)) für i = 1,2. (Dieses folgt aus dem gleichen Argument, welches zeigt, dass in der kurzen Frist das Verhältnis von durchschnittlichen variablen Kosten zu Grenzkosten gleich der Produktionselastizität des variablen Faktors ist.) Mikroökonomie Addiert (FS 10) man diese beiden Angebot Gleichungen, erhält man das Ergebnis 77 / 112

78 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Aus dem Ergebnis des vorhergehenden Satzes und den Ableitungseigenschaften der Durchschnittskostenfunktion erhält man: Satz Seien mit (x1,x 2 ) die Inputmengen bezeichnet, mit denen y > 0 kostenminimierend produziert wird. Dann gilt Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y steigend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) fallend sind: ε S (x1,x 2 ) < 1 AC (y) > 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y konstant, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) konstant sind: ε S (x1,x 2 ) = 1 AC (y) = 0. Die Durchschnittskosten sind bei der Outputmenge y fallend, wenn die lokalen Skalenerträge bei den Inputmengen (x1,x 2 ) steigend sind: ε S (x1,x 2 ) > 1 AC (y) < 0. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 78 / 112

79 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Intuition für diesen Zusammenhang: Ist die Skalenelastizität z.b. grösser als 1, so müssen die Inputmengen um weniger als ein Prozent gesteigert werden, um ein Prozent mehr Output zu produzieren. Dies bedeutet, dass die Kosten um weniger als ein Prozent steigen, wenn ein Prozent mehr Output produziert wird. Die Kosten der zusätzlichen Outputeinheiten liegen also unterhalb der Stückkosten der bisherigen Outputmenge... und damit fallen die Stückkosten bei einer Ausweitung der Produktionsmenge. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 79 / 112

80 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Der im Lehrbuch oftmals betrachtete Fall u-förmiger Durchschnittskosten resultiert in der langen Frist also, wenn die lokalen Skalenerträge bei einer Ausweitung der Produktionsmenge zunächst steigend und dann fallend sind. Ob die lokalen Skalenerträge diese Eigenschaft haben, hängt im Allgemeinen nicht nur von der Technologie, sondern auch von den Faktorpreisen ab. Wieso? Eindeutige Aussagen über den Verlauf der Durchschnittskosten lassen sich auf Grund der vorhergehenden Ergebnisse machen, wenn die Skalenerträge global konstant, steigend oder fallend sind. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 80 / 112

81 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global konstanten Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global konstante Skalenerträge auf, so ist die langfristige Kostenfunktion linear in y, d.h. es gibt eine Konstante k > 0, so dass C(y) = ky. Insbesondere sind die Durchschnittskosten und Grenzkosten konstant und stimmen überein: AC(y) = MC(y) = k. Der Wert der Konstanten k entspricht den minimalen Kosten eine Einheit Output herzustellen; es gilt also k = c(w 1,w 2,1). Die ökonomische Intuition hinter dem Ergebnis ist, dass bei konstanten Skalenerträgen die kostenminimierenden Inputmengen proportional zur Outputmenge sind und die Kosten daher auch proportional zur Outputmenge sind. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 81 / 112

82 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.9 Kostenkurven in der langen Frist Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global steigenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global steigende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskosten AC(y) fallend in y und liegen für alle y > 0 oberhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) < 0 und MC(y) < AC(y). Satz (Langfristige Kostenfunktion bei global fallenden Skalenerträgen) Weist die Produktionsfunktion global fallende Skalenerträge auf, so sind die langfristigen Durchschnittskostenfunktion steigend in y und liegen für alle y > 0 unterhalb der Grenzkostenfunktion: AC (y) > 0 und MC(y) > AC(y). Mikroökonomie (FS 10) Angebot 82 / 112

83 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.10 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Frage Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Verlauf der langfristigen und der kurzfristigen Kostenkurven? In den folgenden Überlegungen werden die Faktorpreise (w 1,w 2 ) > 0 und die Produktionsfunktion als gegeben betrachtet. Die langfristige Kostenfunktion ist mit C(y) bezeichnet. C s (y, x 2 ) bezeichnet die kurzfristige Kostenfunktion, in der die Einsatzmenge von Input 2 durch x 2 gegeben ist. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 83 / 112

84 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.10 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Da es in der kurzen Frist weniger Anpassungsmöglichkeiten als in der langen Frist gibt, müssen bei gegebenen Faktorpreisen die kurzfristigen Kosten zur Produktion einer Outputmenge y mindestens zu hoch sein, wie die langfristigen Kosten. Andererseits stimmen langfristige und kurzfristige Kosten bei der Menge y überein, wenn die kurzfristig fixe Einsatzmenge von Input 2 mit der langfristig kostenminimierenden Einsatzmenge von Input 2 übereinstimmt, also x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) gilt. Satz Die langfristige Kostenfunktion liegt unterhalb aller kurzfristigen Kostenfunktionen, d.h. C(y) C s (y, x 2 ). Für x 2 = x 2 (w 1,w 2,y) stimmen langfristige und kurzfristige Kosten überein, d.h. C(y) = C s (y,x 2 (w 1,w 2,y)). Mikroökonomie (FS 10) Angebot 84 / 112

85 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.10 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Abbildung: Langfristige und einige kurzfristige Kostenfunktionen für die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion f (x 1,x 2 ) = x1 0.6x0.4 2 bei den Faktorpreisen (w 1,w 2 ) = (1,1). Die jeweiligen Berührungspunkte sind markiert. Mikroökonomie (FS 10) Angebot 85 / 112

86 3. Kostenminimierung und Kostenfunktion 3.10 Der Zusammenhang zwischen langfristiger und kurzfristigen Kostenfunktionen Da die langfristige Kostenfunktion eine kurzfristige Kostenfunktion nicht schneidet, stimmen die Steigungen der beiden Funktionen in ihrem Berührungspunkt überein. Die vorhergehende Abbildung suggeriert zudem, dass die kurzfristigen Kostenfunktionen links von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion flacher als diese verlaufen. rechts von ihrem jeweiligen Berührungspunkt mit der langfristigen Kostenfunktion steiler als diese verlaufen. Unter der Annahme abnehmender Grenzprodukte und komplementärer Inputs muss das so sein: Mikroökonomie (FS 10) Angebot 86 / 112