Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 4

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1 Georg Nöldeke Herbstsemester 2013 Intermediate Microeconomics Lösungshinweise zu Aufgabenblatt 4 1. Bei p = 20 wird die Menge q = 40 nachgefragt. Da die Marktnachfragefunktion linear ist, entspricht die aggregierte Konsumentenrente also der Fläche eines Dreiecks mit Breite q = 40 und Höhe = 40. Also: KR(20) = 40 40/2 = 800. Siehe Abbildung 1. Abbildung 1: Die inverse Marktnachfragefunktion P D (q) = 60 q. Die aggregierte Konsumentenrente bei dem Preis p = 20 ist 40 40/2 = Bei p = 10 wird die Menge S(10) = 10 angeboten. Da der vertikale Achsenabschnitt der Marktangebotsfunktion bei p = 5 liegt, entspricht die aggregierte Produzentenrente also der Fläche eines Dreiecks mit Breite q = 10 und Höhe 10 5 = 5. Also: P R(10) = 10 5/2 = 25. Siehe Abbildung 2. Abbildung 2: Die Marktangebotsfunktion S(p) = 2p 10. Die aggregierte Produzentenrente bei dem Preis p = 10 ist 10 5/2 = 25. 1

2 3. Die Grenzkostenfunktion eines jeden Unternehmens ist M C(y) = 6y, so dass die Angebotsfunktion eines Unternehmens s(p) = p/6 ist. Da es 24 solcher Unternehmen gibt, ist die Marktangebotsfunktion S(p) = 4p. Aus der Markträumungsbedingung D(p ) = S(p ) folgt 60 p = 4p und somit p = Die Gleichgewichtsmenge q (τ) ist durch die Lösung der Gleichung P D (q (τ)) P S (q (τ)) = τ gegeben. Also: 120 3q (τ) 2q (τ) = τ q (τ) = τ. Der resultierende Konsumentenpreis ist p d(τ) = P D (q (τ)) = (24 τ/5) = τ. Der resultierende Produzentenpreis ist p s(τ) = P S (q (τ)) = 2 (24 τ/5) = τ. (a) Die aggregierte Konsumentenrente bei dem Steuersatz τ ist (Dreiecksflächenberechnung!) (24 15 ) (72 τ 35 ) (24 τ 15 ) 2 τ KR (τ) = 1 2 q (τ) (120 p d(τ)) = 1 2 = 3 2 Für die aggregierte Produzentenrente bei dem Steuersatz τ erhält man entsprechend: P R (τ) = 1 ( 2 q (τ) p s(τ) = 24 1 ) 2 5 τ. Die Steuereinnahmen sind T (τ) = q (τ) τ = τ (24 15 τ ). (b) Die Zusatzlast der Besteuerung entspricht der Differenz zwischen den aggregierten Handelsgewinnen im Wettbewerbsgleichgewicht ohne Besteuerung und den aggregierten Handelsgewinnen in der Situation mit Besteuerung und kann entsprechend berechnet werden. Die aggregierten Handelsgewinne im Wettbewerbsgleichgewicht lassen sich dadurch bestimmen, dass man in die Formeln aus der vorhergehenden Teilaufgabe τ = 0 einsetzt. Man erhält: HG (0) = KR (0) + P R (0) = = Die aggregierten Handelsgewinne in der Situation mit Besteuerung sind HG (τ) = KR (τ)+p R (τ)+t (τ) = 5 ( 24 1 ) τ +τ (24 15 ) τ = τ 2. Die Zusatzlast der Besteuerung ist daher Z(τ) = HG (0) HG (τ) = 1 10 τ 2. Einfacher als durch den obigen Rechenansatz kann die Zusatzlast als Dreiecksfläche bestimmt werden. Grafisch ist die Zusatzlast der Besteuerung durch ein Dreieck mit der Höhe τ und Breite q (0) q (τ) = τ/5 gegeben. Die entsprechende Dreiecksfläche entspricht gerade dem zuvor berechneten Wert von Z(τ) = τ 2 /10. 2

3 (c) Die Ableitung der Zusatzlast ist Z (τ) = 1 5 τ. Für τ > 0 ist diese Ableitung streng positiv. Dieses besagt, dass die Zusatzlast um so grösser ist, je höher der Steuersatz ist. Zudem ist die Ableitung steigend in τ. Dieses besagt, dass der Wohlfahrtsverlust aus der Erhöhung der Steuer um eine Einheit um so grösser ist, je höher der Ausgangssteuersatz ist. Für τ = 0 gilt Z (τ) = 0. Dieses bedeutet, dass die Einführung einer kleinen Mengensteuer fast keinen Wohlfahrtsverlust verursacht. (Der Grund ist, dass die marginale Zahlungsbereitschaft der Konsumenten im Wettbewerbsgleichgewicht ohne Besteuerung mit den Grenzkosten der Unternehmen übereinstimmt, so dass durch eine kleine Reduktion der gehandelten Mengen kaum Handelsgewinne verloren gehen.) 5. Ist das Angebot vollkommen unelastisch, so lässt die Einführung einer Mengensteuer die aggregierten Handelsgewinne unverändert. Die aggregierte Konsumentenrente bleibt unverändert, da der Konsumentenpreis unverändert bleibt. Die aggregierte Produzentenrente fällt genau um den Betrag der Steuereinnahmen. 6. (a) Der Wettbewerbspreis ist durch die Bedingung D(p ) = S(p ) bestimmt. Hier also: 100 p = 3p p = 25. Die Wettbewerbsmenge ist die Menge, die zum Wettbewerbspreis sowohl nachgefragt wie angeboten wird, q = D(p ) = S(p ). Hier also q = 75. Die aggregierten Handelsgewinne in einem Wettbewerbsgleichgewicht entsprechen der Summe aus aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente zum Wettbewerbspreis und damit der Fläche zwischen der inversen Marktnachfragefunktion und der inversen Marktangebotsfunktion bis zur Menge q. Diese Fläche kann man wie folgt bestimmen: Die aggregierte Konsumentenrente bei p = 25 ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe 75 und Länge 75, so dass KR = 75 75/2 gilt. Die aggregierte Produzentenrente bei p = 25 ist ein rechtwinkliges Dreieck mit Höhe 25 und und Länge 75, so dass P R = 75 25/2 gilt. Addiert man die beiden Ausdrücke erhält man HG = /2 = (b) Bei dem Unterstützungspreis p = 30 werden S(30) = 90 Einheiten angeboten und D(30) = 70 Einheiten nachgefragt. Der Staat muss also 20 Einheiten zum Preis von 30 aufkaufen. Die resultierenden Ausgaben sind 600. Die aggregierte Produzentenrente ist P R(30) = 30 90/2 =

4 Abbildung 3: Wettbewerbspreis, Wettbewerbsmenge und aggregierter Handelsgewinne (als Summe von aggregierter Konsumentenrente und aggregierter Produzentenrente beim Wettbewerbspreis) zu Aufgabe 6 (a). Die aggregierte Konsumentenrente ist KR(30) = 70 70/2 = Die Staatsausgaben wurden bereits als 600 bestimmt, so dass die aggregierten Handelsgewinne HG = = 3200 betragen. Im Vergleich zum Wettbewerbsgleichgewicht werden die aggregierten Handelsgewinne also um 550 Einheiten reduziert. (Anders gesagt: Die staatlichen Ausgaben in Höhe von 600 erhöhen die Summe von aggregierter Konsumentenund Produzentenrente lediglich um 50 Einheiten.) (c) Der Wettbewerbspreis in dieser Situation ist p = 10, da hier D( p) = S(30) = 90 gilt. Der Staat muss also eine Ausgleichszahlung von = 20 Geldeinheiten auf 90 Einheiten leisten, so dass Ausgaben in der Höhe von = 1800 entstehen. Wie in Teilaufgabe (b) beträgt die aggregierte Produzentenrente Die aggregierte Konsumentenrente ist nun KR(10) = 90 90/2 = Die Staatsausgaben wurden bereits als 1800 bestimmt, so dass die aggregierten Handelsgewinne HG = = 3600 betragen. Im Vergleich zum Wettbewerbsgleichgewicht werden die aggregierten Handelsgewinne also um 150 Einheiten reduziert - die Handelsgewinne sind jedoch um 400 Einheiten höher als in der Situation aus Teilaufgabe (b). 4

5 Abbildung 4: Angebotene und nachgefragte Menge bei p = 30 und die resultierenden Staatsausgaben (schraffierte Fläche) zu Aufgabe 6 (b). 7. Das Unternehmen sollte in den Markt eintreten, wenn sich dadurch ein Gewinn erzielen lässt. Ob dies der Fall ist, lässt sich wie folgt überprüfen: Man unterstellt zunächst, das Unternehmen tritt in den Markt ein und bestimmt die in diesem Fall gewinnmaximierende Outputmenge und den resultierenden Gewinn. Ist dieser positiv, sollte das Unternehmen eintreten. Ist der Gewinn negativ, sollte das Unternehmen dem Markt fern bleiben. Die Grenzkostenfunktion des aktiven Unternehmens ist durch M C(y) = y gegeben und verläuft damit steigend. Ist das Unternehmen in den Markt eingetreten, ist die gewinnmaxierende Outputmenge also durch die Bedingung p = y bestimmt. Mit p = 140 folgt hieraus y = 1. Der Gewinn bei dieser Outputmenge ist 140 F C(1) = = 30 und somit negativ. Also sollte das Unternehmen nicht in den Markt eintreten. Alternativer Lösungsansatz: Bestimme die minimalen Durchschnittskosten und vergleiche sie mit dem Preis. Sind die minimalen Durchschnittskosten kleiner als der Preis, sollte das Unternehmen eintreten. Anderenfalls sollte es inaktiv bleiben. Zur Bestimmung der minimalen Durchschnittskosten ist zunächst die effiziente Betriebsgrösse ŷ zu bestimmen. Diese ist hier durch die Lösung des Problems 80 min AC(y) = y y 0 y gegeben. Die Bedingung erster Ordnung lautet: 1 80 ŷ = 0 ŷ = Anstatt die Bedingung erster Ordnung herzuleiten, kann man auch direkt die Tatsache benutzen, dass die 5

6 Abbildung 5: Grafische Darstellung zu Aufgabe 6 (c): Bei p = 10 entspricht die nachgefragte Menge der zum Preis p = 30 angebotenen Menge. Die Staatsausgaben entsprechen der schraffierten Fläche. Die minimalen Durchschnittskosten sind also AC(ŷ) = und liegen damit oberhalb des Preis p = 140. Wie zuvor ist die Schlussfolgerung, dass das Unternehmen inaktiv bleiben sollte. 8. (a) Die Grenzkostenfunktion eines aktiven Unternehmens ist MC(y) = y, verläuft also streng steigend. Die Angebotsfunktion eines aktiven Unternehmens ist also durch { 0 für p < 100 s(p) = (p 100)/8 für p 100. gegeben. Sind m Unternehmen im Markt aktiv, so ist die Marktangebotsfunktion für p 100 also durch S m (p) = m p effiziente Betriebsgrösse im Schnittpunkt von Grenzkostenfunktion und Durchschnittskostenfunktion liegt, also durch die Gleichung MC(ŷ) = AC(ŷ) 100y = 80 y + 50y gegeben ist. 6

7 Abbildung 6: Marktnachfragefunktion und kurzfristige Marktangebotsfunktionen für m = 20, m = 50 und m = 100 zu Aufgabe 8 (a). Kurzfristiger Wettbewerbspreis und Wettbewerbsmenge liegen in dem jeweiligen Schnittpunkt der kurzfristigen Marktangebotsfunktionen mit der Marktnachfragefunktion. gegeben. Für p < 100 ist das Marktangebot gleich Null. Der kurzfristige Wettbewerbspreis p m ist durch die Bedingung D(p m) = S m (p m) bestimmt. Hier gilt also 1000 p m = m p m mit entsprechender Wettbewerbsmenge p m = m m + 8 q m = D(p m) = 1000 p m = 900m m + 8. (b) Um die Anzahl der Unternehmen zu bestimmen, die in einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht aktiv sind, ist zuerst der langfristige Wettbewerbspreis zu bestimmen. Dieser ist durch das Minimum der Durchschnittskosten gegeben. Das entsprechende Minimierungsproblem ist mit Bedingung erster Ordnung 100 min y y>0 y 100 y = 0 4y2 = 100 y = 5. Die Menge, bei der die Durchschnittskosten minimiert werden, ist also ŷ = 5. Setzt man diese Menge in die Durchschnittskostenfunktion ein, erhält man den langfristigen Wettbewerbspreis: p = = 140.

8 Abbildung 7: Zu Aufgabe 8 (b): Der kurzfristige Wettbewerbspreis als Funktion der Anzahl der aktiven Unternehmen in Relation zu den minimalen Durchschnittskosten: Für m < 172 liegt der Wettbewerbspreis oberhalb von min AC(y), so dass die aktiven Unternehmen streng positive Gewinne erzielen und sich der Marktzutritt für inaktive Unternehmen lohnt. Für m > 172 liegt der Wettbewerbspreis unterhalb von min AC(y), so dass die aktiven Unternehmen Verluste erleiden und sich daher der Marktaustritt lohnt. Die Marktnachfrage zu diesem Preis bestimmt die langfristige Wettbewerbsmenge als q = D(140) = 860. Da jedes Unternehmen im Markt zu diesem Preis die Menge ŷ = s(140) = 5 anbietet und im Gleichgewicht die angebotene Menge mit der nachgefragten Menge übereinstimmt, muss 860 = m 5 m = 172 gelten. Die Anzahl der Unternehmen, die in einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht in diesem Markt aktiv sind, ist also 172. (c) Die Kostenfunktion eines aktiven Unternehmens ist nun durch C(y) = y + 4y 2 gegeben. Die Durchschnittskosten sind entsprechend AC(y) = 400 y y und werden bei der effizienten Betriebsgrösse ŷ = 10 minimiert. Die dazugehörigen minimalen Durchschnittskosten sind p = 180. Der langfristige Wettbewerbspreis steigt auf Grund der Gebühr also von 140 auf 180 an. Da D(180) = 820 ist, fällt die langfristige Wettbewerbsmenge von 860 auf q = 820. Die Anzahl der aktiven Unternehmen fällt von 172 auf m = 82 = 820/ In einem langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht erzielen alle aktiven Unternehmen Nullgewinne. Ihre kurzfristigen Fixkosten müssen also mit ihrer kurzfristigen Produzentenrente übereinstimmen. Diese Beobachtung ermöglicht es, die Aufgabe auch ohne 8

9 Herleitung der Kostenfunktion zu lösen, da sich die kurzfristige Produzentenrente direkt aus der Angebotsfunktion eines aktiven Unternehmens als p 2 /2 bestimmen lässt. Der langfristige Wettbewerbspreis ist also durch die Gleichung 2 = p 2 /2 als p = 2 bestimmt. Bei diesem Preis ist die Marktnachfrage gleich 8. Da jedes aktive Unternehmen bei p = 2 die Menge 2 anbietet, folgt dass es im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht 4 aktive Unternehmen gibt. Alternativer Lösungsweg: Da die Angebotsfunktion streng steigend und stetig ist, stimmt die inverse Angebotsfunktion mit der Grenzkostenfunktion überein. Also ist die Grenzkostenfunktion eines aktiven Unternehmens durch M C(y) = y gegeben. Da die Fläche unter den Grenzkosten den variablen Kosten entspricht, ist die Kostenfunktion eines aktiven Unternehmens durch C(y) = y 2 gegeben. Die dazugehörigen Durchschnittskosten sind AC(y) = 2/y + 0.5y und werden bei ŷ = 2 minimiert. Da AC(ŷ) = 2 ist der langfristige Wettbewerbspreis p = 2. Der Rest des Arguments ist wie zuvor. 9