Prof. Dr. Schmidt-Thieme / Michael Rottmann Arbeitsblatt Algebra SS 2005

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1 Prof. Dr. Shmidt-Thieme / Mihael Rottmann Areitslatt Algera SS 2005 Gruppen Lösungen.) i) Die ist neutrales Element der Multiplikation. (M, é ) ist damit keine Gruppe, denn es git keine inversen Elemente für a é = (zum Beispiel 5 = ). Dies müsste ja / a œ sein. ii) (, é ) ist eine Gruppe. iii) Die Menge M ist leer und damit ist (M, é) keine Gruppe. 2.) Ja, es handelt sih um eine Gruppentafel. Das neutrale Element ist a. In jeder Zeile / Spalte kommt jedes Element genau einmal vor. Die jeweils inversen Elemente sowie die Ageshlossenheit liest man eenfalls a. Die Gruppe ist kommutativ (Symmetrie zur Hauptdiagonalen). Die Gruppe ist isomorph zur 3.! Die Assoziativität kann man niht in der Gruppentafel alesen, diese müsste für jeweils 3 von allen Elementen geprüft werden. 3.) Gruppenaiome nahweisen. 4.) Ja, (,+) ist Untergruppe von (,+). 5.) Beweisen Sie: Der Durhshnitt zweier Untergruppen H und K der Gruppe G ist eine Untergruppe der Gruppe G. Zu zeigen sind die Untergruppenkriterien:. U = H K Œ G und U = H K «2. Für alle u, u 2 œ U gilt u é u - 2 œ H Beweis: e œ H. Denn da H niht leer ist (H ist ja Untergruppe), git es ein Element h œ H. Doh dann enthält H auh h é h - = e (Untergruppenkriterium), die Identität von G. Analog folgt e œ K. Damit ist e œ H K und H K «. Sind u, u 2 œ H K, dann u, u 2 œ H und u é u œ H (da ja H Untergruppe) und auh u é u 2 œ K (da auh K Untergruppe). Damit ist u é u - 2 œ H K und U = H K ist eine Untergruppe von G

2 6.) Gegeen sind für œ \ {0} die 4 Funktionen f0( ) =, f( ) =, f 2( ) =, f 3( ) = Hier müssen wie ülih die Gruppenaiome geprüft werden. Assoziativität: Die Verkettung von Aildungen ist stets assoziativ. Eistenz des Neutralen Elementes: Die Identität id=f 0 () stellt selstverständlih ei der Komposition von Aildungen das neutrale Element dar. Es gilt: f o f = f ( f ( )) = = f o f = f fo f0 = f( f0( )) = = f0 o f = f0( f( )) = f. f o f = f ( f ( )) = = f o f = f ( f ( )) = f f3 o f0 = f3( f0( )) = = f0 o f3 = f0( f3( )) = f3. Eistenz des Inversen Elementes zu jedem Element: f o f = f ( f ( )) = = f fo f = f( f( )) = = = f0. f o f = f ( f ( )) = ( ) = = f f3 o f3 = f3( f3( )) = = = f0. Ageshlossenheit, dazu müssen alle Verknüpfungen strategish erehnet werden. Die Gruppentafel ergit sih wie folgt: é f 0 f f 2 f 3 f 0 f 0 f f 2 f 3 f f f 0 f 3 f 2 f 2 f 2 f 3 f 0 f f 3 f 3 f 2 f f 0 Es sind also alle Elemente selstinvers. Die Gruppe ist isomorph zur Kleinshen Vierergruppe (Dekaildungen des unregulären Rehteks).

3 7.) Man eweise: Ist G eine endlihe Gruppe der Ordnung n, so ist a n = e für jedes a œ G. Beweis: Nah Satz (siehe unten) ist die Ordnung m eines Elementes a œ G Teiler der Gruppenordnung n, es gilt also m t=n mit t œ. Damit folgt a n = (a m ) t = e t = e. Info: Zunähst gilt der Satz, dass jedes Element einer Gruppe eine zyklishe Untergruppe erzeugt. Hier ist H=<a 2 > eine Untergruppe von G durh {a 2 } erzeugt. Dies musste aer niht gezeigt werden. Definition Ordnung eines Elementes : Ist a ein Element der Gruppe G und m der kleinste Eponent mit a m = e, so nennt man m die Ordnung von a. Satz: In endlihen Gruppen ist die Ordnung eines Elementes stets Teiler der Gruppenordnung. Beweis: Da die Potenzen von a eine zyklishe Untergruppe der Ordnung m ilden und die Ordnung jeder Untergruppe Teiler der Gruppenordnung ist (Satz von Lagrange). 8.) Zu zeigen ist die Assoziativität, also A ( B C ) = ( A B ) C für alle A, B, C œ 22. Dies zeigt man durh Ausrehnen und Gleihheit der linken und rehten Seite, unter Verwendung der gewöhnlihen Matrizenmultiplikation. (Indeshlaht) Linke Seite: a a A B C = 2 ( ) a3 a4 2 2 a = a 2 a a a ( + 2 3) + a2 ( ) a ( ) + a2 ( ) = a ( + ) + a ( + ) a ( + ) + a ( + ) Rehte Seite: a a ( A B) C = 2 a a 2 2 = a + a a + a a + a a + a ( a + a2 3) + ( a 2 + a2 4) 3 ( a + a2 3) 2 + ( a 2 + a2 4) 4 = ( a + a ) + ( a + a ) ( a + a ) + ( a + a ) Man sieht die eiden Seiten sind gleih (sonst weiter umformen ). 9.) Zeigen Sie: In jeder Gruppe G gilt: (a é ) - = - é a - für alle a, œ G Es sei =(a é ) - gesetzt. Beweis mit folgender Shlusskette: =(a é ) - fl é (a é ) = e fl ( é (a é )) é - = e é - fl é ((a é ) é - ) = e é - fl é (a é ( é - )) = e é - fl é (a é e) = e é - fl é a = - fl ( é a) é a - = - é a - fl é (a é a - ) = - é a - fl é e = - é a - fl = - é a -. Damit also (a é ) - = - é a - für alle a, œ G. (Ürigens: nur in kommutativen Gruppen gilt also (a é ) - =a - é - ).

4 0.) Sei G die zyklishe Gruppe der Ordnung 4 durh {a} erzeugt, also G = <a>. Sei H = <a 2 > eine Untergruppe von G. Bestimmen Sie alle rehten Neenklassen von H in G. Es ergeen sih die vershiedenen Neenklassen: H é e = {e; a 2 } = H H é a = {a; a 3 } = Ha. H é a 2 = {a 2 ; a 4 } = {e; a 2 } = H H é a 3 = {a 3 ; a 5 } = {a 3 ; a} = Ha. Die vershiedenen Neenklassen von H in G sind damit H und Ha. Man sieht auh hier je zwei Neenklassen sind disjunkt: H Ha = «und die Vereinigung aller Neenklassen ist G: H» Ha = {e; a 2 ; a; a 3 } = G..) Rihtig oder falsh? Zu jeder natürlihen Zahl n git es mindestens eine Gruppe der Ordnung n. (wahr, die zyklishe Gruppe der Ordnung n) Zu jeder natürlihen Zahl n git es genau eine Gruppe der Ordnung n. (falsh, Gegeneispiel: Kleinshe Vierergruppe und Zyklishe Gruppe der Ordnung 4 sind niht isomorph.) Jede Gruppe hat eine Untergruppe. (wahr: die trivialen Untergruppen) Jede Gruppe esitzt eine nihttriviale Untergruppe. (falsh, die Gruppen der Ordnung p=prim esitzen nah dem Satz von Lagrange nur die trivialen Untergruppen) Die Menge der 22 Matrizen mit reellen Einträgen und der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung ist eine Gruppe. (wahr, Gruppeneigenshaften sind in der Üung nahgewiesen worden.) Zyklishe Gruppen sind aelsh. (wahr, in der Vorlesung ewiesen worden) ist das einzige Element aus der Menge der ganzen Zahlen Z, das die zyklishe Gruppe (, +) erzeugt. (falsh, auh - ist erzeugendes Element) Jede Gruppe der Ordnung p mit p Primzahl esitzt genau 2 Untergruppen. (rihtig, die eiden trivialen Untergruppen) 2.) Es erweist sih als sinnvoll, für eine Akürzung einzuführen. Für œ sei :=. Die folgenden, unmittelar einsihtigen Gesetze kann man eim Nahweis der Gruppeneigenshaften enutzen.. = y ñ = y 2. y = ( + y y) = ( )( y) = y Nun folgt der Beweis der Gruppeneigenshaften für ( \ {}, ): () Ageshlossenheit: ^ y ñ 0 ^ y 0 ñ y 0 Nah 2. heißt das y 0, also y. (2) Assoziativität: Für alle, y, z œ gilt ( y) z = (y z): Mittels 2. und dann. folgt weiter: ( y) z = (y z) ï ( y) z = (y z) ï ( y) z = (y z).

5 (3) Kommutativität: y = + y y = y + y = y. (4) 0 ist neutrales Element 0 = = = 0 (wegen der Kommutativität) (5) Eistenz inverser Elemente Für œ \ {} gilt auh / (-) œ \ {} und man rehnet nah, dass / - das inverse Element für jedes œ \ {} ist. 3.) Gilt für jedes Element œ G die Gleihung + = e, so gilt insesondere auh ( + y) + ( + y) = e. Aus ( + y) + ( + y) = e folgt nun durh Addition von y von rehts und unter Ausnutzung der Assoziativität in der Gruppe G: + y + = y. Addiert man nun noh von rehts, so folgt + y = y +, und das war zu zeigen. 4.) Die Ordnung der Gruppe G ist p=7 prim. Damit esitzt sie nah dem Satz von Lagrange nur die Beiden trivialen Untergruppen G und {e}. 5.) In jeder Neenklasse liegt genau ein Element der Gruppe, die Anzahl der Neenklassen entspriht also der Ordnung der Gruppe G. 6.) Zeigen Sie: Die Gruppe S7 esitzt keine Untergruppe der Ordnung. Beweis: S 7 = 7! = = Wäre H Untergruppe von S7 der Ordnung, dann müsste nah dem Satz von Lagrange S 7 teilen. In der Primzahlzerlegung von S 7 kommt jedoh niht vor, also git es keine Untergruppe der Ordnung. q.e.d.